2020年江苏省苏州市姑苏区五校联考中考一模数学试卷

这是一份2020年江苏省苏州市姑苏区五校联考中考一模数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（共10小题；共50分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是
A. B.
C. D.

2. 下列运算正确的是
A. m⋅m=2mB. mn3=mn3C. m23=m6D. m6÷m2=m3

3. 某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 20，18，23，17，20，20，18，则这组数据的众数与中位数分别是
A. 18 分，17 分B. 20 分，17 分C. 20 分，19 分D. 20 分，20 分

4. 如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 在边 DC 上，DE:EC=3:1，连接 AE 交 BD 于点 F，则 △DEF 的面积与 △BAF 的面积之比为
A. 3:4B. 9:16C. 9:1D. 3:1

5. 将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为
A. 25B. 12C. 35D. 无法确定

6. 小明在学了尺规作图后，通过“三弧法“作了一个 △ACD，其作法步骤是：
①作线段 AB，分别以 A，B 为圆心，AB 长为半径画弧，两弧的交点为 C；
②以 B 为圆心，AB 长为半径画弧交 AB 的延长线于点 D；
③连接 AC，BC，CD．
下列说法不正确的是
A. ∠A=60∘B. △ACD 是直角三角形
C. BC=32CDD. 点 B 是 △ACD 的外心

7. 如图，在一笔直的海岸线 l 上有相距 3 km 的 A，B 两个观测站，B 站在 A 站的正东方向上，从 A 站测得船 C 在北偏东 60∘ 的方向上，从 B 站测得船 C 在北偏东 30∘ 的方向上，则船 C 到海岸线 l 的距离是 km．
A. 32B. 3C. 332D. 23

8. 如图，点 A，B，C，D，E 在 ⊙O 上，AE 的度数为 60∘，则 ∠B+∠D 的度数是
A. 180∘B. 120∘C. 100∘D. 150∘

9. 对于抛物线 y=ax2+2ax，当 x=1 时，y>0，则这条抛物线的顶点一定在
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限

10. 如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A→D→B 以 1 cm/s 的速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时，△FBC 的面积 ycm2 随时间 xs 变化的关系图象，则 a 的值为
A. 52B. 2C. 5D. 25

二、填空题（共8小题；共40分）
11. 若 x−1 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．

12. 分解因式：4x2−1= ．

13. 2019 年岁末，新冠病毒肆虐中国，极大的危害了人民群众的生命健康，据统计，截至 2020 年 3 月 28 日 23 时中国累计确诊人数约为 83000 人，83000 用科学记数法可表示为 ．

14. 已知圆锥的母线长为 6，侧面积为 12π，则圆锥的半径长为 ．

15. 如图，点 E 在正方形 ABCD 的边 AB 上，以 CE 为边向正方形 ABCD 外部作正方形 CEFG，连接 AF，P，Q 分别是 AF，AB 的中点，连接 PQ．若 AB=6，CE=4，则 PQ= ．

16. 某日上午，甲，乙两车先后从A地出发沿同一条公路匀速前往B地，甲车 8 点出发，如图是其行驶路程 s（千米）随行驶时间 t（小时）变化的图象．乙车 9 点出发，若要在 10 点至 11 点之间（含 10 点和 11 点）追上甲车，则乙车的速度 v（单位：千米/小时）的范围是 ．

17. 如图，矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 AD，BC 上，且 AE=DE，BC=3BF，连接 EF，将矩形 ABCD 沿 EF 折叠，点 A 恰好落在 BC 边上的点 G 处，则 cs∠EGF 的值为 ．

18. 如图，在 △ABC 中，AB=AC=10，BC=85，D 为边 AC 上一动点（C 点除外），把线段 BD 绕着点 D 沿着顺时针的方向旋转 90∘ 至 DE，连接 CE，则 △CDE 面积的最大值为 ．

