2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九上期末数学试卷

这是一份2019-2020学年安徽省合肥市瑶海区九上期末数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 抛物线 y=ax2+bx−3 经过点 1,1，则代数式 a+b 的值为
A. 2B. 3C. 4D. 6

2. 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是
A. sinA=35B. csA=35C. tanA=35D. tanA=45

3. 若 ab=cd，且 abcd≠0，则下列式子正确的是
A. a:c=b:dB. d:c=b:aC. a:b=c:dD. a:d=c:b

4. 对于反比例函数 y=2x，下列说法不正确的是
A. 点 −2,−1 在它的图象上
B. 它的图象在第一、三象限
C. 当 x>0 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 x<0 时，y 随 x 的增大而减小

5. 如图，△ABC 中，点 D，E 分别是 AB，AC 的中点，则下列结论：① BC=2DE；② △ADE∽△ABC；③ ADAE=ABAC．其中正确的有
A. 3 个B. 2 个C. 1 个D. 0 个

6. AB 为 ⊙O 的直径，点 C，D 在 ⊙O 上．若 ∠ABD=42∘，则 ∠BCD 的度数是
A. 122∘B. 132∘C. 128∘D. 138∘

7. 已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点 AC>BC，则下列结论正确的是
A. AB2=AC⋅BCB. BC2=AC⋅BC
C. AC=5−12BCD. BC=3−52AB

8. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=13，BC=10，点 D 为 BC 的中点，DE⊥AB 于点 E，则 tan∠BDE 的值等于
A. 1013B. 1310C. 512D. 125

9. 如图，已知点 P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上任意一点，若过点 P 作直线 PD 与直角边 AB 或 AC 相交于点 D，截得的小三角形与 △ABC 相似，那么 D 点的位置最多有
A. 2 处B. 3 处C. 4 处D. 5 处

10. 如图，Rt△ABC 中，AC=BC=2，正方形 CDEF 的顶点 D，F 分别在 AC，BC 边上，设 CD 的长度为 x，△ABC 与正方形 CDEF 重叠部分的面积为 y，则下列图象中能表示 y 与 x 之间的函数关系的是
A. B.
C. D.

二、填空题（共4小题；共20分）
11. 计算：sin60∘⋅cs30∘−tan45∘= ．

12. 如图，点 A，B，C 在 ⊙O 上，∠AOC=60∘，则 ∠ABC 的度数是 ．

13. 有甲、乙两张纸条，甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，如图，将这两张纸条交叉重叠地放在一起，重合部分为四边形 ABCD．则 AB 与 BC 的数量关系为 ．

14. 如图，在正方形 ABCD 中，△BPC 是等边三角形，BP，CP 的延长线分别交 AD 于点 E，F，连接 BD，DP，BD 与 CF 相交于点 H．给出下列结论：① △ABE≌△DCF；② FPPH=35；③ DP2=PH⋅PB；④ S△BPDS四边形ABCD=3−14．其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．

三、解答题（共9小题；共117分）
15. 已知抛物线 y=−2x2+8x−6．
（1）用配方法求顶点坐标，对称轴；
（2）x 取何值时，y 随 x 的增大而减小?

16. 已知如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 AC．若 ∠A=22.5∘，CD=8 cm，求 ⊙O 的半径．

17. 如图，△ABC 的顶点坐标分别为 A1,3，B4,2，C2,1．
（1）作出与 △ABC 关于 x 轴对称的 △A1B1C1，并写出点 A1 的坐标；
（2）以原点 O 为位似中心，在原点的另一侧画出 △A2B2C2，使 ABA2B2=12，并写出点 A2 的坐标．

18. 如图所示，我市某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量釜溪河沙湾段的宽度．小宇同学在 A 处观测对岸 C 点，测得 ∠CAD=45∘，小英同学在距 A 处 50 米远的 B 处测得 ∠CBD=30∘，请你根据这些数据算出河宽．（精确到 0.01 米，参考数据 2≈1.414，3≈1.732）

19. 如图，D 是 AC 上一点，BE∥AC，AE 分别交 BD，BC 于点 F，G．若 ∠1=∠2，线段 BF，FG，FE 之间有怎样的关系?请说明理由．

20. 杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到人梯顶端椅子 B 处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 y=−35x2+3x+1 的一部分，如图．
（1）求演员弹跳离地面的最大高度；
（2）已知人梯高 BC=3.4 米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是 4 米，问这次表演是否成功?请说明理由．

21. 如图，点 M 是 △ABC 内一点，过点 M 分别作直线平行于 △ABC 的各边，所形成的三个小三角形 △1，△2，△3（图中阴影部分）的面积分别是 1，4，25．则 △ABC 的面积是 ．

22. 某商场购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定提高价格．经调查发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月能卖出 360 件，在此基础上，若涨价 5 元，则每月销售量将减少 150 件，若每月销售量 y（件）与价格 x（元/件）满足关系式 y=kx+b．
（1）求 k，b 的值；
（2）问日用品单价应定为多少元时该商场每月获得利润最大，最大利润是多少?

23. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 的中点，F 为线段 AE 上一点，连接 BF 并延长交边 AD 于点 G，过点 G 作 AE 的平行线，交射线 DC 于点 H．设 ADAB=EFAF=x．
（1）当 x=1 时，求 AG:AB 的值；
（2）设 S△GDHS△EBA=y，求 y 关于 x 的函数关系式；
（3）当 DH=3HC 时，求 x 的值．
答案
第一部分
1. C【解析】∵ 二次函数 y=ax2+bx−3a≠0 的图象经过点 1,1，
∴a+b−3=1，
∴a+b=4．
2. B【解析】在 Rt△ABC 中，BC=AB2−AC2=52−32=4．
A、 sinA=BCAB=45，选项错误；
D、 csA=ACAB=35，选项正确；
C、 tanA=BCAC=43，选项错误；
D、 tanA=BCAC=43，选项错误．
3. D【解析】A．a:c=b:d，得 ad=bc，故 A 错误；
B．d:c=b:a，得 bc=ad，故 B 错误；
C．a:b=c:d，得 bc=ad，故 C 错误；
D．a:d=c:b，得 ab=cd，故 D 正确．
4. C
5. A
【解析】∵D，E 是 AB，AC 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线；
∴DE∥BC，BC=2DE；（故①正确）
∴△ADE∽△ABC；（故②正确）
∴AEAC=ADAB，即 ADAE=ABAC；（故③正确）
因此本题的三个结论都正确．
6. B【解析】连接 AD，
∵AB 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADB=90∘，
∵∠ABD=42∘，
∴∠DAB=48∘，
∴∠BCD=180∘−48∘=132∘．
7. D【解析】∵ 点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 AC>BC，
∴ BCAC=ACAB=5−12，即 AC2=BC⋅AB，故 A，B 错误；
∴ AC=5−12AB，故 C 错误；
BC=3−52AB，故 D 正确．
8. C【解析】连接 AD，
∵△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，D 为 BC 中点，
∴AD⊥BC，BD=12BC=5，
∴AD=AB2−BD2=12，
∴tan∠BAD=BDAD=512．
∵AD⊥BC，DE⊥AB，
∴∠BDE+∠ADE=90∘，∠BAD+∠ADE=90∘，
∴∠BDE=∠BAD，
∴tan∠BDE=tan∠BAD=512．
9. B【解析】∵ 截得的小三角形与 △ABC 相似，
∴ 过 P 作 AC 的垂线，作 AB 的垂线，作 BC 的垂线，所截得的三角形满足题意，则 D 点的位置最多有 3 处．
10. A
【解析】当 0当 1 CD=x，则 AD=2−x，
∵Rt△ABC 中，AC=BC=2，
∴△ADM 为等腰直角三角形，
∴DM=2−x，
∴EM=x−2−x=2x−2，
∴S△ENM=122x−22=2x−12，
∴y=x2−2x−12=−x2+4x−2=−x−22+2，
∴y=x2,0第二部分
11. −14
【解析】sin60∘⋅cs30∘−tan45∘=32×32−1=−14．
12. 150∘
【解析】在优弧 AC 上取点 D，连接 AD，CD，
∵∠AOC=60∘，
∴∠ADC=12∠AOC=30∘，
∵∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠ABC=180∘−∠ADC=180∘−30∘=150∘．
13. AB=2BC
【解析】过点 A 作 AE⊥BC 于点 E，作 AF⊥CD 于点 F，
∵ 甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍，
∴AE=2AF，
∵ 纸条的两边互相平行，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD=BC，
∵∠AEB=∠AFD=90∘，
∴△ABE∽△ADF，
∴ABAD=AEAF=21，即 ABBC=21．
14. ①③④
【解析】① ∵△BPC 是等边三角形，
∴∠CFD=∠BEA=60∘，
易得 △ABE≌△DCF，①正确；
② ∵∠BCP=60∘，
∴∠DCP=30∘，
∵CP=CD，
∴∠DPC=∠PDC=75∘，
∴∠FDP=15∘．
∵∠HBP=15∘．
∴∠FDP=∠HBP=15∘．
∴△FDP∽△PBH，
∴FPPH=DFBP=DFCD=33，② 错误；
③ ∵∠PDH=∠PDC−∠HDC=30∘=∠PCD，
