多维层次练46-圆的方程学案

这是一份多维层次练46-圆的方程学案，共8页。

1．以线段AB：x＋y－2＝0(0≤x≤2)为直径的圆的方程为( )
A．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2B．(x－1)2＋(y－1)2＝2
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝8D．(x－1)2＋(y－1)2＝8
解析：直径的两端点分别为(0，2)，(2，0)，所以圆心为(1，1)，半径为eq \r(2)，故圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：B
2．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为( )
A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5B．(x－1)2＋(y－3)2＝5
C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5
解析：由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为eq \r(5)，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C.
答案：C
3．(2020·昆明模拟)若点A，B在圆O：x2＋y2＝4上，弦AB的中点为D(1，1)，则直线AB的方程是( )
A．x－y＝0 B．x＋y＝0
C．x－y－2＝0 D．x＋y－2＝0
解析：因为直线OD的斜率kOD＝1，所以直线AB的斜率kAB＝－1，所以直线AB的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，故选D.
答案：D
4．(2020·北京卷)已知半径为1的圆经过点(3，4)，则其圆心到原点的距离的最小值为( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：设圆心的坐标为M(a，b)．由圆M的半径为1，可得圆M的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝1.将点(3，4)的坐标代入圆M的方程，得(3－a)2＋(4－b)2＝1，即(a－3)2＋(b－4)2＝1，所以圆心(a，b)在以(3，4)为圆心，1为半径的圆N上．圆N的圆心(3，4)到原点的距离为eq \r(32＋42)＝5，则圆N上的点到原点的最短距离是5－1＝4，即圆M的圆心(a，b)到原点的距离的最小值为4.故选A.
答案：A
5．方程|y|－1＝eq \r(1－（x－1）2)表示的曲线是( )
A．一个椭圆 B．一个圆
C．两个圆 D．两个半圆
解析：由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y＝－1下方的半圆．所以方程|y|－1＝eq \r(1－（x－1）2)表示的曲线是两个半圆，故选D.
答案：D
6．(多选题)已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C的方程为( )
A．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,3) B．x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,3)
C．(x－eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3) D．(x＋eq \r(3))2＋y2＝eq \f(4,3)
解析：由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为eq \f(2π,3)，设圆心(0，a)，半径为r，则rsin eq \f(π,3)＝1，rcs eq \f(π,3)＝|a|，解得r＝eq \f(2,\r(3))，即r2＝eq \f(4,3)，|a|＝eq \f(\r(3),3)，即a＝±eq \f(\r(3),3)，故圆C的方程为x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y±\f(\r(3),3)))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,3).
答案：AB
7．已知三点A(1，0)，B(0，eq \r(3))，C(2，eq \r(3))，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________．
解析：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋D＋F＝0，,3＋\r(3)E＋F＝0，,7＋2D＋\r(3)E＋F＝0，))所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(D＝－2，,E＝－\f(4\r(3),3)，,F＝1，))
所以△ABC外接圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(2\r(3),3)))，故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(\r(21),3).
答案：eq \f(\r(21),3)
8．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________．
解析：圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a，2a)，半径r＝2，故由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a<0，,|－a|>2，,|2a|>2，))解得a<－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)．
答案：(－∞，－2)
9．在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为2eq \r(2)，在y轴上截得线段长为2eq \r(3).
(1)求圆心P的轨迹方程；
(2)若P点到直线y＝x的距离为eq \f(\r(2),2)，求圆P的方程．
解：(1)设P(x，y)，圆P的半径为r.
由题设y2＋2＝r2，x2＋3＝r2，
从而y2＋2＝x2＋3.
故P点的轨迹方程为y2－x2＝1.
(2)设P(x0，y0)，由已知得eq \f(|x0－y0|,\r(2))＝eq \f(\r(2),2).
又P点在双曲线y2－x2＝1上，
从而得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(|x0－y0|＝1，,yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1.))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0－y0＝1，,yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝－1.))
此时，圆P的半径r＝eq \r(3).
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0－y0＝－1，,yeq \\al(2,0)－xeq \\al(2,0)＝1，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝0，,y0＝1.))
此时，圆P的半径r＝eq \r(3).
故圆P的方程为x2＋(y－1)2＝3或x2＋(y＋1)2＝3.
10．已知方程x2＋y2－2x－4y＋m＝0.
(1)若此方程表示圆，求实数m的取值范围；
(2)若(1)中的圆与直线x＋2y－4＝0相交于M，N两点，且OM⊥ON(O为坐标原点)，求m的值；
(3)在(2)的条件下，求以MN为直径的圆的方程．
解：(1)由D2＋E2－4F>0得(－2)2＋(－4)2－4m>0，解得m<5.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，由x＋2y－4＝0得x＝4－2y，将x＝4－2y代入x2＋y2－2x－4y＋m＝0得5y2－16y＋8＋m＝0，所以y1＋y2＝eq \f(16,5)，y1y2＝eq \f(8＋m,5).因为OM⊥ON，所以eq \f(y1,x1)·eq \f(y2,x2)＝－1，即x1x2＋y1y2＝0.因为x1x2＝(4－2y1)(4－2y2)＝16－8(y1＋y2)＋4y1y2，所以x1x2＋y1y2＝16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0，即(8＋m)－8×eq \f(16,5)＋16＝0，解得m＝eq \f(8,5).