三、解答题（共10小题；共130分）
19. 计算：3−10+−3−4．

20. 解不等式组：2x−1≤5,1−x+62<2x+13, 并把解集在数轴上表示出来．

21. 先化简，再求值：1x−1−1÷x2−4x+4x−1，其中 x=2+3．

22. 如图，在 △ABC 中，AB=CB，∠ABC=90∘，D 为 AB 延长线上一点，点 E 在 BC 边上，且 BE=BD，连接 AE，DE，DC．
（1）求证：△ABE≌△CBD；
（2）若 ∠CAE=30∘，求 ∠BDC 的度数．

23. 某校决定对学生感兴趣的球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球）进行问卷调查，学生可根据自己的喜好选修一门，李老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）该班学生人数有 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）若该校共有学生 3500 名，请估计有多少人选修足球?
（4）该班班委 5 人中，1 人选修篮球，3 人选修足球，1 人选修排球，李老师要从这 5 人中任选 2 人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球的概率．

24. 我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买 20 个甲种规格的排球和 15 个乙种规格的足球，一共需要花费 2050 元；如果购买 10 个甲种规格的排球和 20 个乙种规格的足球，一共需要花费 1900 元．
（1）求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元?
（2）如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共 50 个，并且预算总费用不超过 3210 元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球?

25. 如图，在平面直角坐标系中，已知 △ABC，∠ABC=90∘，顶点 A 在第一象限，B，C 在 x 轴的正半轴上（C 在 B 的右侧），BC=3，AB=4．若双曲线 y=kxk≠0 交边 AB 于点 E，交边 AC 于中点 D．
（1）若 OB=2，求 k；
（2）若 AE=38AB，求直线 AC 的解析式．

26. 如图，△ABC 中，AB=AC，以 AC 为直径的 ⊙O 交 BC 于点 D，交 AB 于点 E，点 F 为 AC 延长线上一点，且 ∠BAC=2∠CDF．
（1）求证：DF 是 ⊙O 的切线；
（2）连接 DE，求证：DE=DB；
（3）若 csB=13，CF=2，求 ⊙O 的半径．

27. 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 P 是对角线 AC 上一动点（不与点 C 和点 A 重合），连接 PB，过点 P 作 PF⊥PB 交射线 DA 于点 F，连接 BF．已知 AD=33，CD=3，设 CP 的长为 x．
（1）线段 PB 的最小值 ，当 x=1 时，∠FBP= ；
（2）如图，当动点 P 运动到 AC 的中点时，AP 与 BF 的交点为 G，FP 的中点为 H，求线段 GH 的长度；
（3）当点 P 在运动的过程中：
①试探究 ∠FBP 是否会发生变化?若不改变，请求出 ∠FBP 大小；若改变，请说明理由；
②当 x 为何值时，△AFP 是等腰三角形?

