2020年广东省中考数学试卷

这是一份2020年广东省中考数学试卷，共25页。试卷主要包含了解答题等内容，欢迎下载使用。
2020 年广东省中考数学试卷
一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有
一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3 分）9 的相反数是（ ）

1
9
A．﹣9 B．9 C．

D．− 1
9
2．（3 分）一组数据 2，4，3，5，2 的中位数是（ ）
A．5 B．3.5 C．3 D．2.5
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
4．（3 分）若一个多边形的内角和是 540°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（3 分）若式子√2푥 − 4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
6．（3 分）已知△ABC 的周长为 16，点 D，E，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的
周长为（ ）
A．8 B．2√2 C．16 D．4
7．（3 分）把函数 y＝（x﹣1）2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式
为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
8．（3 分）不等式组{2 − 3푥 ≥ −1，
的解集为（ ）
푥 − 1 ≥ −2(푥 + 2)
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
9．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，∠EFD＝60°．若
将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为（ ）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴是 x＝1，下列结论：
第 1 页（共 20 页）
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二、填空题（本大题 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写在答题
卡相应的位置上．
11．（4 分）分解因式：xy﹣x＝ ．
12．（4 分）如果单项式 3xmy 与﹣5x3yn 是同类项，那么 m+n＝ ．
13．（4 分）若√푎 − 2 +|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ ．
14．（4 分）已知 x＝5﹣y，xy＝2，计算 3x+3y﹣4xy 的值为 ．
1
15．（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝30°，取大于 AB 的长为半径，分别以点 A，B
2
为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 AD 边于点 E（作图痕迹如图所示），连接 BE，
BD．则∠EBD 的度数为 ．
16．（4 分）如图，从一块半径为 1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为 120°的扇形 ABC，如
果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为 m．
17．（4 分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的
老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的
线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持
第 2 页（共 20 页）
不变，MN＝4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA，BC 的距离分别为 4 和 2．在此滑动过程
中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为 ．
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
18．（6 分）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中 x= √2，y= √3．
19．（6 分）某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了
解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中
一个等级，随机抽取了 120 名学生的有效问卷，数据整理如下：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数（人） 24 72 18 x
（1）求 x 的值；
（2）若该校有学生 1800 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”
垃圾分类知识的学生共有多少人？
20．（6 分）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB、AC 边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠
ACD，BE 与 CD 相交于点 F．求证：△ABC 是等腰三角形．
四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
21．（8 分）已知关于 x，y 的方程组{푎푥 + 2√3푦 = −10√3，与{푥 − 푦 = 2，
的解相同．
푥 + 푦 = 4 푥 + 푏푦 = 15
（1）求 a，b 的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为 2√6，另外两条边的长是关于 x 的方程 x2+ax+b＝0
的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
第 3 页（共 20 页）
22．（8 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB 是⊙O 的直径，CO
平分∠BCD．
（1）求证：直线 CD 与⊙O 相切；
（2）如图 2，记（1）中的切点为 E，P 为优弧퐴̂퐸上一点，AD＝1，BC＝2．求 tan∠APE
的值．
23．（8 分）某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面积比每
个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米．建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类摊位
每平方米的费用为 30 元．用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊位
3
个数的 ．
5
（1）求每个 A，B 类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建 A，B 两类摊位共 90 个，且 B 类摊位的数量不少于 A 类摊位数量的 3
倍．求建造这 90 个摊位的最大费用．
五、解答题（三）（本大题 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
24．（10 分）如图，点 B 是反比例函数 y= 8
푥（x＞0）图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作
垂线，垂足为 A，C．反比例函数 y= 푘
푥（x＞0）的图象经过 OB 的中点 M，与 AB，BC 分
别相交于点 D，E．连接 DE 并延长交 x 轴于点 F，点 G 与点 O 关于点 C 对称，连接 BF，
BG．
（1）填空：k＝ ；
（2）求△BDF 的面积；
（3）求证：四边形 BDFG 为平行四边形．
第 4 页（共 20 页）
25．（10 分）如图，抛物线 y= 3+√3
2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A，B 分别位于原点
6 x
的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别为 C，D，
BC= √3CD．
（1）求 b，c 的值；
（2）求直线 BD 的函数解析式；
（3）点 P 在抛物线的对称轴上且在 x 轴下方，点 Q 在射线 BA 上．当△ABD 与△BPQ
相似时，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．
第 5 页（共 20 页）
2020 年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）在每小题列出的四个选项中，只有
一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．
1．（3 分）9 的相反数是（ ）