(3)设圆心C的坐标为(a，b)，则a＝eq \f(1,2)(x1＋x2)＝eq \f(4,5)，b＝eq \f(1,2)(y1＋y2)＝eq \f(8,5)，半径r＝|OC|＝eq \f(4\r(5),5)，所以所求圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4,5)))eq \s\up12(2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(8,5)))eq \s\up12(2)＝eq \f(16,5).
[综合应用练]
11．已知点P(2，2)，点M是圆O1：x2＋(y－1)2＝eq \f(1,4)上的动点，点N是圆O2：(x－2)2＋y2＝eq \f(1,4)上的动点，则|PN|－|PM|的最大值是( )
A．eq \r(5)－1 B．eq \r(5)－2
C．2－eq \r(5) D．3－eq \r(5)
解析：|PN|－|PM|的最大值是|PO2|＋eq \f(1,2)－(|PO1|－eq \f(1,2))＝|PO2|－|PO1|＋1＝2－eq \r(5)＋1＝3－eq \r(5).
答案：D
12．已知实数x，y满足x2＋y2＝4(y≥0)，则m＝eq \r(3)x＋y的取值范围是( )
A．(－2eq \r(3)，4) B．[－2eq \r(3)，4]
C．[－4，4] D．[－4，2eq \r(3)]
解析：x2＋y2＝4(y≥0)表示圆x2＋y2＝4的上半部分，如图所示，直线eq \r(3)x＋y－m＝0的斜率为－eq \r(3)，在y轴上的截距为m.当直线eq \r(3)x＋y－m＝0过点(－2，0)时，m＝－2eq \r(3).设圆心(0，0)到直线eq \r(3)x＋y－m＝0的距离为d，
则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥－2\r(3)，,d≤2，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m≥－2\r(3)，,\f(|－m|,2)≤2，))解得m∈[－2eq \r(3)，4]．
答案：B
13．在平面直角坐标系xOy中，以点(1，0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．
解析：直线mx－y－2m－1＝0经过定点(2，－1)．
当圆与直线相切于点(2，－1)时，圆的半径最大，此时半径r满足r2＝(1－2)2＋(0＋1)2＝2.
此时圆的方程为(x－1)2＋y2＝2.
答案：(x－1)2＋y2＝2
14．已知动点P(x，y)满足x2＋y2－2|x|－2|y|＝0，O为坐标原点，则eq \r(x2＋y2)的最大值为________．
解析：eq \r(x2＋y2)表示曲线上的任意一点(x，y)到原点的距离．
当x≥0，y≥0时，x2＋y2－2x－2y＝0化为(x－1)2＋(y－1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x<0，y<0时，x2＋y2＋2x＋2y＝0化为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x≥0，y<0时，x2＋y2－2x＋2y＝0化为(x－1)2＋(y＋1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2)，
当x<0，y≥0时，x2＋y2＋2x－2y＝0化为(x＋1)2＋(y－1)2＝2，曲线上的点到原点的距离的最大值为2×eq \r(2)＝2eq \r(2).
综上可知，eq \r(x2＋y2)的最大值为2eq \r(2).
答案：2eq \r(2)
15．已知点A(－3，0)，B(3，0)，动点P满足|PA|＝2|PB|.
(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；
(2)若点Q在直线l1：x＋y＋3＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C只有一个公共点M，求|QM|的最小值．
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，
则eq \r(（x＋3）2＋y2)＝2eq \r(（x－3）2＋y2).
化简可得(x－5)2＋y2＝16，
故此曲线方程为(x－5)2＋y2＝16.
(2)曲线C是以点(5，0)为圆心，4为半径的圆，如图所示．
由题知直线l2与圆C相切，连接CQ，CM，
则|QM|＝eq \r(|CQ|2－|CM|2)＝eq \r(|CQ|2－16)，
当CQ⊥l1时，|CQ|取得最小值，|QM|取得最小值，
此时|CQ|＝eq \f(|5＋3|,\r(2))＝4eq \r(2)，故|QM|的最小值为eq \r(32－16)＝4.
[拔高创新练]
16．若对圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上任意一点P(x，y)，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，则实数a的取值范围是________．
解析：|3x－4y－9|表示点P到直线l1：3x－4y－9＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|表示点P到直线l2：3x－4y＋a＝0的距离的5倍，|3x－4y＋a|＋|3x－4y－9|的取值与x，y无关，即点P到直线l1，l2的距离之和与点P的位置无关，所以直线3x－4y＋a＝0与圆相离或相切，并且l1和l2在圆的两侧，所以eq \f(|3－4＋a|,5)≥1，且a>0，解得a≥6.
答案：[6，＋∞)