2021年天津市东丽区中考二模数学试卷

这是一份2021年天津市东丽区中考二模数学试卷，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共12小题；共60分）
1. 计算 −4+6 的值是
A. −10B. −2C. 10D. 2

2. tan45∘ 的值等于
A. 12B. 22C. 1D. 3

3. 地球绕太阳公转的速度约为 110000 km/h，数字 110000 用科学记数法表示应为
A. 1.1×106B. 11×104C. 1.1×105D. 0.11×106

4. 下列选项中的图标，属于轴对称图形的是
A. B.
C. D.

5. 如图，是由 4 个小立方体组成的几何体，则该几何体的俯视图是
A. B.
C. D.

6. 估计 6 的值在
A. 1 和 2 之间B. 2 和 3 之间C. 3 和 4 之间D. 4 和 5 之间

7. 计算 3xx−1−3x−1 的结果是
A. 3B. −3C. 3x−3x−1D. xx−1

8. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45∘ 后得到正方形 OA1B1C1，那么点 B1 的坐标是
A. 1,1B. 2,2C. 0,2D. 22,22

9. 方程组 y=4x−3,−x+y=6 的解是
A. x=3,y=9B. x=3,y=3C. x=1,y=1D. x=95,y=215

10. 若点 Ax1,−5，Bx2,−3，Cx3,3 都在反比例数 y=15x 的图象上，则 x1，x2，x3 的大小关系是
A. x1
11. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠ABC=30∘，AC=1 cm，将 Rt△ABC 绕点 A 逆时针旋转得到 Rt△ABʹCʹ，使点 Cʹ 落在 AB 边上，连接 BBʹ，则 BBʹ 的长度是
A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 23 cm

12. 关于二次函数 y=ax2−4ax−5a≠0 的三个结论：①图象与 y 轴的交点为 0,−5；②对任意实数 m，都有 x1=2+m 与 x2=2−m 对应的函数值相等；③若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值有 4 个，则 −43A. 0B. 1C. 2D. 3

二、填空题（共6小题；共30分）
13. 计算 a6÷a3 的结果等于 ．

14. 计算 y+2y−2 的结果等于 ．

15. 不透明袋子中装有 5 个红球，3 个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出 1 个球，则它是红球的概率是 ．

16. 直线 y=−x 向下平移 3 个单位得到的直线解析式为 ．

17. 如图，在边长为 22 的正方形 ABCD 中，点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，连接 EC，FD，点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，连接 GH，则 GH 的长度为 ．

18. 如图，在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A，B，C 均在格点上．
（1）AB 的长等于 ．
（2）在 △ABC 的内部有一点 P，满足 S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3，请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺，面出点 P，并简要说明点 P 的位置是如何找到的．（不要求证明）

三、解答题（共7小题；共91分）
19. 解不等式组 6x−3≤4x+5, ⋯⋯①3x+1≥2x. ⋯⋯②
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得 ．
（2）解不等式②，得 ．
（3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来：
（4）原不等式组的解集为 ．

20. 每年的 4 月 23 日是“世界读书日”，今年 4 月，某校开展了以“风飘书香满校园”为主题的读书活动．活动结束后，学校对本校八年级学生 4 月份的读书量进行了随机抽样调查，并对所有随机抽取学生的读书量（单位：本）进行了统计，如图所示：
根据以上信息，解答下列问题：
（1）补全上面条形图，扇形统计图中 m= ．
（2）求本次抽取学生 4 月份“读书量”的平均数、众数和中位数．
（3）已知该校八年级有 350 名学生，请你估计该校八年级学生中 4 月份“读书量”为 4 本的学生人数．

21. 已知，△DBC 内接于 ⊙O，DB=DC．
（1）如图①，过点 B 作射线 BE 交 ⊙O 于点 A，若 ∠EAD=75∘，求 ∠BDC 的度数．
（2）如图②，分别过点 B 、点 D 作 ⊙O 的切线相交于点 E，若 ∠E=30∘，求 ∠BDC 的度数．

22. A，B 两市相距 150 km，分别从 A，B 处测得国家级风景区中心 C 处的方位角如图所示，tanα=1.627，tanβ=1.373．已知风景区是以 C 为圆心，45 km 为半径的圆形区域．为了开发旅游，有关部门设计、修建连接 A，B 两市的高速公路．问高速公路 AB 是否穿过风景区，请说明理由．

