2021年江苏省扬州市高邮市中考数学第一次适应性试卷 (1)

这是一份2021年江苏省扬州市高邮市中考数学第一次适应性试卷 (1)，共28页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列四个数：﹣4，﹣3，，π中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．D．π
2．（3分）根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000剂次，将133801000用科学记数法表示为（ ）
A．1.33801×107B．1.33801×108
C．13.3801×107D．0.133801×109
3．（3分）为了解清明假期在高邮高铁站下车的人数情况，随机抽查了清明假期中某一天在高邮高铁站下车的人数情况，被抽查的清明假期中某一天在高邮高铁站下车的人数情况是该问题的（ ）
A．总体B．个体C．样本D．样本容量
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，MH⊥EF于点M，则图中与∠BMH互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．（3分）已知三点P1（a，b），P2（c，d），P3（m2+3，﹣1）在同一个反比例函数图象上，若a＜0，c＞0，则下列式子正确的是（ ）
A．b＜d＜0B．b＜0＜dC．b＞d＞0D．b＞0＞d
6．（3分）如图，王老师将汽车停放放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高AB为16dm，汽车轮胎的直径为80dm，请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点BC长为（ ）
A．35dmB．32dmC．30dmD．33dm
7．（3分）关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，则a满足的条件是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
8．（3分）如图，∠AOB＝90°，OC＝2，D为OC中点，长为1的线段EF（点F在点E的下方）在直线OB上移动，连接DE，CF，则DE+CF的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
二、填空题（每题3分共30分）
9．（3分）某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差 kg．
10．（3分）已知3142＝98596，若＝3.14，则a＝ ．
11．（3分）分解因式：x2﹣y2﹣4y﹣4＝ ．
12．（3分）有棱长比为1：3的两个正方体容器，若小容器能盛水10千克，则大容器能盛水 千克．
13．（3分）《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．则每只雀的重量为 两．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝ °．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M（﹣1，8）、N（a，8），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则整数a的值可以为 ．（写出一个即可）
16．（3分）如图，在△ABC中，BC＝4，若将△ABC平移6个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，则PQ的最大值是 ．
17．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣5，则a的取值范围是 ．
18．（3分）如图，等边△ABC中，BC＝6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH＝AC，AO＝AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为 ．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：+（﹣）﹣2+（π+2021）0﹣6tan30°；
