2021中考数学真题分类 第六单元 圆

这是一份2021中考数学真题分类 第六单元 圆，共197页。试卷主要包含了 如图，点在上，，则，5°C．30°D．45°，9°＜α＜22，6B．4C．5D．10等内容，欢迎下载使用。
课时24 与圆的有关概念与性质
圆周角定理及其推论
（2021•武威）7. 如图，点在上，，则（ D ）


A. B. C. D.
（2021•安徽）13. 如图，圆O的半径为1，内接于圆O．若，，则______．

【详解】解：连接OB、OC、作OD⊥AB

∵
∴∠BOC=2∠A=120°
∵OB=OC
∴∠OBC=30°又
∴∠ABO=45°
在Rt△OBD中，OB=1
∴BD==
∵OD⊥AB
∴BD=AD=
∴AB=
故答案为：
（2021•贵港）10．如图，点A，B，C，D均在⊙O上，直径AB＝4，点C是的中点，点D关于AB对称的点为E，若∠DCE＝100°，则弦CE的长是（　A　）

A．2 B．2 C． D．1
（2021•来宾）8. 如图，的半径为，于点，，则的长是（ C ）

A. B. C. D.
（2021•黔东南）8．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以AC为直径的⊙O交AB于点D，则CD的长为（　C　）

A． B． C． D．5
（2021•鹤岗）16．如图，在⊙O中，AB是直径，弦AC的长为5cm，点D在圆上且∠ADC＝30°，则⊙O的半径为 　5　cm．

（2021•牡丹江）16．如图，△ABC内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB于点D，若⊙O的半径为2，则CD的长为　　．

（2021•荆州）7．如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上．若A（2，0），D（4，0），以O为圆心、OD长为半径的弧经过点B，交y轴正半轴于点E，连接DE，BE，则∠BED的度数是（C）
A．15° B．22.5° C．30° D．45°

（2021•随州）12．如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠C＝50°，则∠BAD的度数为 　40°　．

（2021•襄阳）15．点O是△ABC的外心，若∠BOC＝110°，则∠BAC为 　55°或125　°．
（2021•十堰）8. 如图，内接于是的直径，若，则（ C）

A. B. C. 3 D. 4
（2021•宜昌）10．如图，C，D是⊙O上直径AB两侧的两点，设∠ABC＝25°，则∠BDC＝（　D　）

A．85° B．75° C．70° D．65°
（2021•武汉）9．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦沿BC翻折交AB于点D，再将＝，设∠ABC＝α，则α所在的范围是（　B　）

A．21.9°＜α＜22.3° B．22.3°＜α＜22.7°
C．22.7°＜α＜23.1° D．23.1°＜α＜23.5°
（2021•台湾）17.如图，梯形ABCD中，AD//BC，有一圆O通过A、B、C三点，且AD与圆O相切于A点.若∠B=58°，则BC的度数为何？( D   )
A. 116
B. 120
C. 122
D. 128
（2021•重庆•B）5如图，AB是⊙O的直径，AC，BC是⊙O的弦，若∠A＝20°，则∠B的度数为（　A　）

A．70° B．90° C．40° D．60°
（2021•山西）7.如图，在eO 中，AB 切eO 于点 A，连接 OB 交eO 于点 C，过点 A 作 AD//OB 交eO
于点 D，连接 CD.若ÐB = 50° ，则ÐOCD 为（ ）
A. 15° B. 20° C. 25° D. 30°

（2021•连云港）13. 如图，、是的半径，点C在上，，，则______．

【答案】25

（2021•本溪）16．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝　　．

【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠ADC＝∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC＝，从而得到tan∠ADC的值．
【解答】解：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
在Rt△ABC中，tan∠ABC＝＝，
∵∠ADC＝∠ABC，
∴tan∠ADC＝．
故答案为．
（2021•烟台）17．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，⊙O是△ABC的外接圆，点A，B，O在网格线的交点上，则sin∠ACB的值是 　　．

【分析】连接AO并延长交⊙O于D，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADB，根据勾股定理求出AD，根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：如图，连接AO并延长交⊙O于D，
由圆周角定理得：∠ACB＝∠ADB，
由勾股定理得：AD＝＝2，
∴sin∠ACB＝sin∠ADB＝＝＝，
故答案为：．


（2021•聊城）8. 如图，A，B，C是半径为1的⊙O上的三个点，若AB＝，∠CAB＝30°，则∠ABC的度数为（ ）

A. 95° B. 100° C. 105° D. 110°
【答案】C
【解析】
【分析】连接OB，OC，根据勾股定理逆定理可得∠AOB＝90°，∠ABO＝∠BAO＝45°，根据圆周角定理可得∠COB＝2∠CAB＝60°，∠OBC＝∠OCB＝60°，由此可求得答案．
【详解】解：如图，连接OB，OC，

∵OA＝OB＝1，AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，
又∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OC＝OB，
∴∠OBC＝∠OCB＝60°，
∴∠ABC＝∠ABO＋∠OBC＝105°，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键．
14.（2021•广元） 如图，在的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在上，点E是线段与的交点．则的正切值为________．

11．（2021•临沂）如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠P=70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数是
A
B
C
P
O
（第11题图）
（A）110°.
（B）120°.
（C）125°.
（D）130°.
5. （2021•常州）如图，是的直径，是的弦．若，则 的度数是（ C ）

A. B. C. D.
6．（2021•长沙）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝54°，则∠BOC的度数为（　B　）

A．27° B．108° C．116° D．128°
9．（2021 邵阳）如图，点A，B，C是⊙O上的三点．若∠AOC＝90°，∠BAC＝30°，则∠AOB的大小为（　B　）

A．25° B．30° C．35° D．40°
14. （2021•徐州）如图，是的直径，点在上，若，则_________°.

16.（2021•宿迁）如图,在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠A=32°,点B、C在⊙O上，边AB、AC分别交⊙O于D、E两点﹐点B是CD的中点，则∠ABE= ．

13. （2021 张家界）如图，内接于，，点是的中点，连接，，，则_________．

（2021•湖州）6.如图，已知点O是△ABC的外心，∠A＝40°，连结BO，CO，则∠BOC的度数是

A．60° B．70° C．80° D．90°

垂径定理及其推论
（2021•柳州）11. 往水平放置的半径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面图如图所示，若水面宽度，则水的最大深度为（ B ）

A. B. C. D.
（2021•玉林）7．学习圆的性质后，小铭与小熹就讨论起来，小铭说：“被直径平分的弦也与直径垂直”，小熹说：“用反例就能说明这是假命题”．下列判断正确的是（　D　）
A．两人说的都对
B．小铭说的对，小熹说的反例不存在
C．两人说的都不对
D．小铭说的不对，小熹说的反例存在
（2021•黔东南）17．小明很喜欢专研问题，一次数学杨老师拿来一个残缺的圆形瓦片（如图所示）让小明求瓦片所在圆的半径，小明连接瓦片弧线两端AB，量的弧AB的中心C到AB的距离CD＝1.6cm，AB＝6.4cm，很快求得圆形瓦片所在圆的半径为 　4　cm．

（2021•鄂州）8. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图2，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是（ B ）

A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米
（2021•黄冈）7．如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，OE⊥AB交⊙O于点E，AE，CB的延长线交于点F．若OD＝3，则FC的长是（　A　）

A．10 B．8 C．6 D．4
（2021•恩施）15．《九章算术》被尊为古代数学“群经之首”，其卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？如图，大意是，今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小，用锯去锯这木材，锯口深CD等于1寸，锯道AB长1尺，问圆形木材的直径是多少？（1尺＝10寸）
答：圆材直径 　26　寸．

（2021•黄石）8．如图，A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝60°，OF⊥AB交⊙O于点F，则∠BAF等于（　C　）

A．20° B．22.5° C．15° D．12.5°
（2021•青海）6.如图是一位同学从照片上剪切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，AB=16厘米．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海平面的时间为16分钟，则“图上”太阳升起的速度为（　A　）

A．1.0厘米/分 B．0.8厘米/分 C．1.2厘米/分 D．1.4厘米/分
（2021•南京）12．如图，AB是⊙O的弦，C是的中点，OC交AB于点D．若AB＝8cm，CD＝2cm，则⊙O的半径为 cm．


（2021•营口）8．如图，⊙O中，点C为弦AB中点，连接OC，OB，∠COB＝56°，点D是上任意一点，则∠ADB度数为（　　）

A．112° B．124° C．122° D．134°
（2021•自贡）10．（4分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点F，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是（　　）

A．9.6 B．4 C．5 D．10
【分析】根据垂径定理求出AE可得AC的长度，利用△AEO∽△AFC，求出CF，即可求解．
【解答】解：∵OE⊥AC于点E．
∴AE＝EC．
∵OE＝3，OB＝5．
∴AE＝．
∴AC＝8．
∵∠A＝∠A，∠AEO＝∠AFC．
∴△AEO∽△AFC．
∴，即：．
∴．
∵CD⊥AB．
∴CD＝2CF＝＝9.6．
故选：A．
10．（2021•眉山）如图，在以AB为直径的⊙O中，点C为圆上的一点，＝3，弦CD⊥AB于点E，弦AF交CE于点H，交BC于点G．若点H是AG的中点，则∠CBF的度数为（　C　）

A．18° B．21° C．22.5° D．30°
7. （2021•丽水）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（ B ）

A. B. C. D.
7. （2021•南充）如图，AB是的直径，弦于点E，，则的度数为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
11．（2021•凉山州）点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（　B　）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
12．（2021•长沙）如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的距离为2，则∠AOC的度数为 　45°　．

9. （2021•广安）如图，公园内有一个半径为18米的圆形草坪，从地走到地有观赏路（劣弧）和便民路（线段）.已知、是圆上的点，为圆心，，小强从走到，走便民路比走观赏路少走（ D ）米.

A. B.
C. D.
7．（2021•淄博）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度是（　　）

A．12寸 B．24寸 C．13寸 D．26寸


圆内接四边形的性质
（2021•海南）10. 如图，四边形是的内接四边形，是的直径，连接．若，则的度数是（ A ）

A. B. C. D.
（2021•常德）13. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=80°，则∠BCD的度数是_140°____．

（2021•重庆）5.如图，四边形ABCD内接于☉O，若∠A=80°，则∠C的度数是
A.80° B.100° C.110° D.120°

（2021•盐城）12．如图，在⊙O内接四边形ABCD中，若∠ABC＝100°，则∠ADC＝　80　°．

【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣100°＝80°．
故答案为：80．

（2021•苏州）25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠1＝∠2，延长BC到点E，使得CE＝AB，连接ED．
（1）求证：BD＝ED；
（2）若AB＝4，BC＝6，∠ABC＝60°，求tan∠DCB的值．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝∠DCE，
∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴AD＝DC，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（SAS），
∴BD＝ED；
（2）解：过点D作DM⊥BE于M，
∵AB＝4，BC＝6，CE＝AB，
∴BE＝BC+EC＝10，
∵BD＝ED，DM⊥BE，
∴BM＝ME＝BE＝5，
∴CM＝BC﹣BM＝1，
∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，
∴∠2＝30°，
∴DM＝BM•tan∠2＝5×＝，
∴tan∠DCB＝＝．
11. （2021•雅安）如图，四边形为⊙的内接四边形，若四边形为菱形，为（ ）．

A. 45° B. 60° C. 72° D. 36°
【答案】B
9．（2021•泰安）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝90°，∠BCD＝120°，AB＝2，CD＝1，则AD的长为（　C　）

A．2﹣2 B．3﹣ C．4﹣ D．2
10. （2021•赤峰）如图，点C，D在以AB为直径的半圆上，，点E是上任意一点，连接BE，CE，则的度数为（ B ）

A. 20° B. 30° C. 40° D. 60°
5．（2021•吉林）如图，四边形ABCD内接于⊙O，点P为边AD上任意一点（点P不与点A，D重合）连接CP．若∠B＝120°，则∠APC的度数可能为（　D　）

A．30° B．45° C．50° D．65°


课时25 与圆有关的位置关系
点、直线与圆的位置关系
（2021•青海）16.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是 6.5cm或2.5cm．
（2021•上海）6. 如图，已知长方形 ABCD 中，AB=4，AD=3，圆 B 的半径为 1，圆 A 与圆 B 内切，则点 C、D 与圆 A 的位置关系式（ ）
A. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 内 B. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 外
C. 点 C 在圆 A 上，点 D 在圆 A 内 D. 点 C 在圆 A 内，点 D 在圆 A 外


（2021•宜宾）17．如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连结AP，Q为AP的中点，若点P在圆上运动一周，则点Q经过的路径长是 　 　．

（2021•娄底）10. 如图，直角坐标系中，以5为半径的动圆的圆心A沿x轴移动，当⊙与直线只有一个公共点时，点A的坐标为（ ）


A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】当⊙与直线只有一个公共点时，则此时⊙A与直线相切，（需考虑左右两侧相切的情况）；设切点为，此时点同时在⊙A与直线上，故可以表示出点坐标，过点作，则此时，利用相似三角形的性质算出长度，最终得出结论．
【详解】如下图所示，连接，过点作，


此时点坐标可表示为，
∴，，
在中，，
又∵半径为5，
∴，
∵，
∴，
则，
∴，
∴，
∵左右两侧都有相切的可能，
∴A点坐标为，
故选：D．
（2021•嘉兴）7．已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（　　）
A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，
即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，
∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，
∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，
故选：D．
切线的判定与性质
（2021•贺州）10. 如图，在中，，，点在上，，以为半径的与相切于点，交于点，则的长为（ B ）

A. B. C. D. 1
（2021•哈尔滨）5．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，点B为切点，若AB＝8，tan∠BAC＝，则BC的长为（　　）

A．8 B．7 C．10 D．6
（2021•荆门）8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点，若∠P＝70°，则∠ABO＝（　B　）

A．30° B．35° C．45° D．55°
（2021•福建）9. 如图，为的直径，点P在的延长线上，与相切，切点分别为C，D．若，则等于（ D ）


A. B. C. D.
（2021•南京）14．如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF＋∠CBG＋∠DCH＋∠EDI＋∠AEJ＝ ▲ °．

本题主要考查切线的性质，多边形内角和等知识，熟练掌握切线的性质和多边形内角和公式是解题的关键．
（2021•陕西）13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为　3+1　．

【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，
故答案为3+1．

11. （2021•泸州）如图，⊙O的直径AB=8，AM，BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点，BD，OC相交于点F，若CD=10，则BF的长是 A

A. B. C. D.
6．（2021 长春）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，若∠BAC＝35°，则∠ACB的大小为（　C　）

A．35° B．45° C．55° D．65°
6．（2021•泰安）如图，在△ABC中，AB＝6，以点A为圆心，3为半径的圆与边BC相切于点D，与AC，AB分别交于点E和点G，点F是优弧GE上一点，∠CDE＝18°，则∠GFE的度数是（　B　）

A．50° B．48° C．45° D．36°
14. （2021•宁波）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）

22．（2021•凉山州）如图，等边三角形ABC的边长为4，⊙C的半径为，P为AB边上一动点，过点P作⊙C的切线PQ，切点为Q，则PQ的最小值为　3　．

【解答】解：连接CP、CQ，作CH⊥AB于H，如图，
∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝CB＝4，∠BCH＝ACB＝60°＝30°，
∴BH＝AB＝2，CH＝BC＝×4＝2，
∵PQ为⊙C的切线，
∴CQ⊥PQ，
在Rt△CPQ中，PQ＝＝，
∵点P是AB边上一动点，
∴当点P运动到H点时，CP最小，
即CP的最小值为2，
∴PQ的最小值为＝3，
故答案为：3．

