优化提升专题训练（新高考） 等差数列与等比数列基本量的问题（含答案解析）学案

这是一份优化提升专题训练（新高考） 等差数列与等比数列基本量的问题（含答案解析）学案，共12页。学案主要包含了知识框图，自主热身，归纳总结，2019年高考江苏卷，问题探究，变式训练，2020年高考浙江，2019年高考浙江卷等内容，欢迎下载使用。
   等差数列与等比数列基本量的问题【知识框图】    【自主热身，归纳总结】1、【2019年高考全国III卷理数】已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则A．16  B．8 C．4  D．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．2、【2018年高考全国I卷理数】设为等差数列的前项和，若，，则A．            B．C．            D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据题中的条件可得，整理解得，所以，故选B． 3、【2019年高考全国I卷理数】记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=___________．【答案】【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，所以所以．4、【2019年高考全国III卷理数】记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则___________．【答案】4【解析】设等差数列{an}的公差为d,因，所以，即，所以．5、【2019年高考北京卷理数】设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2=−3，S5=−10，则a5=__________，Sn的最小值为___________．【答案】 0，.【解析】等差数列中,,得又,所以公差,,由等差数列的性质得时,,时,大于0,所以的最小值为或,即为.6、【2019年高考江苏卷】已知数列是等差数列，是其前n项和.若，则的值是___________．【答案】16【解析】由题意可得：，解得：，则.7、【2018年高考全国I卷理数】记为数列的前项和，若，则___________．【答案】【解析】根据，可得，两式相减得，即，当时，，解得，所以数列是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以，故答案是.8、【2018年高考北京卷理数】设是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则的通项公式为___________．【答案】【解析】设等差数列的公差为，9、（多选题）（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知等比数列的公比，等差数列的首项，若且，则以下结论正确的有（   ）A． B． C． D．【答案】AD【解析】等比数列的公比，和异号， ，故A正确；但不能确定和的大小关系；故B不正确；和异号，且且，和中至少有一个数是负数，又 ， ，故D正确，一定是负数，即 ，故C不正确；故选：AD10、（多选题）（2020届山东省济宁市高三上期末）设等比数列的公比为q,其前n项和为,前n项积为,并满足条件,,下列结论正确的是(    )A．S2019<S2020 B．C．T2020是数列中的最大值 D．数列无最大值【答案】AB【解析】当时，，不成立；当时，，不成立；故，且，故，正确；，故正确；是数列中的最大值，错误；故选：11、（恩施高中 郧阳中学 沙市中学 十堰一中 随州二中  襄阳三中）已知数列的前项和为，.（1）证明：数列为等比数列；（2）若，求数【解析】（1）对任意的，，则且，所以，数列是以3为首项，以3为公比的等比数列；（2）由（1）可得，.当时，，也适合上式，所以，.所以 【问题探究，变式训练】 题型一、等差数列与等比数列的基本量例1、【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则A．  B． C．  D．【答案】A【解析】由题知，，解得，∴，,故选A． 变式1、【2020年高考全国II卷理数】北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块【答案】C【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，则是以9为首项，9为公差的等差数列，，设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分别为，因为下层比中层多729块，所以，即即，解得，所以.故选：C变式2、【2020年高考浙江】我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．【答案】【解析】因为，所以．即．故答案为：.变式3、【2019年高考浙江卷】设a，b∈R，数列{an}满足a1=a，an+1=an2+b，，则A． 当 B． 当C． 当 D． 当【答案】A【解析】①当b=0时，取a=0，则.②当时，令，即.则该方程，即必存在，使得，则一定存在，使得对任意成立，解方程，得，当时，即时，总存在，使得，故C、D两项均不正确.③当时，，则，.（ⅰ）当时，，则，， ，则， ，故A项正确.（ⅱ）当时，令，则，所以，以此类推，所以，故B项不正确.故本题正确答案为A.变式4、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知数列中，，()，则等于（    ）A． B． C． D．2【答案】A【解析】∵，()，