（2）解方程：4x（x﹣1）＝（3﹣x）（x+3）．
20．（8分）先化简，再求值：，其中m＝﹣2．
21．（8分）为了解某校八年级学生体质健康测试项目“坐位体前屈”情况．随机抽取了该校八年级部分学生进行一次“坐位体前屈”测试，并根据标准将测试成绩分成A、B、C、D四个等级，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图．
回答下列问题：
（1）被抽查的学生共有 人，扇形统计图中，“B等级”所对应圆心角为 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若D等级属于不合格，该校八年级共有学生600人，请估计该校八年级不合格的人数约有多少？
22．（8分）王强患有“红绿”色盲（分不清红色、绿色），星期天下午，晾晒袜子的架上有王强的2只红色运动袜、2只绿色运动袜（运动袜除颜色外其余均相同），王强要拿运动袜穿上去打篮球．
（1）王强从中任意拿一只运动袜是红色运动袜的事件是 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
（2）求王强从中任意拿两只运动袜穿上，是同一种颜色运动袜的概率．
23．（10分）学校组织九年级同学进行游学活动，学生计划分乘大巴车和中巴车各一辆车前往相距70km“珠湖小镇”游玩，若中巴车速度是大巴车速度的1.4倍，则中巴车比大巴车早0.5小时到达，求中巴车和大巴车速度．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，将△ADB沿直线AB翻折到△AEB．
（1）试判断四边形ADBE的形状，并说明理由；
（2）若BC＝10，AC＝8，求D、E两点之间的距离．
25．（10分）如图，建在山腰点A处的一座“5G”发射塔AB与地面CM垂直，在地
面C处测得发射塔AB的底部A、顶端B的仰角分别为30°、60°，在地面D处测得发射塔AB的底部A的仰角为45°．
（1）若设AC＝k，则AD＝ ；（用含k的代数式表示）
（2）若测得CD＝（18﹣18）米，求AB．
26．（10分）直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．
（1）如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．
①AD＝6，PD＝4，则AB＝ ；PQ＝ ；
②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB＝QD．
27．（12分）我们把二次函数图象上横坐标与纵坐标之和为0的点定义为这个二次函数图象上的“异点”．如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），点P的横坐标与纵坐标之和为0，则点P为二次函数y＝x2图象上的“异点”．
请你就二次函数y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4（m≠2）解决下列问题：
（1）若m＝﹣2，n＝3，则这个二次函数图象上的“异点”坐标为 ；
若A（﹣3，3），B（1，﹣1）是这个二次函数图象上的两个“异点”，则m＝ ，n＝ ；
（2）若这个二次函数图象上的两个不同的“异点”恰好在反比例函数y＝的图象上，求n的值；
（3）若对于任意实数n，这个二次函数图象上恒有两个不同的“异点”，求实数m的取值范围．
28．（12分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，CD⊥AB于点D，点M是线段BD上的一个动点．
（1）如图1，若点M恰好在∠BCD的角平分线上，则AM＝ ；
（2）如图2，若点N在线段AB上，且∠MCN＝45°，过点M、N分别作ME⊥CB于点E、MF⊥CA于点F．
①求证：△ACM∽△BNC；
②求AM•BN的值；
③求CE•CF的值．
2021年江苏省扬州市高邮市中考数学第一次适应性试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共24分）
1．（3分）下列四个数：﹣4，﹣3，，π中，绝对值最大的数是（ ）
A．﹣4B．﹣3C．D．π
【分析】根据实数的大小比较解答即可．
【解答】解：四个数：﹣4，﹣3，，π中，|﹣4|＞|π|＞|﹣3|＞||，
