2020-2021学年湖北省武汉市江夏区华一寄宿学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）

这是一份2020-2021学年湖北省武汉市江夏区华一寄宿学校八年级（下）月考数学试卷（4月份），共27页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2020-2021学年湖北省武汉市江夏区华一寄宿学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．任意实数
2．（3分）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．1、、 D．、、
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．+＝ B．×＝ C．2﹣＝2 D．（﹣1）0＝0
4．（3分）直角三角形ABC的两条直角边的长分别为1、2，则它的斜边长为（　　）
A． B． C．2 D．3
5．（3分）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
6．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
7．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．菱形是一条对角线平分一组对角的四边形
C．等边三角形的三个角都等于60°
D．平行四边形的一组对边相等
8．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（　　）

A． B． C．2 D．
9．（3分）如图，OA＝，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A5A6的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（3分）平行四边形ABCD中，∠ABC＝75度，AF⊥BC，AF交BD于E，DE＝2AB，则∠AED＝（　　）度．

A．60 B．65 C．70 D．75
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式　 　．
12．（3分）已知▱ABCD，∠A：∠B＝1：3，则∠C＝　 　度．
13．（3分）已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝4，点P是矩形内一点，则S△ABP+S△CDP＝　 　．

14．（3分）如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点M从点D向点A以1个单位∕秒的速度运动，同时点N从点D向点C以2个单位∕秒的速度运动，连接BM、BN，当△BMN为等边三角形时，S△BMN＝　 　．

15．（3分）如图，正方形纸片ABCD中，E为BC中点，折叠正方形，使点A与点E重合得折痕MN，则梯形ANMD与梯形BCMN的面积之比为 　 　．

16．（3分）如图，四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，边BC上一点E，连接AE、DE得等边△AED，若＝，则＝　 　．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：．
18．（8分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点M、N，求证：OM＝ON．

19．（8分）如图，CD是△ABC的高，已知AD＝4，BD＝1，CD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．

20．（8分）如图，已知矩形ABCD的对角线交于点E，将△DCB沿CD翻折得到△DCF．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）点H为DF的中点，连接CH，若AB＝4，BC＝2，求四边形ECHD的面积．

21．（8分）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值：　 　；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出+的最小值：　 　．

22．（10分）如图1，矩形ABCD，E为边AB上的点，将△BCE沿CE折叠，点B恰好落在AC上点B处．
（1）若AB＝8，BC＝6，求BE的长度；
（2）如图2，过点D作EC的垂线，垂足为点G，分别交BC、AC于点F、H，连接EF，若EF＝AE，求证：为定值．

23．（10分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12．
（1）如图1，AD＝　 　；
（2）如图2，①求证：△DEF为等边三角形；
②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长　 　．

24．（12分）如图，等腰△ABC，AB＝CB，边AC落在x轴上，点B落在y轴上，将△ABC沿x轴翻折，得到△ADC．
（1）直接写出四边形ABCD的形状：　 　．
（2）在x轴上取一点E，使OE＝OB，连接BE，作AF⊥BC交BE于点F．
①直接写出AF与AD的关系：　 　（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）
②取BF的中点G，连接OG，判断OG与AD的数量关系，并说明理由．
（3）若四边形ABCD的周长为8，直接写出GE2+GF2＝　 　．


