2020版高考数学（天津专用）大一轮精准复习精练：9.2　直线、圆的位置关系 Word版含解析【KS5U 高考】

9.2　直线、圆的位置关系

挖命题

【考情探究】

分析解读　　从高考试题来看,直线与圆以及圆与圆的位置关系一直是高考考查的重点和热点问题,题型以选择题和填空题为主,分值大约为5分,主要考查:1.方程中含有参数的直线与圆的位置关系的判定;2.利用相切或相交的条件求参数的值或取值范围;3.利用相切或相交的条件求圆的切线长或弦长;4.由两圆的位置关系判定两圆的公切线条数.同时考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力,考查化归与转化思想、分类讨论思想、方程思想以及数形结合思想的应用.

破考点

【考点集训】

考点　直线、圆的位置关系

1.(2015重庆,8,5分)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2+y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|=(　　)

A.2　　　　B.4　　　　C.6　　　　D.2

答案　C　

2.若直线y=kx+4+2k与曲线y=有两个交点,则k的取值范围是(　　)

A.[1,+∞)　　　　B.　　　　C.　　　　D.(-∞,-1]

答案　B　

3.(2014安徽,6,5分)过点P(-,-1)的直线l与圆x2+y2=1有公共点,则直线l的倾斜角的取值范围是(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　D　

炼技法

【方法集训】

方法1　与圆有关的最值问题的求解方法

1.已知P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一点,PA是圆C:x2+y2-2y=0的一条切线,A是切点,若PA长度的最小值为2,则k的值为(　　)

A.3　　　　B.　　　　C.2　　　　D.2

答案　D　

2.(2015江苏,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为　　　　　　. 

答案　(x-1)2+y2=2

方法2　求解与圆有关的切线和弦长问题的方法

3.(2015安徽文,8,5分)直线3x+4y=b与圆x2+y2-2x-2y+1=0相切,则b的值是(　　)

A.-2或12　　　　B.2或-12　　　　C.-2或-12　　　　D.2或12

答案　D　

4.(2014浙江文,5,5分)已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4,则实数a的值是(　　)

A.-2　　　　B.-4　　　　C.-6　　　　D.-8

答案　B　

过专题

【五年高考】

A组　自主命题·天津卷题组

1.(2018天津,12,5分)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线(t为参数)与该圆相交于A,B两点,则△ABC的面积为　　　　. 

答案　

2.(2017天津,11,5分)在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为　　　　. 

答案　2

3.(2014天津,13,5分)在以O为极点的极坐标系中,圆ρ=4sin θ和直线ρsin θ=a相交于A,B两点.若△AOB是等边三角形,则a的值为　　　　. 

答案　3

4.(2012天津,12,5分)设m,n∈R,若直线l:mx+ny-1=0与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,且l与圆x2+y2=4相交所得弦的长为2,O为坐标原点,则△AOB面积的最小值为　　　　. 

答案　3

B组　统一命题、省(区、市)卷题组

1.(2018课标Ⅲ,6,5分)直线x+y+2=0分别与x轴,y轴交于A,B两点,点P在圆(x-2)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是(　　)

A.[2,6]　　　　B.[4,8]　　　　C.[,3]　　　　D.[2,3]

答案　A　

2.(2018课标Ⅰ文,15,5分)直线y=x+1与圆x2+y2+2y-3=0交于A,B两点,则|AB|=　　　　. 

答案　2

3.(2016课标Ⅲ,16,5分)已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.若|AB|=2,则|CD|=　　　　. 

答案　4

4.(2016课标Ⅲ文,15,5分)已知直线l:x-y+6=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点.则|CD|=　　　　. 

答案　4

5.(2015湖南文,13,5分)若直线3x-4y+5=0与圆x2+y2=r2(r>0)相交于A,B两点,且∠AOB=120°(O为坐标原点),则r=　　　　. 

答案　2

6.(2014重庆文,14,5分)已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B两点,且AC⊥BC,则实数a的值为　　　　. 

答案　0或6

7.(2014课标Ⅱ,16,5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是　　　　. 

答案　[-1,1]

8.(2015课标Ⅰ文,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.

(1)求k的取值范围;

(2)若·=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

解析　(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.

因为l与C交于两点,所以<1.解得<k<.

所以k的取值范围为.

(2)设M(x1,y1),N(x2,y2).

将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得

(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.

所以x1+x2=,x1x2=.

·=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8.

由题设可得+8=12,解得k=1,

所以l的方程为y=x+1.故圆心C在l上,所以|MN|=2.

9.(2015广东,20,14分)已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2-6x+5=0相交于不同的两点A,B.

(1)求圆C1的圆心坐标;

(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程;

(3)是否存在实数k,使得直线L:y=k(x-4)与曲线C只有一个交点?若存在,求出k的取值范围;若不存在,说明理由.

解析　(1)由已知得,圆C1的标准方程为(x-3)2+y2=4,所以圆C1的圆心坐标为(3,0).