1
9
A．﹣9 B．9 C．

D．− 1
9
【解答】解：9 的相反数是﹣9，
故选：A．
2．（3 分）一组数据 2，4，3，5，2 的中位数是（ ）
A．5 B．3.5 C．3 D．2.5
【解答】解：将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5，
∵数据个数为奇数，最中间的数是 3，
∴这组数据的中位数是 3．
故选：C．
3．（3 分）在平面直角坐标系中，点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（ ）
A．（﹣3，2） B．（﹣2，3） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【解答】解：点（3，2）关于 x 轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．
故选：D．
4．（3 分）若一个多边形的内角和是 540°，则该多边形的边数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解答】解：设多边形的边数是 n，则
（n﹣2）•180°＝540°，
解得 n＝5．
故选：B．
5．（3 分）若式子√2푥 − 4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≠2 B．x≥2 C．x≤2 D．x≠﹣2
【解答】解：∵√2푥 − 4在实数范围内有意义，
∴2x﹣4≥0，
解得：x≥2，
第 6 页（共 20 页）
∴x 的取值范围是：x≥2．
故选：B．
6．（3 分）已知△ABC 的周长为 16，点 D，E，F 分别为△ABC 三条边的中点，则△DEF 的
周长为（ ）
A．8 B．2√2 C．16 D．4
【解答】解：∵D、E、F 分别为△ABC 三边的中点，
∴DE、DF、EF 都是△ABC 的中位线，

