8.2考点2 空间几何体的体积练习题

这是一份8.2考点2 空间几何体的体积练习题，共4页。
第八章 立体几何第二节 空间几何体的表面积和体积考点2 空间几何体的体积 （2018·浙江卷）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（　　）A．2   B．4C．6   D．8【解析】由几何体的三视图可知，该几何体是一个底面为直角梯形，高为2的直四棱柱，直角梯形的上、下底边长分别为2,1，高为2，∴该几何体的体积为V＝2×＝6.故选C．【答案】C  （2018·江苏卷）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．【解析】由题意知所给的几何体是棱长均为的八面体，它是由两个有公共底面的正四棱锥组合而成的，正四棱锥的高为1，所以这个八面体的体积为2V正四棱锥＝2××（）2×1＝.【答案】（2018·天津卷（文））如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1－BB1D1D的体积为________．【解析】∵正方体棱长为1，∴矩形BB1D1D的长和宽分别为1，.∵四棱锥A1－BB1D1D的高是正方形A1B1C1D1对角线长的一半，即为，∴＝Sh＝×（1×）×＝.【答案】  （2018·全国卷Ⅲ（文））设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥D－ABC体积的最大值为（　　）A．12   B．18C．24   D．54【解析】由等边△ABC的面积为9，可得AB2＝9，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝AB＝2.设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝＝＝2.所以三棱锥D－ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D－ABC体积的最大值为×9×6＝18.【答案】B （2018·全国Ⅱ卷（文））已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30°.若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为________．【解析】在Rt△SAB中，SA＝SB，S△SAB＝·SA2＝8，解得SA＝4.设圆锥的底面圆心为O，底面半径为r，高为h，在Rt△SAO中，∠SAO＝30°，所以r＝2，h＝2，所以圆锥的体积V＝πr2·h＝π×（2）2×2＝8π.【答案】8π （2018·全国Ⅰ卷（文））在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30°，则该长方体的体积为（　　）A．8 B．6 C．8 D．8【解析】如图，连接AC1，BC1，AC．∵AB⊥平面BB1C1C，∴∠AC1B为直线AC1与平面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B＝30°.又AB＝BC＝2，在Rt△ABC1中，AC1＝＝4，在Rt△ACC1中，CC1＝＝＝2，∴V长方体＝AB×BC×CC1＝2×2×2＝8.故选C．【答案】C  （2018·全国Ⅰ卷（文））如图，在平行四边形ABCM中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以AC为折痕将△ACM折起，使点M到达点D的位置，且AB⊥DA．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）Q为线段AD上一点，P为线段BC上一点，且BP＝DQ＝DA，求三棱锥Q－ABP的体积．【解析】（1）证明　由已知可得，∠BAC＝90°，即BA⊥AC．又BA⊥AD，AC∩AD＝A，AD，AC⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD．又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC＝CM＝AB＝3，DA＝3.又BP＝DQ＝DA，所以BP＝2.如图，过点Q作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC且QE＝DC．由（1）知平面ACD⊥平面ABC，又平面ACD∩平面ABC＝AC，CD⊥AC，CD⊂平面ACD，所以DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE＝1.因此，三棱锥Q－ABP的体积VQ－ABP＝×S△ABP×QE＝××3×2sin 45°×1＝1.【答案】见解析