故绝对值最大的数是﹣4．
故选：A．
2．（3分）根据国家卫健委最新数据，截至到2021年4月2日，全国各地累计报告接种新冠病毒疫苗133801000剂次，将133801000用科学记数法表示为（ ）
A．1.33801×107B．1.33801×108
C．13.3801×107D．0.133801×109
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：133801000＝1.33801×108．
故选：B．
3．（3分）为了解清明假期在高邮高铁站下车的人数情况，随机抽查了清明假期中某一天在高邮高铁站下车的人数情况，被抽查的清明假期中某一天在高邮高铁站下车的人数情况是该问题的（ ）
A．总体B．个体C．样本D．样本容量
【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【解答】解：为了解清明假期在高邮高铁站下车的人数情况，随机抽查了清明假期中某一天在高邮高铁站下车的人数情况，被抽查的清明假期中某一天在高邮高铁站下车的人数情况是该问题的样本．
故选：C．
4．（3分）如图，已知直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点M、N，MH⊥EF于点M，则图中与∠BMH互余的角有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据平行线的性质定理和互余的定义解答即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴DNM＝∠BMF，
∵∠BMF＝∠AME，∠DNM＝∠CNE，
∴∠BMF＝∠AME＝∠DNM＝∠CNE，
∵MH⊥EF，
∴∠FMH＝90°，
∴∠BMH与∠BMF互余，
∴与∠BMH互余的角有：∠BMF、∠AME、∠DNM、∠CNE共4个，
故选：D．
5．（3分）已知三点P1（a，b），P2（c，d），P3（m2+3，﹣1）在同一个反比例函数图象上，若a＜0，c＞0，则下列式子正确的是（ ）
A．b＜d＜0B．b＜0＜dC．b＞d＞0D．b＞0＞d
【分析】根据k＝xy即横纵坐标相乘得比例系数k，再由反比例函数图象上点的坐标特征即可解答．
【解答】解：∵三点P1（a，b），P2（c，d），P3（m2+3，﹣1）在同一个反比例函数y＝的图象上，
∴k＝﹣（m2+3）＜0，
∴函数图象在二，四象限，
又∵a＜0，c＞0，
∴P1在第二象限，P2在第四象限，
∴b＞0，d＜0，
∴b＞0＞d．
故选：D．
6．（3分）如图，王老师将汽车停放放置在地面台阶直角处，他测量了台阶高AB为16dm，汽车轮胎的直径为80dm，请你计算直角顶点到轮胎与底面接触点BC长为（ ）
A．35dmB．32dmC．30dmD．33dm
【分析】如图，连接OA，OC，过点A作AD⊥OC于D．证明四边形ABCD是矩形，由矩形的性质得出AB＝CD＝16dm，BC＝AD，由题意知圆O的半径为40dm，由勾股定理求出AD即可．
【解答】解：如图，连接OA，OC，过点A作AD⊥OC于D．
∵BC与⊙O相切，
∴OC⊥BC，
∵∠B＝∠ADC＝90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD＝16dm，BC＝AD，
∵汽车轮胎的直径为80dm，
∴OC＝40dm，
∴OD＝OC﹣CD＝40﹣16＝24dm，
∴AD＝＝＝32dm．
∴BC＝32dm．
故选：B．
7．（3分）关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，则a满足的条件是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a＞1
【分析】求出对称轴，根据题意得到关于a的不等式，解不等式即可求得．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1，
∴抛物线的对称轴为x＝﹣，
∵关于x的二次函数y＝x2+（3﹣a）x﹣1在x＜﹣1的范围内y随x的增大而减小，
∴﹣≥﹣1，
∴a≥1，
故选：C．
8．（3分）如图，∠AOB＝90°，OC＝2，D为OC中点，长为1的线段EF（点F在点E的下方）在直线OB上移动，连接DE，CF，则DE+CF的最小值为（ ）
A．B．C．2D．3