(2)由题意可知,直线l的斜率必存在,设直线l的方程为y=tx,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),线段AB的中点M(x0,y0),

将y=tx代入圆C1的方程,整理得(1+t2)x2-6x+5=0.

则有x1+x2=,

所以x0=,代入直线l的方程,得y0=.

因为+=+===3x0,

所以+=.

又因为方程(1+t2)x2-6x+5=0有两个不相等的实根,

所以Δ=36-20(1+t2)>0,解得t2<,所以<x0≤3.

所以线段AB的中点M的轨迹C的方程为+y2=.

(3)由(2)知,曲线C:+y2=.

如图,D,E,F(3,0),直线L过定点G(4,0).

由得(1+k2)x2-(3+8k2)x+16k2=0.

当直线L与曲线C相切时,判别式Δ=0,解得k=±.结合图形可以判断,当直线L与曲线C只有一个交点时,有kDG≤k≤kEG或k=kGH或k=kGI,即k∈∪.

评析本题考查了直线和圆的位置关系;考查了求解弦的中点问题的基本方法;考查了运算求解能力和数形结合思想,属偏难题.

C组　教师专用题组

1.(2015山东,9,5分)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)

A.-或-　　　　B.-或-　　　　C.-或-　　　　D.-或-

答案　D　

2.(2014江西,9,5分)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C面积的最小值为(　　)

A.π　　　　B.π　　　　C.(6-2)π　　　　D.π

答案　A　

3.(2018江苏,12,5分)在平面直角坐标系xOy中,A为直线l:y=2x上在第一象限内的点,B(5,0),以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若·=0,则点A的横坐标为　　　　. 

答案　3

4.(2014重庆,13,5分)已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a=　　　　. 

答案　4±

5.(2014湖北,12,5分)直线l1:y=x+a和l2:y=x+b将单位圆C:x2+y2=1分成长度相等的四段弧,则a2+b2=　　　　. 

答案　2

6.(2015福建,18,13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)过点(0,),且离心率e=.

(1)求椭圆E的方程;

(2)设直线l:x=my-1(m∈R)交椭圆E于A,B两点,判断点G与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由.

解析　(1)由已知得解得

所以椭圆E的方程为+=1.

(2)解法一:设点A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为H(x0,y0).

由得(m2+2)y2-2my-3=0,

所以y1+y2=,y1y2=-,从而y0=.

所以|GH|2=+=+=(m2+1)+my0+.

==

==(1+m2)(-y1y2),

故|GH|2-=my0+(1+m2)y1y2+=-+=>0,所以|GH|>.

故点G在以AB为直径的圆外.

解法二:设点A(x1,y1),B(x2,y2),则=,=.由得(m2+2)y2-2my-3=0,

所以y1+y2=,y1y2=-,

从而·=+y1y2=+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+=++=>0,

所以cos<,>>0.又,不共线,所以∠AGB为锐角.

故点G在以AB为直径的圆外.

评析本题主要考查椭圆、圆、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想.

【三年模拟】

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.(2017天津河东二模,4)若a,b∈R,直线l:y=ax+b,圆C:x2+y2=1.命题p:直线l与圆C相交;命题q:a>,则p是q的(　　)

A.充分不必要条件　　　　B.必要不充分条件　　　　C.充要条件　　　　D.既不充分也不必要条件

答案　B　

2.(2017天津河西一模,6)已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,若其渐近线与圆x2+y2-4y+3=0相切,则此双曲线的离心率等于(　　)

A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.

答案　B　

3.(2018天津南开中学第三次月考,7)已知圆C:x2+(y-2)2=1与双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线相切,且和圆x2+y2=b2外切,则双曲线方程为(　　)

A.x2-3y2=1　　　　B.3x2-y2=1　　　　C.x2-=1　　　　D.-y2=1

答案　B　

4.(2018天津一中5月月考,5)已知圆C:x2+y2+2x+2y+1=0与双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线相切,则双曲线的离心率为(　　)

A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.

答案　B　

二、填空题(每小题5分,共25分)

5.(2018天津部分区县期末,13)以点(0,b)为圆心的圆与直线y=2x+1相切于点(1,3),则该圆的方程为　　　　　　　. 

答案　x2+=

6.(2018天津和平第一次质量检查,10)若直线l:x+y+1=0与圆x2+y2-2ax=0(a>0)相切,则a的值为　　　　. 

答案　1

7.(2018天津部分区县质量检查(2),11)已知直线k(x+1)+y+2=0恒过点C,且以C为圆心,5为半径的圆与直线3x+4y+1=0相交于A,B两点,则弦AB的长为　　　　. 

答案　2

8.(2018天津南开中学第四次月考,13)已知圆C:(x-m)2+(y-n)2=9的圆心在第一象限,直线l:x+2y+2=0被圆C所截得的弦长为4,则的最小值为　　　　. 

答案　

9.(2017天津十二区县二模,12)已知两圆x2+y2=10和(x-1)2+(y-a)2=20相交于A、B两个不同的点,且直线AB与直线3x-y+1=0垂直,则实数a=　　　　. 

答案　3