2020-2021学年湖北省武汉市江夏区华一寄宿学校八年级（下）月考数学试卷（4月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分
1．（3分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x＞0 B．x＞﹣1 C．x≥﹣1 D．任意实数
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：在实数范围内有意义，则x+1≥0，
解得：x≥﹣1．
故选：C．
2．（3分）下列各组数作为三角形的三边，能组成直角三角形的一组数是（　　）
A．2、3、4 B．3、4、5 C．1、、 D．、、
【分析】欲求证是否为直角三角形，根据给出三边的长，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可，如果相等就是直角三角形，如果不等就不是直角三角形．
【解答】解：A、22+32≠42，不能构成直角三角形，故此选项错误；
B、32+42＝52，能构成直角三角形，故此选项正确；
C、12+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误；
D、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故此选项错误．
故选：B．
3．（3分）下列各式计算正确的是（　　）
A．+＝ B．×＝ C．2﹣＝2 D．（﹣1）0＝0
【分析】直接利用二次根式混合运算法则计算得出答案．
【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；
B、×＝，正确；
C、2﹣＝，故此选项错误；
D、（﹣1）0＝1，故此选项错误；
故选：B．
4．（3分）直角三角形ABC的两条直角边的长分别为1、2，则它的斜边长为（　　）
A． B． C．2 D．3
【分析】根据勾股定理计算即可．
【解答】解：由勾股定理得，直角三角形的斜边长＝＝，
故选：B．
5．（3分）菱形的边长为5，它的一条对角线的长为6，则菱形的另一条对角线的长为（　　）
A．8 B．6 C．5 D．4
【分析】由菱形的性质可得AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD，由勾股定理可求BO的长，即可求解．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5，AC⊥BD，AO＝CO＝AC＝3，BO＝DO＝BD，
∴BO＝＝＝4，
∴BD＝8
故选：A．

6．（3分）在下列给出的条件中，能判定四边形ABCD为平行四边形的是（　　）
A．AB＝BC，CD＝DA B．AB∥CD，AD＝BC
C．AB∥CD，∠A＝∠C D．∠A＝∠B，∠C＝∠D
【分析】根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
【解答】解：如图所示，根据平行四边形的判定，A、B、D条件均不能判定为平行四边形，
C选项中，由于AB∥CD，∠A＝∠C，所以∠B＝∠D，
所以只有C能判定．
故选：C．

7．（3分）下列命题的逆命题是真命题的是（　　）
A．对顶角相等
B．菱形是一条对角线平分一组对角的四边形
C．等边三角形的三个角都等于60°
D．平行四边形的一组对边相等
【分析】写出各个命题的逆命题后判断正误即可．
【解答】解：A、逆命题为：相等的角为对顶角，错误，是假命题；
B、逆命题为：一条对角线平分一组对角的四边形是菱形，错误，是假命题；
C、逆命题为：三个角都等于60°的三角形是等边三角形，正确，是真命题；
D、逆命题为：一组对边相等的四边形是平行四边形，错误，是假命题，
故选：C．
8．（3分）如图，已知矩形ABCD，AB＝3，BC＝4，AE平分∠BAD交BC于点E，点F、G分别为AD、AE的中点，则FG＝（　　）

A． B． C．2 D．
【分析】由矩形的性质和角平分线的性质可得AB＝BE＝3，可得EC＝1，由勾股定理可求DE＝，由三角形中位线定理可求GF的长．
【解答】解：连接DE，

∵四边形ABCD是矩形
∴AB＝CD＝3，AD＝BC＝4，AD∥BC
∴∠DAE＝∠AEB
∵AE平分∠BAD
∴∠DAE＝∠BAE
∴∠BAE＝∠AEB
∴AB＝BE＝3
∴EC＝BC﹣BE＝1
∴DE＝＝
∵点F、G分别为AD、AE的中点，
∴FG＝
故选：B．
9．（3分）如图，OA＝，以OA为直角边作Rt△OAA1，使∠AOA1＝30°，再以OA1为直角边作Rt△OA1A2，使∠A1OA2＝30°，……，依此法继续作下去，则A5A6的长为（　　）

A． B． C． D．
【分析】由含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出OA1，即可得出结果．
【解答】解：∵∠OAA1＝90°，OA＝，∠AOA1＝30°，
∴AA1＝OA1，
由勾股定理得：OA2+AA12＝OA12，
即（）2+（OA1 ）2＝OA12，
解得：OA1＝2，
∵∠A1OA2＝30°，
∴A5A6的长＝，
故选：B．
10．（3分）平行四边形ABCD中，∠ABC＝75度，AF⊥BC，AF交BD于E，DE＝2AB，则∠AED＝（　　）度．