【分析】如图，作点D关于OB的对称点T，作TR∥OB，使得TR＝EF，连接CR交OB于F，在FO的延长线上，取点E，使得EF＝1，连接ET．DE，此时DE+CF的值最小．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点T，作TR∥OB，使得TR＝EF，连接CR交OB于F，在FO的延长线上，取点E，使得EF＝1，连接ET．DE，此时DE+CF的值最小．
∵RT＝EF＝1，RT∥EF，
∴四边形TRFE是平行四边形，
∴ET＝FR，
∵D，T关于OB对称，
∴ED＝ET，
∴DE＝RF，
∴DE+CF＝RF+FC＝RC，此时CR的值最小，最小值＝＝＝，
故选：B．
二、填空题（每题3分共30分）
9．（3分）某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，从超市中任意拿出该品牌大米两袋，它们的质量最多相差 0.3 kg．
【分析】根据超市出售的某种品牌的大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，可以求得从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差多少．
【解答】解：∵某超市出售的一种品牌大米袋上，标有质量为（20±0.15）kg的字样，
∴它们的质量最多相差：0.15﹣（﹣0.15）＝0.15+0.15＝0.3（kg），
故答案为：0.3．
10．（3分）已知3142＝98596，若＝3.14，则a＝ 9.8596 ．
【分析】根据幂的底数小数点向左（右）移动一位，结果小数点向左（右）移动两位，计算即可求出a的值．
【解答】解：∵＝3.14，
∴a＝3.142，
∵3142＝98596，
∴a＝9.8596．
故答案为：9.8596．
11．（3分）分解因式：x2﹣y2﹣4y﹣4＝ （x+y+2）（x﹣y﹣2） ．
【分析】先分组，再根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解即可．
【解答】解：原式＝x2﹣（y2+4y+4）＝x2﹣（y+2）2＝（x+y+2）（x﹣y﹣2），
故答案为：（x+y+2）（x﹣y﹣2）．
12．（3分）有棱长比为1：3的两个正方体容器，若小容器能盛水10千克，则大容器能盛水 270 千克．
【分析】先根据两个正方体容器的棱长比为1：3，可得两个正方体容器的体积比为1：27，依此可求大容器能盛水多少千克．
【解答】解：∵两个正方体容器的棱长比为1：3，
∴两个正方体容器的体积比为13：33＝1：27，
10×27＝270（千克）．
故大容器能盛水270千克．
故答案为：270．
13．（3分）《九章算术》中有如下问题：“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重．雀重几何？”题意是：若5只雀、6只燕共重19两；3只雀与4只燕一样重．则每只雀的重量为 2 两．
【分析】设每只雀重x两，每只燕重y两，根据“雀五、燕六共重十九两；雀三与燕四同重”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设每只雀重x两，每只燕重y两，
依题意得：，
解得：．
故答案为：2．
14．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F．若∠A＝50°，∠E＝45°，则∠F＝ 35 °．
【分析】根据圆内接四边形的性质得到∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∵∠ADC+∠ABC＝180°，∠ADC+∠CDE＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠E＝45°，
∴∠F＝35°，
故答案为：35．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点M（﹣1，8）、N（a，8），若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，则整数a的值可以为 ﹣5 ．（写出一个即可）
【分析】先将y＝8代入函数解析式中求出对应的x的值为﹣4，从而推出N点应该在直线y＝﹣2x的左侧，因此得到a的取值范围，在取值范围内任选一个整数即可．
【解答】解：y＝8时，x＝﹣4，
若直线y＝﹣2x与线段MN有公共点，
