2022届高三旧高考数学（文）开学摸底测试卷10含答案

2022届旧高考数学（文）开学摸底测试卷10

一、单选题

1．若复数z满足，则z的虚部是（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】A

【分析】利用复数的运算可得，然后简单判断即可.

【详解】由题可知：

所以z的虚部是2

故选：A

2．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】求得集合，由此求得两个集合的交集.

【详解】由于，故.

故选:A

3．已知向量，，若，则（    ）

A． B．2 C． D．8

【答案】C

【分析】利用向量垂直直接计算可得，然后利用坐标计算模长.

【详解】由，所以

所以，则

故选：C

4．若，是方程的两根，则的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】使用韦达定理可知，然后使用两角和的正切公式计算即可.

【详解】由题可知：

所以

故选：B

5．下列说法中正确的是（    ）

A．“”是“”的充要条件

B．命题，，则，

C．命题“若，则”的逆否命题是真命题

D．“”是“（且）”成立的充分不必要条件

【答案】C

【分析】逐项进行判断，对A取特殊值可得正误，对B按照命题否定的定义可得正误，对C利用原命题的真假判断逆否命题真假，对D，根据对数底数介于0与1之间即可判断.

【详解】对A，若，可知，且，故A错

对B，则，，故B错

对C，命题“若，则”是真命题，根据原命题与逆否命题同真同假，故C正确

对D，若时，当时，，故“”不能推出“，所以D错

故选:C

6．甲，乙，丙，丁四名学生，仅有一人阅读了语文老师推荐的一篇文章.当它们被问到谁阅读了该篇文章时，甲说：“丙或丁阅读了”；乙说：“丙阅读了”；丙说：“甲和丁都没有阅读”；丁说：“乙阅读了”.假设这四名学生中只有两人说的是对的，那么读了该篇文章的学生是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

【答案】B

【分析】分别假设甲阅读，乙阅读，丙阅读，丁阅读，结合题中条件，即可判断出结果.

【详解】若甲阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；

若乙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙说的都不对，丙、丁都正确；满足题意；

若丙阅读了语文老师推荐的文章，则甲、乙、丙说的都对，丁说的不对，不满足题意；

若丁阅读了语文老师推荐的文章，则甲说的对，乙、丙、丁说的都不对，不满足题意；

故选B

【点睛】本题主要考查逻辑推理的问题，推理案例是常考内容，属于基础题型.

7．将函数的图象向右平移个单位后得函数的图象，则下列关于的说法错误的是（    ）

A．最小正周期为 B．是它的一条对称轴

C．在上单调递增 D．在内的最大值为1

【答案】D

【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的性质，得出结论．

【详解】解：将函数的图象向右平移个单位得到，

所以最小正周期，故A正确；

又，所以是它的一条对称轴，故B正确；

当，所以，因为在上单调递增，

所以在上单调递增，故C正确；

当，所以，所以，故D错误.

故选：D.

8．函数，且若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】由已知条件易知函数关于点中心对称，结合极值点也关于该点对称可以分别求得，从而得到的值.

【详解】由知，关于点对称，且该点在函数上，

则，

对求导得，

∵函数的极值点也关于对称，

由韦达定理知，，则，从而，

故.

故选：A.

【点睛】思路点睛：根据函数对称性找到参数满足的关系式即可.

9．三棱柱中，平面ABC，，，，则异面直线与所成角的正弦值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】在三棱柱中，由得，进而得，且平面ABC，得，利用线面垂直判定定理得平面.由，得为异面直线与所成角或其补角.在中，计算即可.

【详解】三棱柱中，，，，满足，，得.

平面ABC，，且，平面，平面，，.，为异面直线与所成角或其补角.

在中，.

故选：C

【点睛】思路点睛：首先利用勾股定理得，且平面ABC，得；其次利用线面垂直判定定理得平面；再次，得为异面直线与所成角或其补角；最后在中，计算正弦值.

10．已知双曲线（，）的右焦点为，P为双曲线左支上的动点，设点且的周长最小值为16，则双曲线的渐近线方程为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据双曲线定义找到的周长取最小值时的P的位置，根据周长计算出，即可求出渐近线方程.

【详解】如图所示，取双曲线左焦点，的周长，

由双曲线定义易知，，

则，

由图知，当三点共线时，最小，

又，

故，

解得，又，

则，双曲线渐近线方程为.