∴DF= 1
2AC，DE=

1
2BC，EF=

1
2AC，

故△DEF 的周长＝DE+DF+EF= 1
2（BC+AB+AC）=

1
2 ×16＝8．
故选：A．
7．（3 分）把函数 y＝（x﹣1）2+2 图象向右平移 1 个单位长度，平移后图象的的数解析式
为（ ）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2﹣3
【解答】解：二次函数 y＝（x﹣1）2+2 的图象的顶点坐标为（1，2），
∴向右平移 1 个单位长度后的函数图象的顶点坐标为（2，2），
∴所得的图象解析式为 y＝（x﹣2）2+2．
故选：C．
8．（3 分）不等式组{2 − 3푥 ≥ −1，
的解集为（ ）
푥 − 1 ≥ −2(푥 + 2)
A．无解 B．x≤1 C．x≥﹣1 D．﹣1≤x≤1
【解答】解：解不等式 2﹣3x≥﹣1，得：x≤1，
解不等式 x﹣1≥﹣2（x+2），得：x≥﹣1，
则不等式组的解集为﹣1≤x≤1，
故选：D．
9．（3 分）如图，在正方形 ABCD 中，AB＝3，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，∠EFD＝60°．若
将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为（ ）
第 7 页（共 20 页）
A．1 B．√2 C．√3 D．2
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB∥CD，∠A＝90°，
∴∠EFD＝∠BEF＝60°，
∵将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，
∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，
∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°，
∴B'E＝2AE，
设 BE＝x，则 B'E＝x，AE＝3﹣x，
∴2（3﹣x）＝x，
解得 x＝2．
故选：D．
10．（3 分）如图，抛物线 y＝ax2+bx+c 的对称轴是 x＝1，下列结论：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正确的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【解答】解：由抛物线的开口向下可得：a＜0，
根据抛物线的对称轴在 y 轴右边可得：a，b 异号，所以 b＞0，
根据抛物线与 y 轴的交点在正半轴可得：c＞0，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与 x 轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，故②正确；
第 8 页（共 20 页）
∵直线 x＝1 是抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴，所以− 푏
2푎 =1，可得 b＝﹣2a，
由图象可知，当 x＝﹣2 时，y＜0，即 4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即 8a+c＜0，故③正确；
由图象可知，当 x＝2 时，y＝4a+2b+c＞0；当 x＝﹣1 时，y＝a﹣b+c＞0，
两式相加得，5a+b+2c＞0，故④正确；
∴结论正确的是②③④3 个，
故选：B．
二、填空题（本大题 7 小题，每小题 4 分，共 28 分）请将下列各题的正确答案填写在答题
卡相应的位置上．
11．（4 分）分解因式：xy﹣x＝ x（y﹣1） ．
【解答】解：xy﹣x＝x（y﹣1）．
故答案为：x（y﹣1）．
12．（4 分）如果单项式 3xmy 与﹣5x3yn 是同类项，那么 m+n＝ 4 ．
【解答】解：∵单项式 3xmy 与﹣5x3yn 是同类项，
∴m＝3，n＝1，
∴m+n＝3+1＝4．
故答案为：4．
13．（4 分）若√푎 − 2 +|b+1|＝0，则（a+b）2020＝ 1 ．
【解答】解：∵√푎 − 2 +|b+1|＝0，
∴a﹣2＝0 且 b+1＝0，
解得，a＝2，b＝﹣1，
∴（a+b）2020＝（2﹣1）2020＝1，
故答案为：1．
14．（4 分）已知 x＝5﹣y，xy＝2，计算 3x+3y﹣4xy 的值为 7 ．
【解答】解：∵x＝5﹣y，
∴x+y＝5，
当 x+y＝5，xy＝2 时，
原式＝3（x+y）﹣4xy
第 9 页（共 20 页）
＝3×5﹣4×2
＝15﹣8
＝7，
故答案为：7．
1
15．（4 分）如图，在菱形 ABCD 中，∠A＝30°，取大于 AB 的长为半径，分别以点 A，B
2
为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 AD 边于点 E（作图痕迹如图所示），连接 BE，
BD．则∠EBD 的度数为 45° ．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形，
∴AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB= 1
2（180°﹣∠A）＝75°，
由作图可知，EA＝EB，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝75°﹣30°＝45°，
故答案为 45°．
16．（4 分）如图，从一块半径为 1m 的圆形铁皮上剪出一个圆周角为 120°的扇形 ABC，如