A．60 B．65 C．70 D．75
【分析】由DE＝2AB，可作辅助线：取DE中点O，连接AO，根据平行四边形的对边平行，易得△ADE是直角三角形，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，即可得△ADO，△AOE，△AOB是等腰三角形，借助于方程求解即可．
【解答】解：如图，取DE中点O，连接AO，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°，
∵AF⊥BC，
∴AF⊥AD，
∴∠DAE＝90°，
∴OA＝DE＝OD＝OE，
∵DE＝2AB，
∴OA＝AB，
∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO，
∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO，
∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO，
∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°，
∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°，
∴∠AED+∠EAO+∠AOD＝180°，
∴∠AED＝65°．
故选：B．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）写出一个与是同类二次根式的最简二次根式　﹣（答案不唯一）　．
【分析】根据同类二次根式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：故答案为：﹣（答案不唯一）
12．（3分）已知▱ABCD，∠A：∠B＝1：3，则∠C＝　45　度．
【分析】由平行四边形的性质可得∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C，即可求∠C的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A+∠B＝180°，∠A＝∠C．
∵∠A：∠B＝1：3
∴∠B＝3∠A．
∴∠A+3∠A＝180°．
解得：∠A＝45°，∠B＝135°．
∴∠C＝∠A＝45°．
故答案为：45
13．（3分）已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝4，点P是矩形内一点，则S△ABP+S△CDP＝　8　．

【分析】根据三角形的面积的计算方法列式计算即可．
【解答】解：过点P作EF⊥AB与点E，
∵AB＝4，BC＝4，
∴矩形ABCD的面积为4×4＝16，
∴S△ABP+S△CDP＝AB•EP+CD•FP＝AB•EF＝S矩形ABCD＝8，
故答案为：8．

14．（3分）如图，菱形ABCD，∠A＝60°，AB＝6，点M从点D向点A以1个单位∕秒的速度运动，同时点N从点D向点C以2个单位∕秒的速度运动，连接BM、BN，当△BMN为等边三角形时，S△BMN＝　7　．

【分析】连接BD，证明△ABM≌△DBN，由此得到AM＝DN，据此可求出运动时间为2秒，从而得到MD＝2，DN＝4．在△MDN中求出MN值，根据等边△面积公式即可求解．
【解答】解：连接BD，如图1所示：
若△BMN是等边三角形，则BM＝BN，∠MBN＝60°．
∴∠DBN+∠MBD＝60°．
∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，
∴AB＝BD，∠ABD＝60°．
∴∠ABM+∠MBD＝60°，
∴∠ABM＝∠DBN．
∴△ABM≌△DBN（SAS）．
∴AM＝DN．

设运动时间为t，则6﹣t＝2t，解得t＝2．
所以DM＝2，DN＝4．
如图2，过M点作MH⊥DN，交ND延长线于H点，
∵∠MDN＝120°，
∴∠MDH＝60°，
∴在Rt△MDH中，HD＝MD＝1，MH＝．

在Rt△MHN中，利用勾股定理可得MN＝＝．
所以等边三角形的边长为．
所以等边三角形BMN的面积＝MN2＝×28＝7．
故答案为7．
15．（3分）如图，正方形纸片ABCD中，E为BC中点，折叠正方形，使点A与点E重合得折痕MN，则梯形ANMD与梯形BCMN的面积之比为 　　．

【分析】由折叠的性质可知，AN＝NE，DM＝D'M，∠FEN＝∠DAN＝90°，设AB＝2m，AN＝a，DM＝b，则BE＝m，CE＝m，在Rt△EBN中，a2＝（2m﹣a）2+m2，求出a＝m，则NB＝m，AN＝m，再证明△CEF∽△BNE，得到CF＝m，由sin∠D'FM＝＝，得到MF＝b，再由2m＝m+b+b，求得b＝m，即可得到DM＝m，CM＝m，即可求S梯形DANM：S梯形NBCM＝（m+m）：（m+m）＝3：5．
【解答】解：由折叠的性质可知，AN＝NE，DM＝D'M，∠FEN＝∠DAN＝90°，
设AB＝2m，AN＝a，DM＝b，
∵E为BC中点，
∴BE＝m，CE＝m，
在Rt△EBN中，a2＝（2m﹣a）2+m2，
∴a＝m，
∴NB＝m，AN＝m，
∵∠CFE+∠FEC＝90°，∠CEF+∠BEN＝90°，
∴∠CFE＝∠NEB，
∵∠C＝∠B＝90°，
∴△CEF∽△BNE，
∴＝，
∴＝，
∴CF＝m，
∵∠BEN＝∠CFE＝∠D'FM，
∴sin∠D'FM＝＝，
∴＝，
∴MF＝b，
∴2m＝m+b+b，
∴b＝m，
∴DM＝m，CM＝m，
∴S梯形DANM：S梯形NBCM＝（m+m）：（m+m）＝3：5，
∴梯形ANMD与梯形BCMN的面积之比，
故答案为．