故选：A.

【点睛】关键点点睛：根据双曲线定义找到三角形周长取最小值的点，从而解得圆锥曲线参数.

11．某学校的数学知识比赛一共有三关，第一关与第二关的通过率分别为，，只有通过前一关才能进入下一关，每一关都有两次闯关机会，且通过每关相互独立，某同学参加该比赛能进入第三关的概率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】把能进入第三关的事件，分为四种情况：前两关都是一次通过，前两关仅有一关是两次通过，前两关都是两次通过，然后分别求解概率即可.

【详解】设“第次通过第一关”，“第次通过第二关”，其中；

由题意选手能进入第三关的事件为：,

所以概率为

.

故选：D

12．已知函数，若方程有且仅有两个不同的解，则实数m的值为（    ）

A．2e B．4e C．6e D．8e

【答案】A

【分析】设，判断为偶函数，只需满足时，有个零点，即，转化为，相切，设切点为，利用导数求出切线的斜率即可.

【详解】解：设，可得，即有为偶函数，

由题意考虑时，有个零点，

当时，，，

即有时，，

由，可得，

由，相切，设切点为，

的导数为，可得切线的斜率为，

可得切线的方程为，

由切线经过点，可得，

解得或舍去，

即切线的斜率为2e，

故选：A

【点睛】关键点点睛：本题考查了利用导数研究方程的根，解题的关键是将问题转化为当时，有一个根，进而转化为，相切，考查了转化思想以及数形结合的思想.

二、填空题

13．函数的图象在处的切线方程是，则__________.

【答案】

【分析】根据导数的几何意义，分别求得的值，即可求解.

【详解】由题意，函数的图象在处的切线方程是，

可得，所以.

故答案为：.

14．已知直线与抛物线交于，两点，则弦的长为__________．

【答案】8

【详解】直线与抛物线联立可得，

因为直线过抛物线焦点（1，0），所以

15．已知正三棱锥的高为2，底面边长是，则该正三棱锥的内切球的半径是___________.

【答案】

【分析】计算侧面的高，然后利用等体积法计算即可.

【详解】设正三棱锥的内切球的半径为

如图

顶点在底面的投影为的重心

由题可知：，所以

则，

，

使用等体积法可知：

所以

故答案为：

16．在中，内角A，B，C所的边分别为a，b，c，已知，则A的取值范围为______．

【答案】.

【分析】先由余弦定理化边可得，再由余弦定理以及基本不等式得到，结合余弦函数的单调性，即可求解.

【详解】由，根据余弦定理得，化简得，

又由，

当且仅当时，即时等号成立，

又因为，且余弦函数在上是单调递减函数，

可得，即A的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．某班级开展数学能力竞赛，随机抽取5名学生对他们的数学运算能力和数学抽象能力进行检查和评分，其评分情况如下表所示:

（1）已知x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程;

（2）现从5名学生中任意抽取两名学生组成一组，若这两名学生的数学运算能力和数学抽象能力的评分均不低于85分，则组成“最佳搭档”，求该组被评为“最佳搭档”的概率.

参考公式:，；

参考数据:，.

【答案】（1）；（2）.

【分析】（1）首先求出，，再根据已知数据求出，进而求出即可.

（2）列出基本事件个数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】（1）由题意，计算平均数得：，

，

，

，

故所求的线性回归方程为.

（2）从5个名学生中任选两名，

，

共有10种结果.

其中数学运算能力和数学抽象能力评分不低于85分的有3种结果：

，

所以该组被评为最佳搭档的概率为.

18．已知数列满足，（），其中为的前n项和．

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）若数列满足，设，求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）利用与的关系求解即可；

（Ⅱ），利用裂项相消法求和即可.

【详解】（Ⅰ）当时，，，

两式相减得，即得，

因为，，

所以当时，，所以；

（Ⅱ）因为，则，

所以

．

【点睛】方法点睛：数列的裂项相消法，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项.

三大特征：

（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算；

（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”；（3）分母上几个因数间的差是一个定值；

（3）分母上几个因数间的差是一个定值；

裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”.

19．如图，是边长为4的正三角形，D，E分别是边AB，AC的中点，以DE为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且，M是PB的中点.

（1）求证：平面PEC

（2）求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【分析】（1）取的中点，连接，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面；

（2）根据线面垂直的判定定理，证得平面，结合，即可求解.