28. 如图，二次函数 y=−x2+bx+8 的图象与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为 2,0，点 D0,2 在 y 轴上，连接 AD．
（1）b= ；
（2）若点 P 是抛物线在第二象限上的点，过点 P 作 PF⊥x 轴，垂足为 F，PF 与 AD 交于点 E．是否存在这样的点 P, 使得 PE=7EF?若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点 P 在抛物线上，且点 P 的横坐标大于 −4，过点 P 作 PH⊥AD，垂足为 H，直线 PH 与 x 轴交于点 K，且 S△HKA=12S△PHA，求点 P 的坐标．
答案
第一部分
1. B【解析】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
2. C【解析】A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A不符合题意；
B、积的乘方等于乘方的积，故B不符合题意；
C、幂的乘方底数不变指数相乘，故C符合题意；
D、同底数幂的除法底数不变指数相减，故D不符合题意．
3. D【解析】将数据重新排列为 17，18，18，20，20，20，23，
所以这组数据的众数为 20 分、中位数为 20 分．
4. B【解析】∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
∴DC∥AB，
∴△DFE∽△BFA，
∵DE:EC=3:1，
∴DE:DC=3:4，
∴DE:AB=3:4，
∴S△DFE:S△BFA=9:16．
5. B
【解析】设正六边形边长为 a ，
则灰色部分面积为 3×12×3a×12a=343a2 ，
白色区域面积为 123a×32a=343a2 ，
∴ 正六边形面积为 323a2 ，
镖落在白色区域的概率 P=343a2323a2=12 ．
6. C【解析】由作图可知：AB=BC=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠A=60∘，
∵BA=BC=BD，
∴△ACD 是直角三角形，
∴ 点 B 是 △ACD 的外心．
7. C【解析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，
根据题意得：∠CAD=90∘−60∘=30∘，
∠CBD=90∘−30∘=60∘，
∴∠ACB=∠CBD−∠CAD=30∘，
∴∠CAB=∠ACB，
∴BC=AB=3 km，
在 Rt△CBD 中，
∴CD=BC⋅sin60∘=3×32=332km．
∴ 船 C 到海岸线 l 的距离是 332 km．
8. D【解析】连接 AB，DE，则 ∠ABE=∠ADE．
∵AE 的度数为 60∘，
∴∠ABE=∠ADE=30∘，
∵ 点 A，B，C，D 在 ⊙O 上，
∴ 四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠ADC=180∘，
∴∠ABE+∠EBC+∠ADC=180∘，
∴∠EBC+∠ADC=180∘−∠ABE=180∘−30∘=150∘．
9. C【解析】当 x=1 时，y=a+2a=3a>0，
函数的对称轴为：x=−1，顶点纵坐标为：0−4a24a=−a<0，
故顶点的横坐标和纵坐标都为负数．
10. A
【解析】过点 D 作 DE⊥BC 于点 E．
由图象可知，点 F 由点 A 到点 D 用时为 a s，△FBC 的面积为 a cm2．
∴AD=a，
∴12BC⋅DE=12AD⋅DE=12a⋅DE=a，
∴DE=2，
当点 F 从 D 到 B 时，用 5 s，
∴BD=5，
Rt△DBE 中，BE=BD2−DE2=52−22=1，
∵ 四边形 ABCD 是菱形，
∴EC=a−1，DC=a，
Rt△DEC 中，a2=22+a−12，解得 a=52．
第二部分
11. x≥1
【解析】若 x−1 在实数范围内有意义，则 x−1≥0，解得：x≥1．
12. 2x+12x−1
【解析】4x2−1=2x+12x−1．
13. 8.3×104
【解析】83000=8.3×104．
14. 2
【解析】设圆锥的底面圆的半径为 r，
根据题意得 12×2πr×6=12π，解得 r=2，即圆锥的底面圆的半径为 2．
15. 29
【解析】连接 BF．
∵ 正方形 ABCD 和正方形 CEFG 中，AB=6，CE=4，
∴GF=GC=4，BC=6，
∴BG=GC+BC=4+6=10，
∴BF=BG2+FG2=102+42=229，