16．（3分）如图，四边形ABCD，∠B＝∠C＝90°，边BC上一点E，连接AE、DE得等边△AED，若＝，则＝　　．

【分析】延长CB至M，使∠AMB＝60°，延长BC至N，使∠DNC＝60°，由直角三角形的性质得出BM＝AM，CN＝DN，证明△ABM∽△DCN，得出＝＝，设AM＝2a，则DN＝3a，BM＝AM＝a，CN＝DN＝a，证明△AME≌△END（AAS），得出AM＝EN＝2a，ME＝ND＝3a，求出BE＝ME﹣BM＝2a，CE＝2a﹣a＝a，即可得出答案．
【解答】解：延长CB至M，使∠AMB＝60°，延长BC至N，使∠DNC＝60°，如图所示：
∵∠ABC＝∠DCB＝90°，
∴∠ABM＝∠DCN＝90°，
∴∠BAM＝∠CDN＝30°，
∴BM＝AM，CN＝DN，△ABM∽△DCN，
∴＝＝，
设AM＝2a，则DN＝3a，BM＝AM＝a，CN＝DN＝a，
∵△AED是等边三角形，
∴AE＝DE，∠AED＝60°，
∴∠AEM+∠NED＝120°，
∵∠MAE+∠AEM＝120°，
∴∠MAE＝∠NED，
在△AME和△END中，，
∴△AME≌△END（AAS），
∴AM＝EN＝2a，ME＝ND＝3a，
∴BE＝ME﹣BM＝2a，CE＝2a﹣a＝a，
∴＝；
故答案为：．

三、解答题（共8小题，共72分）
17．（8分）计算：．
【分析】直接化简二次根式，进而合并求出答案．
【解答】解：原式＝2﹣6×+4
＝2﹣2+4
＝4．
18．（8分）如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过O的直线分别交AD、BC于点M、N，求证：OM＝ON．

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得OA＝OC，再根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，利用两直线平行，内错角相等可得∠MAO＝∠NCO，然后利用“角边角”证明△AMO和△CNO全等，根据全等三角形对应边相等即可得证．
【解答】证明：平行四边形ABCD中，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠MAO＝∠NCO，
在△AMO和△CNO中，，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴OM＝ON．
19．（8分）如图，CD是△ABC的高，已知AD＝4，BD＝1，CD＝2，判断△ABC的形状，并说明理由．

【分析】根据勾股定理得出AC、BC的长，进而利用勾股定理的逆定理解答即可．
【解答】解：△ABC为Rt△，理由如下：
∵CD为高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
在Rt△ACD中，由勾股定理：
，
在Rt△BCD中，由勾股定理：
，
∵AC2+BC2＝，
∴△ACB为直角三角形．
20．（8分）如图，已知矩形ABCD的对角线交于点E，将△DCB沿CD翻折得到△DCF．
（1）求证：四边形ACFD是平行四边形；
（2）点H为DF的中点，连接CH，若AB＝4，BC＝2，求四边形ECHD的面积．

【分析】（1）由矩形的性质得到AD∥BC，根据折叠的性质得到BC＝CF，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式得到S△BCD＝S△FCD＝×2×4＝4，由矩形的性质得到E为BD中点，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，
由翻折可知：BC＝CF，
∴AD∥CF；
∴四边形ACFD为平行四边形；
（2）解：∵AB＝4，BC＝CF＝2，
又∵DC⊥BF，
∴S△BCD＝S△FCD＝×2×4＝4，
∵四边形ABCD为矩形，
∴E为BD中点，
∴S△CED＝S△BCD＝2，
∵H为DF的中点
∴S△CDH＝S△DCF＝2，
∴S四边形ECHD＝S△CED+S△DHC＝2+2＝4．
21．（8分）在10×10网格中，点A和直线l的位置如图所示：
（1）将点A向右平移6个单位，再向上平移2个单位长度得到点B，在网格中标出点B；
（2）在（1）的条件下，在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小，保留画图痕迹，并直接写出PA+PB的最小值：　6　；
（3）结合（2）的画图过程并思考，直接写出+的最小值：　7　．

