高中数学北师大版 (2019)必修 第一册第一章 预备知识4 一元二次函数与一元二次不等式4.3 一元二次不等式的应用课时作业

4.3　一元二次不等式的应用

1.不等式>0的解集是(　　)

A.  B.

C.         D.

2．解下列不等式：

(1)<0；(2)≤2.

3.若不等式x2＋mx＋>0的解集为R，则实数m的取值范围是(　　)

A．m>2         B．m<2

C．m<0或m>2  D．0<m<2

4．已知不等式x2＋ax＋4<0的解集为空集，则a的取值范围是(　　)

A．－4≤a≤4      B．－4<a<4

C．a≤－4或a≥4  D．a<－4或a>4

5．若不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则k的取值范围为(　　)

A．－3<k<0    B．－3≤k<0

C．－3≤k≤0  D．－3<k≤0

6.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0<x<240，x∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是(　　)

A．100台  B．120台

C．150台  D．180台

7．某地每年销售木材约20万m3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少t万m3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．

1．不等式≥1的解集是(　　)

A.≤x≤2  B.≤x<2

C.x>2或x≤  D.x≥

2．若关于x的不等式ax－b>0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式>0的解集为(　　)

A．{x|x>1或x<－2}  B．{x|1<x<2}

C．{x|x>2或x<－1}  D．{x|－1<x<2}

3．若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集是空集，则实数a的取值范围是(　　)

A．[2，＋∞)  B．(－∞，－6]

C．(－6,2)  D．(－∞，－6]∪[2，＋∞)

4．若不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|1<x<2}，则不等式>0的解集是 (　　)

A．{x|1<x<2}

B．{x|x<－1或x>6}

C．{x|－1<x<1或2<x<6}

D．{x|x<－1或1<x<2或x>6}

5．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是(　　)

A．15≤x≤30

B．12≤x≤25

C．10≤x≤30

D．20≤x≤30

6．(易错题)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，2)  B．[－2,2]

C．(－2,2]  D．(－∞，－2)

7．不等式≥0的解集为________．

8．若不等式x2－4x＋3m<0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．

9．(探究题)若关于x的不等式x2－ax－a>0的解集为R，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．

10．已知y＝ax2＋x－a.

(1)若函数y有最大值，求实数a的值；

(2)若不等式y＞－2x2－3x＋1－2a对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．

1．(多选题)对于给定的实数a，关于实数x的一元二次不等式a(x－a)(x＋1)＞0的解集可能为(　　)

A．∅ 

B．{x|－1＜x＜a}

C．{x|a＜x＜－1} 

D．{x|x＜－1或x＞a}

2．在R上定义运算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________．

3．(学科素养—数据分析)某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为a kW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.

(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?

注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．

4．3　一元二次不等式的应用

必备知识基础练

1．解析：>0⇔(4x＋2)(3x－1)>0⇔x>或x<－，此不等式的解集为.

答案：A

2．解析：(1)由＜0，得＞0，

此不等式等价于(x＋4)(x－3)>0，

∴原不等式的解集为{x|x<－4或x>3}．

(2)移项得－2≤0，

左边通分并化简有≤0，即≥0，

同解不等式组为

∴x<2或x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．

3．解析：由题意得Δ＝m2－4×<0，即m2－2m<0，解得0<m<2.

答案：D

4．解析：依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.

答案：A

5．解析：当k＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则

解得－3<k<0.综上，满足不等式2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立的k的取值范围是－3<k≤0.

答案：D

6．解析：3 000＋20x－0.1x2≤25x⇔x2＋50x－30 000≥0，

解得x≤－200(舍去)或x≥150.

答案：C

7．解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y 万元，

则y＝2 400×t%＝60(8t－t2)．

令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5.

答案：{t|3≤t≤5}

关键能力综合练

1．解析：不等式≥1，移项得－1≥0，即≤0，可化为解得≤x<2，则原不等式的解集为，故选B.

答案：B

2．解析：x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，

∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，

∴a>0，

故＝>0，

等价为(x＋1)(x－2)>0.

∴x>2或x<－1.

答案：C

3．解析：由题意知方程x2－ax－a＋3＝0没有实数根，即Δ＝a2＋4(a－3)<0，解得－6<a<2.故选C.

答案：C

4．解析：由题意知x2＋px＋q＝(x－1)(x－2)，则待解不等式等价于(x－1)(x－2)(x2－5x－6)>0⇒(x－1)·(x－2)(x－6)(x＋1)>0⇒x<－1或1<x<2或x>6.

答案：D

5．解析：设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，＝，

∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.

答案：C

6．解析：当a－2≠0时，

⇒⇒－2<a<2.

当a－2＝0时，－4<0恒成立．

综上所述，－2<a≤2.故选C.

答案：C

7．解析：原不等式⇔∴－1≤x＜1.

答案：[－1,1)

8．解析：由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥.

答案：m≥

9．解析：由Δ1<0即a2－4(－a)<0得－4<a<0；由Δ2≥0即a2－4(3－a)≥0得a≤－6或a≥2.

答案：－4<a<0　a≤－6或a≥2

10．解析：(1)显然a＜0，且＝，

解得a＝－2或a＝－.

(2)由y＞－2x2－3x＋1－2a，得

(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0.

当a＝－2时，不符合题意；当a≠－2时，得

解得a＞2.

综上，a的取值范围为a>2.

学科素养升级练

1．解析：对于a(x－a)(x＋1)＞0，

当a＞0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向上，与x轴的交点为a，－1，

故不等式的解集为{x|x＜－1或 x＞a}；

当a＜0时，y＝a(x－a)(x＋1)开口向下，

若a＝－1，不等式解集为∅；

若－1＜a＜0，不等式的解集为{x|－1＜x＜a}，

若a＜－1，不等式的解集为{x|a＜x＜－1}，

综上，ABCD都成立，故选：ABCD.

答案：ABCD

2．解析：根据定义得(x－a)(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)(x＋a)<1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a2>0对任意的实数x都成立，所以Δ<0，即1－4(a＋1－a2)<0，解得－<a<.

答案：－<a<

3．解析：(1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至＋a，电力部门的收益为y＝(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．

(2)依题意，有

整理，得

解此不等式组，得0.60≤x≤0.75.

∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.