2020-2021学年福建省龙岩市永定区金丰片九年级（上）第一次联考数学试卷

这是一份2020-2021学年福建省龙岩市永定区金丰片九年级（上）第一次联考数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年福建省龙岩市永定区金丰片九年级（上）第一次联考数学试卷
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（4分）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
3．（4分）如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3
4．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
5．（4分）若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
6．（4分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　）

A．34° B．36° C．38° D．40°
7．（4分）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2﹣m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．（4分）当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b＝0；⑤Δ＝b2﹣4ac＜0中成立式子（　　）

A．②④⑤ B．②③⑤ C．①②④ D．①③④
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为　 　．
12．（4分）函数y＝2（x+1）2+1，当x　 　时，y随x的增大而减小．
13．（4分）已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝　 　．
14．（4分）一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程　 　．
15．（4分）已知⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是　 　．
16．（4分）如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2020秒点P所在位置的坐标为 　 　．

三、解答题（共86分）
17．（8分）解方程：x2﹣8x+7＝0
18．（8分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？
19．（8分）已知抛物线的顶点为（4，﹣8），并且经过点（6，﹣4），试确定此抛物线的解析式．并写出对称轴方程．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE的长．

21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，连接BE，以BE为一边作等边三角形BEF，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并说明这两个三角形经过什么样的旋转可重合．

22．（10分）二次函数y＝ax2+2x﹣1与直线y＝2x﹣3交于点P（1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2；
（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为　 　．

24．（12分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．


2020-2021学年福建省龙岩市永定区金丰片九年级（上）第一次联考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题4分，共40分）
1．（4分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
B．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
2．（4分）要使方程（a﹣3）x2+（b+1）x+c＝0是关于x的一元二次方程，则（　　）
A．a≠0 B．a≠3
C．a≠1且b≠﹣1 D．a≠3且b≠﹣1且c≠0
【分析】本题根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件：
（1）未知数的最高次数是2；
（2）二次项系数不为0．
【解答】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，a﹣3≠0，a≠3．故选B．
3．（4分）如果将抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝x2+1 D．y＝x2+3
【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2向下平移1个单位，
∴抛物线的解析式为y＝x2+2﹣1，即y＝x2+1．
故选：C．
4．（4分）抛物线y＝（x﹣2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（2，3） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】已知解析式为顶点式，可直接根据顶点式的坐标特点，求顶点坐标，从而得出对称轴．
【解答】解：y＝（x﹣2）2+3是抛物线的顶点式方程，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（2，3）．
故选：A．
5．（4分）若方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，且a＞b，则下列结论中正确的是（　　）
A．a是19的算术平方根 B．b是19的平方根
C．a﹣5是19的算术平方根 D．b+5是19的平方根
【分析】结合平方根和算术平方根的定义可做选择．
【解答】解：∵方程（x﹣5）2＝19的两根为a和b，
∴a﹣5和b﹣5是19的两个平方根，且互为相反数，
∵a＞b，
∴a﹣5是19的算术平方根，
故选：C．
6．（4分）如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（　　）

A．34° B．36° C．38° D．40°
【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．
【解答】解：由题意得，∠AOD＝31°，∠BOC＝31°，又∠AOC＝100°，
∴∠DOB＝100°﹣31°﹣31°＝38°．
故选：C．
7．（4分）若A（﹣6，y1），B（﹣3，y2），C（1，y3）为二次函数y＝x2﹣m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y3＜y2＜y1 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【分析】根据二次函数图象上点的坐标特征可求出y1、y2、y3的值，比较后即可得出结论．
【解答】解：∵A（﹣6，y1）、B（﹣3，y2）、C（1，y3）为二次函数y＝x2﹣m图象上的三点，
∴y1＝36﹣m，y2＝9﹣m，y3＝1﹣m，
∴y3＜y2＜y1．
故选：A．
8．（4分）当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．
【解答】解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；
∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；
∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．
故选：A．
9．（4分）把抛物线y＝（x﹣1）2+2绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+1）2﹣2 B．y＝﹣（x﹣1）2﹣2
C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x+1）2+2
【分析】求出原抛物线的顶点坐标以及绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标，再根据旋转后抛物线开口方向向下，利用顶点式解析式写出即可．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2），
∴绕原点旋转180°后的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣2），
∴所得到的图象的解析式为y＝﹣（x+1）2﹣2．
故选：A．
10．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则在下列各式子：①abc＞0；②a+b+c＞0；③a+c＞b；④2a+b＝0；⑤Δ＝b2﹣4ac＜0中成立式子（　　）