【详解】（1）如图，取的中点，连接,

因为是的中点，所以，且,

又因为分别是边的中点，所以，且，

所以，且

所以四边形是平行四边形，所以.

因为平面，平面，所以平面.

（2）因为是正三角形，是的中点，所以，

因为，，所以平面，

因为的边长是4，，分别是、的中点，所以，

因为，所以，

由对称性知，，，

所以，所以为直角三角形，

所以.

20．已知动点P到点的距离与它到直线的距离之比为，点P形成的轨迹为曲线C．

（Ⅰ）求曲线C的方程；

（Ⅱ）设，分别过，作斜率为）的直线与曲线C交于x轴上方A，B两点，若四边形的面积为，求k的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.

【分析】（Ⅰ）设，利用直接法即可求解.

（Ⅱ）延长交椭圆于点，根据椭圆的对称性，设，将直线与椭圆方程联立，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离，进而表示出，解方程即可.

【详解】（Ⅰ）设，由题意得，

整理得，即为曲线的方程．

（Ⅱ）由题意知，延长交椭圆于点，

由椭圆的对称性知，

所以，

设，与联立消得，

，

设，，

则，，

所以

，

因为点到直线的距离

所以

，

平方化简得，

解得或（舍），

因为，所以．

【点睛】关键点点睛：本题考查了直接法求动点的轨迹方程，直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用椭圆的性质可得，求出弦长，考查了运算求解.

21．已知．

（1）已知函数在点的切线与圆相切，求实数a的值；

（2）当时，，求实数a的取值范围．

【答案】（1）或；（2）.

【分析】（1）计算导数，可得，，得到切线方程，然后根据直线与圆相切进行简单计算即可.

（2）构造函数，并求得，然后按，分别进行讨论，判段函数单调性并求最值，最后进行计算即可.

【详解】（1）由题知，，．

在点的切线斜率为，

在点的切线方程为，

即，

由题意知，，解得或．

（2）设

，

设，，

当时，，，，

即在上是增函数，，

当时，，

则当时，，

函数在上是增函数，

当时，，满足题意，

当时，，

在上是增函数，，

存在上，使，

当时，，

函数在是减函数

当时，，不满足题意．

综上所述，实数的取值范围为．

【点睛】方法点睛：

求曲线在某点处的切线方程：（1）求导；（2）计算；（3）点斜式可得方程.

利用导数求参常用方法：（1）构造函数利用导数判断原函数单调性并求最值判断（必要时对参数进行讨论）；（2）分离参数，并构造新函数，利用导数求新函数的最值.

22．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为，将曲线向左平移3个单位长度得到曲线C.

（Ⅰ）求曲线C的普通方程和极坐标方程；

（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的最大值．

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）.

【分析】（Ⅰ）消参可得曲线的普通方程，然后经过平移可得曲线的普通方程，最后根据，可得极坐标方程.

（Ⅱ）方法一：使用极坐标方程，可得，，然后化简计算，结合，可得结果;方法二：设直线的参数方程，代入曲线普通方程结合参数的几何意义进行计算可得结果.

【详解】（Ⅰ）曲线的普通方程为，

依题意得曲线的普通方程为，

令，得，

曲线的极坐标方程为；

（Ⅱ）法一：将代入曲线的极坐标方程得，

则，，

，，异号，

，

，，

，

则的最大值为．

法二：设直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角），

代入曲线的普通方程得，

则，，

，，号．

，

，，

，

则的最大值为．

【点睛】方法点睛：第（Ⅰ）问：消参；平移；利用，转化.第（Ⅱ）问：假设直线参数方程；联立曲线方程；使用韦达定理，根据参数几何意义计算.

23．设函数．

（1）证明：当时，恒成立；

（2）证明：当时，．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【分析】（1）化简函数的解析式，求出函数的最大值，结合基本不等式可证得结论成立；

（2）利用分析法得出所证不等式等价于，然后利用基本不等式结合对数函数的单调性可证得结论成立.

【详解】（1）令，

则函数在上是增函数，在上是减函数，即，

当时，由基本不等式得，，当且仅当时，等号成立，

所以原式得证；

（2）由于，则，

即，

要证明，只需证，

即证，

又

.

所以．

【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：

（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；

（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；

（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.