16．（2021 岳阳）（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交 AB、AC于点D、E，BE＝8，⊙O为△BCE的外接圆，过点E作⊙O的切线EF交AB于点F，则下列结论正确的是 　②④⑤　.（写出所有正确结论的序号）
①AE＝BC；
②∠AED＝∠CBD；
③若∠DBE＝40°，则的长为；
④＝；
⑤若EF＝6，则CE＝2.24．

（2021•杭州）13．（4分）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，T为切点，连结OT　　．

【分析】根据圆的切线性质可得出△OPT为直角三角形，再利用勾股定理求得PT长度．
【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，
∴OT⊥PT，
在Rt△OPT中，OT═1，
∴PT═══，
故：PT═．

（2021•陕西）13．如图，正方形ABCD的边长为4，⊙O的半径为1．若⊙O在正方形ABCD内平移（⊙O可以与该正方形的边相切），则点A到⊙O上的点的距离的最大值为　3+1　．

【分析】当⊙O与CB、CD相切时，点A到⊙O上的点Q的距离最大，如图，过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，根据切线的性质得到OE＝OF＝1，利用正方形的性质得到点O在AC上，然后计算出AQ的长即可．
【解答】解：当⊙O与CB、CD相切时，如图，
过O点作OE⊥BC于E，OF⊥CD于F，
∴OE＝OF＝1，
∴OC平分∠BCD，
∵四边形ABCD为正方形，
∴点O在AC上，
∵AC＝BC＝4，OC＝OE＝，
∴AQ＝OA+OQ＝4﹣+1＝3+1，
即点A到⊙O上的点的距离的最大值为3+1，
故答案为3+1．


切线长定理
（2021•北京）13．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点．若∠P＝50°，则∠AOB＝　130° 　．

（2021•荆州）13．如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，OD⊥AC于D，连接OC，过点D作DF∥OC交AB于F，过点B的切线交AC的延长线于E．若AD4，DF，则BE ．

18. （2021•常州）如图，在中，，D是上一点（点D与点A不重合）．若在的直角边上存在4个不同的点分别和点A、D成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是___＜AD＜2_____．


圆的综合
（2021•安徽）20. 如图，圆O中两条互相垂直的弦AB，CD交于点E．
（1）M是CD的中点，OM＝3，CD＝12，求圆O的半径长；
（2）点F在CD上，且CE＝EF，求证：．

【详解】（1）解：连接OC，
∵M是CD的中点，OM与圆O直径共线
∴，平分CD，


．
在中．



∴圆O的半径为
（2）证明：连接AC，延长AF交BD于G．
，

又




在中





（2021•北京）24．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，AD⊥BC于点E．
（1）求证：∠BAD＝∠CAD；
（2）连接BO并延长，交AC于点F，交⊙O于点G，连接GC．若⊙O的半径为5，OE＝3，求GC和OF的长．

（2021•北京）28．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′（B′，C′分别是B，C的对应点），则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是 　 　；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A（0，t），其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．

（2021•武威）26. 如图，内接于是的直径的延长线上一点，．过圆心作的平行线交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的半径及的值；
【详解】（1）证明：如图，
，
，
，
是的直径，
，
，
，即，
，
又是的半径，
是的切线．
（2）
，即，
∴设，则，


，解得，，
．即的半径为3，

，
在中，，
．

（2021•贵港）24．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，F是AD延长线上一点，连接CD，CF，且∠DCF＝∠CAD．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若cosB＝，AD＝2，求FD的长．

【解答】解：（1）连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
又∵OC＝OD，
∴∠ADC＝∠OCD，
又∵∠DCF＝∠CAD．
∴∠DCF+∠OCD＝90°，
即OC⊥FC，
∴FC是⊙O的切线；
（2）∵∠B＝∠ADC，cosB＝，
∴cos∠ADC＝，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC＝＝，AD＝2，
∴CD＝AD•cos∠ADC＝2×＝，
∴AC＝＝＝，
∴＝，
∵∠FCD＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCD∽△FAC，
∴＝＝＝，
设FD＝3x，则FC＝4x，AF＝3x+2，
又∵FC2＝FD•FA，
即（4x）2＝3x（3x+2），
解得x＝（取正值），
∴FD＝3x＝．

（2021•贺州）25. 如图，在中，，是上的一点，以为直径的与相切于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若，求的值．

【详解】（1）证明：连接，

∵是的切线，
∴，即 ，
又∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平分．
（2）∵是的直径，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
∴．
又∵，
∴，即．
（2021•来宾）26. 如图，已知，是的直径，，与的边，分别交于点，，连接并延长，与的延长线交于点，．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求的值；
（3）在（2）的条件下，若的平分线交于点，连接交于点，求的值．
【详解】（1）证明：如图，连接DF，

∵是的直径，
∴．
∴DF∥AE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥OC．
∴DF∥OC．
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵，
∴．
设，则．
由勾股定理得，
即，
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
∵，
∴．
（3）解：连接MN，并延长CO与AF，分别相交于点P，点Q，连接AQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，AB∥OC．
∴，
∵平分，
∴．
∴．
∴．
∵
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∴．
∵AB∥OC，
∴．
∴．
∵，
∴．
在Rt△APO中，由勾股定理得．
∴．
在Rt△APH中，由勾股定理得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2021•柳州）25. 如图，四边形中，，以A为圆心，为半径作圆，延长交于点F，延长交于点E，连结，交于点G．

（1）求证：为的切线；
（2）求的值；
（3）求线段的长．
【详解】（1）证明：∵，
∴
∵
∴是的切线
（2）过D作于H,
∵
∴
∴四边形为平行四边形


∴
在中，
∴,
∴,
∴
（3）过A作于点J,


∴
在中，
∴
∴
∴
∵
∵
∴
∴，
∴
中，
∴.
（2021•玉林）23．（8分）如图，⊙O与等边△ABC的边AC，AB分别交于点D，E，AE是直径，过点D作DF⊥BC于点F．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）连接EF，当EF是⊙O的切线时，求⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系．

【解答】（1）证明：连结OD，如图所示：

∵∠DAO＝60°，OD＝OA，
∴△DOA是等边三角形，
∴∠ODA＝∠C＝60°，
∴OD∥BC，
又∵∠DFC＝90°，
∴∠ODF＝90°，
∴OD⊥DF，
即DF是⊙O的切线；
（2）设半径为r，等边△ABC的边长为a，
由（1）可知：AD＝r，则CD＝a﹣r，BE＝a﹣2r
在Rt△CFD中，∠C＝60°，CD＝a﹣r，
∴CF＝，
∴BF＝a﹣，
又∵EF是⊙O的切线，
∴△FEB是直角三角形，且∠B＝60°，∠EFB＝30°，
∴BF＝2BE，
∴a﹣（a﹣r）＝2（a﹣2r），
解得：a＝3r，
即r＝，
∴⊙O的半径r与等边△ABC的边长a之间的数量关系为：r＝．
（2021•安顺）23.（本题满分12分）
如图，在中，为的直径，为的弦，点是的中点，过点作的垂线，交于点，交于点，分别连接，.

（1）与的数量关系是______；
（2）求证：；
（3）若，，求阴影部分图形的面积。
解：（1）；

（2）连接，
∵是的直径，是的中点，
∴，∴，
∵，垂足为点，∴，
∴，
∴，
∵点是的中点，∴，
∴，又∵，
∴，
∴；
（3）连接，，，
∵，垂足为点，∴，
∵，由（2）得，∴，
又∵，∴，
∵在中，，，
∴，∴，
∵，∴，
又∵，∴是等边三角形，
∴，
又∵，∴，
∴≌，
又∵，，
∴.
（2021•黔东南）23如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AB＝6，cos∠PAB＝，求PO的长．

【解答】（1）证明：连接OB，

∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，
∴∠PAO＝90°，
∵OA＝OB，AB⊥OP，
∴∠POA＝∠POB，
在△PAO和△PBO中，
，
∴△PAO≌△PBO（SAS），
∴∠PBO＝∠PAO＝90°，
即OB⊥PB，
∴PB是⊙O的切线；
（2）解：设OP与AB交于点D．

∵AB⊥OP，AB＝6，
∴DA＝DB＝3，∠PDA＝∠PDB＝90°，
∵，
∴PA＝5，
∴PD＝＝，
在Rt△APD和Rt△APO中，，，
∴，
∴PO＝．
（2021•铜仁）24．（12分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．

【解答】（1）证明：连接OE，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
即∠AEO+∠OEB＝90°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠BAE，
∵∠BEF＝∠CAE，
∴∠BEF＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠BAE＝∠AEO，
∴∠BEF＝∠AEO，
∴∠BEF+∠OEB＝90°，
∴∠OEF＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；
（2）解：如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，
∴OF＝x+10，
在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，
∴x2+202＝（x+10）2，
解得：x＝15，
∴⊙O的半径为15；

∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，
∴△EBF∽△AEF，
∴＝＝，
设BE＝a，则AE＝2a，
由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
即a2+（2a）2＝302，
解得：a＝6，
∴AD＝2a＝12，
∵∠CAE＝∠BAE，
∴，
∴OE⊥BC，
∵OE⊥EF，
∴BC∥EF，
∴，即，
∴AD＝9．
（2021•河北）24．（9分）如图，⊙O的半径为6，将该圆周12等分后得到表盘模型，其中整钟点为An（n为1～12的整数），过点A7作⊙O的切线交A1A11延长线于点P．
（1）通过计算比较直径和劣弧长度哪个更长；
（2）连接A7A11，则A7A11和PA1有什么特殊位置关系？请简要说明理由；
（3）求切线长PA7的值．

【解答】解：（1）由题意，∠A7OA11＝120°，
∴的长＝＝4π＞12，
∴比直径长．

（2）结论：PA1⊥A7A11．
理由：连接A1A7．
∵A1A7是⊙O的直径，
∴∠A7A11A1＝90°，
∴PA1⊥A7A11．

（3）∵PA7是⊙O的切线，
∴PA7⊥A1A7，
∴∠PA7A1＝90°，
∵∠PA1A7＝60°，A1A7＝12，
∴PA7＝A1A7•tan60°＝12．

（2021•大庆）27. 如图，已知是的直径．是的弦，弦垂直于点，交于点．过点作的切线交的延长线于点


（1）求证：；
（2）判断是否成立？若成立，请证明该结论；
（3）若为中点，，，求的长．
【详解】（1）如图：连接


为等腰三角形

，切⊙O于点






（2）结论成立；理由如下；
如图：连接EC，CD，并延长交⊙O于点，连接


为⊙O的直径

切⊙O于点









（3）如图：连接OD，OG，

中点






与点F





在中有




（2021•哈尔滨）26．已知⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，点N为AC的中点，连接ON并延长交⊙O于点E，连接BE，BE交AC于点D．
（1）如图1，求证：∠CDE+∠BAC＝135°；
（2）如图2，过点D作DG⊥BE，DG交AB于点F，交⊙O于点G，连接OG，OD，若DG＝BD，求证：OG∥AC；
（3）如图3，在（2）的条件下，连接AG，若DN＝，求AG的长．

（2021•齐齐哈尔）21. 如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AE和过点C的切线CD互相垂直，垂足为E，AE与⊙O相交于点F，连接AC．

（1）求证：AC平分；
（2）若，．求OB的长．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴AC平分；
（2）解：连接BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴，
∵，，，
∴，即，
∴，
在Rt△ACE中，
∴，
又∵，，即，
∴，
∴，
∴．

（2021•绥化）27. 如图，在中，，以为直径的与相交于点，垂足为．


（1）求证：是的切线；
（2）若弦垂直于，垂足为，求的半径；
（3）在（2）的条件下，当时，求线段的长．
【详解】（1）证明：
方法一：
连接
为直径


，
为中点
为中点



是半径
是的切线


方法二：
连接








．

是的半径
是的切线
方法三：
连接








是的半径
是的切线
（2）解：
方法一：
连接，


是直径




在中

即的半径为1


方法二：
连接
是的直径










为中点




即的半径为1


（3）作的平分线交于 连接


平分

即




设 则

解得：

是的直径











（2021•鄂州）22. 如图，在中，，为边上一点，以为圆心，长为半径的与边相切于点，交于点．

（1）求证：；
（2）连接，若，，求线段的长．
（2021•黄冈）21．（9分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC分别相切于点E，F，BO平分∠ABC
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若BE＝AC＝3，⊙O的半径是1，求图中阴影部分的面积．

【解答】（1）证明：
连接OE，OF，

∵BO是∠ABC的平分线，
∴OD═OE，OE是圆的一条半径，
∴AB是⊙O的切线，
故：AB是⊙O的切线．
（2）∵BC、AC与圆分别相切于点E，
∴OE⊥BC，OF⊥AC，
∴四边形OECF是正方形，
∴OE═OF═EC═FC═1，
∴BC═BE+EC═4，又AC═3，
∴S阴影═（S△ABC﹣S正方形OECF﹣优弧所对的S扇形EOF）
═×（）
═﹣．
故图中阴影部分的面积是：﹣．
（2021•天门）21. 如图，为直径，D为上一点，于点C，交于点E，与的延长线交于点F，平分．

（1）求证：是的切线；
（2）若，求和的长．
【详解】证明：（1）如图，连接，则，

，
平分，
，
，
，
，
，
又是的半径，
是的切线；
（2）如图，连接，过点作于点，

，
，
，
，
，
，
，
（角平分线的性质），
在和中，，
，
，
，
在中，，
，
由圆周角定理得：，即，
，
，
，
解得，
在中，，
，
在中，．
（2021•随州）21．（9分）如图，D是以AB为直径的⊙O上一点，过点D的切线DE交AB的延长线于点E，过点B作BC⊥DE交AD的延长线于点C，垂足为点F．
（1）求证：AB＝BC；
（2）若⊙O的直径AB为9，sinA＝．
①求线段BF的长；
②求线段BE的长．

【解答】解：（1）证明：连接OD，如图，

∵DE是⊙O的切线，
∴OD⊥DE．
∵BC⊥DE，
∴OD∥BC．
∴∠ODA＝∠C．
∵OA＝OD，
∴∠ODA＝∠A．
∴∠A＝∠C．
∴AB＝BC．
（2）①连接BD，则∠ADB＝90°，如图，

在Rt△ABD中，
∵sinA＝，AB＝9，
∴BD＝3．
∵OB＝OD，
∴∠ODB＝∠OBD．
∵∠OBD+∠A＝∠FDB+∠ODB＝90°，
∴∠A＝∠FDB．
∴sin∠A＝sin∠FDB．
在Rt△BDF中，
∵sin∠BDF＝＝，
∴BF＝1．
②由（1）知：OD∥BF，
∴△EBF∽△EOD．
∴．
即：．
解得：BE＝．
（2021•襄阳）22．（8分）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线BO与⊙O交于点F和点D，OA与⊙O交于点E，与DC交于点G，OA＝OB，CA＝CB．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若FC∥OA，CD＝6，求图中阴影部分面积．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OB，CA＝CB，
∴OC⊥AB，
∵OC是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：∵OF是⊙O的直径，
∴∠DCF＝90°，
∵FC∥OA，
∴∠DGO＝∠DCF＝90°，
∴DG⊥CD，
∴DG＝CD＝×6＝3，
∵OD＝OC，
∴∠DOG＝∠COG，
∵OA＝OB，AC＝CB，
∴∠AOC＝∠BOC，
∴∠DOE＝∠AOC＝∠BOC＝×180°＝60°，
在Rt△ODG中，
∵sin∠DOG＝，cos∠ODG＝，
∴OD＝＝＝2，
OG＝OD•cos∠DOG＝2×＝，
∴S阴影＝S扇形ODE﹣S△DOG＝﹣××3＝2π﹣．

（2021•恩施）23．（10分）如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，⊙O与AB相交于点C，与AO相交于点E，连接CE，已知∠AOC＝2∠ACE．
（1）求证：AB为⊙O的切线；
（2）若AO＝20，BO＝15，求CE的长．

【解答】（1）证明：∵OC＝OE，
∴∠OCE＝∠OEC，
∵∠AOC＝2∠ACE，
∴∠OCA＝∠OCE+∠ACE＝（∠OCE+∠OEC+∠AOC）＝＝90°，
∴OC⊥AB，
∴AB为⊙O的切线；
（2）解：作EH⊥AC于H，
∵AO＝20，BO＝15，
∴AB＝＝＝25，
∵，
即，
∴OC＝12，
∴AE＝OA﹣OE＝20﹣12＝8，
∵EH⊥AC，OC⊥AC，
∴EH∥OC，
∴△AEH∽△AOC，
∴＝，
即＝，
∴EH＝，
∵BC＝＝＝9，
∴AC＝AB﹣BC＝25﹣9＝16，
∵AH＝＝＝，
∴CH＝AC﹣AH＝16﹣＝，
∴CE＝＝＝．

（2021•黄石）24．（10分）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B是切点，AC是⊙O的直径，连接OP，交⊙O于点D，交AB于点E．
（1）求证：BC∥OP；
（2）若E恰好是OD的中点，且四边形OAPB的面积是16，求阴影部分的面积；
（3）若sin∠BAC＝，且AD＝2，求切线PA的长．

【解答】（1）证明：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，
∵OA＝OB，
∴OP⊥AB，
∵AC是直径，
∴∠ABC＝90°，
∴BC⊥AB，
∴BC∥OP.