∴△CPD∽△DPH，
∴DPPH=CPDP，
∴DP2=PH⋅CP，
∴DP2=PH⋅PB，③正确．
④过点 P 作 PM⊥DC 于 M，PN⊥BC 于 N．
设正方形的边长为 4，
则
S△BPD=S四边形PBCD−S△BCD=S△BPC+S△PCD−S△BCD=12BC×PN+12DC×PM−12BC×CD=43−4.
S四边形ABCD=16，
∴S△BPDS四边形ABCD=3−14，④正确．
第三部分
15. （1） ∵y=−2x2+8x−6=−2x2−4x−6=−2x2−4x+4+8−6=−2x−22+2,
∴ 该抛物线的顶点坐标为 2,2，对称轴为直线 x=2．
（2） ∵ a=−2<0，
∴ 当 x≥2 时，y 随 x 的增大而减小．
16. 连接 OC .
∵AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，
∴CE=DE=12CD=4 cm，
∵∠A=22.5∘，
∴∠COE=45∘，
∴△COE 为等腰直角三角形，
∴OC=2CE=42 cm，
17. （1） 如图 1，△A1B1C1 为所作，
A11,−3．
（2） 如图 2，△A2B2C2 为所作，
A2−2,−6．
18. 如图，过 C 作 CE⊥AB 于 E，设 CE=x 米，
在 Rt△AEC 中：∠CAE=45∘，AE=CE=x；
在 Rt△CBE 中：∠CBE=30∘，BE=3CE=3x；
∴3x=x+50，
解得：x=253+25≈68.30．
答：河宽为 68.30 米．
19. BF2=FG⋅FE．
理由：
∵ BE∥AC，
∴ ∠1=∠E，
∵ ∠1=∠2，
∴ ∠2=∠E，
又 ∵ ∠GFB=∠BFE，
∴ △BFG∽△EFB，
∴ BFEF=FGBF，
即 BF2=FG⋅FE．
20. （1） y=−35x2+3x+1=−35x−522+194.
答：演员弹跳的最大高度是 194 米．
（2） 当 x=4 时，y=3.4=BC，所以这次表演成功．
21. 64
【解析】如图，过点 M 平行于 BC 的直线交 AB，AC 于 D，E，过点 M 平行于 AC 的直线交 AB，BC 于点 F，H，过 M 平行于 AB 的直线交 AC，BC 于点 I，G，
根据题意得，△1∽△2∽△3，
∵ △1:△2=1:4，△1:△3=1:25，
∴ 它们的边长比为 1:2:5，
又 ∵ 四边形 BDMG 与四边形 CEMH 为平行四边形，
∴ DM=BG，EM=CH，
设 DM 为 x，则 BC=BG+GH+CH=x+5x+2x=8x，
∴ BC:DM=8:1，
∴ S△ABC:S△FDM=64:1，
∴ S△ABC=1×64=64．
22. （1） 由题意可知：20k+b=360,25k+b=210,
解得：k=−30,b=960.
答：k 的值为 −30，b 的值为 960．
（2） 由（1）可知：y 与 x 的函数关系应该是 y=−30x+960，
设商场每月获得的利润为 W 元，由题意可得
W=x−16−30x+960=−30x2+1440x−15360．
∵−30<0，
∴ 当 x=−14402×−30=24 时，利润最大，W最大值=1920．
答：当单价定为 24 元时，获得的利润最大，最大的利润为 1920 元．
23. （1） 在平行四边形 ABCD 中，AD=BC，AD∥BC，
∴ △AFG∽△EFB，
∴BEAG=EFAF，
∵x=1，即 ADAB=EFAF=1，
∴ADAB=BEAG=1，
∴AD=AB，AG=BE，
∵E 为 BC 的中点，
∴BE=12BC，
∴AG=BE=12BC=12AB，即 AG:AB=12．
（2） 如图 1，
∵ADAB=EFAF=x，
∴ 不妨设 AB=1，则 AD=x，BE=x2，
∴ △AFG∽△EFB，
∴BEAG=EFAF=x，
∴AG=12，DG=AD−AG=x−12，
∵GH∥AE，
∴∠DGH=∠DAE，
∵AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∴∠DGH=∠AEB，
∵ 在平行四边形 ABCD 中，∠D=∠ABE，
∴△GDH∽△EBA，
∴S△GDHS△EBA=DGBE2，
∴y=x−12x22，
∴y=4x2−4x+1x2．
（3） ① 如图 1，当点 H 在边 DC 上时，
∵DH=3HC，
∴DHDC=34，
∴DHAB=34，
∵△GDH∽△EBA，
∴DGBE=DHAB=34，
∴x−12x2=34，
解得：x=45；
② 如图 2，当点 H 在 DC 的延长线上时，
∵DH=3HC，
∴DHDC=32，
∴DHAB=32，
∵△GDH∽△EBA，
∴DGBE=DHAB=32，
∴x−12x2=32，
解得：x=2，
综上所述，可知 x 的值为 45 或 2．