∴N点应该在直线y＝﹣2x的左侧，
即a≤﹣4．
∴a的值可以为﹣5．（不唯一，a≤﹣4即可）
故答案为：﹣5．
16．（3分）如图，在△ABC中，BC＝4，若将△ABC平移6个单位长度得到△A1B1C1，点P、Q分别是AB、A1C1的中点，则PQ的最大值是 8 ．
【分析】取A1B1的中点P1，如图，则P1为P的对应点，根据平移的性质得到PP1＝6，利用P1Q为△A1B1C1的中位线得到P1Q＝BC＝2，根据两点之间线段最短得到PQ≤PP1+P1Q（当且仅当P、P1、Q共线时取等号），从而得到PQ的最大值．
【解答】解：取A1B1的中点P1，如图，则P1为P的对应点，
∵将△ABC平移6个单位长度得到△A1B1C1，
∴PP1＝6，
∵Q是A1C1的中点，
∴P1Q为△A1B1C1的中位线，
∴P1Q＝BC＝2，
∵PQ≤PP1+P1Q（当且仅当P、P1、Q共线时取等号），
即PQ≤8，
∴PQ的最大值是8．
故答案为8．
17．（3分）若关于x的不等式组的所有整数解的和是﹣5，则a的取值范围是 ﹣1＜a≤0或2＜a≤3 ．
【分析】解不等式组得出解集，根据整数解的和为﹣5，可以确定整数解为为﹣3，﹣2或﹣3，﹣2，﹣1，0，1，再根据解集确定a的取值范围．/
【解答】解：不等式组解得：﹣4＜x＜a﹣1，
∵所有整数解的和是﹣5，
∴不等式组的整数解为﹣3，﹣2或﹣3，﹣2，﹣1，0，1，
∴﹣2＜a﹣1≤﹣1或1＜a﹣1≤2，
∴﹣1＜a≤0或2＜a≤3；
故答案为：﹣1＜a≤0或2＜a≤3．
18．（3分）如图，等边△ABC中，BC＝6，O、H分别为边AB、AC的三等分点，AH＝AC，AO＝AB，将△ABC绕点B顺时针旋转100°到△A1BC1的位置，则整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为 π ．
【分析】连接BH，BH′，作BD⊥AC于D，解直角三角形求出BD、CD，由AH＝AC，AO＝AB求出AH和AO,即可求得DH，根据勾股定理求出BH，整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积，其实是大扇形HBH′与小扇形BOO′的面积差．
【解答】解：连接BH，BH′，作BD⊥AC于D,
∵等边△ABC中，BC＝6，
∴∠C＝60°，AC＝AB＝BC＝6,
∴BD＝BC＝3,CD＝BC＝3,
∵AH＝AC，AO＝AB，
∴AH＝OA＝2,
∴CH＝OB＝6﹣2＝4,
∴DH＝3﹣2＝1,
由勾股定理得：BH＝＝＝2，
∵将△ABC绕点B顺时针旋转100°到△A1BC1的位置，
∴∠HBH′＝∠OBO′＝100°，
∴整个旋转过程中线段OH所扫过部分的面积为S扇形HBH′﹣S扇形OBO′＝﹣＝π，
故答案为π．
三、解答题（本大题共有10小题，共96分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（8分）（1）计算：+（﹣）﹣2+（π+2021）0﹣6tan30°；
（2）解方程：4x（x﹣1）＝（3﹣x）（x+3）．
【分析】（1）先化简二次根式、计算负整数指数幂和零指数幂、代入三角函数值，再计算乘法，最后计算加减即可；
（2）先整理成一般式，再利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）原式＝2+4+1﹣6×
＝2+5﹣2
＝5；
（2）整理，得：5x2﹣4x﹣9＝0，
∴（x+1）（5x﹣9）＝0，
则x+1＝0或5x﹣9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝．
20．（8分）先化简，再求值：，其中m＝﹣2．
【分析】先化简分式，然后将m的值代入计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝÷
＝
＝﹣，
当m＝﹣2时，
原式＝﹣
＝﹣
＝．
21．（8分）为了解某校八年级学生体质健康测试项目“坐位体前屈”情况．随机抽取了该校八年级部分学生进行一次“坐位体前屈”测试，并根据标准将测试成绩分成A、B、C、D四个等级，绘制了如图所示两幅尚不完整的统计图．
回答下列问题：
（1）被抽查的学生共有 120 人，扇形统计图中，“B等级”所对应圆心角为 72 °；
（2）补全条形统计图；
（3）若D等级属于不合格，该校八年级共有学生600人，请估计该校八年级不合格的人数约有多少？