（2）解：∵OE＝DE，AB⊥OD，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AD＝OA＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD＝60°，
设OE＝m，则AE＝BE＝m，OA＝2m，OP＝4m，
∵四边形OAPB的面积是16，
∴•OP•AB＝16，
∴×4m×2m＝16，
∴m＝2或﹣2（舍弃），
∴OE＝2，AB＝4，OA＝2m＝4，
∵OD⊥AB，
∴＝，
∴∠AOD＝∠BOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣×4×2＝﹣4．

（3）解：在Rt△AOE中，sin∠CAB＝＝，
∴可以假设OE＝x，则OA＝OD＝3x，DE＝2x，AE＝＝＝2x，
在Rt△ADE中，AD2＝AE2+DE2，
∴（2）2＝（2x）2+（2x）2，
∴x＝1或﹣1（舍弃），
∴OE＝1，OA＝3，AE＝2，
∵PA是切线，
∴PA⊥OA，
∴∠OAP＝90°，
∴∠CAB+∠BAD＝90°，∠APO+∠PAE＝90°，
∴∠CAB＝∠APO，
∴sin∠APE＝sin∠CAB＝＝，
∴PA＝3AE＝6．

（2021•荆门）22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点E在BC边上，过A，C，E三点的⊙O交AB边于另一点F，且F是的中点，AD是⊙O的一条直径，连接DE并延长交AB边于M点．
（1）求证：四边形CDMF为平行四边形；
（2）当CD＝AB时，求sin∠ACF的值．

【解答】（1）证明：连接DF、EF，
∵∠BAC＝90°，
∴FC是⊙O的直径，
∵F是的中点，
∴＝，
∴∠ADF＝∠EDF，
∵OF＝OD，
∴∠ADF＝∠OFD，
∴∠OFD＝∠EDF，
∴FC∥DM，
∵OA＝OD，OF＝OC，∠BAC＝90°，
∴四边形AFDC为矩形，
∴AF∥CD，
∴四边形CDMF为平行四边形；
（2）解：∵四边形AFDC为矩形，四边形CDMF为平行四边形，
∴CD＝AF＝FM＝EF，
∵CD＝AB，
∴CD＝（2CD+BM），
∴CD＝2BM，
∵BM∥CD，
∴△BEM∽△CED，
∴＝＝，
∴EC＝2BE，
设BM＝a，则CD＝2a，BF＝3a，EF＝2a，
在Rt△BEF中，BE＝＝a，
∴EC＝2a，
在Rt△CEF中，FC＝＝2a，
在Rt△FAC中，sin∠ACF＝＝＝．

（2021•十堰）22. 如图，已知是的直径，C为上一点，的角平分线交于点D，F在直线上，且，垂足为E，连接、．

（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为3，求的长．
【详解】解：（1）连接OD，
，
∵，
∴，
∵CD平分，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴是的切线；
（2）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，解得，，
∵，，
∴，
∴，解得．
（2021•宜昌）21．（8分）如图，在菱形ABCD中，O是对角线BD上一点（BO＞DO），OE⊥AB，垂足为E，以OE为半径的⊙O分别交DC于点H，交EO的延长线于点F，EF与DC交于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若G是OF的中点，OG＝2，DG＝1．
①求的长；
②求AD的长．

【解答】解：（1）证明：如图1，过点O作OM⊥BC于点M，
∵BD是菱形ABCD的对角线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵OM⊥BC，OE⊥AB，
∴OE＝OM，
∴BC是⊙O的切线．

（2）①如图2，

∵G是OF的中点，OF＝OH，
∴OG＝OH，
∵AB∥CD，OE⊥AB，
∴OF⊥CD，
∴∠OGH＝90°，
∴sin∠GHO＝，
∴∠GHO＝30°，
∴∠GOH＝60°，
∴∠HOE＝120°，
∵OG＝2，
∴OH＝4，
∴由弧长公式得到的长：＝．
②如图3，过A作AN⊥BD于点N，
∵DG＝1，OG＝2，OE＝OH＝4，
∴OD＝，OB＝2，DN＝，
∴△DOG∽△DAN，
∴，
∴，
∴AD＝．

（2021•武汉）21．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点的中点，过点C作AD的垂线
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若＝，求cos∠ABD的值．

【解答】（1）证明：连接OC交BD于点G，
∵点C是的中点，
∴由圆的对称性得OC垂直平分BD，
∴∠DGC＝90°,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°,
∴∠EDB＝90°,
∵CE⊥AE，
∴∠E＝90°,
∴四边形EDGC是矩形，
∴∠ECG＝90°，
∴CE⊥OC,
∴CE是⊙O的切线；
（2）解：连接BC，设FG＝x，
∵＝，
设DF＝t,DC＝t,
由（1）得，BC＝CD＝t,
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°,
∴∠BCG+∠FCG＝90°,
∵∠DGC＝90°,
∴∠CFB+∠FCG＝90°,
∴∠BCG＝∠CFB,
∴Rt△BCG∽Rt△BFC,
∴BC2＝BG•BF,
∴（t）7＝（x+t）（x+2t）
解得x1＝t,x3＝﹣t（不符合题意，
∴CG＝＝＝t,
∴OG＝r﹣t,
在Rt△OBG中，由勾股定理得OG2+BG4＝OB2,
∴（r﹣t）2+（2r）2＝r7,
解得r＝t,
∴cos∠ABD＝＝＝．

（2021•常德）24. 如图，在中，，以的中点O为圆心，为直径的圆交于D，E是的中点，交的延长线于F．

（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，，求的长．
【详解】解：证明：连接OD，如图：

∵AB为直径，
∴，
∵点E是BC的中点，
∴ED=EB，
∴，
∵，
∴，
∵OA=OD，
∴
∵，，
∴，
∴
∴是圆O的切线．
（2）∵E是BC中点，BC=4,
∴BE=2，
∴，
在和中，，，
∴，
∴设OD为x，
则，
解得：,
则．
（2021•河南）20. (9分）在古代，智慧的劳动人民己经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”， 推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.
小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆” AP，BP的连接点P在⨀O上，当点P在⨀O上转动时，带动点A,B分别在射线0M，0N上滑动，0M丄0N.当AP与⨀O相切 时，点B恰好落在⨀O上，如图2.
请仅就图2的情形解答下列问题.
(1)求证：∠PAO=2∠PBO;
⑵若⨀O的半径为5,AP=203，求BP的长.
（2021•深圳）19．（8分）如图，为的弦，D，C为的三等分点，．

（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【解答】（1）连接，∵A、D、C、B四点共圆
∴
又
∴
又
∴
∴，又
∴四边形为平行四边形
∴
（2）∵，∴
又∵，∴
又∵，即
∴，∴．
（2021•毕节）24.如图，是的外接圆，点E是的内心，AE的延长线交BC于点F，交于点D，连接BD，BE.
（1）求证：；
（2）若，，求DB的长，

（2021•青海）23.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．
（1）求证：△BGD∽△DMA；
（2）求证：直线MN是⊙O的切线．

【解答】证明：（1）∵MN⊥AC，BG⊥MN，
∴∠BGD=∠DMA=90°，
∵以AB为直径的⊙O交BC于点D，
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°，
∴∠ADM+∠CDM=90°，
∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，
∴∠DBG=∠ADM，
∴△BGD∽△DMA；
（2）连接OD．
∴BO=OA，BD=DC，
∵OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
又∵MN⊥AC，
∴OD⊥MN，
∴直线MN是⊙O的切线．
（2021•台州）24. 如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．


（1）如图2，若点A是劣弧的中点．
①求证：平行四边形ABCD是菱形；
②求平行四边形ABCD的面积．
（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．
①求AB的长；
②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．
【详解】解：（1）①∵点A是劣弧的中点，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴平行四边形ABCD是菱形；
②连接AO，交BD于点E，连接OD，
，
∵点A是劣弧的中点，OA为半径，
∴，OA平分BD，
∴，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴E为两对角线的交点，
在中，,
∴，
∴；
（2）①如图，当CD与相切时，连接DO并延长，交AB于点F，


∵CD与相切，
∴，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
在中，，
在中，，
∴，解得，
∴，
∴；
如图，当BC与相切时，连接BO并延长，交AD于点G，


同理可得，，
所以,
综上所述，AB的长为或；
②过点A作，
，
由（2）得：
根据等面积法可得，
解得，
在在中，，
∴，
∴．
（2021•维吾尔）22．（11分）如图，AC是⊙O的直径，BC，BD是⊙O的弦，M为BC的中点，OM与BD交于点F，过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，且CD平分∠ACE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：∠CDE＝∠DBE；
（3）若DE＝6，tan∠CDE＝，求BF的长．

【解答】（1）证明：连接OD，如图：

∵CD平分∠ACE，
∴∠OCD＝∠DCE，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：连接AB，如图：

∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，即∠ABD+∠DBC＝90°，
∵＝，
∴∠ABD＝∠ACD，
∵∠ACD＝∠ODC，
∴∠ABD＝∠ODC，
∴∠ODC+∠DBC＝90°，
∵∠ODC+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠DBC，即∠CDE＝∠DBE；
（3）解：Rt△CDE中，DE＝6，tan∠CDE＝，
∴＝，
∴CE＝4，
由（2）知∠CDE＝∠DBE，
Rt△BDE中，DE＝6，tan∠DBE＝，
∴＝，
∴BE＝9，
∴BC＝BE﹣CE＝5，
∵M为BC的中点，
∴OM⊥BC，BM＝BC＝，
Rt△BFM中，BM＝，tan∠DBE＝，
∴＝，
∴FM＝，
∴BF＝＝．
（2021•连云港）24. 如图，中，，以点C为圆心，为半径作，D为上一点，连接、，，平分．
（1）求证：是的切线；
（2）延长、相交于点E，若，求的值．

【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）利用SAS证明，可得，即可得证；
（2）由已知条件可得，可得出，进而得出即可求得；
【详解】（1）∵平分，
∴．
∵，，
∴．
∴．
∴，
∴是的切线．
（2）由（1）可知，，
又，
∴．
∵，且，
∴，
∴．
∵，
∴．
∵
∴
（2021•南京）27．(9分)在几何体表面上，蚂蚁怎样爬行路径最短?
(1)如图①，圆锥的母线长为12cm，B为母线OC的中点，点A在底面圆周上，的长为4πcm．在图②所示的圆锥的侧面展开图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径，并标出它的长(结果保留根号)．

① ②
(2)图③中的几何体由底面半径相同的圆锥和圆柱组成．O是圆锥的顶点，点A在圆柱的底面圆周上．设圆锥的母线长为l，圆柱的高为h．
①蚂蚁从点A爬行到点O的最短路径的长为 (用含l，h的代数式表示)．
②设的长为a，点B在母线OC上，OB＝b．圆柱的侧面展开图如图④所示，在图中画出蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径的示意图，并写出求最短路径的长的思路．

（2021•无锡）25．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，AC与BD交于点E，PB切⊙O于点B．
（1）求证：∠PBA＝∠OBC；
（2）若∠PBA＝20°，∠ACD＝40°，求证：△OAB∽△CDE．

【分析】（1）根据圆周角定理和切线的性质证得∠ACB+∠BAC＝∠PBC+∠ABO＝90°，结合等腰三角形的性质即可证得结论；
（2）由三角形外角的性质求出∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝40°，得到AOB＝∠ACD，由圆周角的性质得到∠CDE＝∠BAO，根据相似三角形的判定即可证得△OAB∽△CDE．
【解答】证明：（1）∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB+∠BAC＝90°，
∵PB切⊙O于点B，
∴∠PBA+∠ABO＝90°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠BAO＝∠ABO，∠OBC＝∠ACB，
∴∠OBC+∠ABO＝∠PBC+∠ABO＝90°，
∴∠PBA＝∠OBC；
（2）由（1）知，∠PBA＝∠OBC＝∠ACB，
∵∠PBA＝20°，
∴∠OBC＝∠ACB＝20°，
∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝20°+20°＝40°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠AOB＝∠ACD，
∵＝，
∴∠CDE＝∠CDB＝∠BAC＝∠BAO，
∴△OAB∽△CDE．


（2021•盐城）24．（10分）如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足PC2＝PA•PB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB＝3PA，求的值．

【分析】（1）由PC2＝PA•PB得，可证得△PAC∽△PCB，根据相似三角形的性质得∠PCA＝∠B，根据圆周角定理得∠ACB＝90°，则∠CAB+∠B＝90°，由OA＝OB得∠CAB＝∠OCA，等量代换可得∠PCA+∠OCA＝90°，即OC⊥PC，即可得出结论；
（2）由AB＝3PA可得PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，根据勾股定理求出PC＝2PA，根据相似三角形的性质即可得出的值．
【解答】（1）证明：连接OC，

∵PC2＝PA•PB，
∴，
∵∠P＝∠P，
∴△PAC∽△PCB，
∴∠PCA＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAB+∠B＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠CAB＝∠OCA，
∴∠PCA+∠OCA＝90°，
∴OC⊥PC，
∴PC是⊙O的切线；
（2）解：∵AB＝3PA，
∴PB＝4PA，OA＝OC＝1.5PA，PO＝2.5PA，
∵OC⊥PC，
∴PC＝＝2PA，
∵△PAC∽△PCB，
∴＝＝＝．

（2021•本溪）24．（12分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，延长CA到点D，以AD为直径作⊙O，交BA的延长线于点E，延长BC到点F，使BF＝EF．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若OC＝9，AC＝4，AE＝8，求BF的长．

【分析】（1）连接OE，求出OE∥BF推出∠AEO＝90°，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE，根据已知条件求出⊙O的直径AD＝10，在Rt△ADE中，求出DE＝6，cos∠DAE＝，在Rt△ABC中，求出cos∠BAC＝，根据∠BAC＝∠DAE，求出AB＝5，进而得到BE＝13，根据相似三角形的判定证得△FBE∽△ODE，根据相似三角形的性质即可求出BF．
【解答】证明（1）连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠OEA＝∠OAE，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠BAC+∠B＝90°，
∵BF＝EF，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠OAE＝∠BAC，
∴∠OEA＝∠BAC，
∴∠OEF＝∠OEA+∠BEF＝∠BAC+∠B＝90°，
∴OE⊥EF，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线；

