三角函数模型-背靠背模型（知识点总结+典题精析）

这是一份三角函数模型-背靠背模型（知识点总结+典题精析），共1页。主要包含了课程目标，先验知识，模型讲解-背靠背型，典型例题，强化练习，模型小结，题型分析，参考答案等内容，欢迎下载使用。
【对象】
三角函数模型-背靠背模型
【课程目标】
1.能识别出三角函数-背靠背模型图形结构；
2.能利用锐角三角函数求线段的长度.
大体要点：
1、识别XX模型的基本结构；
2、掌握XX模型结论，理解其基本原理；
3、能够应用XX模型结论解决几何问题.
设计意图：
明确几何模型类的课程目标，从三个方向入手——模型的结构及特征、理解模型结论的基本原理、模型的应用，为课程学习提供方向和指引；
【先验知识】
仰角和俯角
在进行测量时，从下往上看，视线与水平线的夹角，叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角，叫做俯角。
方向角
以观察点为中心（方向角的顶点），正北或正南为始边，旋转到观察目标所成的锐角称为方向角；如图所示，目标方向线OA，OB，OC的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏东45°、北偏西45°，其中南偏东45°习惯上又叫做东南方向，北偏西45°习惯上又叫做西北方向.
特殊的锐角三角函数值
设计意图：
在本课程正式开始之前，将会用到的强相关知识做课前的梳理与讲解（可选择性讲解）.
【导入】
如图，从热气球C上测定建筑物A、B底部的俯角分别为30∘和60∘，如果这时气球的高度CD为150米，且点A、D、B在同一直线上，则建筑物A、B间的距离为( )
A.1503米 B.1803米 C. 2003米 D. 2203米
讲解说明：本题属于三角函数-背靠背模型，结论AB=CDtanA+CDtanB
所以AB=150tan30°+150tan60°=1503+503=2003（米）
形式：填空选择题。
题目：使用模型结论迅速的解决
讲解说明：
1.题目里面模型结论是什么，条件是什么，代入迅速找到题目解答的结论。
2.为什么学习模型，学习模型的意义。
设计意图：
体现模型应用，突出利用模型迅速解题的便捷性（秒杀）.通过秒杀让学生看到模型解决问题的便捷，简单。
【模型讲解-背靠背型】
条件：在ΔABC中，AD是BC边上的高，已知∠B=α、∠C=β，AD的长度为h，求BC的长度。
结论：BC=htanα+htanβ
关键点：两直角三角形是并列关系，有公共直角顶点和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两
直角三角形关系的媒介。
推导过程：在RtΔABD中，tanα=ADBD=hBD，则BD=htanα
在RtΔACD中，tanβ=ADCD=hCD，则CD=htanβ，
所以BC=BD+CD=htanα+htanβ.
大体要点：
1、模型基本图形
2、已知条件+结论
3、关键点
= 1 \* GB3 ①辅助线的做法； = 2 \* GB3 ②关键点说明； = 3 \* GB3 ③关键结论说明
4、模型结论的推导
设计意图：
突出模型的基本结构，理解模型结论的推导过程.
【典型例题】
例1：如图，热气球探测器显示，从热气球上A点处看一栋楼底部C的俯角α为30°，看这栋楼的顶部B的仰角β为45°，热气球与楼的水平距离AD为30m，那么这栋楼的高度是________m.（结果保留根号)
【分析】
从图形特征来看，符合三角形一边上的高将三角形分成两个直角三角形，符合三角函数-背靠背模型。
在两个直角三角形中知道水平距离（公共边AD）的长度，并且知道两个直角三角形中的一个锐角（∠BAD、∠DAC），可以利用三角函数-背靠背模型求楼高BC。
【答案】
解：在Rt△ABD中，∠BDA=90∘，∠BAD=45∘，
∴BD=AD=30(m)．
在Rt△ACD中，∠ADC=90∘，∠CAD=30∘，
∴CD=33AD=103 (m)．
∴BC=BD+CD =30+103 (m)．
故答案为：30+103．
例2：如图，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽（精确到0.1m）参考数据：2≈1.414，3≈1.732）
【分析】
从图形特征来看，类型三角函数-背靠背模型，属于其变形。
利用锐角三角函数，在Rt△CDE中计算出坝高DE及CE的长，通过矩形ADEF．利用等腰直角三角形的边角关系，求出BF的长，得到坝底的宽BC。
【答案】
解：解：在Rt△CDE中，
∵sin∠C=DECD，cs∠C=CECD，
∴DE=sin30°×DC=12×14=7（m），
CE=cs30°×DC=32×14=73≈12.124≈12.12，
∵四边形AFED是矩形，
∴EF=AD=6m，AF=DE=7m
在Rt△ABF中，
∵∠B=45°
∴DE=AF=7m，
∴BC=BF+EF+EC≈7+6+12.12=25.12≈25.1（m）
答：该坝的坝高和坝底宽分别为7m和25.1m．
设计意图：
以经典题目入手，突出模型结论的应用，强化对模型结构和结论的认识.