∵P，Q 分别是 AF，AB 的中点，
∴PQ=12BF=29．
16. 60≤v≤80
【解析】根据图象可得，甲车的速度为 120÷3=40（千米/时）．
由题意，得 v≤2×40,2v≥3×40,
解得 60≤v≤80．
17. 23
【解析】连接 AF，如图所示：
∵ 四边形 ABCD 为矩形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴∠AEF=∠GFE，
由折叠的性质可知：∠AFE=∠GFE，AF=FG，
∴∠AEF=∠AFE，
∴AF=AE，
∴AE=FG，
∴ 四边形 AFGE 是平行四边形，
∴AF∥EG，
∴∠EGF=∠AFB，
设 BF=2x，则 AD=BC=6x，AF=AE=FG=3x，
在 Rt△ABF 中，cs∠AFB=BFAF=2x3x=23，
∴cs∠EGF=23．
18. 32
【解析】如图，过点 E 作 EF⊥AC 于 F，作 BH⊥AC 于点 H．
∴∠EFD=∠BHD=90∘，
∵BH2=BC2−CH2，BH2=AB2−AH2，
∴320−10+AH2=100−AH2，
∴AH=6，
∵ 将线段 BD 绕 D 点顺时针旋转 90∘ 得到线段 ED，
∴BD=DE，∠BDE=90∘，
∴∠BDF+∠EDF=90∘，且 ∠EAF+∠AEF=90∘，
∴∠AEF=∠BDF，
又 ∵∠EFD=∠BHD=90∘，BD=DE，
∴△BDH≌△DEFAAS，
∴EF=DH，
∵△CDE 面积 =12CD×EF=12×CD×16−CD=−12CD−82+32，
∴ 当 CD=8 时，△CDE 面积的最大值为 32．
第三部分
19. 原式=1+3−2=2.
20. 解不等式 2x−1≤5，得：
x≤3.
解不等式 1−x+62<2x+13，得：
x>−2.
则不等式组的解集为
−2将不等式组的解集表示在数轴上如下：
21. 原式=1−x−1x−1⋅x−1x−22=1−x+1x−1⋅x−1x−22=2−xx−1⋅x−1x−22=12−x.
当 x=2+3 时，
原式=12−2−3=−33.
22. （1） ∵∠ABC=90∘，
∴∠DBC=90∘，
在 △ABE 和 △CBD 中
AB=CB,∠ABE=∠CBD,BE=BD
∴△ABE≌△CBDSAS．
（2） ∵AB=CB，∠ABC=90∘，
∴∠BCA=45∘，
∴∠AEB=∠CAE+∠BCA=30∘+45∘=75∘，
∵△ABE≌△CBD，
∴∠BDC=∠AEB=75∘．
23. （1） 50
【解析】该班学生人数有 8÷16%=50（人）．
（2） C项目人数为 50×24%=12（人），
E项目的人数为 50×8%=4（人），
则A项目的人数为 50−8+12+6+4=20（人），
补全图象如下：
（3） 3500×2050=1400（人），
答：估计有 1400 人选修足球．
（4） 画树状图：
共有 20 种等可能的结果数，其中选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球占 6 种，
所以选出的 2 人恰好 1 人选修篮球，1 人选修足球的概率 =620=310．
24. （1） 设每个甲种规格的排球的价格为 x 元，每个乙种规格的足球的价格为 y 元，
依题意，得：
20x+15y=2050,10x+20y=1900.
解得：
x=50,y=70.
答：每个甲种规格的排球的价格为 50 元，每个乙种规格的足球的价格为 70 元．
（2） 设学校购买 m 个乙种规格的足球，则购买 50−m 个甲种规格的排球，
依题意，得：
5050−m+70m≤3210.
解得：
m≤3512.
又 ∵m 为整数，
∴m 的最大值为 35．
答：该学校至多能购买 35 个乙种规格的足球．
25. （1） 设点 Bm,0，则点 Cm+3,0，点 Am,4，
由中点公式得，点 Dm+32,2．
当 OB=2=m 时，点 D72,2，
将点 D 的坐标代入反比例函数表达式得：k=72×2=7．
（2） AE=38AB，则 EB=58AB=52，故点 Em,52，
∵ 点 E，D 都在反比例函数上，
故 k=2×m+32=m×52，解得：m=6，
过点 A，C 的坐标分别为：6,4，9,0，
设直线 AC 的表达式为：y=kx+b，
则 4=6k+b,0=9k+b, 解得 k=−43,b=12,
故直线 AC 的表达式为：y=−43x+12．
26. （1） 连接 AD，OD．
∵AC 为 ⊙O 的直径，
∴∠ADC=90∘，
∴∠ADO+∠CDO=90∘，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠BAC=2∠CAD，