（2）解：连接DE，
∵OC＝9，AC＝4，
∴OA＝OC﹣AC＝5，
∵AD＝2OA，
∴AD＝10，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠AED＝90°，
在Rt△ADE中，
∵DE＝＝＝6，
∴cos∠DAE＝＝＝，
在Rt△ABC中，cos∠BAC＝＝，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴＝，
∴AB＝5，
∴BE＝AB+AE＝5+8＝13，
∵OD＝OE，
∴∠ODE＝∠OED，
∵EF是⊙O的切线，
∴∠FEO＝90°，
∵∠OED+∠OEA＝90°，∠FEB+∠OEA＝90°，
∴∠FEB＝∠OED，
∴∠B＝∠FEB＝∠OED＝∠ODE，
∴△FBE∽△ODE，
∴＝，
∴＝，
∴BF＝．


（2021•营口）22．（12分）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．
（1）求证：AF＝AE；
（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．

【分析】（1）利用AB是⊙O直径，AF是⊙O的切线，得到∠DAF＝∠ABF，利用＝得到∠ABF＝∠CAD，进而证得∠F＝∠AEF，根据等角对等边即可证得AF＝AE；
（2）利用勾股定理求得AC，利用△BCE∽△BAF得到＝，求得CE＝AF＝AE，根据AE+CE＝AC即可求得AF．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ADB＝∠ADF＝90°，
∴∠F+∠DAF＝90°，
∵AF是⊙O的切线，
∴∠FAB＝90°，
∴∠F+∠ABF＝90°，
∴∠DAF＝∠ABF，
∵＝，
∴∠ABF＝∠CAD，
∴∠DAF＝∠CAD，
∴∠F＝∠AEF，
∴AF＝AE；
（2）解：∵AB是⊙O直径，
∴∠C＝90°，
∵AB＝8，BC＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，
∴△BCE∽△BAF，
∴＝，即＝，
∴CE＝AF，
∵AF＝AE，
∴CE＝AE，
∵AE+CE＝AC＝2，
∴AE＝，
∴AF＝AE＝．


（2021•呼和浩特）23．（10分）已知AB是⊙O的任意一条直径．
（1）用图1，求证：⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；
（2）已知⊙O的面积为4π，直线CD与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥CD，垂足为D，如图2．
求证：①BC2＝2BD；
②改变图2中切点C的位置，使得线段OD⊥BC时，OD＝2．

【分析】（1）过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，由垂径定理得出△OPP'是等腰三角形，由轴对称的性质可得出结论；
（2）①求出AB＝4，证明△ACB∽△CDB，由相似三角形的性质得出，则可得出结论；
②证明四边形BOCD是边长为2的正方形，由正方形的性质可得出结论．
【解答】（1）证明：如图，设P是⊙O上点A，B以外任意一点，
过点P作PP′⊥AB，交⊙O于点P′，垂足为M，
若M与圆心O不重合，
连接OP，OP′，
在△OPP'中，
∵OP＝OP′，
∴△OPP'是等腰三角形，
又PP′⊥AB，
∴PM＝MP′，
则AB是PP'的垂直平分线，
若M与圆心O重合，显然AB是PP'的垂直平分线，
这就是说，对于圆上任意一点P，在圆上都有关于直线AB的对称点P'，因此⊙O是以直径AB所在直线为对称轴的轴对称图形；

（2）①证明：设⊙O半径为r，
由πr2＝4π可得r＝2，
∴AB＝4，
连接AC，则∠BCA＝90°，

∵C是切点，连接OC，
∴OC⊥CD，
∵BD⊥CD，
∴OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
而∠OCB＝∠OBC，
∴∠DBE＝∠OBC，
又∵∠BCA＝∠BDC＝90°，
∴△ACB∽△CDB，
∴，
∴BC2＝AB•BD＝4BD，
∴；
②证明：由①证明可知∠CBD＝∠OBC，与切点C的位置无关，

又OD⊥BC，
∴BD＝OB，
又∵△OCB是等腰三角形，
∴BC与OD互相垂直平分，
又∠BDC＝90°，
∴四边形BOCD是边长为2的正方形，
∴．

（2021•东营）21．（8分）如图，以等边三角形ABC的BC边为直径画圆，交AC于点D，DF⊥AB于点F，连接OF，且AF＝1．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）求线段OF的长度．

【分析】（1）连接OD，根据等边三角形及圆性质求出OD∥AB，再由DF⊥AB，推出求出OD⊥DF，根据切线的判定推出即可；
（2）由∠A＝60o，OD⊥DF，AF＝1可求得AD，AF，AB的长度，再根据中位线性质求出OD的长度，根据勾股定理即可求得OF的长．
【解答】（1）证明：连接OD，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠A＝60o，
∵OC＝OD，
∴△OCD是等边三角形，
∴∠CDO＝∠A＝60o，
∴OD∥AB，
∵DF⊥AB，
∴∠FDO＝∠AFD＝90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：∵OD∥AB，OC＝OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∵∠AFD＝90°，∠A＝60o，
∴∠ADF＝30°，
∵AF＝1
∴CD＝OD＝AD＝2AF＝2，
由勾股定理得：DF2＝3，
在Rt△ODF中，OF＝，
∴线段OF的长为．

（2021•菏泽）22．（10分）如图，在⊙O中，AB是直径，弦CD⊥AB，垂足为H，E为上一点，F为弦DC延长线上一点，连接FE并延长交直径AB的延长线于点G，连接AE交CD于点P，若FE＝FP．
（1）求证：FE是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为8，sinF＝，求BG的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠A＝∠AEO，∠FPE＝∠FEP，由余角的性质可求∠FEP+∠AEO＝90°，可得结论；
（2）由余角的性质可求∠F＝∠EOG，由锐角三角函数可设EG＝3x，OG＝5x，在Rt△OEG中，利用勾股定理可求x＝2，即可求解．
【解答】解：（1）如图，连接OE，

∵OA＝OE，
∴∠A＝∠AEO，
∵CD⊥AB，
∴∠AHP＝90°，
∵FE＝FP，
∴∠FPE＝∠FEP，
∵∠A+∠APH＝∠A+∠FPE＝90°，
∴∠FEP+∠AEO＝90°＝∠FEO，
∴OE⊥EF，
∴FE是⊙O的切线；
（2）∵∠FHG＝∠OEG＝90°，
∴∠G+∠EOG＝90°＝∠G+∠F，
∴∠F＝∠EOG，
∴sinF＝sin∠EOG＝＝，
设EG＝3x，OG＝5x，
∴OE＝＝＝4x，
∵OE＝8，
∴x＝2，
∴OG＝10，
∴BG＝10﹣8＝2．

（2021•济宁）19．（8分）如图，点C在以AB为直径的⊙O上，点D是BC的中点，连接OD并延长交⊙O于点E，作∠EBP＝∠EBC，BP交OE的延长线于点P．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）若AC＝2，PD＝6，求⊙O的半径．

【分析】（1）由AB为直径，可得∠ACB＝90°，又D为BC中点，O为AB中点，可得OD∥AC，从而∠ODB＝90°．由OB＝OE得∠OEB＝∠OBE，又∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，所以∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，又∠EBP＝∠EBC，得∠P＝∠OBD．又∠BOD+∠OBD＝90°，从而可得∠BOD+∠P＝90°，即∠OBP＝90°．则可证PB为⊙O切线；
（2）由（1）可得OD＝1，从而PO＝7，可证明△BDP～△OBP，从而得比例，解得BP＝，最后由勾股定理可求半径OB．
【解答】解：（1）证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°，
又D为BC中点，O为AB中点，
故OD＝，OD∥AC，
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∵OB＝OE，
∴∠OEB＝∠OBE，
又∵∠OEB＝∠P+∠EBP，∠OBE＝∠OBD+∠EBC，
∴∠P+∠EBP＝∠OBD+∠EBC，
又∠EBP＝∠EBC，
∴∠P＝∠OBD．
∵∠BOD+∠OBD＝90°，
∴∠BOD+∠P＝90°，
∴∠OBP＝90°．
又OB为半径，
故PB是⊙O的切线．
（2）∵AC＝2，
由（1）得OD＝＝1，
又PD＝6，
∴PO＝PD+OD＝6+1＝7．
∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，
∴△BDP～△OBP．
∴，即BP2＝OP•DP＝7×6＝42，
∴BP＝．
∴OB＝＝＝．
故⊙O的半径为．


（2021•聊城）24. 如图，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，AE是直径，交BC于点H，点D在上，连接AD，CD过点E作EF∥BC交AD的延长线于点F，延长BC交AF于点G．
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，AH＝CG＝3，求EF和CD的长．


【答案】（1）见解析；（2），
【解析】
【分析】（1）因为AE是直径，所以只需证明EFAE即可；
（2）因EF∥BG，可利用，将要求的EF的长与已知量建立等量关系；因四边形ABCD是圆内接四边形，可证得，由此建立CD与已知量之间的等量关系．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，
．
又∵AE是O的直径，
．
．
∵AB=AC，
∴AEBC．
∴∠AHC=90°．
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AHC=90°．
∴EFAE．
∴EF是O切线．
（2）如图所示，连接OC，设O半径为r．







在Rt△COH中，
∵，
又∵OH=AH-OA=3-r，

解得，．

∵EF∥BC，
∴．



∵四边形ABCD内接于，










（2021•枣庄）23．（8分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，点O在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD，过点D作⊙O的切线与AC的延长线交于点P．
（1）求证：DP∥BC；
（2）求证：△ABD∽△DCP；
（3）当AB＝5cm，AC＝12cm时，求线段PC的长．

【分析】（1）连接OD，由∠BAC是直径所对的圆周角，可知∠BAC＝90°，再由AD是∠BAC的平分线，可得∠BAD＝45°，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得∠BOD＝90°，再由切线DP⊥OD，可证DP∥BC；
（2）由（1）DP∥BC，得∠ACB＝∠P，再由同弧所对圆周角相等，得∠ACB＝∠ADB，进而得到∠P＝∠ADB，又由∠ODC＝45°，∠CDP＝45°，即可证明△ABD∽△DCP；
（3）由已知可求BC＝13cm，在Rt△COD中，CD＝，在Rt△BOD中，BD＝，再由△ABD∽△DCP，可得＝，即可求CP＝．
【解答】解：（1）连接OD，
∵DP是⊙O的切线，
∴DO⊥DP，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴＝，
∵BC是圆的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝45°，
∴∠BOD＝90°，
∴OD⊥BC，
∴DP∥BC；
（2）∵DP∥BC，
∴∠ACB＝∠P，
∵＝，
∴∠ACB＝∠ADB，
∴∠P＝∠ADB，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴△ABD∽△DCP；
（3）∵AB＝5cm，AC＝12cm，∠BAC＝90°，
∴BC＝13cm，
在Rt△COD中，CD＝，
在Rt△BOD中，BD＝，
∵△ABD∽△DCP，
∴＝，
∴＝，
∴CP＝．

（2021•陕西）24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点E、F在⊙O上，且，连接OE、AF，过点B作⊙O的切线
（1）求证：∠COB＝∠A；
（2）若AB＝6，CB＝4，求线段FD的长．

【分析】（1）取的中点M，连接OM、OF，利用圆心角定理得到∠COB＝∠BOF，利用圆周角定理得到∠A＝∠COF，从而得到结论；
（2）连接BF，如图，先根据切线的性质得到∠OBC＝∠ABD＝90°，则可判断△OBC∽△ABD，利用相似比求出BD＝8，则利用勾股定理可计算出AD＝10，接着利用圆周角定理得∠AFB＝90°，则可判断Rt△DBF∽Rt△DAB，然后利用相似比可计算出DF的长．
【解答】（1）证明：取的中点M、OF，
∵＝2，
∴＝＝，
∴∠COB＝∠BOF，
∵∠A＝∠COF，
∴∠COB＝∠A；
（2）解：连接BF，如图，
∵CD为⊙O的切线，
∴AB⊥CD，
∴∠OBC＝∠ABD＝90°，
∵∠COB＝∠A，
∴△OBC∽△ABD，
∴＝，即＝，解得BD＝2，
在Rt△ABD中，AD＝＝，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AFB＝90°，
∵∠BDF＝∠ADB，
∴Rt△DBF∽Rt△DAB，
∴＝，即＝，解得DF＝．

（2021•上海）23. 已知：在圆 O 内，弦 AD 与弦 BC 交于点 G，AD=CB，M、N 分别是 CB 和 AD 的中点，联结 MN、OG.
（1） 求证： OG ^ MN ；
（2） 联结 AC、AM、CN，当 CN//OG 时，求证：四边形 ACNM 为矩形.

（2021•成都）20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，BC，D为AB延长线上一点，连接CD，且∠BCD＝∠A．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为，△ABC的面积为2，求CD的长；
（3）在（2）的条件下，E为⊙O上一点，连接CE交线段OA于点F，若＝，求BF的长．

【分析】（1）连接OC,由AB为⊙O的直径，可得∠A+∠ABC＝90°，再证明∠ABC＝∠BCO,结合已知∠BCD＝∠A，可得∠ACB＝90°，从而证明CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,由△ABC的面积为2,可得CM＝2，由∠BCM＝∠A得＝，可解得BM＝﹣1，根据△BCM≌△BCN，可得CN＝CM＝2，再由△DBN∽△DCM,得＝＝即＝＝，解DN＝2﹣2，故CD＝DN+CN＝2;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,由CM⊥AB，EH⊥AB，可得＝＝,而＝，故HE＝1，MF＝2HF,Rt△OEH中，OH＝2，可得AH＝OA﹣OH＝﹣2，设HF＝x,则MF＝2x,则(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,可解得HF＝1,MF＝2,从而BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1．
【解答】（1）证明：连接OC,如图：

∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠A+∠ABC＝90°，
∵OB＝OC,
∴∠ABC＝∠BCO,
又∠BCD＝∠A，
∴∠BCD+∠BCO＝90°，即∠ACB＝90°，
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CM⊥AB于M,过B作BN⊥CD于N,如图：

∵⊙O的半径为，
∴AB＝2，
∵△ABC的面积为2,
∴AB•CM＝2，即×2•CM＝2，
∴CM＝2，
Rt△BCM中，∠BCM＝90°﹣∠CBA,
Rt△ABC中，∠A＝90°﹣∠CBA,
∴∠BCM＝∠A,
∴tan∠BCM＝tanA,即＝,
∴＝,
解得BM＝﹣1，(BM＝+1已舍去），
∵∠BCD＝∠A,∠BCM＝∠A,
∴∠BCD＝∠BCM,
而∠BMC＝∠BNC＝90°，BC＝BC,
∴△BCM≌△BCN(AAS),
∴CN＝CM＝2，BN＝BM＝﹣1，
∵∠DNB＝∠DMC＝90°,∠D＝∠D,
∴△DBN∽△DCM,
∴＝＝,
即＝＝，
解得DN＝2﹣2，
∴CD＝DN+CN＝2;
（3）过C作CM⊥AB于M,过E作EH⊥AB于H,连接OE,如图：

