2021年广西壮族自治区玉林市、柳州市高考二模文科数学试卷

广西玉林市、柳州市2021届高三第二次模拟考试

数学试卷（文）

第I卷(选择题，共60分)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合A＝{x∈N|2x－7≤0}，B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩B＝（    ）

A.{x|0<x≤3}     B.{0，1，2，3}     C.{x|－1≤x≤}     D.{1，2，3}

2.复数z＝(i为虚数单位)的虚部是（    ）

A.－i     B.i     C.     D.－

3.已知向量＝(m，1)，＝(4，m－3)，则m＝4是//的（    ）

A.充要条件     B.既不充分也不必要条件     C.必要不充分条件     D.充分不必要条件

4.已知偶函数g(x)在(0，＋∞)，上是减函数，若a＝g(－log26.1)，b＝g(20.7)，c＝g(3)，则a，b，c的大小关系为（    ）

A.a>b>c     B.c>b>a     C.b>a>c     D.b>c>a

5.2020年，受新冠肺炎疫情的影响，在全国的许多地方都采取了在家线上学习的方式，此种方式对学生的自制力、自觉性有极高的要求.某校某学习小组调查研究“学生线上学习时智能手机对学习成绩的影响”，得到了如下样本数据：

附：，n＝a＋b＋c＋d.

根据表中的数据，下列说法中正确的是（    ）

A.有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习无影响；

B.有99.5%的把握认为中学生使用手机对学习有影响；

C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习无影响；

D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为中学生使用手机对学习有影响.

6.函数f(x)＝x3－x2＋2x－1的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为（    ）

A.－1     B.1     C.2     D.－2

7.若，则tanα＝（    ）

A.4     B.3     C.－4     D.－3

8.等差数列{an}的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，a3＋a8＋a10是一个定值，则下列选项中为定值的是（    ）

A.S7     B.S8     C.S13     D.S15

9.已知函数y＝[x]称为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数.执行如图程序框图，则输出的S值为（    ）

A.42     B.43     C.44     D.45

10.已知点P是边长为2的正三角形ABC所在平面上一点，满足＝0，则的最小值是（    ）

A.     B.     C.1     D.

11.圆C：(x＋2)2＋(y－3)2＝1上一动点M，抛物线y2＝8x上一动点N(x0，y0)，则x0＋|MN|的最小值为（    ）

A.2－1     B.2     C.3     D.4

12.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点E，F，G分别为棱AB，AA1，C1D1的中点，下列结论中正确的个数是（    ）

①过E，F，G三点作正方体的截面，所得截面为正六边形；

②B1D1//平面EFG；

③异面直线EF与BD1所成角的正切值为；

④四面体ACB1D1的体积等于.

A.1     B.2     C.3     D.4

第II卷(非选择题，共90分)

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.设x，y满足约束条件，则x＝x＋y的最小值是         .

14.正项等比数列{an}中，a1＝1，a6＝4a4，记Sn为{an}的前n项和.若Sm＝127，则m＝         .

15.已知点F是双曲线C：(a>0，b>0)的右焦点，点P在C上，O为坐标原点，若|OP|＝c，且∠POF＝，则双曲线的离心率为         .

16.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y＝kx＋8上存在点P，过点P作圆O：x2＋y2＝4的切线，切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1x2＋y1y2＝－2，则实数k的取值范围为           .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0<φ<)的一条对称轴为x＝，且f(A)＝.

(1)求A的值；

(2)若a＝2，△ABC的面积为，求△ABC的周长.

18.(本小题满分12分)随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.华为技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x(亿元)与科技升级直接收益y(亿元)的数据统计如下：

当0<x≤17时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当x>17时确定y与x满足的线性回归方程为.

(1)根据下列表格中的数据，比较当0<x≤17时模型①②的相关指数R2的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.

(附：刻画回归效果的相关指数，，≈4.1)

(2)为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.

附：用最小二乘法求线性回归方程的系数：

.

19.(本小题满分12分)如图，三棱锥P－ABC中，底面ABC和侧面PAB均为正三角形，AB＝2，PC＝，M为AB的中点.

(1)证明：平面PCM⊥平面PAB；

(2)N为线段PA上一点，且，求三棱锥P－CMN的体积.

20.(本小题满分12分)已知椭圆C：经过一点(1，)，左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一动点，当PF2垂直于x轴时，|PF2|＝.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)过点F1，斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点，且∠AOB为钝角(O为坐标原点)，求k的取值范围.

21.(本小题满分12分)已知函数f(x)＝lnx＋－4x－a(a∈R).

(1)当a＝－3时，求f(x)的极值；

(2)若对任意x>1，都有f(x)＋4x＋1>恒成立，求整数a的最大值.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.

22.[选修4－4：坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρcosθ＝2atanθ(a>0).

(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

(2)设P(－4，－2)，直线l与曲线C相交于M，N两点，若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值.

23.[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)

已知函数f(x)＝|x－4|＋|x＋3|.

(1)求不等式f(x)≥12的解集；

(2)若关于x的不等式f(x)－()1－3a＋2≥0恒成立，求实数a的取值范围.

参考答案

一、选择题：(每小题5分, 满分60分)

二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13. 2     14．7     15.      16．

三、解答题: （本大题共6小题，共70分）

17．解：（1）是的对称轴，，1分

解得：，2分

又，，3分

，，4分

，，5分

，

解得：.6分

（2）由面积， 7分

  9分

由余弦定理得：，10分

解得 11分

即的周长为. 12分

18．解：（1）由表格中的数据，，

， 1分

2分

可见模型①的相关指数小于模型②的相关指数．3分

所以回归模型②的拟合效果更好． 4分

所以当亿元时，科技升级直接收益的预测值为

（亿元）．6分

（2）当时，由已知可得

， 7分

． 8分

． 9分

当时，y与x满足的线性回归方程为．

当时，科技升级直接收益的预测值为亿元．10分

当亿元时，实际收益的预测值为亿元亿元，11分

技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大．12分

19.解：（1）证明：是边长为的正三角形，为的中点，

， 2分

同理，，又，3分

，

  4分

又，平面，5分

又平面，

平面平面．6分

（2）解：由（1）得平面，因为，即, 7分

， 9分

11分

三棱锥的体积为.  12分

20．解：（1）2分

3分

椭圆方程为4分

（2），

当直线斜率 5分

当，设直线：

联立直线与椭圆6分

有

设A， 7分

8分

9分

10分

，且 11分

综上， 12分

21．解：（1）当，，定义域为（0，+）1分

,注意到 2分

3分

在时取得极大值且极大值为，无极小值．4分

（2）5分

变形有

6分

设原问题等价于

，令 7分

则

8分

由零点存在定理有 9分

当

当

，利用 10分

11分

，的最大值为4. 12分

22．解：（1）由消去，

可得直线l的普通方程为；2分

由得，3分

∴，

∵，，

∴．4分

由有意义可知，∴，

∴曲线C的直角坐标方程为．5分

（2）由，直线的参数方程为（t为参数）．

将该方程代入曲线C的直角坐标方程中，

得．6分

设M，N两点对应的参数分别为，，

则，．7分

∵成等比数列，

∴，∴，8分

即，

∴，9分

∴．10分

23．解：（1）原不等式等价于或或， 1分

解得或或.4分

∴不等式的解集为或. 5分

（2）不等式恒成立，等价于， 6分

即. 7分

∵，当且仅当时，等号成立. 8分

∴，则，解得， 9分

∴实数的取值范围是. 10分