，
，
，
，
…，
∴数列是以3为周期的周期数列，
，
，
故选：A.题型二、等差数列与等比数列的性质例2、【2020年高考浙江】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是A．    B． C．   D．【答案】D【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；对于B，由题意可知，，，∴，，，．∴，．根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；对于C，，当时，，C正确；对于D，，，．当时，，∴即；当时，，∴即，所以，D不正确．故选：D.变式1、(2019南通、泰州、扬州一调）已知数列{an}是等比数列，有下列四个命题：①数列{|an|}是等比数列；　　　　②数列{anan＋1}是等比数列； ③数列是等比数列；  ④数列{lga}是等比数列．其中正确的命题有________个．【答案】. 3【解析】设等比数列{an}的公比为q，对于①中数列{|an|}，＝q，且首项|a1|≠0，所以为等比数列；对于②中数列，＝q2，且首项a1a2≠0，所以为等比数列；对于③中数列，＝，且首项≠0，所以为等比数列， 对于④中数列，若a1＝1，则lga1＝0，所以不是等比数列．则正确的命题有3个，故答案为3.变式2、(2018南京、盐城一模）设Sn为等差数列{an}的前n项和，若{an}的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为________．【答案】 4034【解析】　因为a1＋a3＋a5＋…＋a2017＝1009a1009＝2018，所以a1009＝2，故S2017＝a1＋a2＋…＋a2017＝2017a1009＝4034.变式3、(2018苏北四市期末）已知等差数列{an}满足a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10，a－a＝36，则a11的值为________．【答案】 11　【解析】设等差数列{an}的公差为d，由a－a＝36得6a5d＝18.由a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝10得a5＝2，从而6d＝9，a11＝a5＋6d＝2＋9＝11. 题型三、等差数列与等比数列的证明与判断例3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知数列满足：.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项；（2）求数列的前项和.【解析】（1）证明：因为，所以．因为所以所以．又，所以是首项为，公比为2的等比数列，所以．（2）解：由（1）可得，所以 ．变式1、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且，是和的等比中项.（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足，证明数列是等比数列，并求的前n项和.【解析】因为是和的等比中项，所以设数列的首项为，公差为，则，即，∵，∴①，整理得②（或，∴）由①②解得所以（2）因为所以数列是以为首项，4为公比的等比数列所以数列的前n项和为变式2、（2020届山东省临沂市高三上期末）设，向量，，.（1）试问数列是否为等差数列？为什么？（2）求数列的前项和.【解析】（1），.，为常数，是等差数列.（2），.变式3、(2016苏锡常镇调研（二））已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝3，且对任意的正整数n，都有Sn＋1＝λSn＋3n＋1，其中常数λ>0.设bn＝ (n∈N*)﹒(1) 若λ＝3，求数列的通项公式；(2) 若λ≠1且λ≠3，设cn＝an＋×3n(n∈N*)，证明数列是等比数列；【解析】 因为Sn＋1＝λSn＋3n＋1，n∈N*，所以当n≥2时，Sn＝λSn－1＋3n，从而an＋1＝λan＋2·3n，n≥2，n∈N*﹒又在Sn＋1＝λSn＋3n＋1中，令n＝1，可得a2＝λa1＋2×31，满足上式，所以an＋1＝λan＋2·3n, n∈N*﹒ (2分)(1) 当λ＝3时， an＋1＝3an＋2·3n，n∈N*，从而＝＋，即bn＋1－bn＝，又b1＝1，所以数列是首项为1，公差为的等差数列，所以bn＝.(4分)(2) 当λ>0且λ≠3且λ≠1时，cn＝an＋×3n＝λan－1＋2×3n－1＋×3n  ＝λan－1＋×3n－1(λ－3＋3)  ＝λ(an－1＋×3n－1)＝λ·cn－1, (7分) 又c1＝3＋＝≠0，所以是首项为，公比为λ的等比数列，cn＝·λn－1﹒(8分)