∵CM⊥AB，EH⊥AB，
∴＝＝,
∵＝，
∴＝＝，
由（2）知CM＝2，BM＝﹣1，
∴HE＝1，MF＝2HF,
Rt△OEH中，OH＝＝＝2，
∴AH＝OA﹣OH＝﹣2，
设HF＝x,则MF＝2x,
由AB＝2可得：BM+MF+HF+AH＝2，
∴(﹣1)+2x+x+(﹣2)＝2,
解得：x＝1,
∴HF＝1,MF＝2,
∴BF＝BM+MF＝(﹣1)+2＝+1．
（2021•达州）23．（8分）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点（C不与点A，B重合）连接AC，BC，过点C作CD⊥AB，垂足为点D．将△ACD沿AC翻折，点D落在点E处得△ACE，AE交⊙O于点F．
（1）求证：CE是⊙O的切线；
（2）若∠BAC＝15°，OA＝2，求阴影部分面积．

【解答】（1）证明：连接OC，
∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵△ACD沿AC翻折得到△ACE，
∴∠EAC＝∠BAC，∠E＝∠ADC＝90°，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠BAC，
∴∠ACO＝∠EAC，
∴OC∥AE，
∴∠AEC+∠ECO＝180°，
∴∠ECO＝90°，即OC⊥CE，
∴CE是⊙O的切线；
（2）连解：接OF，过点O作OG⊥AE于点G，
∵∠BAC＝15°，
∴∠BAE＝2∠OAC＝30°，
∵OA＝2，
∴OG＝OA＝1，AG＝，
∵OA＝OF，
∴AF＝2AG＝2，
∵∠BOC＝2∠BAC＝30°，CD⊥AB，OC＝OA＝2，
∴CD＝OC＝1，OD＝，
∴AE＝AD＝AO+OD＝2+，
∴EF＝AE﹣AF＝2﹣，CE＝CD＝1，
∴S阴影＝S梯形OCEF﹣S扇形OCF
＝×（2﹣+2）×1﹣×π×22
＝2﹣﹣π．


（2021•宜宾）24．如图1，D为⊙O上一点，点C在直径BA的延长线上，且∠CDA＝∠CBD．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若tan∠ADC＝，AC＝2，求⊙O的半径；
（3）如图2，在（2）的条件下，∠ADB的平分线DE交⊙O于点E，交AB于点F，连结BE．求sin∠DBE的值．

（2021•资阳）21．（11分）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE⊥AC交BA的延长线于点E，交AC于点F．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AC＝6，tanE＝，求AF的长．

【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠ABC＝∠ACB＝∠OBD＝∠ODB，可证OD∥AC，可得OD⊥DE，可得结论；
（2）由锐角三角函数可求DE＝4，在直角三角形ODE中，由勾股定理可求OE＝5，通过证明△AEF∽△OED，可得，即可求解．
【解答】证明：（1）如图，连接OD，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠ACB，
∴AC∥OD，
∴∠DFC＝∠ODF，
∵DE⊥AC，
∴∠DFC＝∠ODF＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）∵AC＝6＝AB，
∴AO＝OB＝3＝OD，
∵OD⊥DE，tanE＝，
∴＝，
∴DE＝4，
∴OE＝＝＝5，
∴AE＝OE﹣OA＝2，
∵AC∥OD，
∴△AEF∽△OED，
∴，
∴，
∴AF＝．

（2021•自贡）25．（12分）如图，点D在以AB为直径的⊙O上，过D作⊙O的切线交AB延长线于点C，AE⊥CD于点E，交⊙O于点F，连接AD，FD．
（1）求证：∠DAE＝∠DAC；
（2）求证：DF•AC＝AD•DC；
（3）若sin∠C＝，AD＝4，求EF的长．

【分析】（1）连接OD，证明AE∥OD，推出∠EAD＝∠ADO，再证明∠ADO＝∠OAD即可解决问题．
（2）如图，连接BF．证明△DAF∽△CAD，可得结论．
（3）过点D作DH⊥AC于H．由sin∠C＝＝，假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，在Rt△ADH中，利用勾股定理求出k，再利用（2）中结论求出DF，再根据sin∠EDF＝sin∠DAH，推出＝，可得结论．
【解答】（1）证明：如图，连接OD．
∵CD是⊙O的切线，
∴OD⊥EC，
∵AE⊥CE，
∴AE∥OD，
∴∠EAD＝∠ADO，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠DAE＝∠DAC．

（2）证明：如图，连接BF．
∵BF是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵AE⊥EC，
∴∠AFB＝∠E＝90°，
∴BF∥EC，
∴∠ABF＝∠C，
∵∠ADF＝∠ABF，
∴∠ADF＝∠C，
∵∠DAF＝∠DAC，
∴△DAF∽△CAD，
∴＝，
∴DF•AC＝AD•DC．

（3）解：过点D作DH⊥AC于H．
∵CD是⊙O的切线，
∴∠ODC＝90°，
∵sin∠C＝＝，
∴可以假设OD＝k，OC＝4k，则OA＝OD＝k，CD＝k，
∵•OD•DC＝•OC•DH，
∴DH＝k，
∴OH＝＝k，
∴AH＝OA+OH＝k，
∵AD2＝AH2+DH2，
∴（4）2＝（k）2+（k）2
∴k＝8或﹣8（舍弃），
∴DH＝2，AC＝5k＝40，DC＝8，
∵DF•AC＝AD•DC，
∴DF＝4，
∵∠ADE＝∠DAC+∠C＝∠ADF+∠EDF，∠ADF＝∠C，
∴∠EDF＝∠DAC，
∴sin∠EDF＝sin∠DAH，
∴＝，
∴＝，
∴EF＝6．

（2021•衡阳）24．（8分）如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求CD的长．

【分析】(1)连结OD，利用已知条件证明OD⊥CD即可求证CD是⊙O的切线；
(2)连结OE，根据∠BDE＝30°，E为的中点即可求出∠BOD度数以及求证三角形EOD为等边三角形，进而求出∠DOC度数，再利用tan∠DOC的值即可求出CD的长．
【解答】解：（1）证明：连结OD，如图所示：

∵AB是直径，
∴∠BDA＝90°，
∴∠BDO+∠ADO＝90°，
又∵OB＝OD，∠CDA＝∠B，
∴∠B＝∠BDO＝∠CDA，
∴∠CDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥CD，且OD为⊙O半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连结OE，如图所示：

∵∠BDE＝30°，
∴∠BOE＝2∠BDE＝60°，
又∵E为的中点，
∴∠EOD＝60°,
∴△EOD为等边三角形，
∴ED＝EO＝OD＝2,
又∵∠BOD＝∠BOE+∠EOD＝120°，
∴∠DOC＝180°﹣∠BOD＝180°﹣120°＝60°,
在Rt△DOC中，∠DOC＝60°,OD＝2，
∴tan∠DOC＝tan60°＝＝＝,
∴CD＝2．

（2021•天津）21．已知△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝42°，点D是⊙O上一点．
（Ⅰ）如图①，若BD为⊙O的直径，连接CD，求∠DBC和∠ACD的大小；
（Ⅱ）如图②，若CD∥BA，连接AD，过点作⊙O的切线，与OC的延长线交于点E，求∠E的大小．



解：（Ⅰ）如图①，∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠BAC）＝×（180°﹣42°）＝69°，
∵BD为直径，
∴∠BCD＝90°，
∵∠D＝∠BAC＝42°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝90°﹣42°＝48°；
∴∠ACD＝∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝69°﹣48°＝21°；
（Ⅱ）如图②，连接OD，
∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠BAC＝42°，
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠B＝180°﹣69°＝111°，
∴∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣42°﹣111°＝27°，
∴∠COD＝2∠COD＝54°，
∵DE为切线，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠DOE＝90°﹣54°＝36°．
（2021•怀化）22．（12分）如图，在半径为5cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，E是BC的中点，OE＝3cm．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求AD的长．

【解答】（1）证明：连接OC，如图：

∵AC平分∠BAD，
∴∠DAC＝∠CAO，
∵OA＝OC，
∴∠CAO＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC，
∵AD⊥DC，
∴CO⊥DC，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，且OA＝OB，
∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE，
∵OE＝3，
∴AC＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°＝∠ADC，
又∠DAC＝∠CAB，
∴△DAC∽△CAB，
∴＝，即＝，
∴AD＝．
（2021•娄底）24. 如图，点A在以为直径的⊙上，的角平分线与相交于点E，与⊙相交于点D，延长至M，连结，使得，过点A作的平行线与的延长线交于点N．

（1）求证：与⊙相切；
（2）试给出之间的数量关系，并予以证明．
【答案】（1）见详解；（2）．
【解析】
【分析】（1）根据直径所对的圆周角为90°，，以及是的角平分线，推导出各个角度之间的关系，等量代换即可证出；
（2）由圆周角相等推导出所对应的弧相等进一步得到弦相等，据此得出为等腰三角形，再根据以及（1）中的，进一步通过推导角度关系得到，为等腰三角形，再根据子母型相似得到∽，最终根据相似三角形的性质即可得出．
【详解】（1）如图所示，

∵,是的角平分线，
∴，，
又∵为直径，
∴，
∴ ,
∴，
即与⊙相切．
（2）∵，
∴ ，
∴,
∴，
∴为等腰三角形，
又∵，
∴，
∴，
又∵，且由（1）可得，，
∴，
即，
∴为等腰三角形，
在和中，
，
∴∽，
∴，
∴，
又∵，
故：．
【点睛】本题考察了圆的综合应用，切线的证明，等腰三角形的性质，直角三角形的性质及判定以及相似三角形的性质及判定等知识点，综合运用以上性质定理是解题的关键．

（2021•云南）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A、B的点，连接AC、BC，点D在BA的延长线上，且∠DCA=∠ABC，点E在DC的延长线上，且BE⊥DC．
（1）求证：DC是⊙O的切线；
（2）若=，BE=3，求DA的长．

25.（2021•扬州） 如图，四边形中，，，，连接，以点B为圆心，长为半径作，交于点E．

（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求图中阴影部分的面积．
【答案】解：（1）过点B作BF⊥CD，
∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，
∵CB=CD，∴∠CBD=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB，又BD=BD，∠BAD=∠BFD=90°，
∴△ABD≌△FBD（AAS），∴BF=BA，则点F在圆B上，∴CD与圆B相切；
（2）∵∠BCD=60°，CB=CD，∴△BCD是等边三角形，∴∠CBD=60°
∵BF⊥CD，∴∠ABD=∠DBF=∠CBF=30°，∴∠ABF=60°，
∵AB=BF=，∴AD=DF==2，
∴阴影部分的面积=S△ABD-S扇形ABE==．
25.（2021•宿迁）如图，在Rt△AOB中，∠AOB=90°,以点O为圆心，OA为半径的圆交AB于点C，点D在边OB上，且CD= BD.
(1)判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由；
(2)已知AB=40，求⊙O的半径.

21．（2021•衢州）如图，在△ABC中，CA＝CB，BC与⊙A相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交⊙A于点F，连结BF．
（1）求证：BF是⊙A的切线．
（2）若BE＝5，AC＝20，求EF的长．

解：（1）证明：连接AD，如图，

∵CA＝CB，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵AE⊥AC，
∴∠CAB+∠EAB＝90°．
∵BC与⊙A相切于点D，
∴∠ADB＝90°．
∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∴∠BAE＝∠BAD．
在△ABF和△ABD中，
，
∴△ABF≌△ABD（SAS）．
∴∠AFB＝∠ADB＝90°．
∴BF是⊙A的切线．
（2）由（1）得：BF⊥AE，
∵AC⊥AE，
∴BF∥AC．
∴△EFB∽△EAC．
∴，
∵BE＝5，CB＝AC＝20，
∴CE＝EB+CB＝20+5＝25，
∴．
∴BF＝4．
在Rt△BEF中，
EF＝．
23. （2021•雅安）如图，在⊙中，是直径，，垂足为P，过点的的切线与的延长线交于点, 连接．


（1）求证：为⊙的切线；
（2）若⊙半径为3，，求．
【答案】解：（1）证：连接、

∵为的切线
∴
∵是直径，
∴，
又∵
∴
∴，
又∵
∴
∴
∴为⊙的切线；
（2）过点作于点，如下图：

由（1）得
在中，，，∴
∴（等面积法）
∴
设，则
在和中，
，
∴
解得

∴
22. （2021•南充）如图，A，B是上两点，且，连接OB并延长到点C，使，连接AC．

（1）求证：AC是的切线．
（2）点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交于点F，G，，求GF的长．
24．（2021•乐山）（10分）如图，已知点C是以AB为直径的半圆上一点，D是AB延长线上一点，过点D作BD的垂线交AC的延长线于点E，连结CD，且CD＝ED．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若tan∠DCE＝2，BD＝1，求⊙O的半径．

【解答】解：（1）连接OC，如图：

∵CD＝DE，OC＝OA，
∴∠DCE＝∠E，∠OCA＝∠OAC，
∵ED⊥AD，
∴∠ADE＝90°，∠OAC+∠E＝90°，
∴∠OCA+∠DCE＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）连接BC，如图：

∵CD＝DE，
∴∠DCE＝∠E，
∵tan∠DCE＝2，
∴tanE＝2，
∵ED⊥AD，
Rt△EDA中，＝2，
设⊙O的半径为x，则OA＝OB＝x，
∵BD＝1，
∴AD＝2x+1，
∴＝2，
∴ED＝x+＝CD，
∵CD是⊙O的切线，
∴CD2＝BD•AD，
∴（x+）2＝1×（2x+1），解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴⊙O的半径为．
27．（2021•凉山州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE平分∠BAC交BC于点E，点D在AB上，DE⊥AE，⊙O是Rt△ADE的外接圆，交AC于点F．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求S△BDE．

【解答】解：（1）连接OE，
∵∠C＝90°，
∴∠2+∠AEC＝90°,
又∵OA＝OE，
∴∠1＝∠OEA，
∵∠1＝∠2，
∴∠AEC+∠OEA＝90°，
即OE⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（2）过点E作EM⊥AB，垂足为M，
∵∠1＝∠2，∠C＝∠AED＝90°，
∴△ACE∽△AED，
∴＝，
即＝，
∴AE＝4，
由勾股定理得，
CE＝＝4＝EM，
DE＝＝2，
∵∠DEB＝∠1，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BEA，
∴＝＝，
设BD＝x，则BE＝2x，
在Rt△BOE中，由勾股定理得，
OE2+BE2＝OB2，
即52+（2x）2＝（5+x）2，
解得x＝，
∴S△BDE＝BD•EM
＝××4
＝．

24. （2021•遂宁）如图，⊙O的半径为1，点A是⊙O的直径BD延长线上的一点，C为⊙O上的一点，AD＝CD，∠A＝30°．
（1）求证：直线AC是⊙O的切线；
（2）求△ABC的面积；
（3）点E在上运动（不与B、D重合），过点C作CE的垂线，与EB的延长线交于点F．
①当点E运动到与点C关于直径BD对称时，求CF的长；
②当点E运动到什么位置时，CF取到最大值，并求出此时CF的长．

【答案】（1）证明：连结OC，如图所示．

∵AD＝CD ，∠A＝30°，
∴∠ACD＝∠A=30°．
∴∠CDB＝60°．
∵OD＝OC，
∴∠OCD＝∠ODC=60°．
∴∠ACO＝∠ACD＋∠OCD＝30°+60°=90°．
∴OC⊥AC．
∴直线AC是⊙O的切线．
（2）过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．
∵OD=OC，∠ODC=60°，
∴是等边三角形．
∴．
∴在中，
．
∵AB＝AD＋BD＝3，
∴．
（3）当点运动到与点关于直径BD对称时，如图所示．

此时，CE⊥AB，设垂足为K．
由（2）可知，．
∵BD为圆的直径，CE⊥AB，
∴CE＝2CK＝．
∵CF⊥CE，
∴∠ECF＝90°．
∵，
∴∠E=∠CDB＝60°．
在中，
∵，
∴．
如图所示：
由可知，在中，
∵，
∴．

