2021高三数学第一轮复习 导学案 第48讲 立体几何中的翻折、探究性、最值问题

第四十八讲：立体几何中的翻折、探究性、最值问题

【典题分析】  

题型1：平面图形的翻折问题

例1 如图，四边形为正方形，分别为的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且.

（1）证明：平面平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

【方法规律】 3步解决平面图形翻折问题：

第一步：确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量；

第二步：在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面；

第三步：利用判定定理或性质定理进行证明 .

【题组练习】

1、如图，梯形中，，，，，是的中点，，在上，将四边形沿折起，使得平面平面，点是线段上异于的任意一点.

（1）当点是的中点时，求证：平面；

（2）当平面与平面所成的锐二面角的正弦值为时，求三棱锥的体积.

2、如图，，，均为正三角形，，中点为，将沿翻折，使得点折到点的位置．

（1）证明：平面；

（2）当时，求二面角的余弦值．

3、如图甲，在中，，，，，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙．

1）已知，为，上的动点，求证：；

（2）在翻折过程中，当二面角为60°时，求直线与平面所成角的正弦值．

题型2：立体几何中的探究性问题

例2 如图，在正四棱柱中，为的中点，为的中点，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.

【方法规律】

（1）解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出和条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在.

（2）在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理（），利用向量相等，所求点坐标用表示，再根据条件代入，注意的范围.

（3）利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理.

【题组练习】

1、如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）在线段上是否存在点，使得，若存在，求的值；若不存在，请说明理由

2、如图，在梯形中，//，，，四边形为正方形，平面平面.

（1）求证：平面平面；

（2）点在线段上运动，是否存在点使平面与平面所成二面角的平面角的余弦值为，若存在，求线段的长，若不存在，说明理由.

题型3：立体几何中的最值问题

例3 如图所示，长方体中，，在对角线上存在一点使得最短，则的最小值为（   ）

   A.     B.     B.      D.

【方法规律】

解决空间图形有关的线段、角、距离、面积、体积等最值问题，一般可以从三方面着手：一是从问题的几何特征入手，充分利用其几何性质去解决；二是利用空间几何体的侧面展开图；三是找出问题中的代数关系，建立目标函数，利用代数方法求目标函数的最值.解决途径很多，在函数建成后，可用一次函数的端点法、二次数的配方法、公式法、函数有界法（如三角函数等）及高阶函数拐点导数法等.

【题组练习】

1、如图，在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，点是线段上一动点，则的最小值是（   ）

    A．     B． 

C．  D．

2、在三棱锥中，平面，，，其外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________.