【分析】（1）由A等级的人数及其所占百分比可得总人数，用360°乘以B等级的百分比即可得出“B等级”所对应圆心角的度数；
（2）用总人数乘以C等级所占的百分比求得C等级的人数，从而补全条形图；
（3）用八年级总人数600乘以样本中D等级所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）被抽查的学生共有：72÷60%＝120（人），
扇形统计图中，“B等级”所对应圆心角为是×360°＝72°．
故答案为：120，72；
（2）C等级的人数为120×10%＝12（人），
补全统计图如下：
（3）600×＝60（人）．
即估计该校八年级不合格的人数约有60人．
22．（8分）王强患有“红绿”色盲（分不清红色、绿色），星期天下午，晾晒袜子的架上有王强的2只红色运动袜、2只绿色运动袜（运动袜除颜色外其余均相同），王强要拿运动袜穿上去打篮球．
（1）王强从中任意拿一只运动袜是红色运动袜的事件是 随机 事件（填“必然”、“不可能”或“随机”）；
（2）求王强从中任意拿两只运动袜穿上，是同一种颜色运动袜的概率．
【分析】（1）根据随机事件的概念求解即可；
（2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．
【解答】解：（1）王强从中任意拿一只运动袜是红色运动袜的事件是随机事件，
故答案为：随机；
（2）列表如下：
由表知，共有12种等可能结果，其中是同一种颜色运动袜的有4种结果，
所以是同一种颜色运动袜的概率为．
23．（10分）学校组织九年级同学进行游学活动，学生计划分乘大巴车和中巴车各一辆车前往相距70km“珠湖小镇”游玩，若中巴车速度是大巴车速度的1.4倍，则中巴车比大巴车早0.5小时到达，求中巴车和大巴车速度．
【分析】设大巴车的速度是x千米/时，根据题意可得，中巴车行驶速度是大巴车行驶速度的1.2倍，据此列方程求解．
【解答】解：设大巴车的速度是x千米/时，
由题意得：﹣＝，
解得：x＝40，
经检验：x＝40是原分式方程的解，且符合题意．
答：大巴车的速度是40千米/时，中巴车的速度是56千米/时．
24．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D为BC的中点，将△ADB沿直线AB翻折到△AEB．
（1）试判断四边形ADBE的形状，并说明理由；
（2）若BC＝10，AC＝8，求D、E两点之间的距离．
【分析】（1）由折叠的性质得出BD＝BE，AD＝AE，由直角三角形的性质得出AD＝BD，由菱形的判定可得出结论；
（2）由勾股定理求出AB＝6，由菱形的面积公式可求出答案．
【解答】（1）解：四边形ADBE为菱形．
理由：∵将△ADB沿直线AB翻折到△AEB，
∴BD＝BE，AD＝AE，
∵∠BAC＝90°，D为BC的中点，
∴AD＝BD，
∴AE＝AD＝BD＝BE，
∴四边形ADBE为菱形；
（2）连接ED，
∵四边形ADBE为菱形，
∴ED⊥AB，
∵BC＝10，AC＝8，
∴AB＝＝＝6，
∴S△ABC＝×6×8＝24，
∵D为BC的中点，
∴S△ABD＝＝12，
∴S菱形AEBD＝24，
∴AB•DE＝24，
∴DE＝8．
25．（10分）如图，建在山腰点A处的一座“5G”发射塔AB与地面CM垂直，在地
面C处测得发射塔AB的底部A、顶端B的仰角分别为30°、60°，在地面D处测得发射塔AB的底部A的仰角为45°．
（1）若设AC＝k，则AD＝ k ；（用含k的代数式表示）
（2）若测得CD＝（18﹣18）米，求AB．
【分析】（1）延长BA交CD延长线于E，由含30°角的直角三角形的性质得AE＝AC＝k，再证△ADE是等腰直角三角形，得AD＝AE＝k即可；
（2）由（1）得AC＝2AE，CE＝AE，AE＝DE，则AE﹣AE＝＝（18﹣18）米，解得AE＝18（米），则AC＝2AE＝36（米），再证∠ABC＝∠ACB，即可求解．
【解答】解：（1）延长BA交CD延长线于E，如图所示：
则∠AED＝90°，
∵∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝k，
∵∠ADE＝45°，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD＝AE＝k，
故答案为：k；
（2）由（1）得：AC＝2AE，CE＝AE，AE＝DE，
∵CE﹣DE＝CD，
∴AE﹣AE＝＝（18﹣18）米，
解得：AE＝18（米），