∴当点E在上运动时，始终有．
∴当CE最大时，CF取得最大值．
∴当CE为直径，即CE=2时，CF最大，最大值为．
24. （2021•广元）如图，在Rt中，，是的平分线，以为直径的交边于点E，连接，过点D作，交于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求线段的长．
【答案】解：（1）证明：连接DE，
∵
∴∠CAD=∠CED，
∵ 是的平分线，
∴∠CAD=∠EAD，
∴∠CED=∠EAD，
∵，
∴∠CED=∠FDE，
∴∠EAD=∠FDE，
∵AD为直径，
∴∠AED=∠ACD=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠FDE=90°，
即AD⊥FD，
又∵为直径，
∴是的切线；
（2）∵∠AED=90°，
∴∠BED=90°，
∴,
∵∠AED=∠ACD，∠DAE=∠DAC，AD=AD，
∴△AED≌△ACD，
∴DE=DC=3，
∴BC=BD+CD=8，
在Rt中，∵，
∴设AC=3x，AB=5x，
∴，
∵x＞0，
∴x=2，
∴AB=5x=10，AC=3x=6，
∵△AED≌△ACD，
∴AE=AC=6，
∴在Rt△ADE中，,
∵∠EAD=∠DAF，∠AED=∠ADF=90°，
∴△ADE∽△AFD，
∴，
即 ,
∴．

25.（2021•广安） 如图，是直径，点在上，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点，延长、相交于点．


（1）求证：是的切线；
（2）若的半径为5，，求的长．
【答案】解：（1）连接OE，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵AE平分∠BAF，
∴∠OAE=∠DAE，
∴∠OEA=∠EAD，
∴OE∥AD，
∵ED⊥AF，
∴OE⊥DE，
∴CD是⊙O的切线；

（2）连接BE，∵AB为直径，
∴∠AEB=90°=∠D，又∠DAE=∠BAE，
∴△ADE∽△AEB，
∴，
又tan∠EAD=，
∴，则AE=2BE，又AB=10，
在△ABE中，AE2+BE2=AB2，即（2BE）2+BE2=102，
解得：BE=，则AE=，
∴，
解得：AD=8，DE=4，
∵OE∥AD，∴△COE∽△CAD，
∴，设BC=x，∴，解得：x=，
经检验：x=是原方程的解，
故BC的长为．
23. （2021•威海）如图，AB是直径，弦，垂足为点E．弦BF交CD于点G，点P在CD延长线上，且．
（1）求证：PF为切线；
（2）若，，，求PF的长．

【答案】（1）连接OF，

∵，∴∠PFG=∠PGF，
∵OB=OF，∴∠OBF=∠OFB，
∵，∴∠GEB=90°，∴∠ABF+∠EGB=90°，
∵∠EGB=∠PGF，∴∠OFB+∠PFG=90°，∴∠PFO=90°，∴PF为切线；
（2）连接AF，过点P作于点N，

∵AB是直径，∴∠AFB=90°，
∵OB=10，∴AB=20，
在Rt△ABF中，AB=20，，∴AF=12，
∵，∴，∴EG=6，
Rt△BEG中，，EG=6，∴BG=10，∴FG=FB-BG=16-10=6，
∵，，∴FN=NG=3，∠PNF=90°，
∵∠PFG=∠PGF=∠EGB，∠PNF=∠GEB=90°，
∴△PNF△BEG，∴，∴，∴PF=5．
25．（2021 株洲）（13分）如图所示，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上不同的两点，直线BD交线段OC于点E、交过点C的直线CF于点F，若OC＝3CE，且9（EF2﹣CF2）＝OC2．
（1）求证：直线CF是⊙O的切线；
（2）连接OD、AD、AC、DC，若∠COD＝2∠BOC．
①求证：△ACD∽△OBE；
②过点E作EG∥AB，交线段AC于点G，点M为线段AC的中点，若AD＝4，求线段MG的长度．

【解答】（1）证明：∵9（EF2﹣CF2）＝OC2，OC＝3OE，
∴9（EF2﹣CF2）＝9EC2，
∴EF2＝EC2+CF2，
∴∠ECF＝90°，
∴OC⊥CF，
∴直线CF是⊙O的切线．
（2）①证明：∵∠COD＝2∠DAC，∠COD＝2∠BOC，
∴∠DAC＝∠EOB，
∵∠DCA＝∠EBO，
∴△ACD∽△OBE．
②解：∵OB＝OC，OC＝3EC，
∴OB：OE＝3：2，
∵△ACD∽△OBE，
∴＝，
∴＝＝，
∵AD＝4，
∴AC＝6，
∵M是AC的中点，
∴CM＝MA＝3，
∵EG∥OA，
∴＝＝，
∴CG＝2，
∴MG＝CM﹣CG＝3﹣2＝1．

24．（2021•通辽）（8分）如图，AB是⊙O的直径，过点A作⊙O的切线AC，点P是射线AC上的动点，连接OP，过点B作BD∥OP，交⊙O于点D，连接PD．
（1）求证：PD是⊙O的切线；
（2）当四边形POBD是平行四边形时，求∠APO的度数．

【解答】（1）证明：连接OD，

∵PA切⊙O于A，
∴PA⊥AB，
即∠PAO＝90°，
∵OP∥BD，
∴∠DBO＝∠AOP，∠BDO＝∠DOP，
∵OD＝OB，
∴∠BDO＝∠DBO，
∴∠DOP＝∠AOP，
在△AOP和△DOP中
，
∴△AOP≌△DOP（SAS），
∴∠PDO＝∠PAO，
∵∠PAO＝90°，
∴∠PDO＝90°，
即OD⊥PD，
∵OD过O，
∴PD是⊙O的切线；

（2）解：
由（1）知：△AOP≌△DOP，
∴PA＝PD，
∵四边形POBD是平行四边形，
∴PD＝OB，
∵OB＝OA，
∴PA＝OA，
∵∠PAO＝90°，
∴∠APO＝∠AOP＝45°．
21．（2021•鄂尔多斯）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，BC于点E，直线EF⊥AC于点F，交AB的延长线于点H．
（1）求证：HF是⊙O的切线；
（2）当EB＝6，cos∠ABE＝时，求tanH的值．

20. （2021 张家界）如图，在中，，，以点为圆心，为半径的圆交的延长线于点，过点作的平行线，交于点，连接．

（1）求证：为的切线；
（2）若，求弧的长．
【解析】（1）证明：连接
∵，
∴
又∵
∴
∴
∴
又∵
∴
∴
又∵点在上
∴是的切线；

（2）∵
∴
∴．
25．（2021 永州）（12分）如图1，AB是⊙O的直径，点E是⊙O上一动点，且不与A，B两点重合，∠EAB的平分线交⊙O于点C，过点C作CD⊥AE，交AE的延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求证：AC2＝2AD•AO；
（3）如图2，原有条件不变，连接BE，BC，延长AB至点M，∠EBM的平分线交AC的延长线于点P，∠CAB的平分线交∠CBM的平分线于点Q．求证：无论点E如何运动，总有∠P＝∠Q．
【解答】证明：（1）连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∴∠BOC＝2∠OAC，
∵AC平分∠BAE，
∴∠BAE＝2∠OAC，
∴∠BAE＝∠BOC，
∴CO∥AD，
∵∠D＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切线．
（2）∵AC平分∠BAE，
∴∠BAC＝∠CAD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA＝90°，
∵∠D＝90°，
∴∠D＝∠BCA，
∴△BAC∽△CAD，
∴，
∴AC2＝AB•AD，
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD•AO．
（3）∵∠CAB、∠CBM的角平分线交于点Q，
∴∠QAM＝∠CAB，∠QBM＝∠CBM，
∵∠Q是△QAB的一个外角，∠CBM是△ABC的一个外角，
∴∠Q＝∠QBM﹣∠QAM＝（∠CBM﹣∠CAM），∠ACB＝∠CBM﹣∠CAM，
∴∠Q＝∠ACB，
∵∠ACB＝90°，
∴∠Q＝45°，
同理可证：∠P＝45°，
∴∠P＝∠Q．

22. （2021•丽水）如图，在中，，以为直径的半圆O交于点D，过点D作半圆O的切线，交于点E．

（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】解：（1）证明：如图，连结．

与相切，．
是圆的直径，．
．
．
．
．
（2）由（1）可知，，
，
，，
是等边三角形．
,
，
．
24. （2021•泸州）如图，ABC是⊙O的内接三角形，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点F，AE是⊙O的直径，连接EC

（1）求证：；
（2）若，于点，，，求的值
【答案】解：（1）连接

∵是⊙O的切线，AE是⊙O的直径，
∴，
∴
∴
又∵
∴
根据圆周角定理可得：
∴，
∴；
（2）由（1）可知，
∵
∴
∴
∴,
∵，，
∴
∴
∴
又∵中，
∴，
如图示，连接

∵，
∴
∴
∴．
23．（2021•衢州）如图1，点C是半圆O的直径AB上一动点（不包括端点），AB＝6cm，过点C作CD⊥AB交半圆于点D，连结AD，过点C作CE∥AD交半圆于点E，连结EB．牛牛想探究在点C运动过程中EC与EB的大小关系．他根据学习函数的经验，记AC＝xcm，EC＝y1cm，EB＝y2cm．请你一起参与探究函数y1、y2随自变量x变化的规律．
通过几何画板取点、画图、测量，得出如下几组对应值，并在图2中描出了以各对对应值为坐标的点，画出了不完整图象．
x
…
0.30
0.80
1.60
2.40
3.20
4.00
4.80
5.60
…
y1
…
2.01
2.98
3.46
3.33
2.83
2.11
1.27
0.38
…
y2
…
5.60
4.95
3.95
2.96
2.06
1.24
0.57
0.10
…
（1）当x＝3时，y1＝　3　．
（2）在图2中画出函数y2的图象，并结合图象判断函数值y1与y2的大小关系．
（3）由（2）知“AC取某值时，有EC＝EB”．如图3，牛牛连结了OE，尝试通过计算EC，EB的长来验证这一结论，请你完成计算过程．

解：（1）当x＝3时，点C和圆心O重合，此时CE为半圆O的半径，

∵AB＝6，
∴EC＝y1cm＝3cm，
∴y1＝3，
故答案为：3；
（2）函数y的图象如图：

由图象得：
当0＜x＜2时，y1＜y2，
当x＝2时，y1＝y2，
当2＜x＜6时，y1＞y2；
（3））连接OD，作EH⊥AB于H，

由（2）知时，有EC＝EB，
∵AC＝2，AB＝6cm，
∴OA＝OD＝OE＝OB＝3cm，OC＝1cm，
∵CD⊥AB，
∴CD＝＝2，
设OH＝m，则CH＝1+m，
∵EH⊥AB，
∴EH＝＝，
∵CE∥AD，
∴∠DAC＝∠ECH，
∵∠DCA＝∠EHC＝90°，
∴△DAC∽△ECH，
∴，即，
∴m1＝1，m2＝﹣（不合题意，舍去），
∴HB＝3﹣1＝2，EH＝＝2，
∴EC＝＝2，EB＝＝2，
∴EC＝EB．
21．（2021•潍坊）如图，半圆形薄铁皮的直径AB＝8，点O为圆心（不与A，B重合），连接AC并延长到点D，使AC＝CD，AB于点E，F，连接OC，θ随点C的移动而变化．
（1）移动点C，当点H，B重合时
（2）当θ＜45°时，求证：BH•AH＝DH•FF；
（3）当θ＝45°时，将扇形OAC剪下并卷成一个圆锥的侧面，求该圆锥的底面半径和高．

25．（2021•泰安）（14分）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．
（1）求证：CD＝ED；
（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．
①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；
②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．

【解答】（1）证明：如图1中，连接BC．

∵＝,
∴∠DCB＝∠DBC,
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠BCE＝90°,
∴∠E+∠DBC＝90°,∠ECD+∠DCB＝90°,
∴∠E＝∠DCE,
∴DE＝DC．

(2)①证明：如图2中，

∵CF＝CH,
∴∠CFH＝∠CHF,
∵∠AFO＝∠CFH,
∴∠AFO＝∠CHF,
∵＝,
∴∠CAD＝∠BAD,
∴△AFO∽△AHC,
∴＝,
∴＝,
∴CF•AF＝OF•AH．

②解：如图3中，连接CD交BC于G.设OG＝x,则DG＝2﹣x．

∵＝,
∴∠COD＝∠BOD,
∵OC＝OB,
∴OD⊥BC,CG＝BG,
在Rt△OCG和Rt△BGD中，则有22﹣x2＝12﹣(2﹣x)2,
∴x＝,即OG＝,
∵OA＝OB,
∴OG是△ABC的中位线，
∴OG＝AC,
∴AC＝．
24．（2021•临沂）（本小题满分9分）
如图，已知在⊙O中，==，OC与AD相交于点E.
求证：（1）AD//BC；
（2）四边形BCDE为菱形.

24．（2021•乌兰察布）（10分）如图，在锐角三角形ABC中，AD是BC边上的高，以AD为直径的⊙O交AB于点E，交AC于点F，过点F作FG⊥AB，垂足为H，交于点G，交AD于点M，连接AG，DE，DF．
（1）求证：∠GAD+∠EDF＝180°；
（2）若∠ACB＝45°，AD＝4，tan∠ABC＝2，求HF的长．

【解答】（1）证明：由题可知∠AGF＝∠ADF（同弧所对的圆周角相等），
∵GF⊥AB，AD为圆的直径，
∴∠AGF+∠GAE＝90°，∠ADF+∠FAD＝90°，
∴∠GAE＝∠FAD，
∴∠GAE+∠DAE＝∠FAD+∠DAE，即∠GAD＝∠EAF，
∵四边形AEDF是圆的内接四边形，
∴∠EAF+∠EDF＝180°，
∴∠GAD+∠EDF＝180°．
（2）解：如图，

连接OF，
∵AD是圆的直径，且AD是△ABC的高，GF⊥AB，
∴∠AED＝∠ADB＝∠AHM＝∠AFD＝90°，
∴△AHM∽△ADB，
∴＝，
∵tan∠ABC＝＝2，
∴＝2，
∵∠ACB＝45°，
∴∠DAC＝∠ADF＝∠AFO＝45°，
∴∠AOF＝90°，
∵在Rt△AHM与Rt△FOM中：∠AMH＝∠FMO（对顶角），
∴△AHM∽△FOM，
∴＝＝2，
∵AD＝4，
∴OF＝OA＝2，
∴＝2，解得OM＝1，AM＝OA﹣OM＝1，
设HM＝x，则AH＝2x，
在△AHM中有：AH2+HM2＝AM2，
即（2x）2+x2＝1，解得x1＝，x2＝﹣（舍去），
∴AH＝，
∵OF＝OA＝2，
∴AF＝2，
在Rt△AHF中，有：AH2+HF2＝AF2，
即（）2+HF2＝（2）2，
解得HF＝，或HF＝﹣（舍去），
故HF的长为．
24.（2021•赤峰）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点M，C，交对角线BD于点E，且，连接OE交BC于点F．
（1）试判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求⊙O的半径．

【答案】解：（1）AB与相切．理由如下：
连接OB，
∵，∴，
∵，∴，∴，∴，
又∵、是菱形的对角线
∴，，
∴
∴∴，∴是的切线

（2）又∵、是菱形的对角线，，
∴，
∵， ∴
∴在Rt△BMC中，∴
∵OE⊥BC，BC为弦，∴
∵∴
设的半径为R；在Rt△OFB中，OB2=OF2+BF2，
∴
解得∴的半径为5．
22.（2021•大连）如图1，内接于⊙O，直线与⊙O相切于点D，与相交于点E，.
（1）求证；
（2）如图2，若是⊙O的直径，E是的中点，⊙O的半径为4，求的长.