23. 小明的父亲在批发市场按每千克 1.5 元批发了若干千克的西瓜进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降价出售．售出西瓜千克数 x 与他手中持有的钱数 y 元（含备用零钱）的关系如图所示，
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填表：
售出西瓜x/kg01020304080手中持有的钱数元y/元50 120155190
（2）填空：
①降价前他每千克西瓜出售的价格是 元．
②随后他按每千克下降 1 元将剩余的西瓜售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是 450 元，他一共批发了 千克的西瓜．
（3）当 0≤x≤80 时求 y 与 x 的函数关系式．

24. 已知点 A4m−6,0，B0,m+3 分别为两坐标轴正半轴上一点，OA=OB．
（1）求 m 的值及点 A 、点 B 的坐标．
（2）若点 D 为线段 OA 上一点（不与 O，A 重合）．
①如图 1，将线段 BO 沿直线 BD 翻折，使点 O 落在 AB 边上的点 E 处，点 P 是直线 BD 上一动点，求 △PEA 的周长的最小值．
②如图 2，点 F 为 AB 的中点，点 C 在 y 轴负半轴上，若 AD+OC=CD，则 ∠CFD 的大小是否发生改变，若不变，请求出 ∠CFD 度数，若变化，请说明理由．

25. 已知抛物线 y=ax2+bx（a，b 为常数，且 a≠0）的对称轴为 x=1，且过点 1,12，点 P 是抛物线上的一个动点，点 P 的横坐标为 t，直线 AB:y=−x+3 与 x 轴相交于点 A，与 y 轴相交于点 B．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点 P 在第一象限内或 x 轴上，求 △PAB 面积的最小值．
（3）对于抛物线 y=ax2+bx，是否存在实数 m，nm答案
第一部分
1. D【解析】−4+6=6−4=2.
2. C【解析】tan45∘=1．
3. C【解析】将 110000 用科学记数法表示为：1.1×105．
4. A
5. B
【解析】由题可知，该几何体的俯视图是由三个正方形组成的矩形．
6. B【解析】∵4<6<9，
∴2<6<3．
7. A【解析】3xx−1−3x−1=3x−3x−1=3x−1x−1=3.
8. C【解析】∵ 四边形 OABC 是正方形，
∴OC=BC=1，
∵ 正方形 OA1B1C1 是由正方形 OABC 顺时针旋转 45∘ 所得，
∴OC1=B1C1=OC=1，∠COC1=45∘，
∵x 轴 ⊥y 轴，
∴∠C1OB1=90∘−∠COC1=45∘，
∴ 点 B1 在 y 轴正半轴，
在 Rt△OC1B1 中，
OB1=OC12+B1C12=12+12=2，
则点 B1 的坐标为 0,2．
9. A【解析】解方程组 y=4x−3, ⋯⋯①−x+y=6. ⋯⋯②
将①代入②，得：−x+4x−3=6，
−x+4x=6+3
3x=9
x=3．
将 x=3 代入①，得 y=12−3=9，
∴ 方程组的解为 x=3,y=9.
10. D
【解析】将点 Ax1,−5，Bx2,−3，Cx3,3 分别代入 y=15x 得：15x1=−5,15x2=−3,15x3=3,
解得 x1=−3,x2=−5,x3=5,
∵−5<−3<5，
∴x211. B【解析】∵ 在 Rt△ABC 中，∠C=90∘，∠ABC=30∘，AC=1 cm，
∴AC=12AB，则 AB=2AC=2 cm．
又由旋转的性质知，ACʹ=AC=12AB，BʹCʹ⊥AB，
∴BʹCʹ 是 △ABBʹ 的中垂线，
∴ABʹ=BBʹ．
根据旋转的性质知 AB=ABʹ=BBʹ=2 cm．
12. D【解析】①当图象与 y 轴交点，即 x=0，y=−5，
∴ ①正确；
②该函数的对称轴是直线 x=−−4a2a=2，故对任意实数 m，
都有 x1=2+m 与 x2=2−m 对应的函数值相等，故②正确；
③当 x=3 时，y=9a−12a−5=−3a−5，
