2020-2021学年第十二章 实数第2节 数的开方12.4 n次方根学案

                第四章  指数函数与对数函数

                4.1.1  n次方根与分数指数幂

1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；

2.掌握根式与分数指数幂的互化；

3.掌握有理数指数幂的运算性质；

1．根式及相关概念

(1)a的n次方根定义

如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

(3)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

2．根式的性质(n>1，且n∈N*)

(1)n为奇数时，＝ a   .    (2)n为偶数时，＝|a|＝

(3)＝ 0     .             (4)负数没有偶次方根．

思考：(1)()n的含义是什么？

[提示]　()n是实数a的n次方根的n次幂．

(2)()n中实数a的取值范围是任意实数吗？

[提示]　不一定，当n为大于1的奇数时，a∈R；当n为大于1的偶数时，a≥0.

自主小测；

1．思考辨析

(1)实数a的奇次方根只有一个．(　　)

(2)当n∈N*时，()n＝－2.(　　)

(3)＝π－4.(　　)

2.的运算结果是(　　)

A．2      B．－2    C±2        D．±

3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是(　　)

A    B.        C   D.

4．若x3＝－5，则x＝________.

探究1  n次方根的概念问题

例1　(1)27的立方根是________；16的4次方根是________．

(2)已知x6＝2 016，则x＝________.

(3)若有意义，求实数x的取值范围为________.

[规律方法]　n次方根的个数及符号的确定

1.n的奇偶性决定了n次方根的个数；

2.n为奇数时，a的正负决定着n次方根的符号.

跟踪训练1．已知a∈R，n∈N*，给出下列4个式子：

①；②；③；④，其中无意义的有(　　)

A．1个　　　　B．2个    C 3个    D．0个

探究2 利用根式的性质化简求值

例2 化简下列各式：

(1)＋()5；  (2)＋()6；  (3)；

跟踪训练2．若＝3a－1，求a的取值范围．

探究3 根式与分数指数幂的互化

2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?

； ；

(1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)

结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.

总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.

(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?

43的5次方根是   75的3次方根是 

a2的3次方根是 

结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的，综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义；

1.正数的正分数指数幂的意义：

2.正数的负分数指数幂的意义：

3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.

1．思考辨析

(1)0的任何指数幂都等于0.(　　)       (2)5＝.(　　)

(3)分数指数幂与根式可以相互转化，如＝a.(　　)

跟踪训练3.用根式表示下列各式:(a＞0)   

， ， ，

2.用分数指数幂表示下列各式：

； ； ；

 [规律方法]　根式与分数指数幂互化的规律

(1)根指数分数指数的分母，

被开方数(式)的指数分数指数的分子．

(2)在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．

1．下列说法正确的个数是(　　)

①16的4次方根是2；②的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．

A．1　　B．2  C 3  D．4

2．已知m10＝2，则m等于(　　)

A.             B．－          C        D．±

3. 把根式a化成分数指数幂是(　　)

A．(－a)            B．－(－a)         C -a          D．a

4. ＋＝________.

5.（设x<0，则()2＝________.

6．将下列根式与分数指数幂进行互化．

(1)a3·；(2)(a>0，b>0)．

7. (1)若x<0，则x＋|x|＋＝________.

(2)若－3<x<3，求－的值.

利用分数指数幂进行根式运算时，其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的  指数化成负指数，再根据同底数幂相乘的法则运算。

参考答案：

一、知识梳理

自主小测

1.[答案]　(1)√　(2)×　(3)×

2.A　[＝＝2.]

3.C　[当m<0时，没有意义，其余各式均有意义．]

4.－　[若x3＝－5，则x＝＝－.]

二、学习过程

探究1：(1)3；±2　(2)±　(3)[－3，＋∞]　

解析：(1)27的立方根是3；16的4次方根是±2.

(2)因为x6＝2 016，所以x＝±.

(3)要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3.

所以实数x的取值范围是[－3，＋∞)．

跟踪训练1 A　[①中(－3)2n>0，所以有意义，②中根指数为5有意义，③中(－5)2n＋1<0，因此无意义，④中根指数为9，有意义．选A.]

探究2：[解]　(1)原式＝(－2)＋(－2)＝－4.

(2)原式＝|－2|＋2＝2＋2＝4.

(3)原式＝|x＋2|＝

跟踪训练2;[解]　∵＝＝|3a－1|，

由|3a－1|＝3a－1可知3a－1≥0，∴a≥.

探究3：答案]　(1)×　(2)×　(3)×:

三、达标检测

1. 【答案】B　[①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]

2. 【答案】B　[①16的4次方根应是±2；②＝2，所以正确的应为③④.]

3. [答案]D　[由题意可知a≥0，故排除A、B、C选项，选D.]

4. 【答案】1　[＋＝4－π＋π－3＝1.]

5.【答案】－x　[∵x<0，∴－x>0，∴2＝－x.]

7. 思路探究：(1)由x<0，先计算|x|及，再化简．

(2)结合－3<x<3，开方，化简，再求值．

(1)－1　[∵x<0，∴|x|＝－x，＝|x|＝－x，

∴x＋|x|＋＝x－x－1＝－1.]

[解]　(2)－＝－＝|x－1|－|x＋3|，

当－3<x≤1时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2.

当1<x<3时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4.

因此，原式＝