专题08 概率-备战2022年高考数学（理）母题题源解密（全国乙卷）（解析版）

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专题08   概率【母题来源】2021年高考乙卷【母题题文】在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【试题解析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．故选：B. 【命题意图】1．几何概型的概念如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.2．几何概型的特点（1）试验中所有可能出现的结果（基本事件）有无限多个.（2）每个基本事件发生的可能性相等.3．几何概型的概率计算公式.【命题方向】几何概型常出现在高考中的选择题或填空题中，近几年出现的频率较高，要引起重视.（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.（2）了解几何概型的意义.【得分要点】1.随机模拟用计算器或计算机模拟试验的方法为随机模拟方法或蒙特卡罗方法.这个方法的基本步骤是：（1）用计算器或计算机产生某个范围内的随机数，并赋予每个随机数一定的意义；（2）统计代表某意义的随机数的个数M和总的随机数个数N；（3）计算频率作为所求概率的近似值.注意，用随机模拟方法得到的结果只能是概率的近似值或估计值，每次试验得到的结果可能不同，而所求事件的概率是一个确定的数值2.常考题型（1）与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；（2）与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；（3）与体积有关的几何概型.一、单选题1．（2021·全国高三其他模拟（理））对于二维码，人们并不陌生，几年前，在门票、报纸等印刷品上，这种黑白相间的小方块就已经出现了．二维码背后的趋势是整个世界的互联网化，这一趋势要求信息以更为简单有效的方式从线下流向线上．如图是一个边长为2的“祝你考试成功”正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区域内随机投掷200个点，其中落入黑色部分的有125个点，据此可估计黑色部分的面积为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，先求出200个点中，落入黑色部分的频率，即可估计黑色部分的面积.【详解】据题设分析知，所求面积.故选：B.2．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系中，已知点，在圆上任取一点，则的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数量积的定义求得点有圆上的位置，然后利用角度型（或长度型）几何概型概率公式计算出概率．【详解】解：由数量积的定义可得，，又，所以，即当动点在上运动时，才满足，所以的概率为．故选：B．3．（2021·河南高一期中（理））使用某软件的随机数命令随机生成介于与之间的个随机数，构成个数对，其中满足的共有个，则以下值最接近理论值的是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】个数对对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为的正方体，满足的点为在第一卦限内的球，利用几何概型的概率公式即可求解.【详解】解：个数对对应空间直角坐标系中第一卦限棱长为的正方体，满足的点为在第一卦限内，且距离原点小于，即在球心为原点，且半径为的球内，根据几何概型的概率公式，可得点落在球内的概率为，所以最接近的为正确答案.故选：.4．（2021·黑龙江哈尔滨市·哈九中高二月考（文））在区间上随机取一个数，则的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】原问题转化为在数轴上数-3和3对应点为端点的线段上任意取点，先求出这个试验的基本事件总数，再求出的事件所含基本事件数，然后由几何概型求解即得.【详解】区间上随机取一个数的试验，就是在数轴上数-3和3对应点为端点的线段上任意取点的试验，它们等可能，如图：这个试验的基本事件总数为这条线段长，的事件M中的每个基本事件是上述线段上到原点距离大于1的每一个点，它所含基本事件数为，由几何概型知，，所以的概率为.故选：A5．（2021·全国高考真题（理））在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．【详解】如图所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．6．（2021·安徽省泗县第一中学高三其他模拟（理））赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽.“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形.设，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自三个全等三角形（阴影部分）的概率是（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理求出大等边三角形边长即可得解.【详解】依题意，令，则，，，中，由余弦定理得，所以在大等边三角形中随机取点，此点取自三个全等三角形(阴影部分)的概率.故选：D7．