当 x=4 时，y=16a−16a−5=−5，
∴ 当 a>0 时，−3a−5≤y≤−5，
∵ 若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值有 4 个，
∴−5−4<−3a−5≤−5−3，解得，1≤a<43，
当 a<0 时，−5≤y≤−3a−5，
∵ 若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值有 4 个，
∴−5+3≤−3a−5<−5+4，解得，−43由上可得，若 3≤x≤4，对应的 y 的整数值有 4 个，
则 −43 ∴ 选D．
第二部分
13. a3
【解析】利用同底数幂的除法运算法则，a6÷a3=a3．
14. y2−4
【解析】y+2y−2=y2−22=y2−4．
15. 58
【解析】从袋子中随机取出 1 个球，共有 8 种等可能情况，
其中是红球的情况有 5 种，故其概率为 58．
16. y=−x−3
17. 1
【解析】设 DF，CE 交于 O，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B=∠DCF=90∘，BC=CD=AB，
∵ 点 E，F 分别是边 AB，BC 的中点，
∴BE=CF，
∴△CBE≌△DCFSAS，
∴CE=DF，∠BCE=∠CDF，
∵∠CDF+∠CFD=90∘，
∴∠BCE+∠CFD=90∘，
∴∠COF=90∘，
∴DF⊥CE，
∴CE=DF=222+22=10，
∵ 点 G，H 分别是 EC，FD 的中点，
∴CG=FH=102，
∵∠DCF=90∘，CO⊥DF，
∴CF2=OF⋅DF，
∴OF=CF2DF=2210=105，
∴OH=31010，OD=4105，
∵OC2=OF⋅OD，
∴OC=105×4105=2105，
∴OG=CG−OC=102−2105=1010，
∴HG=OG2+OH2=110+910=1．
18. 17，方法一：如图 AC 与网格相交，
得到点 D，E，取格点 F，
连接 FB 并且延长，与网格相交，
得到 M，N，G，
连接 DN，EM，DG，DN 与 EM 相交于点 P，
点 P 即为所求．
【解析】（1）∵AB2=12+42，
∴AB=17．
（2）方法二：如图 AC 与网格相交，得到点 D，E，取格点 F，连接 FB 并且延长，与网格相交，得到 M，N，G．连接 DN，EM，DG，DN 与 EM 相交于点 P，点 P 即为所求．
理由：平行四边形 ABME 的面积 : 平行四边形 CDNB 的面积 : 平行四边形 DEMG 的面积 =1:2:3，
△PAB 的面积 =12 平行四边形 ABME 的面积，△PBC 的面积 =12 平行四边形 CDNB 的面积，△PAC 的面积 =△PNG 的面积 =12△DGN 的面积 =12 平行四边形 DEMG 的面积，
∴S△PAB:S△PBC:S△PCA=1:2:3．
第三部分
19. （1）x≤4
（2）x≥−1
（3）把不等式和的解集在数轴上分别表示出来：
（4）−1≤x≤4
【解析】（1）6x−3≤4x+5, ⋯⋯①3x+1≥2x. ⋯⋯②
解不等式①，得
6x−4x≤5+3，
2x≤8，
x≤4．
（2）解不等式②，得
3x−2x≥−1，
x≥−1．
20. （1） 35
【解析】总人数 6÷10%=60（人），
则读 4 本的人数为 60−3−18−21−6=12（人），
∵ 读 3 本的人数为 21 人，
∴21÷60×100%=35%，
补全统计图如下：
（2） 四月份读书量为 3 本的人数为 21 人，人数最多众数为 3 本，
四月份读书量的平均本数为：3×1+2×18+3×21+4×12+5×63+18+21+12+6=3（本），
∴ 平均数为 3 本，
按从小到大的顺序排列，可知本次抽取学生四月份读书量的中位数为 3，
∴ 中位数为 3 本．
（3） ∵ 在 60 名学生中，4 月份“读书量”为 4 本的学生比例为 20%，
∴350×20%=70（人），
∴4 月份读书量为 4 本的学生人数为 70 人．
21. （1） 连接 AC，