27. （2021•扬州）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单：
已知线段，使用作图工具作，尝试操作后思考：
（1）这样的点A唯一吗？
（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？
“追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇报：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点B、C除外），……．小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）．

（1）小华同学提出了下列问题，请你帮助解决．
①该弧所在圆的半径长为___________；
②面积的最大值为_________；
（2）经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们记为，请你利用图1证明；
（3）请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2，已知矩形的边长，，点P在直线的左侧，且．
①线段长的最小值为_______；
②若，则线段长为________．
【答案】解：（1）①设O为圆心，连接BO，CO，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=60°，又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=OC=BC=2，即半径为2；
②∵△ABC以BC为底边，BC=2，
∴当点A到BC的距离最大时，△ABC的面积最大，
如图，过点O作BC的垂线，垂足为E，延长EO，交圆于D，
∴BE=CE=1，DO=BO=2，
∴OE==，
∴DE=，
∴△ABC的最大面积为=；

（2）如图，延长BA′，交圆于点D，连接CD，
∵点D在圆上，∴∠BDC=∠BAC，
∵∠BA′C=∠BDC+∠A′CD，
∴∠BA′C＞∠BDC，∴∠BA′C＞∠BAC，即∠BA′C＞30°；

（3）①如图，当点P在BC上，且PC=时，
∵∠PCD=90°，AB=CD=2，AD=BC=3，∴tan∠DPC==，为定值，
连接PD，设点Q为PD中点，以点Q为圆心，PD为半径画圆，
∴当点P在优弧CPD上时，tan∠DPC=，连接BQ，与圆Q交于P′，
此时BP′即为BP的最小值，过点Q作QE⊥BE，垂足为E，
∵点Q是PD中点，
∴点E为PC中点，即QE=CD=1，PE=CE=PC=，
∴BE=BC-CE=3-=，∴BQ==，
∵PD==，∴圆Q的半径为，
∴BP′=BQ-P′Q=，即BP最小值为；

②∵AD=3，CD=2，，
则，∴△PAD中AD边上的高=△PCD中CD边上的高，
即点P到AD的距离和点P到CD的距离相等，
则点P到AD和CD的距离相等，即点P在∠ADC的平分线上，如图，
过点C作CF⊥PD，垂足F，
∵PD平分∠ADC，∴∠ADP=∠CDP=45°，
∴△CDF为等腰直角三角形，又CD=2，∴CF=DF==，
∵tan∠DPC==，∴PF=，∴PD=DF+PF==．

21.（2021•徐州）（本题8分）如图，为的直径，点在上，与交于点，，连接.
求证：（1）；
（2）四边形是菱形.

24. （2021•宁波）如图1，四边形内接于，为直径，上存在点E，满足，连结并延长交的延长线于点F，与交于点G．

（1）若，请用含的代数式表列．
（2）如图2，连结．求证；．
（3）如图3，在（2）的条件下，连结，．
①若，求的周长．
②求的最小值．
【答案】解：（1）∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
又∵，
∴，
∴．
（3）①如图，连结．

∵为的直径，
∴．
在中，，，
∴．
∵，
∴，
即，
∴．
∵，
∴．
∵在中，，
∴，
∴．
∵在中，，
∴．
在中，，
∴，
∴的周长为．
②如图，过点C作于H．

∵，
∴．
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
设，
∴，
∴．
在中， ，
∴，
当时，的最小值为3，
∴的最小值为．
25．（2021•长沙）如图，点O为以AB为直径的半圆的圆心，点M，N在直径AB上，点P，Q在上，四边形MNPQ为正方形，点C在上运动（点C与点P，Q不重合），连接BC并延长交MQ的延长线于点D，连接AC交MQ于点E，连接OQ．
（1）求sin∠AOQ的值；
（2）求的值；
（3）令ME＝x，QD＝y，直径AB＝2R（R＞0，R是常数），求y关于x的函数解析式，并指明自变量x的取值范围．

【解答】解：（1）如图，连接OP．
∵四边形MNPQ是正方形，
∴∠OMN＝∠ONP＝90°，MQ＝PN，
∵OQ＝OP，
∴Rt△OMQ≌Rt△ONP（HL），
∴OM＝ON，
设OM＝ON＝m，则MQ＝2m，OQ＝＝m，
∴sin∠AOQ＝＝＝．
（2）由（1）可知OM＝ON＝m，OQ＝OA＝m，MN＝2m，
∴AM＝OA﹣OM＝m﹣m，
∴＝＝．
（3）∵AB＝2R，
∴OA＝OB＝OQ＝R，
∵QM＝2MO，
∴OM＝，MQ＝，
∵AB是直径，
∴∠ACB＝∠DCE＝90°，
∵∠CED＝∠AEM，
∴∠A＝∠D，
∵∠AME＝∠DMB＝90°，
∴△AME∽△DMB，
∴＝，
∴＝，
∴y＝﹣，
当点C与P重合时，＝，
∴＝，
∴x＝R，
∴R＜x＜R．

25．（2021 益阳）如图，在等腰锐角三角形ABC中，AB＝AC，延长BD交△ABC的外接圆于点E，过点A作AF⊥CE于F，BC的延长线交于点G．
（1）判断EA是否平分∠DEF，并说明理由；
（2）求证：①BD＝CF；
②BD2＝DE2+AE•EG．

24．（2021 湘西州）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若AD＝8，tan∠CAB＝，求：边AC及AB的长．

（2021•温州）15．（5分）如图，⊙O与△OAB的边AB相切，切点为B．将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，边A′B交线段AO于点C．若∠A′＝25°，则∠OCB＝　85　度．

【分析】根据切线的性质得到∠OBA＝90°，连接OO′，如图，再根据旋转的性质得∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，BO＝BO′，则判断△OO′B为等边三角形得到∠OBO′＝60°，所以∠ABA′＝60°，然后利用三角形外角性质计算∠OCB．
【解答】解：∵⊙O与△OAB的边AB相切，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
连接OO′，如图，
∵△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B，
∴∠A＝∠A′＝25°，∠ABA′＝∠OBO′，
∵OB＝OO′，
∴△OO′B为等边三角形，
∴∠OBO′＝60°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠OCB＝∠A+∠ABC＝25°+60°＝85°．
故答案为85．

（2021•杭州）23．（12分）如图，锐角三角形ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：△ABG∽△AFC．
（2）已知AB＝a，AC＝AF＝b，求线段FG的长（用含a，b的代数式表示）．
（3）已知点E在线段AF上（不与点A，点F重合），点D在线段AE上（不与点A，点E重合），∠ABD＝∠CBE2＝GE•GD．

【分析】(1)根据∠BAC的平分线AG交⊙O于点G，知∠BAC＝∠FAC，由圆周角定理知∠G＝∠C，即可证△ABC∽△AFC；
(2)由（1）知＝，由AC＝AF得AG＝AB，即可计算FG的长度；
(3)先证△DGB∽△BGE，得出线段比例关系，即可得证BG2＝GE•GD．
【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAC，
∴∠BAG＝∠FAC，
又∵∠G＝∠C，
∴△ABC∽△AFC；
（2）解：由（1）知，△ABC∽△AFC，
∴＝，
∵AC＝AF＝b，
∴AB＝AG＝a，
∴FG＝AG﹣AF＝a﹣b；
（3）证明：∵∠CAG＝∠CBG，∠BAG＝∠CAG，
∴∠BAG＝∠CBG，
∵∠ABD＝∠CBE，
∴∠BDG＝∠BAG+∠ABD＝∠CBG+∠CBE＝∠EBG，
又∵∠DGB＝∠BGE，
∴△DGB∽△BGE，
∴＝，
∴BG2＝GE•GD．
（2021•温州）24．（14分）如图，在平面直角坐标系中，⊙M经过原点O（2，0），B（0，8），连结AB．直线CM分别交⊙M于点D，E（点D在左侧），交x轴于点C（17，0）
（1）求⊙M的半径和直线CM的函数表达式；
（2）求点D，E的坐标；
（3）点P在线段AC上，连结PE．当∠AEP与△OBD的一个内角相等时，求所有满足条件的OP的长．

【分析】（1）点M是AB的中点，则点M（1,4），则圆的半径AM＝＝，再用待定系数法即可求解；
（2）由AM＝得：（x﹣1）2+（﹣x+﹣4）2＝（）2，即可求解；
（3）①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，则△AEP为等腰直角三角形，即可求解；②∠AEP＝∠BDO时，则△EAP∽△DBO，进而求解；③∠AEP＝∠BOD时，同理可解．
【解答】解：（1）∵点M是AB的中点，则点M（1，
则圆的半径为AM＝＝，
设直线CM的表达式为y＝kx+b，则，解得，
故直线CM的表达式为y＝﹣x+；
（2）设点D的坐标为（x，﹣x+），
由AM＝得：（x﹣3）2+（﹣x+2＝（）8，
解得x＝5或﹣3，
故点D、E的坐标分别为（﹣5、（5；
（3）过点D作DH⊥OB于点H，则DH＝3，
故∠DBO＝45°，

由点A、E的坐标；
由点A、E、B、D的坐标得＝8，
同理可得：BD＝3，OB＝8，
①当∠AEP＝∠DBO＝45°时，
则△AEP为等腰直角三角形，EP⊥AC，
故点P的坐标为（5,5），
故OP＝5；
②∠AEP＝∠BDO时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△DBO，
∴，即＝＝，解得AP＝8，
故PO＝10；
③∠AEP＝∠BOD时，
∵∠EAP＝∠DBO，
∴△EAP∽△OBD，
∴，即，解得AP＝，
则PO＝5+＝，
综上，OP为5或10或．
（2021•湖州）21．（本小题8分）如图，已知AB是⊙O的直径，∠ACD是所对的圆周角，∠ACD＝30°．
（1）求∠DAB的度数；
（2）过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的延长线交⊙O于点F．若AB＝4，求DF的长．

【答案】（1）60°；（2）．
【解析】解：（1）连结，
，
，
是的直径，
，
．
（2），
，
，且是直径，
，
．

（2021•金华）22．（10分）在扇形AOB中，半径OA＝6，点P在OA上，连结PB，将△OBP沿PB折叠得到△O′BP．
（1）如图1，若∠O＝75°，且BO′与所在的圆相切于点B．
①求∠APO′的度数．
②求AP的长．
（2）如图2，BO′与相交于点D，若点D为的中点，且PD∥OB，求的长．

【分析】（1）①利用三角形内角和定理求解即可。
②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．想办法求出OH,PH,可得结论。
（2）如图2中，连接AD,OD．证明∠AOB＝72°可得结论。
【解答】解：（1）①如图1中，∵BO′是⊙O的切线，
∴∠OBO′＝90°,
由翻折的性质可知，∠OBP＝∠PBO′＝45°,∠OPB＝∠BPO′,
∵∠AOB＝75°,
∴∠OPB＝∠BPO′＝180°﹣75°﹣45°＝60°,
∴∠OPO′＝120°,
∴∠APO′＝180°﹣∠OPO′＝180°﹣120°＝60°．

②如图1中，过点B作BH⊥OA于H,在BH上取一点F,使得OF＝FB,连接OF．
∵∠BHO＝90°,
∴∠OBH＝90°﹣∠BOH＝15°,
∵FO＝FB,
∴∠FOB＝∠FBO＝15°,
∴∠OFH＝∠FOB+∠FBO＝30°,
设OH＝m,则HF＝m,OF＝FB＝2m,
∵OB2＝OH2+BH2,
∴62＝m2+(m+2m)2,
∴m＝或﹣（舍弃），
∴OH＝,BH＝,
在Rt△PBH中，PH＝＝,
∴PA＝OA﹣OH﹣PH＝6﹣﹣＝6﹣2．

(2)如图2中，连接AD,OD．
∵＝,
∴AD＝BD,∠AOD＝∠BOD,
由翻折的旋转可知，∠OBP＝∠PBD,
∵PD∥OB,
∴∠DPB＝∠OBP,
∴∠DPB＝∠PBD,
∴DP＝DB＝AD,
∴∠DAP＝∠APD＝∠AOB,
∵AO＝OD＝OB,AD＝DB,
∴△AOD≌△BOD,
∴∠OBD＝∠OAD＝∠AOB＝2∠BOD,
∵OB＝OD,
∴∠OBD＝∠ODB＝2∠DOB,
∴∠DOB＝36°,
∴∠AOB＝72°，
∴的长＝＝。


课时26 与圆有关的计算
弧长和扇形面积的计算
（2021•武威）17. 如图，从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形，则此扇形的面积为_____．

（2021•柳州）12. 如图所示，点A，B，C对应的刻度分别为1，3，5，将线段绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形的边上时，记为点，则此时线段扫过的图形的面积为（ D ）


A. B. 6 C. D.
（2021•哈尔滨）19．一个扇形的弧长是8πcm，圆心角是144°，则此扇形的半径是 　 　cm．
（2021•河南）14. 如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，D均在小正方形的顶点上，且点B，C在AD上， ∠BAC=22.50，则BC的长为 5π4 .
（2021•毕节）12.某小区内的消防车道有一段弯道，如图，弯道的内外边缘均为圆弧，，所在圆的圆心为O，点C，D分别在OA，OB上，已知消防车道半径OC=12m，消防车道宽AC=4m，，则弯道外边缘的长为

A. B. C. D.
（2021•绥化）15. 一条弧所对的圆心角为135°弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为__40________cm．
（2021•青海）7.如图，一根5m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（　B　）

A．1712πm2 B.7712πm2 C.254πm2 D.176πm2
（2021•台州）13. 如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）

（2021•台湾）10.将一半径为6的圆形纸片，沿着两条半径剪开形成两个扇形.若其中一个扇形的弧长为5π，则另一个扇形的圆心角度数是多少？( D   )
A. 30 B. 60 C. 105 D. 210
（2021•云南）如图，等边△ABC的三个顶点都在⊙O上，AD是⊙O的直径．若OA=3，则劣弧BD的长是（　　）
A. B．π C. D．2π
（2021•娄底）18. 弧度是表示角度大小的一种单位，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作．已知，则与的大小关系是________．


【答案】
【解析】
【分析】根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，当时，三角形为等边三角形，所以圆心角所对的弧长比半径大，即可判断大小．
【详解】解：根据弧度的定义，圆心角所对的弧长和半径相等时，这个角就是1弧度角，记作，
当时，易知三角形为等边三角形，弦长等于半径，
圆心角所对的弧长比半径大，
，
故答案是：．
（2021•东营）15．（4分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为 　　．

（2021•娄底）14. 如图所示的扇形中，已知，则________．


【答案】100．
【解析】
【分析】先在小扇形中利用扇形弧长公式求解出圆心角度数，再在大扇形中利用公式求解出弧长即可．
【详解】解：设扇形圆心角度数为n°，
∵，
∴在扇形中，，
解得：，
∴在扇形中，,

故答案为：100．
【点睛】本题主要考查了扇形弧长的计算，解题的关键是利用圆心角大小不变并熟悉弧长公式进行求解．
6．（2021•衢州）已知扇形的半径为6，圆心角为150°，则它的面积是（　D　）
A．π B．3π C．5π D．15π
12．（2021 长春）如图是圆弧形状的铁轨示意图，半径OA的长度为200米，圆心角∠AOB＝90°，则这段铁轨的长度为 　100π　米．（铁轨的宽度忽略不计，结果保留π）