A．②④⑤ B．②③⑤ C．①②④ D．①③④
【分析】根据二次函数的性质，利用数形结合的思想一一判断即可；
【解答】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴的右侧，
∴a，b异号，
∴b＜0，
∵抛物线交y轴于负半轴，
∴c＜0，
∴abc＞0，故①正确，
∵x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，故②错误，
∵x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
∴a+c＞b，故③正确，
∵对称性x＝1，
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故④正确，
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，故⑤错误，
故选：D．
二、填空题（每小题4分，共24分）
11．（4分）将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，所得的点的坐标为　（1，0）　．
【分析】点（0，1）在y轴的正半轴上，到原点的距离为1，将它绕原点顺时针旋转90°，所得的点在x轴的正半轴上，且到原点的距离为1，由此就可得到所求点的坐标
【解答】解：将点（0，1）绕原点顺时针旋转90°，
所得的点在x轴的正半轴上，到原点的距离为1，
因而该点的坐标为（1，0）．
故答案为（1，0）．
12．（4分）函数y＝2（x+1）2+1，当x　≤﹣1　时，y随x的增大而减小．
【分析】根据函数解析式可知，开口方向向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小．
【解答】解：∵函数的对称轴为x＝﹣1，
又∵二次函数开口向上，
∴在对称轴的左侧y随x的增大而减小，
∵x≤﹣1时，y随x的增大而减小，
故答案为：x≤﹣1．
13．（4分）已知关于x的方程x2+3x+k2＝0的一个根是﹣1，则k＝　±　．
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把x＝﹣1代入原方程即可得k的值．
【解答】解：把x＝﹣1代入方程x2+3x+k2＝0可得1﹣3+k2＝0，解得k2＝2，∴k＝±．
故本题答案为k＝±．
14．（4分）一种药品原价每盒25元，两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，可列方程　25（1﹣x）2＝16　．
【分析】由两次降价的百分率都为x结合原价及两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：设两次降价的百分率都为x，根据题意，得
25（1﹣x）2＝16．
故答案为：25（1﹣x）2＝16．
15．（4分）已知⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是　4≤OM≤5　．
【分析】过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，根据垂径定理求出AC，根据勾股定理求出OC，根据垂线段最短解答．
【解答】解：过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，
由垂线段最短可知当M于点C重合时OM最短，当OM是半径时最长，
∵⊙O的直径为10，
∴OA＝5，
∵OC⊥AB，
∴AC＝AB＝3，
在Rt△OAC中，
OC＝＝＝4，
∴当OM＝4时最短，
∴OM长的取值范围是：4≤OM≤5．
故答案为：4≤OM≤5．

16．（4分）如图，⊙O的半径为1，动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，即第1秒点P位于如图所示位置，第2秒点P位于点C的位置，…，则第2020秒点P所在位置的坐标为 　（﹣1，0）　．

【分析】首先判断点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，再求出第2020秒点P所在位置与B点重合即可．
【解答】解：∵动点P从点A处沿圆周以每秒45°圆心角的速度逆时针匀速运动，
360÷45＝8，
∴点P所在位置以8秒为一个周期依次循环，
∵2020÷8＝252•••4，
∴第2020秒点P所在位置与B点重合，即（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
三、解答题（共86分）
17．（8分）解方程：x2﹣8x+7＝0
【分析】利用因式分解法求解即可．
【解答】解：
分解因式可得（x﹣1）（x﹣7）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣7＝0，
∴x＝1或x＝7．
18．（8分）元旦了，九（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，求九（2）班有多少个同学？
【分析】设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，根据全班交换小礼物共1560件，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：设九（2）班有x个同学，则每个同学交换出（x﹣1）件小礼物，
根据题意得：x（x﹣1）＝1560，
解得：x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．
答：九（2）班有40个同学．
19．（8分）已知抛物线的顶点为（4，﹣8），并且经过点（6，﹣4），试确定此抛物线的解析式．并写出对称轴方程．
【分析】根据题意可以设出该抛物线的顶点式，然后根据该抛物线过点（6，﹣4），即可求得a的值，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线的顶点为（4，﹣8），
∴可设抛物线解析式为y＝a（x﹣4）2﹣8，
将点（6，﹣4）代入，得：4a﹣8＝﹣4，
解得：a＝1，
则此抛物线的解析式为y＝（x﹣4）2﹣8＝x2﹣8x+8，
其对称轴方程为x＝4．
20．（8分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，求线段OE的长．