（2021·辽宁高三其他模拟）2021年“五一”劳动节某小学组织开展了“劳动美”社会实践活动，鼓励孩子们居家劳动，在做家务中体验劳动的艰辛与快乐．某同学要在擦桌子、扫地、收纳衣服、煮饭、洗菜这五种家务中任选两种，则该同学选择的家务中有一项是煮饭的概率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】五种家务中任选两种的所有情况共种，其中有一项是煮饭的情况有种，结合古典概率公式即可求解．【详解】在这五种家务中任选两种的所有情况共种，其中有一项是煮饭的情况有种，故所求概率为．故选：D8．（2021·安徽合肥市·合肥一中高三其他模拟（理））第二次世界大战中，英军急需找到空战中飞机的危险区域并加固钢板.美国数理统计学家瓦尔德(Wal，Abrahom)研究了返航轰炸机的中弹情况.他画了飞机的轮廓，并标示出弹孔位置.图中的小黑点表示返航的轰炸机机身上所受到的德军防空炮火的袭击棕记.根据这张图，可以确定战机需要加强防护的主要部位是（    ）A．机头部分 B．机翼部分C．机翼和尾翼部分 D．机头和机腹部分【答案】D【分析】根据图示分析飞机各部分中弹情况，得到需要加强部分，即可得到结果.【详解】因为飞机每一部分在空中中弹情况都是等可能的，而飞回来的飞机的机头和机腹部分鲜有弹孔，说明机头和机腹部分较为薄弱危险，只要中弹就回不来了.机翼和机尾部分弹孔密集，说明这两部分危险性较小，比较耐打.故应该加强机头和机腹部分.故选：D.9．（2021·河南高二月考）在圆内随机取一点P，则点P落在不等式组，表示的区域内的概率为 （    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先由画出不等式表示的可行域，根据可行域的形状求出其面积，再求出圆的面积，最后根据几何概型公式求解即可.【详解】根据不等式组，如图做出点P的可行域:由图可知：点P的可行域为等腰三角形，所以,圆的面积为，由几何概型可知，圆内随机取一点P，则点P落在不等式组表示的区域内的概率为：,故选：C【点睛】数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法．用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件A满足的不等式，在图形中画出事件A发生的区域，据此求解几何概型即可.10．（2021·全国高三月考（理））如图，已知等边三角形的外接圆是等边三角形的内切圆，向内任投一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意可得，，，是4个全等的等边三角形，即可根据面积之比求出概率.【详解】解：由题可知内切圆的切点分别为，，，∴，，．又是等边三角形，∴，，，是4个全等的等边三角形，∴所求的概率．故选：C．11．（2021·四川高三三模（文））满足，的数列称为斐波那契数列，又称黄金分割数列.如图，依次以斐波那契数列各项为边长作正方形，在每个正方形中取半径为该正方形边长、圆心角为90°的圆弧，依次连接圆弧端点所成的曲线被称为斐波那契螺旋线（也称“黄金螺旋”）.下图圆心角为90°的扇形OAB中的曲线是斐波那契螺旋线的一段，若在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为（    ）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题意可得，分别计算阴影及扇形面积由几何概型求解即可.【详解】由题，，，，，则阴影部分面积为，扇形的面积为，所以在该扇形内任取一点，则该点在图中阴影部分的概率为.故选：C 二、多选题12．（2021·辽宁实验中学高三其他模拟）一个布袋内装除颜色外完全相同的4个红球和3个蓝球.现从袋中摸出4个球，则（    ）A．摸出4个红球的概率是B．摸出3个红球和1个蓝球的概率是C．摸出2个红球和2个蓝球的概率是D．摸出1个红球和3个蓝球的概率是【答案】ABC【分析】结合组合数以及古典概型概率公式逐项分析即可.【详解】摸出4个红球的概率是；摸出3个红球和1个蓝球的概率是；摸出2个红球和2个蓝球的概率是；摸出1个红球和3个蓝球的概率是，故选：ABC.  三、填空题13．（2021·陕西西安市·西北工业大学附属中学高三其他模拟（理））已知，则函数在区间上是增函数的概率为___________.【答案】【分析】根据条件可得，即，又可画出可行域，利用几何概型即可得解.【详解】函数在上是增函数，由二次函数的单调性可知，即.由题意得即图中阴影部分.∴函数在区间上是增函数的概率为.故答案为：.14．（2021·上海复旦附中高三其他模拟）五个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前各放着一枚完全相同的均匀硬币，所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着.那么没有相邻的两个人站起来的概率为__________.【答案】【分析】求出基本事件的个数，即可求出没有相邻的两个人站起来的概率．【详解】解：五个人的编号为1，2，3，4，5．由题意，所有事件，共有种，没有相邻的两个人站起来的基本事件有（1），（2），（3），（4），（5），，，，，，再加上没有人站起来的可能有1种，共11种情况，没有相邻的两个人站起来的概率为，故答案为：．15．（2021·吉林长春市·东北师大附中高三月考（理））在上随机取两个实数，则满足的概率为______；【答案】【分析】确定点构成的区域和满足的点构成的区域，由几何概型面积型的公式可求得结果.【详解】在上随机取两个实数，则点构成正方形，则满足的点构成的区域如下图阴影部分所示：，阴影部分面积，所求概率.故答案为：.