（2021•嘉兴）15．（4分）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，以E为圆心，BE长为半径画弧交对角线AC于点F，若∠BAC＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BEF的面积为 　　．

（2021•温州）13．（5分）若扇形的圆心角为30°，半径为17，则扇形的弧长为 　π　．
（2021•湖州）9．如图，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，点P是AD边上的一个动点，连结BP，点C关于直线BP的对称点为C1，当点P运动时，点C1也随之运动．若点P从点A运动到点D，则线段CC1扫过的区域的面积是

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，C1运动的路径是以B为圆心，为半径，圆心角为120°的弧上运动，故线段CC1扫过的区域是一个圆心角为120°的扇形＋一个以为边长的等边三角形，故S＝，故选B．


正多边形与圆
（2021•玉林）18．如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AD，AE，AC，DF，DB，AC与BD交于点M，AE与DF交于点为N，MN与AD交于点O，分别延长AB，DC于点G，设AB＝3．有以下结论：
①MN⊥AD
②MN＝2
③△DAG的重心、内心及外心均是点M
④四边形FACD绕点O逆时针旋转30°与四边形ABDE重合
则所有正确结论的序号是 　①②③　．

【解答】解：如图，连接BE．

在△AFN和△DEN中，
，
∴△AFN≌△DEN（AAS），
∴AN＝AN，
同法可证AN＝AM，AM＝DM，
∴AM＝MD＝DN＝NA，
∴四边形AMDN是菱形，故①正确，
∵∠EDF＝∠BDC＝30°，∠EDC＝120°，
∴∠MDN＝60°，
∵DM＝DN，
∴△DMN是等边三角形，
∴MN＝DM＝＝＝2，故②正确，
∵∠DAB＝∠ADC＝60°，
∴△ADG是等边三角形，
∵DB⊥AG，AC⊥DG，
∴点M是△ADG的重心、内心及外心，故③正确，
∵∠DOE＝60°，
∴四边形FACD绕点O逆时针旋转60°与四边形ABDE重合，故④错误，
故答案为：①②③．
（2021•安顺）9.如图，与正五边形的两边，相切于，两点，则的度数是（ A ）

A. B. C. D.
（2021•绥化）19. 边长为的正六边形，它的外接圆与内切圆半径的比值是_______．
11．（2021•潍坊）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在⊙O上任取一点A，连接AO并延长交⊙O于点B，BO为半径作圆孤分别交⊙O于C，D两点，DO并延长分交⊙O于点E，F；④顺次连接BC，FA，AE，DB，得到六边形AFCBDE．连接AD，交于点G，则下列结论正确的是　 　．
A．△AOE的内心与外心都是点G B．∠FGA＝∠FOA
C．点G是线段F的三等分点 D．EF＝AF

5．（2021•绍兴）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在上，则∠BPC的度数为（B）

A．30° B．45° C．60° D．90°
8. （2021•徐州）如图，一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1，则圆的面积约为正方形面积的（ ）
A. 27倍 B. 14倍 C. 9倍 D. 3倍
6. （2021 张家界）如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形的面积为，黑色部分面积为，则的比值为（ A ）

A. B. C. D.
8．（2021 湘西州）如图，面积为18的正方形ABCD内接于⊙O，则的长度为（　　）

A．9π B．π C．3π D．π
17.（2021•赤峰）如图，在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时，扳手张开的开口b=20mm，则边长a为_________mm．


阴影部分面积的计算
（2021•贺州）9. 如图，在边长为2的等边中，是边上的中点，以点为圆心，为半径作圆与，分别交于，两点，则图中阴影部分的面积为（ C ）


A. B. C. D.
（2021•大庆）16. 如图，作的任意一条直经，分别以为圆心，以的长为半径作弧，与相交于点和，顺次连接，得到六边形，则的面积与阴影区域的面积的比值为______；

（2021•牡丹江）17．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．若OA＝2，则阴影部分的面积为　+π　．

（2021•荆州）9．如图，在菱形ABCD中，∠D60°，AB2，以B为圆心、BC长为半径画，点P为菱形内一点，连接PA，PB，PC．当△BPC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为（A）
A． B． C． D．

（2021•荆门）14．如图，正方形ABCD的边长为2，分别以B，C为圆心，以正方形的边长为半径的圆相交于点P，那么图中阴影部分的面积为 　2﹣　．

（2021•十堰）15. 如图，在边长为4的正方形中，以为直径的半圆交对角线于点E，以C为圆心、长为半径画弧交于点F，则图中阴影部分的面积是__3-6_______．

（2021•宜昌）15．“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形．如图，以边长为2厘米的等边三角形ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为 　（2π﹣2）　平方厘米．（圆周率用π表示）

（2021•青海）15.如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转120°后可以和自身重合．若每个叶片的面积为4cm2，∠AOB为120°，则图中阴影部分的面积之和为 4 cm2．

（2021•重庆•B）16如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝12，BD＝16，分别以点A，B，C，D为圆心，AB的长为半径画弧，与该菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为　96﹣100π　．（结果保留π）

（2021•山西）9. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 2，以 A 为圆心，AC 的长为半径画弧，得 E»C ，连接 AC、AE，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．2 B．4 C． D．


（2021•成都）10．如图，正六边形ABCDEF的边长为6，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．4π B．6π C．8π D．12π

（2021•自贡）12．（4分）如图，直线y＝﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点，点P是线段AB上的一个动点，过点P作y轴的平行线交直线y＝﹣x+3于点Q，△OPQ绕点O顺时针旋转45°，边PQ扫过区域（阴影部分）面积的最大值是（　　）

A．π B．π C．π D．π
【分析】设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3），根据图形可表示出PQ扫过区域（阴影部分）面积是两个扇形面积之差，将面积表示处理利用二次函数性质即可求最大值．
【解答】解：设P（m，﹣2m+2），则Q（m，﹣m+3）．
∴OP2＝m2+（﹣2m+2）2＝5m2﹣8m+4，OQ2＝m2+（﹣m+3）2＝2m2﹣6m+9．

∵△OPQ绕点O顺时针旋转45°．
∴△OPQ≌△OBC．∠QOC＝∠POB＝45°．
∴PQ扫过区域（阴影部分）面积S＝S扇OQC﹣S扇OPB＝＝＝．
当m＝时，S的最大值为：．
故选：A．
（2021•重庆）16.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，分别以点A，C为圆心，AO长为半径画弧，分别交AB，CD于点E，F。若BD＝4，∠CAB＝36°，则图中阴影部分的面积为___________.（结果保留π）。

（2021•怀化）15．（4分）如图，在⊙O中，OA＝3，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积是 　π﹣　．（结果保留π）

【解答】解：∵∠C＝45°，
∴∠AOB＝90°，
∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB
＝
＝π﹣．
故答案为：π﹣．


（2021•资阳）14．如图，在矩形ABCD中，AB＝2cmcm以点B为圆心，AB长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 　(2﹣﹣π)　cm2．

【分析】连接BE．首先证明∠EBC＝30°，根据S阴＝S矩形ABCD﹣S△EBC﹣S扇形AEB计算即可．
【解答】解：如图，连接BE．

∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝cm，CD∥AB，
在Rt△BCE中，
∵AE＝BE＝2cm，BC＝，
∴EC＝＝6cm，
∴∠EBC＝30°，
∴∠ABE＝∠BEC＝60°,
∴S阴＝S矩形ABCD﹣S△BEC﹣S扇形AEB,
＝2﹣×1×﹣8,
＝(2﹣﹣π)cm²．
故答案为:(6﹣﹣π)．

（2021•济宁）14．如图，△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，点O为BC的中点，以O为圆心，以OB为半径作半圆，交AC于点D，则图中阴影部分的面积是 　﹣　．

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，即可求得DE的长、∠DOB的度数，然后根据图形可知阴影部分的面积是△ABC的面积减去△COD的面积和扇形BOD的面积，从而可以解答本题．
【解答】解，连接OD，过D作DE⊥BC于E，
在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，AC＝4，
∴sinC＝＝＝，BC＝＝＝2，
∴∠C＝30°，
∴∠DOB＝60°，
∵OD＝BC＝，
∴DE＝，
∴阴影部分的面积是：2×2﹣﹣＝﹣，
故答案为：﹣．

（2021•枣庄）11．如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E，F分别为BC，AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD，再分别以E，F为圆心，1为半径作圆弧BO，OD，则图中阴影部分的面积为（　　）

A．π﹣1 B．π﹣3 C．π﹣2 D．4﹣π
【分析】连接BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形CBD减去直角三角形CBD的面积之差．
【解答】解：连接BD，EF，如图，

∵正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，
由题意可得：EF，BD经过点O，且EF⊥AD，EF⊥CB．
∵点E，F分别为BC，AD的中点，
∴FD＝FEO＝EB＝1，
∴，OB＝OD．
∴弓形OB＝弓形OD．
∴阴影部分的面积等于弓形BD的面积．
∴S阴影＝S扇形CBD﹣S△CBD＝＝π﹣2．
故选：C．
16．（2021•通辽）如图，AB是⊙O的弦，AB＝2，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB＝60°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 　﹣　．

9. （2021•遂宁）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°， 则阴影部分的面积为（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
9.（2021•广元） 如图，在边长为2的正方形中，是以为直径的半圆的切线，则图中阴影部分的面积为（ D ）

A. B. C. 1 D.
5．（2021•乌兰察布）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝，BC＝2，以点A为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点D，交AC于点C，以点B为圆心，AC的长为半径画弧，交AB于点E，交BC于点F，则图中阴影部分的面积为（　D　）

A．8﹣π B．4﹣π C．2﹣ D．1﹣
16．（2021•潍坊）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点与y＝（a＞b＞0）在第一象限的图象分别为曲线C1，C2，点P为曲线C1上的任意一点，过点P作y轴的垂线交C2于点A，作x轴的垂线交C2于点B，则阴影部分的面积S△AOB＝　 　．（结果用a，b表示）

16．（2021•凉山州）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△A'B'C，已知AC＝3，BC＝2，则线段AB扫过的图形（阴影部分）的面积为　　．

16．（2021•泰安）（3分）若△ABC为直角三角形，AC＝BC＝4，以BC为直径画半圆如图所示，则阴影部分的面积为 　4　．

14．（2021•吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2．以点C为圆心，CB长为半径画弧，分别交AC，AB于点D，E，则图中阴影部分的面积为 　π﹣　（结果保留π）．

18. （2021•徐州）如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上.若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________.

7．（2021•乐山）（3分）七巧板起源于我国先秦时期，古算书《周髀算经》中有关于正方形的分割术，经历代演变而成七巧板，如图1所示.19世纪传到国外，被称为“唐图”（意为“来自中国的拼图”），图2是由边长为4的正方形分割制作的七巧板拼摆而成的“叶问蹬”图，则图中抬起的“腿”（即阴影部分）的面积为（　A　）

A．3 B． C．2 D．
圆锥的相关计算
（2021•贵港）16．如图，圆锥的高是4，它的侧面展开图是圆心角为120°的扇形，则圆锥的侧面积是 　6　（结果保留π）．

（2021•来宾）17. 如图，从一块边长为，的菱形铁片上剪出一个扇形，这个扇形在以为圆心的圆上（阴影部分），且圆弧与，分别相切于点，，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径是__________．

（2021•大庆）13. 一个圆柱形橡皮泥，底面积是．高是．如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为的圆锥，则这个圆锥的底面积是___18___
（2021•鹤岗）17．若一个圆锥的底面半径为1cm，它的侧面展开图的圆心角为90°，则这个圆锥的母线长为 　4　cm．
（2021•牡丹江）18．如图是一个圆锥形冰淇淋外壳．（不计厚度）已知其母线长为12cm，底面圆的半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 　36π　cm2．

（2021•齐齐哈尔）13. 一个圆锥的底面圆半径为6cm，圆锥侧面展开图扇形的圆心角为240°，则圆锥的母线长为__9___cm．
（2021•天门）8. 用半径为，圆心角为扇形纸片恰好能围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面半径为（ B ）
A. B. C. D.
（2021•黔东南）18．如图，要用一个扇形纸片围成一个无底盖的圆锥（接缝处忽略不计），若该圆锥的底面圆周长为20πcm，侧面积为240πcm2，则这个扇形的圆心角的度数是 　150　度．

（2021•衡阳）16．底面半径为3，母线长为4的圆锥的侧面积为 　12π　．（结果保留π）
【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：圆锥的侧面积＝2π×3×4÷2＝12π．
故答案为：12π．
（2021•无锡）13．（2分）用半径为50，圆心角为120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 　　．

（2021•盐城）14．设圆锥的底面半径为2，母线长为3，该圆锥的侧面积为 　6π　．
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【解答】解：该圆锥的侧面积＝×2π×2×3＝6π．
故答案为6π．

（2021•呼和浩特）13．已知圆锥的母线长为10，高为8，则该圆锥的侧面展开图（扇形）的弧长为 　12π　．（用含π的代数式表示），圆心角为 　216　度．
【分析】根据圆锥的展开图为扇形，结合圆周长公式的求解．
【解答】解：设底面圆的半径为rcm，
由勾股定理得：r＝＝6，
∴2πr＝2π×6＝12π，
根据题意得2π×6＝，
解得n＝216，
即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为216°．
故答案为：12π，216．

（2021•聊城）16. 用一块弧长16πcm的扇形铁片，做一个高为6cm的圆锥形工件侧面（接缝忽略不计），那么这个扇形铁片的面积为_______cm2
【答案】
【解析】
【分析】先求出圆锥的底面半径，再利用勾股定理求出圆锥的母线长，最后利用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵弧长16πcm的扇形铁片，
∴做一个高为6cm的圆锥的底面周长为16πcm，
∴圆锥的底面半径为：16π÷2π=8cm，
∴圆锥的母线长为：，
∴扇形铁片的面积=cm2，
故答案是：．
【点睛】本题考查了圆锥与扇形，掌握圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，是解题的关键．
7. （2021•广元）如图，从一块直径是2的圆形铁片上剪出一个圆心角为的扇形，将剪下来的扇形围成一个圆锥．那么这个圆锥的底面圆的半径是（ B ）

A. B. C. D. 1
13. （2021•赤峰）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的侧面积是（ A ）

A. B. C. D.
13．（2021•鄂尔多斯）如图，小梅把一顶底面半径为10cm的圆锥形小丑纸帽沿一条母线剪开并展平，得到一个圆心角为120°的扇形纸片，那么扇形纸片的半径为 　 　cm．

15. （2021•徐州）如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若母线长为，扇形的圆心角，则圆锥的底面圆半径为__________.

13.（2021•宿迁）已知圆锥的底面圆半径为4，侧面展开图扇形的圆心角为120°,则它的侧面展开图面积为 ．
15．（2021 永州）某同学在数学实践活动中，制作了一个侧面积为60π，底面半径为6的圆锥模型（如图所示），则此圆锥的母线长为 　10　．

24．（2021 邵阳）（8分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED与母线AD长之比为1：2．制作这种外包装需要用如图所示的等腰三角形材料，其中AB＝AC，AD⊥BC．将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合．
（1）求这种加工材料的顶角∠BAC的大小．
（2）若圆锥底面圆的直径ED为5cm，求加工材料剩余部分（图中阴影部分）的面积．（结果保留π）

【解答】解：（1）设∠BAC＝n°．
由题意得π•DE＝,AD＝2DE,
∴n＝90,
∴∠BAC＝90°．

(2)∵AD＝2DE＝10(cm),
∴S阴＝•BC•AD﹣S扇形AEF＝×10×20﹣＝(100﹣25π)cm2．
14. （2021•扬州）如图是某圆柱体果罐，它的主视图是边长为的正方形，该果罐侧面积为__．