果将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为

1
3

m．
【解答】解：由题意得，阴影扇形的半径为 1m，圆心角的度数为 120°，
120휋×1
则扇形的弧长为： ，
180
而扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，因此有：
第 10 页（共 20 页）
2πr= 120휋×1
180 ，
解得，r= 1
3，
1
故答案为： ．
3
17．（4 分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的
老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的
线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点 M，N 分别在射线 BA，BC 上，MN 长度始终保持
不变，MN＝4，E 为 MN 的中点，点 D 到 BA，BC 的距离分别为 4 和 2．在此滑动过程
中，猫与老鼠的距离 DE 的最小值为 2√5 −2 ．
【解答】解：如图，连接 BE，BD．
由题意 BD= √22 + 42 =2√5，
∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，
∴BE= 1
2MN＝2，
∴点 E 的运动轨迹是以 B 为圆心，2 为半径的圆，
∴当点 E 落在线段 BD 上时，DE 的值最小，
∴DE 的最小值为 2√5 −2．
故答案为 2√5 −2．
三、解答题（一）（本大题 3 小题，每小题 6 分，共 18 分）
18．（6 分）先化简，再求值：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，其中 x= √2，y= √3．
【解答】解：（x+y）2+（x+y）（x﹣y）﹣2x2，
第 11 页（共 20 页）
＝x2+2xy+y2+x2﹣y2﹣2x2
＝2xy，
当 x= √2，y= √3时，
原式＝2× √2 × √3 =2√6．
19．（6 分）某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了
解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中
一个等级，随机抽取了 120 名学生的有效问卷，数据整理如下：
等级 非常了解 比较了解 基本了解 不太了解
人数（人） 24 72 18 x
（1）求 x 的值；
（2）若该校有学生 1800 人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”
垃圾分类知识的学生共有多少人？
【解答】解：（1）x＝120﹣（24+72+18）＝6；
（2）1800× 24+72
120 =1440（人），
答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有
1440 人．
20．（6 分）如图，在△ABC 中，点 D，E 分别是 AB、AC 边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠
ACD，BE 与 CD 相交于点 F．求证：△ABC 是等腰三角形．
【解答】证明：∵∠ABE＝∠ACD，
∴∠DBF＝∠ECF，
∠퐷퐵퐹 = ∠퐸퐶퐹 在△BDF 和△CEF 中，{
， ∠퐵퐹퐷 = ∠퐶퐹퐸
퐵퐷 = 퐶퐸
∴△BDF≌△CEF（AAS），
∴BF＝CF，DF＝EF，
第 12 页（共 20 页）
∴BF+EF＝CF+DF，
即 BE＝CD，
∠퐴퐵퐸 = ∠퐴퐶퐷 在△ABE 和△ACD 中，{ ，
∠퐴 = ∠퐴 퐵퐸 = 퐶퐷
∴△ABE≌△ACD（AAS），
∴AB＝AC，
∴△ABC 是等腰三角形．
四、解答题（二）（本大题 3 小题，每小题 8 分，共 24 分）
21．（8 分）已知关于 x，y 的方程组{푎푥 + 2√3푦 = −10√3，与{푥 − 푦 = 2，
的解相同．
푥 + 푦 = 4 푥 + 푏푦 = 15
（1）求 a，b 的值；
（2）若一个三角形的一条边的长为 2√6，另外两条边的长是关于 x 的方程 x2+ax+b＝0
的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．
푥 + 푦 = 4
【解答】解：（1）由题意得，关于 x，y 的方程组的相同解，就是程组{
푥 − 푦 = 2
的解，
푥 = 3
解得，{
푦 = 1，代入原方程组得，a＝﹣4√3，b＝12；
（2）当 a＝﹣4√3，b＝12 时，关于 x 的方程 x2+ax+b＝0 就变为 x2﹣4√3x+12＝0，
解得，x1＝x2＝2√3，
又∵（2√3）2+（2√3）2＝（2√6）2，
∴以 2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．
22．（8 分）如图 1，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠DAB＝90°，AB 是⊙O 的直径，CO
平分∠BCD．
（1）求证：直线 CD 与⊙O 相切；
（2）如图 2，记（1）中的切点为 E，P 为优弧퐴̂퐸上一点，AD＝1，BC＝2．求 tan∠APE
的值．
第 13 页（共 20 页）
【解答】（1）证明：作 OE⊥CD 于 E，如图 1 所示：
则∠OEC＝90°，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴∠OBC＝180°﹣∠DAB＝90°，
∴∠OEC＝∠OBC，
∵CO 平分∠BCD，
∴∠OCE＝∠OCB，
∠푂퐸퐶 = ∠푂퐵퐶 在△OCE 和△OCB 中，{
， ∠푂퐶퐸 = ∠푂퐶퐵
푂퐶 = 푂퐶
∴△OCE≌△OCB（AAS），
∴OE＝OB，
又∵OE⊥CD，
∴直线 CD 与⊙O 相切；
（2）解：作 DF⊥BC 于 F，连接 BE，如图所示：
则四边形 ABFD 是矩形，
∴AB＝DF，BF＝AD＝1，
∴CF＝BC﹣BF＝2﹣1＝1，
∵AD∥BC，∠DAB＝90°，
∴AD⊥AB，BC⊥AB，
∴AD、BC 是⊙O 的切线，
由（1）得：CD 是⊙O 的切线，
∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，
∴CD＝ED+EC＝3，
∴DF= √퐶퐷2 − 퐶퐹2 = √32 − 12 =2√2，
∴AB＝DF＝2√2，
∴OB= √2，
∵CO 平分∠BCD，
∴CO⊥BE，
∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，
∴∠ABE＝∠BCH，
第 14 页（共 20 页）
∵∠APE＝∠ABE，
∴∠APE＝∠BCH，

