优化提升专题训练（新高考） 基本不等式及其应用（含答案解析）学案

这是一份优化提升专题训练（新高考） 基本不等式及其应用（含答案解析）学案，共10页。学案主要包含了知识框图，自主热身，归纳总结，2020年山东卷，问题探究，变式训练，2020年江苏卷，2020年天津卷等内容，欢迎下载使用。
    基本不等式及其应用【知识框图】    【自主热身，归纳总结】1、（2020·浙江镇海中学高三3月模拟）设，则“”是“”的(   )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件．答案选C．2、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是(    )A．1 B． C．9 D．18【答案】A【解析】奇函数在R上单调，则故即 当即时等号成立故选：3、【2020年山东卷】.已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ）A.  B. C.  D. 【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD4、（2020届北京市陈经纶学校高三上学期数学10月份月考试卷）已知，且.则的最大值是_________.【答案】10【解析】当且仅当，即时，等号成立则，即的最大值是故答案为：5、（2020届山东省临沂市高三上期末）当取得最小值时，______.【答案】4【解析】当且仅当，即时，等号成立.故答案为：6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：. 【问题探究，变式训练】题型一 运用基本不等式求函数最值例1、【2020年江苏卷】已知，则的最小值是_______．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.变式1、【2019年高考天津卷理数】设，则的最小值为__________．【答案】【解析】方法一：.因为，所以，即，当且仅当时取等号成立.[来源:学*科*网Z*X*X*K]又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.方法二：.当且仅当时等号成立，故的最小值为.变式2、【2018年高考天津卷理数】已知，且，则的最小值为             . 【答案】【解析】由可知，且，因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为. 变式3、（2020届山东省泰安市高三上期末）若，则的最小值为（    ）A．6 B． C．3 D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，当且仅当且即时，等号成立；故选：C．变式4、【2017年高考天津卷理数】若，，则的最小值为___________．【答案】【解析】，（前一个等号成立的条件是，后一个等号成立的条件是，两个等号可以同时成立，当且仅当时取等号）． 题型二   运用基本不等式处理多元问题 例2、（江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初）已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．【答案】8【解析】，变式1、(2017无锡期末）已知a＞0，b＞0，c＞2，且a＋b＝2，则＋－＋的最小值为________．【答案】. ＋　【解析】思路分析 根据目标式的特征，进行恰当的变形，利用基本不等式知识求解．因为a＞0，b＞0，所以＋－＝＋－＝＋－＝＋≥，当且仅当b＝a时等号成立．又因为c＞2，由不等式的性质可得＋－＋＝c＋－＋≥c＋.又因为c＋＝(c－2)＋＋≥＋，当且仅当c＝2＋时等号成立．所以＋－＋的最小值为＋.变式2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0(a，b，c∈R)的解集为{x|3<x<4}，则的最小值为________．【答案】. 4　【解析】 先根据一元二次不等式的解集，确定a<0，以及a，b，c的关系，再将所求运用消元法，统一成单变量a的函数问题，运用基本不等式求最值．依题意得a<0，且3和4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即则所以＝＝＝(－24a)＋≥2＝4，当且仅当144a2＝5，即a＝－时取等号，所以所求最小值为4.变式3、(2019南京、盐城一模）若正实数a，b，c满足ab＝a＋2b，abc＝a＋2b＋c，则c的最大值为________．【答案】、 　【解析】、   注意到求c的最大值，所以将参数c进行分离，为此，可以利用abc＝a＋2b＋c进行分离得c＝＝＝1＋，从而将问题转化为求a＋2b的最小值； 结合abc＝a＋2b＋c与ab＝a＋2b化简得abc＝ab＋c来进行分离得c＝＝1＋，进而求ab的最小值． 由于所求解的c与a，b有关，而a，b不对称，因此，将2b看作一个整体，则它与a就是对称的，根据对称原理可以猜想得到问题的答案．解法1 由abc＝a＋2b＋c得，c＝＝＝1＋，由ab＝a＋2b得，＋＝1，所以a＋2b＝(a＋2b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8，故c≤.解法2 因为abc＝a＋2b＋c，ab＝a＋2b，所以abc＝ab＋c，故c＝＝1＋，由ab＝a＋2b利用基本不等式得ab≥2，故ab≥8，当且仅当a＝4，b＝2时等号成立，故c＝1＋≤1＋＝.解法3(对等性猜测) 因为已知条件可以改写为“·a·2b＝a＋2b，·a·2b·c＝a＋2b＋c”，故a与2b对等，不妨设a＝2b，解得a＝2b＝4，c＝，故c的最大值为.变式4、(2018苏州期末）已知正实数a，b，c满足＋＝1，＋＝1，则c的取值范围是________．【答案】、　【解析】、 由第二个等式知，要求出c的取值范围，只要先求出a＋b的取值范围，而这可由第一个等式求得．解法1 因为a＋b＝(a＋b)＝2＋＋∈[4，＋∞)，所以∈，从而＝1－∈，得c∈.解法2 由题两等式得ab＝a＋b，c＋(a＋b)＝c(a＋b)，所以c＋ab＝c(ab)，即c＝＝1＋.因为ab＝a＋b≥2，所以ab≥4，所以c＝1＋∈.题型三  运用基本不等式求函数含参的问题例3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为（    ）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，
，所以．
故选：D． 变式1、(2019扬州期末） 已知正实数x，y满足x＋4y－xy＝0，若x＋y≥m恒成立，则实数m的取值范围为_________．【答案】. (－∞，9]　 m≤x＋y恒成立，m≤(x＋y)min.解法1(消元法)　由x＋4y－xy＝0，得y＝，因为x，y是正实数，所以y>0，x>4，则x＋y＝x＋＝x＋＝x＋＋1＝(x－4)＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.解法2(“1”的代换)　因为x，y是正实数，由x＋4y－xy＝0，得＋＝1，x＋y＝(x＋y)·＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当x＝6，y＝3时，等号成立，即x＋y的最小值是9，故m≤9.解法3(函数法)　令t＝x＋y，则y＝t－x，代入x＋4y－xy＝0，得x2－(3＋t)x＋4t＝0.Δ＝(t＋3)2－16t＝t2－10t＋q≥0，得t≤1或t≥9.又y＝>0，且x>0，则x>4，故t>4，从而t≥9.所以m≤9.题型四、不等式的综合运用 例4、(2017苏州期末） 已知正数x，y满足x＋y＝1，则＋的最小值为________．【答案】、　解法1 令x＋2＝a，y＋1＝b，则a＋b＝4(a＞2，b＞1)，＋＝(a＋b)＝≥(5＋4)＝，当且仅当a＝，b＝，即x＝，y＝时取等号． 变式1、(2015苏锡常镇、宿迁一调）已知实数x，y满足x>y>0，且x＋y≤2，则＋的最小值为________． 【答案】、【解析】、设解得所以x＋y＝≤2，即m＋n≤4.设t＝＋＝＋，所以4t≥(m＋n)＝3＋＋≥3＋2.即t≥，当且仅当＝，即m＝n时取等号． 本题所给条件为x，y的和的不等式，所求的为与x，y相关的倒数和最值问题，可以先对分母进行还原处理后，再结合“1”的代换技巧来处理，这里要说明的时候条件 “x＋y≤2”改为“x＋y＝2”答案不会变化． 解析2：令，则，当且仅当，即，也即时等号成立。变式2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线， ，，则，，则的最小值为，故选D.变式3、【2020年天津卷】.已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：