【分析】（1）根据题意标出点B即可；
（2）作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，则此时PA+PB的值最小，根据勾股定理求出结论即可；
（3）将条件中的数表示为直角三角形的直角边，画对应图形，作轴对称图形，求出最小值即可．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）如图所示，PA+PB的最小值＝＝6；
（3）如图，AP＝，BP＝，

∴PA+PB的最小值即为A′B＝＝7，
∴+的最小值为7，
故答案为：6，7．

22．（10分）如图1，矩形ABCD，E为边AB上的点，将△BCE沿CE折叠，点B恰好落在AC上点B处．
（1）若AB＝8，BC＝6，求BE的长度；
（2）如图2，过点D作EC的垂线，垂足为点G，分别交BC、AC于点F、H，连接EF，若EF＝AE，求证：为定值．

【分析】（1）Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，求得AC＝10，由翻折的性质，BC＝B'C＝6，则AB'＝4，设EB＝EB'＝x，则AE＝8﹣x，Rt△AEB'中，42+x2＝（8﹣x）2，求出x即可求BE＝3；
（2）过E作EM⊥AC于M，可证明Rt△AME≌Rt△FBE（HL），则∠EFB＝∠EAM，设∠ECB＝∠ECA＝x，则有∠BAC＝∠EFB＝90°﹣2x，∠GFC＝90°﹣∠FCG＝90°﹣x，∠EFG＝180°﹣∠BFE﹣∠GFC＝3x，即可求得＝．
【解答】解：（1）∵矩形ABCD，
∴△ABC为直角三角形，
Rt△ABC中，AB＝8，BC＝6，
∴AC＝10，
由翻折的性质，BC＝B'C＝6，
∴AB'＝4，
设EB＝EB'＝x，则AE＝8﹣x，
Rt△AEB'中，42+x2＝（8﹣x）2，
∴x＝3，
∴BE＝3；
（2）过E作EM⊥AC于M，
∵EM＝BE，EF＝AE，∠AME＝∠B＝90°，
∴Rt△AME≌Rt△FBE（HL），
∴∠EFB＝∠EAM，
设∠ECB＝∠ECA＝x，
∴∠BAC＝∠EFB＝90°﹣2x，
∴∠GFC＝90°﹣∠FCG＝90°﹣x，
∴∠EFG＝180°﹣∠BFE﹣∠GFC＝3x，
∴＝．

23．（10分）如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧），AB＝12．
（1）如图1，AD＝　4　；
（2）如图2，①求证：△DEF为等边三角形；
②连接CD，若∠ADC＝90°，请直接写出EF的长　　．