∵∠BAC=2∠CDF，
∴∠CAD=∠CDF，
∴∠ODC+∠CDF=90∘，
∴∠ODF=90∘，
∴DF 是 ⊙O 的切线．
（2） ∵AB=AC，
∴∠B=∠ACD，
∵∠BED=∠ACD，
∴∠BED=∠B，
∴DE=DB．
（3） ∵∠DAC=∠CDF，∠F=∠F，
∴△ADF∽△DCF，
∴DFAF=CFDF=CDAD，
∵csB=csACB=13，
∴ 设 CD=k，AC=3k，
∴AD=AC2−CD2=22k，
∴DFAF=CFDF=k22k=24，
∵CF=2，
∴DF=42，
∴AF=16，
∴AC=AF−CF=14，
∴AO=OC=7，
∴⊙O 的半径是 7．
27. （1） 332；30∘
【解析】∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠ABC=90∘，
∴AC=AB2+BC2=6，
当 BP⊥AC 时，线段 PB 的值最小，
S△ABC=12×AB×BC=12×AC×BP，即 3×33=BP×6，
解得，BP=332，
过点 P 作 PM⊥ 交 AD 于 M，交 BC 于 N，则 PN∥AB，
∴△CPN∽△CAB，
∴CPCA=PNAB=CNCB，
即 16=PN3=CN33，解得 PN=12，CN=32，
∴PM=3−12=52，BN=33−32=532，
∵∠BPF=90∘，∠PMF=90∘，
∴△FMP∽△PNB，
∴PFPB=PMBN=33，
∴tan∠PBF=PFPB=33，
∴∠FBP=30∘．
（2） 在 Rt△ABC 中，AP=PC，
∴BP=12BC=3，
∴BA=BP=AP，
∴△ABP 为等边三角形，
∴∠ABP=60∘，
在 Rt△ABF 和 Rt△PBF 中，
BA=BP,BF=BF,
∴Rt△ABF≌Rt△PBFHL，
∴∠ABF=∠PBF=30∘，AP⊥BF，
∴PF=BP⋅tan∠BPF=3，
在 Rt△FGP 中，FH=HP，
∴GH=12PF=32．
（3） ① ∠FBP=30∘．
理由如下：由（1）可知，△FMP∽△PNB，
∴PFPB=PMBN=33，
∴tan∠PBF=PFPB=33，
∴∠FBP=30∘；
②当 FA=FP 时，BA=BP，
∴△ABP 为等边三角形，
∴AP=AB=3，
∴x=CP=3，
当 PA=PF 时，∠APF=120∘>90∘，不合题意；
当 AP=AF 时，∠CBP=∠CPB=75∘，
∴∠CBP=∠CPB=75∘，
∴CP=CB=33，即 x=33．
综上所述，x=3 或 33 时，△AFP 是等腰三角形．
28. （1） −2
【解析】∵ 二次函数 y=−x2+bx+8 的图象与 x 轴交于点 B2,0，
∴−4+2b+8=0，
解得：b=−2．
（2） ∵ 二次函数 y=−x2−2x+8 的图象与 x 轴交于点 A，B，
∴y=0 时，x=2或−4，
∴A−4,0，
设直线 AD 的解析式为 y=kx+m，
∴−4k+m=0,m=2,
解得：k=12,m=2,
∴ 直线 AD 的解析式为 y=12x+2，
设 Pt,−t2−2t+8，则 Et,12t+2，
∴PE=−t2−2t+8−12t−2=−t2−52t+6，EF=12t+2，
∵PE=7EF，
∴−t2−52t+6=712t+2，
解得：t1=−2，t2=−4（舍去），
∴P−2,8，
故存在这样的点 P，使得 PE=7EF，点 P 的坐标为 −2,8．
（3） 如图，延长 AD 交抛物线于 T，过点 P 作 PF⊥x 轴于点 F，交 AD 于点 E，
①若点 P 在直线 AT 上方，
∵OA=4，OD=2，∠AOD=90∘，
∴AD=OA2+OD2=25，
∵AH⊥PH，
∴∠FAD+∠AEF=90∘，∠EPH+∠PEH=90∘，∠AEF=∠PEH，
∴∠FAD=∠EPH，
∴cs∠FAD=OAAD=425=255=cs∠EPH=PHPE，
∴PH=255PE，
∴cs∠FPK=PFPK=255，
∴PK=52PF，
∵S△HKA=12S△PHA，
∴KH=12PH，
∴PK=32PH，
∴52PF=32PH=32×255PE，
∴PEPF=56，
设 Pt,−t2−2t+8，则 5−t2−2t+8=6−t2−52t+6，
解得 t=−1 或 t=−4（舍去），
∴P−1,9．
②若 P 在直线 AT 的下方，且在 x 轴上方，此时 S△HKA>S△PHA，不合题意，舍去．
③若 P 在 x 轴下方，可得 2PE=5PF，
∴2t2+52t−6=5t2+2t−8，
解得：t=73 或 t=−4（舍去），
∴P73,−199．
综合以上可得，满足条件的点 P 的坐标为 −1,9 或 73,−199．