【强化练习】
练习1：如图，热气球的探测器显示，从热气球A看某栋高楼顶部B的仰角为60∘，看这栋高楼底部C的俯角为30∘，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1m，参考数据：3≈1.73）
解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D．
根据题意，可得∠BAD=60∘，∠CAD=30∘，AD=66，
在Rt△ADB中，
BD=AD×tan60∘=663，
在Rt△ADC中，
CD=AD×tan30∘=223，
∴BC=CD+BD=663+223=883≈138.4．
练习2：大雁塔南广场玄奘铜像是为纪念唐代高僧玄奘而设计.在一次课外活动中，甲、乙两位同学测量玄奘铜像的高度，他们分别在A，B两处用高度为1.8m的测角仪测得铜像顶部C的仰角分别为30∘，60∘，两人间的水平距离AB为10m，求玄奘铜像的高度CF.（结果保留根号）
解：作CF⊥AB，交DE于点G，
∵AB=10m，
∴DE=DG+EG=10m，
在Rt△CEG中，
∵∠CEG=60∘，
∴EG=CG⋅tan30∘，
在Rt△CDG中，
∵∠CDG=30∘，∠DCG=60∘，
∴DG=CG⋅tan60∘，
则DE=CG⋅tan60∘+CG⋅tan30∘=10m．
即DE=3CG+33CG=10．
∴CG=532．
由题意知：GF=1.8m，
∴CF=CG+GF=532+1.8m.
练习2：由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达A处时，测得小岛B位于它的北偏东30°方向，且与航母相距80海里再航行一段时间后到达C处，测得小岛B位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离BC的长．
解：过点B作BD⊥AC于点D，
由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AB＝80，
在Rt△ADB中，∠BAD＝60°，
∴AD＝12AB＝40，
BD＝32AB＝403，
在Rt△BCD中，∠BCD＝45°，
∴BD＝CD＝403，
∴BC＝2BD＝406，
答：BC的距离是406海里．
练习３：如图，原来从A地到它正东方的B地，需要沿折线A→C→D→B到达．现A，B两地新修了一条笔直公路可直接到达．已知C地在A地的东北方向12km处，D地在C地的正东方向且在B地北偏西53∘处，则现在从A地到B地可比原来少走了多少里程？（精确到0.1km，参考数据2=1.41,sin53∘≈45,cs53∘≈35,tan53∘≈43）
解：过点D作DE//AC交于AB于E，作DH⊥AB于H．
由已知CD//AB，∠HED=45∘，∠HDB=53∘，
∴四边形ACDE是平行四边形．
∴CD=AE，DE=AC=12．
∴两路线的路程差为DE+DB−EB；
在Rt△DEH中，DH=EH=62≈8.46，
在Rt△DBH中，HB=DH⋅tan53∘≈8.46×43=11.28，
DB=DHcs53∘≈14.10．
∴DE+DB−EB =(12+14.10)−(8.46+11.28)≈6.4(km)．
即使在从A地到B地可比原来少走约6.4km．
设计意图：
强化训练
【模型小结】
1.能够识别背靠背模型图形结构.
2.根据相应条件，能够做出合适辅助线，利用模型解决问题．
设计意图：
梳理总结模型特征及结论应用.
真题1： （2019•长沙）如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60°方向，距离灯塔60nmile的小岛A出发，沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与小岛A的距离是（ ）
A．303nmileB．60nmile
C．120nmileD．（30+303）nmile
【题型分析】
过点C作CD⊥AB，则在Rt△ACD中易得AD的长，再在直角△BCD中求出BD，相加可得AB的长．
【参考答案】
解：过C作CD⊥AB于D点，
∴∠ACD＝30°，∠BCD＝45°，AC＝60．
在Rt△ACD中，cs∠ACD=CDAC，
∴CD＝AC•cs∠ACD＝60×32=303．
在Rt△DCB中，∵∠BCD＝∠B＝45°，
∴CD＝BD＝303，
∴AB＝AD+BD＝30+303．
答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是（30+303）nmile．
故选：D．
真题2：（2019•临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，AB＝4km，∠ABD＝105°，求BD的长．

【题型分析】
根据∠CAB＝30°，AB＝4km，可以求得BE的长和∠ABE的度数，进而求得∠EBD的度数，然后利用勾股定理即可求得BD的长．
【参考答案】
解：作BE⊥AD于点E，
∵∠CAB＝30°，AB＝4km，
∴∠ABE＝60°，BE＝2km，
∵∠ABD＝105°，
∴∠EBD＝45°，
∴∠EDB＝45°，
∴BE＝DE＝2km，
∴BD=22+22=22km，
即BD的长是22km．
设计意图：
链接中考真题，它是这样考的，老师就是这样教你的，让学生心理认知上也能够跟老师趋同.
【课堂总结】
条件：在ΔABC中，AD是BC边上的高，已知∠B=α、∠C=β，AD的长度为h，求BC的长度。
结论：BC=htanα+htanβ
关键点：两直角三角形是并列关系，有公共直角顶点和一条公共直角边，其中，这条公共直角边是沟通两
直角三角形关系的媒介。
解题技巧：若三角形有已知角时，则通过在三角形内部作高AD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边AD是解题的关键。
解题步骤：
（1） 围绕题目中给出的已知角度、线段长度，在三角形内部作高，构造两个直角三角形；
（2） 分别在两个直角三角形中利用已知角和已知线段列出已知角的锐角三角函数；
（3） 代入数值计算，通常需要设出某边的长度x，利用线段间等量关系列出方程求解。
大体要点：
模型条件、图形结构、结论、使用要点是什么。
模型结构技巧、思想、重难点、易错点、模型应用题型等；
设计意图:
回忆课堂内容，强化学生的理解和掌握：
Check学习目标，是否达成，学会了什么，还有哪些问题；
强化学习的意义和作用.
备注：
具体制作参照样例进行，相关板块围绕制作模板提示要点展开，需要在板块下方按样例格式附加设计意图.学习对象
使用场景
建议课时
制作人
学生 教师
 预科 同步复习 专题复习
1
三角函数α
30°
45°
60°
sinα
12
22
32
csα
32
22
12
tanα
33
1
3