【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．
【解答】解：连接OD，如图所示：

∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，又CD＝16，
∴CE＝DE＝CD＝8，又OD＝AB＝10，
∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，
根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
∴OE＝＝6，
则OE的长度为6．
21．（8分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝60°，E是CD边上一点，连接BE，以BE为一边作等边三角形BEF，请用直尺在图中连接一条线段，使图中存在经过旋转可完全重合的两个三角形，并说明这两个三角形经过什么样的旋转可重合．

【分析】根据△BEF是等边三角形，可得∠EBF＝60°＝∠CBA，EB＝FB，进而得出∠CBE＝∠ABF，再根据AB＝BC，即可得到△BCE≌△BAF，进而得出将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
【解答】解：如图，连接AF．

将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
理由：
∵△BEF是等边三角形，
∴∠EBF＝60°＝∠CBA，EB＝FB，
∴∠CBE＝∠ABF，
又∵AB＝BC，
∴△BCE≌△BAF，
∴将△CBE绕点B逆时针旋转60°，可与△ABF重合．
22．（10分）二次函数y＝ax2+2x﹣1与直线y＝2x﹣3交于点P（1，b）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）求此二次函数的顶点坐标，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）利用配方法求出顶点坐标即可解决问题；
【解答】解：（1）∵点P（1，b）在直线y＝2x﹣3上，
∴b＝2﹣3＝﹣1，
∴P（1，﹣1），
把P（1，﹣1）代入y＝ax2+2x﹣1，得到a＝﹣2，
∴二次函数的解析式为y＝﹣2x2+2x﹣1．

（2）∵y＝﹣2（x﹣）2﹣，
∴顶点坐标为（，﹣），
当x＞时，y随x的增大而减小．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）若将△ABC向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1绕原点顺时针旋90°后得到 的△A2B2C2；
（3）若△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，则对称中心的坐标为　（1，0）　．

【分析】（1）首先将A、B、C三点分别向右平移3个单位，再向上平移1个单位，得A1、B1、C1三点，顺次连接这些点，即可得到所求作的三角形；
（2）找出点B、C绕点A顺时针旋转90°的位置，然后顺次连接即可；
（3）△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，连接对应点即可得出答案．
【解答】解：（1）将A，B，C，分别右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，可得出平移后的△A1B1C1；

（2）将△A1B1C1三顶点A1，B1，C1，绕原点旋转90°，即可得出△A2B2C2；

（3）∵△A′B′C′与△ABC是中心对称图形，
连接AA′，BB′CC′可得出交点：（1，0），
故答案为：（1，0）．

24．（12分）某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元（x为正整数），每月的销量为y箱．
（1）写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？
【分析】（1）根据价格每降低1元，平均每月多销售10箱，由每箱降价x元，多卖10x，据此可以列出函数关系式；
（2）由利润＝（售价﹣成本）×销售量列出函数关系式，求出最大值．
【解答】解：（1）根据题意，得：y＝60+10x，
由36﹣x≥24得x≤12，
∴1≤x≤12，且x为整数；

（2）设所获利润为W，
则W＝（36﹣x﹣24）（10x+60）
＝﹣10x2+60x+720
＝﹣10（x﹣3）2+810，
∵a＜0
∴函数开口向下，有最大值，
∴当x＝3时，W取得最大值，最大值为810，
答：超市定价为33元时，才能使每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．
25．（14分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M（m，0）是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值．

【分析】（1）把A点的坐标代入抛物线解析式，求b的值，即可得出抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出顶点坐标；
（2）根据直角三角形的性质，推出AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，即AC2+BC2＝25＝AB2，即可确定△ABC是直角三角形；
（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC'＝2．连接C'D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．首先确定最小值，然后根据三角形相似的有关性质定理，求m的值
【解答】解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y＝x2+bx﹣2上，
∴×（﹣1 ）2+b×（﹣1）﹣2＝0，解得b＝
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．
y＝x2﹣x﹣2
＝（ x2﹣3x﹣4 ）
＝（x﹣）2﹣，
∴顶点D的坐标为 （，﹣）．

（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0）
∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′＝2，
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD的值最小．
解法一：设抛物线的对称轴交x轴于点E．
∵ED∥y轴，∴∠OC′M＝∠EDM，∠C′OM＝∠DEM
∴△C′OM∽△DEM．
∴
∴，
∴m＝．

解法二：设直线C′D的解析式为y＝kx+n，
则，
解得：．
∴．
∴当y＝0时，，．
∴．

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日期：2021/8/16 23:16:02；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298