【分析】（1）过D作DG⊥AB于G，根据直角三角形的性质即可得到结论；
（2）①作辅助线，构建等边三角形AEH，先证明四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，得对边相等，再证明△AEH是等边三角形，由SAS证明△DHE≌△FCE，可得DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，所以△DEF是等边三角形；
②过E作EM⊥AB于M，先得AC＝2，BC＝CD＝1，证明∠ECD＝30°+60°＝90°，根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：（1）过D作DG⊥AB于G，
∵AD＝BD，∠ADB＝120°，
∴∠DAB＝∠ABD＝30°，AG＝BG＝AB＝6，
∴AD＝2GD，
∵AD2＝GD2+AG2，
∴4CD2＝GD2+62，
∴GD＝2，
∴AD＝4，
故答案为：4；
（2）①延长FC交AD于H，连接HE，如图2，
∵CF＝FB，
∴∠FCB＝∠FBC，
∵∠CFB＝120°，
∴∠FCB＝∠FBC＝30°，
同理：∠DAB＝∠DBA＝30°，∠EAC＝∠ECA＝30°，
∴∠DAB＝∠ECA＝∠FBD，
∴AD∥EC∥BF，
同理AE∥CF∥BD，
∴四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，
∴EC＝AH，BF＝HD，
∵AE＝EC，
∴AE＝AH，
∵∠HAE＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝AH＝HE＝CE，∠AHE＝∠AEH＝60°，
∴∠DHE＝120°，
∴∠DHE＝∠FCE．
∵DH＝BF＝FC，
∴△DHE≌△FCE（SAS），
∴DE＝EF，∠DEH＝∠FEC，
∴∠DEF＝∠CEH＝60°，
∴△DEF是等边三角形；
②如图3，过E作EM⊥AB于M，
∵∠ADC＝90°，∠DAC＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∵∠DBA＝30°，
∴∠CDB＝∠DBC＝30°，
∴CD＝BC＝AC，
∵AB＝12，
∵AC＝8，BC＝CD＝4，
∵∠ACE＝30°，∠ACD＝60°，
∴∠ECD＝30°+60°＝90°，
∵AE＝CE，
∴CM＝AC＝4，
∵∠ACE＝30°，
∴CE＝，
Rt△DEC中，DE＝＝＝，
由①知：△DEF是等边三角形，
∴EF＝DE＝，
故答案为：．



24．（12分）如图，等腰△ABC，AB＝CB，边AC落在x轴上，点B落在y轴上，将△ABC沿x轴翻折，得到△ADC．
（1）直接写出四边形ABCD的形状：　菱形　．
（2）在x轴上取一点E，使OE＝OB，连接BE，作AF⊥BC交BE于点F．
①直接写出AF与AD的关系：　AD＝AF，AD⊥AF　（如果后面的问题需要，可以直接使用，不需要再证明）
②取BF的中点G，连接OG，判断OG与AD的数量关系，并说明理由．
（3）若四边形ABCD的周长为8，直接写出GE2+GF2＝　4　．

【分析】（1）由折叠的性质可得AB＝AD＝BC＝CD，可得四边形ABCD是菱形；
（2）①由菱形的性质可得AD∥BC，且AF⊥BC，可得AD⊥AF，由等腰三角形的性质和外角的性质可求∠OBE＝∠OEB＝45°，∠ABE＝∠AFB，可得AF＝AB；
②取AB中点M，由三角形中位线定理可得MO∥AD，AD＝2MO，AF∥MG，AF＝2MG，且AF＝AD，AD⊥AF，可得MO＝MG，MG⊥MO，可得GO＝OM，即可得OG与AD的数量关系；
（3）连接AG，由等腰三角形的性质可得AG⊥BF，且∠BEO＝45°，可得AG＝GE，由勾股定理可求解．
【解答】解：（1）∵将△ABC沿y轴翻折
∴AB＝AD，BC＝CD
又∵AB＝CB
∴AB＝AD＝BC＝CD
∴四边形ABCD是菱形
故答案为：菱形
（2）①∵四边形ABCD是菱形
∴AD∥BC，且AF⊥BC
∴AD⊥AF，
∴∠FAC+∠CAD＝90°，且∠CAD+∠ADO＝90°，
∴∠FAC＝∠ADO，
∵AB＝AD
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ABD＝∠FAC
∵OE＝OB
∴∠OBE＝∠OEB＝45°
∴∠ABD+∠OBE＝∠FAC+∠OEB
∴∠ABE＝∠AFB
∴AF＝AB
∴AF＝AD，
故答案为：AF＝AD，AD⊥AF
②AD＝OG
如图，取AB中点M，

∵点M是AB的中点，点G是BF的中点，点O是AC的中点，
∴MO∥AD，AD＝2MO，AF∥MG，AF＝2MG，且AF＝AD，AD⊥AF
∴MO＝MG，MG⊥MO
∴GO＝OM
∵AD＝2MO＝GO
（3）∵四边形ABCD的周长为8，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝2＝AF
如图，连接AG，

∵AB＝AF，点G是BF的中点，
∴AG⊥BF，且∠BEO＝45°
∴∠GAE＝∠BEO＝45°
∴AG＝GE，
∵AG2+GF2＝AF2＝4，
∴GE2+GF2＝4，
故答案为：4
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