∴tan∠APE＝tan∠BCH= 푂퐵
퐵퐶 =

√2
2 ．
23．（8 分）某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面积比每
个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米．建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类摊位
每平方米的费用为 30 元．用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊位
3
个数的 ．
5
（1）求每个 A，B 类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建 A，B 两类摊位共 90 个，且 B 类摊位的数量不少于 A 类摊位数量的 3
倍．求建造这 90 个摊位的最大费用．
【解答】解：（1）设每个 B 类摊位的占地面积为 x 平方米，则每个 A 类摊位占地面积为
（x+2）平方米，

60
根据题意得：
푥+2

=

60
푥

⋅

3
5
，
解得：x＝3，
经检验 x＝3 是原方程的解，
所以 3+2＝5，
答：每个 A 类摊位占地面积为 5 平方米，每个 B 类摊位的占地面积为 3 平方米；
第 15 页（共 20 页）
（2）设建 A 摊位 a 个，则建 B 摊位（90﹣a）个，
由题意得：90﹣a≥3a，
解得 a≤22.5，
∵建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类摊位每平方米的费用为 30 元，
∴要想使建造这 90 个摊位有最大费用，所以要多建造 A 类摊位，即 a 取最大值 22 时，
费用最大，
此时最大费用为：22×40×5+30×（90﹣22）×3＝10520，
答：建造这 90 个摊位的最大费用是 10520 元．
五、解答题（三）（本大题 2 小题，每小题 10 分，共 20 分）
24．（10 分）如图，点 B 是反比例函数 y= 8
푥（x＞0）图象上一点，过点 B 分别向坐标轴作
垂线，垂足为 A，C．反比例函数 y= 푘
푥（x＞0）的图象经过 OB 的中点 M，与 AB，BC 分
别相交于点 D，E．连接 DE 并延长交 x 轴于点 F，点 G 与点 O 关于点 C 对称，连接 BF，
BG．
（1）填空：k＝ 2 ；
（2）求△BDF 的面积；
（3）求证：四边形 BDFG 为平行四边形．
1 1
【解答】解：（1）设点 B（s，t），st＝8，则点 M（ s， t），
2 2
1 则 k= 1 t= 1
2s• 4st＝2，
2
故答案为 2；

（2）△BDF 的面积＝△OBD 的面积＝S△BOA﹣S△OAD=

1
2 ×8−

1
2 ×2＝3；
2 2
（3）设点 D（m， ），则点 B（4m， ），
푚 푚
第 16 页（共 20 页）
∵点 G 与点 O 关于点 C 对称，故点 G（8m，0），
1
则点 E（4m， ），
2푚
2
푚 = 푚푠 + 푛
设直线 DE 的表达式为：y＝sx+n，将点 D、E 的坐标代入上式得{ ，解得
1
2푚 = 4푚푠 + 푛
푘 = − 1
2푚2
{ ，
푏 = 5
2푚