∴AC＝2AE＝36（米），
∵BEC＝90°，∠BCE＝60°，
∴∠ABC＝30°，
∵∠ACB＝60°﹣30°＝30°，
∴∠ABC＝∠ACB，
∴AB＝AC＝36（米）．
26．（10分）直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．
（1）如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．
①AD＝6，PD＝4，则AB＝ 6 ；PQ＝ 5 ；
②当点P在斜边AB上运动时，求证：QA+QB＝QD．
【分析】（1）连接OA,OD,OB,BD,证明△BOD是等边三角形,由等边三角形的性质得出∠BDO＝∠DBO＝60°,证明△AOD是等边三角形,由等边三角形的性质得出∠ADO＝60°,得出CB⊥OB,则可得出结论；
(2)①由直角三角形的性质求出AB的长；证明△QDA∽△ADP,由相似三角形的性质得出,则可求出PQ的长；
②过点D作DN⊥BQ交BQ于点N,DM⊥AQ交AQ的延长线于点M,证明Rt△DBN≌Rt△DAM(HL),由全等三角形的性质得出BN＝AM,由直角三角形的性质得出2QN＝QD,则可得出结论．
【解答】(1)解:BC所在的直线与⊙O相切．
理由如下:
如图1,连接OA,OD,OB,BD,
∵∠BAC＝30°,
∴∠BOD＝60°,
∵OB＝OD,
∴△BOD是等边三角形,
∴∠BDO＝∠DBO＝60°,
∵点D是劣弧AB的中点,
∴∠AOD＝∠BOD＝60°,
∵OD＝OA,
∴△AOD是等边三角形,
∴∠ADO＝60°,
∴∠ADB＝∠ADO+∠BDO＝120°,
∴∠CDB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣120°＝60°,
∴∠CBD＝90°﹣∠CDB＝90°﹣60°＝30°,
∴∠CBO＝∠CBD+∠DBO＝60°+30°＝90°,
∴CB⊥OB,
∵OB是⊙O的半径,
∴BC是⊙O的切线,即BC所在的直线与⊙O相切；
(2)①AB与OD相交于点E,如图2,
由(1)可知,△BOD,△AOD都是等边三角形,且OA,OD,OB是⊙O的半径,
∴四边形AOBD是菱形,
∴AB与OD垂直平分,
∵AD＝6,
∴DE＝3,AE＝3,
∴AB＝2AE＝6,
∵∠BAC＝30°,点D是劣弧AB的中点,
∴∠DQA＝∠BQD,
∴∠DQA＝∠BAC＝30°,
∵∠QDA＝∠ADP,
∴△QDA∽△ADP,
∴,
∴DQ＝＝9,
∴PQ＝DQ﹣PD＝9﹣4＝5．
故答案为6；5；
②如图3,过点D作DN⊥BQ交BQ于点N,DM⊥AQ交AQ的延长线于点M,
∵∠DQA＝∠BQD＝30°,
∴QD是∠BQA的角平分线,
∴DN＝DM,QN＝QM,
又∵DB＝DA,
∴Rt△DBN≌Rt△DAM(HL),
∴BN＝AM,
在Rt△DNQ中,cs∠DQN＝cs30°＝,
∴2QN＝QD,
∴QD＝2QN＝2QM＝QM+QA+AM＝QB+QA．
即QA+QB＝QD．
27．（12分）我们把二次函数图象上横坐标与纵坐标之和为0的点定义为这个二次函数图象上的“异点”．如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），点P的横坐标与纵坐标之和为0，则点P为二次函数y＝x2图象上的“异点”．
请你就二次函数y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4（m≠2）解决下列问题：
（1）若m＝﹣2，n＝3，则这个二次函数图象上的“异点”坐标为 （，﹣） ；
若A（﹣3，3），B（1，﹣1）是这个二次函数图象上的两个“异点”，则m＝ 3 ，n＝ 1 ；
（2）若这个二次函数图象上的两个不同的“异点”恰好在反比例函数y＝的图象上，求n的值；
（3）若对于任意实数n，这个二次函数图象上恒有两个不同的“异点”，求实数m的取值范围．
【分析】（1）设“异点”坐标为（a，﹣a），代入解析式解方程即可；A（﹣3，3），B（1，﹣1）代入y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4可得n；
（2）“异点”恰好在反比例函数y＝的图象上，可求出“异点”为（4，﹣4）和（﹣4，4），代入y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4可得答案；