∠EAD=∠ABD+∠ADB，
又 ∵∠ADB=∠ACB，∠ABD=∠ACD，
∴∠EAD=∠DCB=75∘，
又 ∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=75∘，
∴∠BDC=180∘−75∘×2=30∘．
（2） 连接 OD，OB，
∵ED，EB 为 ⊙O 切线，
∴∠EDO=∠DBO=90∘，
又 ∵∠E=30∘，
∴∠DOB=150∘，
∠DCB=12∠DOB=75∘，
∵DB=DC，
∴∠DBC=∠DCB=75∘，
∴∠BDC=180∘−75∘×2=30∘．
22. AB 不穿过风景区．
如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
则 AD=CD⋅tanα；BD=CD⋅tanβ．
由 AD+BD=AB，得 CD⋅tanα+CD⋅tanβ=AB．
∴ CD=ABtanα+tanβ=1501.627+1.373=1503=50km．
∵ CD=50>45，
∴ 高速公路 AB 不穿过风景区．
23. （1） 85；330
【解析】当 x=10 时代入 y=3.5x+50 中得 y=85；
当 x=80 时代入 y=3.5x+50 中得 y=330．
（2） ① 3.5
② 128
【解析】①观察图象，由 2 个一次函数组成在他出售 80 千克时开始降价，
降价前每千克西瓜售价为 330−5080=3.5 元，
②降价后每千克的售价为 2.5 元，
降价后他所卖的西瓜千克数为 450−3302.5=48（千克），
∴ 他一共批发了 80+48=128（千克）．
（3） 当 0≤x≤80 时由图象可知，经过点 0,50，80,330，
设函数关系式为 y=kx+b，将上述两点代入解得 k=3.5，b=50，
∴y=3.5x+50．
24. （1） ∵A4m−6,0，B0,m+3 在正半轴上，且 OA=OB，
∴4m−6=m+3，解得 m=3，
∴4m−6=m+3=6，
∴A6,0，B0,6．
（2） ①在 Rt△ABD 中，
AB=OB2+OA2=62 勾股定理 ，
∵ 点 O 与点 E 关于 BD 对称，
∴OP=OE，OB=BE，
∵△PEA 周长 =PE+EA+PA=EA+OP+AP，
∴ 当 P 与 D 重合时，△PEA 周长最小为 EA+OP+PA=EA+OA=AB=62．
②如图，作 AN=OC，连接 OF，FN，
∵OB=OA，F 为 AB 中点，
∴OF⊥AB，∠FOA=45∘ 等腰三角形三线合一 ，
∴∠COF=135∘=∠NAF，
在 △COF 和 △NAF 中，
OF=FA,∠COF=∠NAF,OC=AN,
∴△COF≌△NAFSAS，
∴∠OFC=∠AFN，CF=FN．
∵CD=AD+OC=AD+AN=DN，
∴ 在 △FDC 和 △FDN 中，
CF=FN,FD=FD,DC=DN,
∴△FDC≌△FDNSSS．
∴∠CFD=∠NFD，
∴DF 平分 ∠CFD，
又 ∵∠OFC=∠AFN，OF⊥AB，
∴∠CFN=90∘，
∴∠CFD=45∘，
即 ∠CFD 大小不变为 45∘．
25. （1） 函数的对称轴为 x=1=−b2a，即 b=−2a，
故抛物线的表达式为：y=ax2−2ax，
将 1,12 代入上式并解得：a=−12，
故抛物线的表达式为：y=−12x2+x．
（2） 过点 P 作 PH∥y 轴交 BA 于点 H，
设点 Px,−12x2+x，则点 Hx,−x+3，
△PAB 面积
S=S△PHA+S△PHB=12×PH×OA=12−x+3+12x2−x×3=34x2−3x+92,
∵34>0，故 S 有最小值，当 x=2 时，S 的最小值为 32．
（3） 存在．
y=−12x2+x=−12x−12+12≤12，
∴ 如果存在 m，n，则必须 3n≤12，即 n≤16，
当 x≤1 时，y 随 x 的增大而增大，
∴ 当 x=m 时，y=−12m2+m=3m，解得：m=−4 或 0（舍去 0）；
当 x=n 时，y=−12n2+n=3n，解得：n=−4 或 0（舍去 −4）；
故 m=−4，n=0．