故直线 DE 的表达式为：y= − 1
2푚2 푥 +

5
2푚，令 y＝0，则 x＝5m，故点 F（5m，0），
故 FG＝8m﹣5m＝3m，而 BD＝4m﹣m＝3m＝FG，
则 FG∥BD，故四边形 BDFG 为平行四边形．
25．（10 分）如图，抛物线 y= 3+√3
2+bx+c 与 x 轴交于 A，B 两点，点 A，B 分别位于原点
6 x
的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点 B 的直线与 y 轴正半轴和抛物线的交点分别为 C，D，
BC= √3CD．
（1）求 b，c 的值；
（2）求直线 BD 的函数解析式；
（3）点 P 在抛物线的对称轴上且在 x 轴下方，点 Q 在射线 BA 上．当△ABD 与△BPQ
相似时，请直接写出所有满足条件的点 Q 的坐标．
【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，
∴点 B（3，0），点 A（﹣1，0），

∴抛物线解析式为：y= 3+√3
6 （x+1）（x﹣3）=

3+√3 2− 3+√3 3+√3
6 x 3 x− 2 ，
∴b= − 3+√3
3+√3
3 ，c= − 2 ；
（2）如图 1，过点 D 作 DE⊥AB 于 E，
第 17 页（共 20 页）
∴CO∥DE，
퐵퐶
퐶퐷
∴

=

퐵푂
푂퐸
，
∵BC= √3CD，BO＝3，
∴√3 =

3
푂퐸，
∴OE= √3，
∴点 D 横坐标为−√3，
∴点 D 坐标（−√3，√3 +1），
设直线 BD 的函数解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：{√3 + 1 = −√3푘 + 푏
，
0 = 3푘 + 푏
√3
解得：{푘 = −
3 ， 푏 = √3
√3
∴直线 BD 的函数解析式为 y= −
3 x+√3；
（3）∵点 B（3，0），点 A（﹣1，0），点 D（−√3，√3 +1），
∴AB＝4，AD＝2√2，BD＝2√3 +2，对称轴为直线 x＝1，
√3
∵直线 BD：y= − 3 x+√3与 y 轴交于点 C，
∴点 C（0，√3），
∴OC= √3，
∵tan∠COB= 퐶푂
퐵푂 =

√3
3 ，
∴∠COB＝30°，
如图 2，过点 A 作 AK⊥BD 于 K，
第 18 页（共 20 页）
∴AK= 1
2AB＝2，
∴DK= √퐴퐷 2 − 퐴퐾 2 = √8 − 4 =2，
∴DK＝AK，
∴∠ADB＝45°，
如图，设对称轴与 x 轴的交点为 N，即点 N（1，0），
若∠CBO＝∠PBO＝30°，
∴BN= √3PN＝2，BP＝2PN，
∴PN= 2√3
3 ，BP=

4√3
3 ，
当△BAD∽△BPQ，
퐵푃
퐵퐴
∴

=

퐵푄
퐵퐷
，
∴BQ=

4√3
3 ×(2√3+2)
2√3
4 =2+ 3 ，
∴点 Q（1− 2√3
3 ，0）；
当△BAD∽△BQP，
퐵푃
퐵퐷
∴

=

퐵푄
퐴퐵
，
第 19 页（共 20 页）
∴BQ=

4√3
3 ×4
2√3+2

=4− 4√3
3 ，
∴点 Q（﹣1+ 4√3
3 ，0）；
若∠PBO＝∠ADB＝45°，
∴BN＝PN＝2，BP= √2BN＝2√2，
当△BAD∽△BPQ，
퐵푃
퐴퐷
∴

=

퐵푄
퐵퐷
，
2√2
2√2
∴

=

퐵푄
，
2√3+2
∴BQ＝2√3 +2
∴点 Q（1﹣2√3，0）；
当△BAD∽△PQB，
퐵푃
퐵퐷
∴

=

퐵푄
퐴퐷
，
∴BQ= 2√2×2√2
2√3+2

=2√3 −2，
∴点 Q（5﹣2√3，0）；
综上所述：满足条件的点 Q 的坐标为（1− 2√3
3 ，0）或（﹣1+ 3 ，0）或（1﹣2√3，0）
4√3
或（5﹣2√3，0）．
第 20 页（共 20 页）