（3）设二次函数y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4“异点”为（x，﹣x），由恒有两个不同的“异点”可得判别式Δ＞0，配方得（﹣2m+n+5）2﹣4m2+36m﹣56＞0，故﹣4m2+36m﹣56＞0，从而可得答案．
【解答】解：（1）m＝﹣2，n＝3时，y＝﹣4x2+3x﹣1，
设y＝﹣4x2+3x﹣1图象上的“异点”坐标为（a，﹣a），则﹣a＝﹣4a2+3a﹣1，
解得a＝，
∴y＝﹣4x2+3x﹣1图象上的“异点”坐标为：（，﹣）；
∵A（﹣3，3），B（1，﹣1）是y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4图象上的两个“异点”，
∴，解得，
故答案为：（，﹣）；3，1；
（2）∵二次函数图象上的两个不同的“异点”恰好在反比例函数y＝的图象上，
∴在y＝中，令y＝﹣x得﹣x＝，解得x＝4或﹣4，
∴这两个“异点”为（4，﹣4）和（﹣4，4），
把（4，﹣4）和（﹣4，4）代入y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4得：
，解得，
∴二次函数图象上的两个不同的“异点”恰好在反比例函数y＝的图象上，n的值为﹣1；
（3）设二次函数y＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4“异点”为（x，﹣x），
则﹣x＝（m﹣2）x2+nx+n﹣4，整理得：（m﹣2）x2+（n+1）x+n﹣4＝0，
∵二次函数图象上恒有两个不同的“异点”，
∴（m﹣2）x2+（n+1）x+n﹣4＝0有两个不相等的实数根，
即（n+1）2﹣4（m﹣2）（n﹣4）＞0，
整理变形为（﹣2m+n+5）2﹣4m2+36m﹣56＞0，
∵对于任意实数n，这个二次函数图象上恒有两个不同的“异点”，（﹣2m+n+5）2≥0，
∴﹣4m2+36m﹣56＞0，解得2＜m＜7，
∴实数m的取值范围是2＜m＜7．
28．（12分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，CD⊥AB于点D，点M是线段BD上的一个动点．
（1）如图1，若点M恰好在∠BCD的角平分线上，则AM＝ 4 ；
（2）如图2，若点N在线段AB上，且∠MCN＝45°，过点M、N分别作ME⊥CB于点E、MF⊥CA于点F．
①求证：△ACM∽△BNC；
②求AM•BN的值；
③求CE•CF的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得出∠ACD＝∠BCD＝45°，BD＝AD，进而即可求得∠ACM＝∠AMC＝67.5°，即可求得AM＝AC＝4；
（2）①由∠BNC＝∠A+∠ACN＝45°+∠ACN＝∠ACM，∠A＝∠B＝45°，即可证得结论；
②根据三角形相似的性质即可求得结果；
③先证得△CEM∽△CDN，△CDM∽△CFN，然后根据相似三角形的性质即可求得结果．
【解答】解：（1）如图1，∴Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵CD⊥AB于点D，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°，BD＝AD，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCM＝22.5°，
∴∠ACM＝67.5°，
∴∠AMC＝67.5°，
∴∠ACM＝∠AMC，
∴AM＝AC＝4，
故答案为4；
（2）①证明：∵∠MCN＝45°，
∴∠ACM＝45°+∠ACN，
∵∠BNC＝∠A+∠ACN＝45°+∠ACN，
∴∠ACM＝∠BNC，
∵∠A＝∠B＝45°，
∴△ACM∽△BNC；
②解：∵△ACM∽△BNC，
∴，
∴AM•BN＝AC•BC＝16；
③解：Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB＝4，
∴AB＝4，
∵BD＝AD，
∴CD＝AB＝2，
∵∠MCE+∠MCD＝∠NCD+∠MCD＝45°，
∴∠ECM＝∠DCN，
∵∠CEM＝∠CDN＝90°，
∴△CEM∽△CDN，
∴，
同理，△CDM∽△CFN，
∴，
∴，
∴CE•CF＝CD2＝8．
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