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    2020-2021学年第十二章 实数第2节 数的开方12.4 n次方根学案

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    这是一份2020-2021学年第十二章 实数第2节 数的开方12.4 n次方根学案,共7页。

                    第四章  指数函数与对数函数

                    4.1.1  n次方根与分数指数幂

    1.理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念;

    2.掌握根式与分数指数幂的互化;

    3.掌握有理数指数幂的运算性质;

    重点

    难点

    根式的概念

    根式的性质

    分数指数幂的意义

    指数幂的运算性质

    分式与指数幂的意义

    原式化简求值

    1.根式及相关概念

    (1)an次方根定义

    如果xna,那么x叫做an次方根,其中n>1,且nN*.

    (3)根式:式子叫做根式,这里n叫做根指数a叫做被开方数

    2.根式的性质(n>1,且nN*)

    (1)n为奇数时, a   .    (2)n为偶数时,|a|

    (3) 0     .             (4)负数没有偶次方根.

    思考:(1)()n的含义是什么?

    [提示] ()n是实数an次方根的n次幂.

    (2)()n中实数a的取值范围是任意实数吗?

    [提示] 不一定,当n为大于1的奇数时,aR;当n为大于1的偶数时,a≥0.

    自主小测;

    1.思考辨析

    (1)实数a的奇次方根只有一个.(  )

    (2)nN*时,()n=-2.(  )

    (3)π4.(  )

    2.的运算结果是(  )

    A2      B.-2    C±2        D±

    3m是实数,则下列式子中可能没有意义的是(  )

    A    B.        C   D.

    4.若x3=-5,则x________.

    探究1  n次方根的概念问题

    1 (1)27的立方根是________164次方根是________

    (2)已知x62 016,则x________.

    (3)有意义,求实数x的取值范围为________.

    [规律方法] n次方根的个数及符号的确定

    1.n的奇偶性决定了n次方根的个数;

    2.n为奇数时,a的正负决定着n次方根的符号.

    跟踪训练1.已知aRnN*,给出下列4个式子:

    ,其中无意义的有(  )

    A1个    B2    C 3    D0

    探究2 利用根式的性质化简求值

    2 化简下列各式:

    (1)()5  (2)()6  (3)

     

    跟踪训练2.若3a1,求a的取值范围.

    探究3 根式与分数指数幂的互化

    2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?

    (1)观察以下式子,并总结出规律:(a > 0)

                  

                 

    结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.

    总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.

    (3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?

    435次方根是   753次方根是 

    a23次方根是 

    结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的,综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义;

    1.正数的正分数指数幂的意义:

    2.正数的负分数指数幂的意义:

    3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.

    1.思考辨析

    (1)0的任何指数幂都等于0.(  )       (2)5.(  )

    (3)分数指数幂与根式可以相互转化,如a.(  )

    跟踪训练3.用根式表示下列各式:(a0)   

    2.用分数指数幂表示下列各式:

     [规律方法] 根式与分数指数幂互化的规律

    (1)根指数分数指数的分母,

    被开方数()的指数分数指数的分子.

    (2)在具体计算时,通常会把根式转化成分数指数幂的形式,然后利用有理数指数幂的运算性质解题.

    1.下列说法正确的个数是(  )

    164次方根是2的运算结果是±2n为大于1的奇数时,对任意aR都有意义;n为大于1的偶数时,只有当a≥0时才有意义.

    A1  B2  C 3  D4

    2.已知m102,则m等于(  )

    A.             B.-          C        D±

    3. 把根式a化成分数指数幂是(  )

    A(a)            B.-(a)         C -a          Da

    4. ________.

    5.(设x<0,则()2________.

    6.将下列根式与分数指数幂进行互化.

    (1)a3·(2)(a>0b>0)

    7. (1)x<0,则x|x|________.

    (2)若-3<x<3,求的值.

    利用分数指数幂进行根式运算时,其顺序是先把根式化成分数指数幂或把分母的  指数化成负指数,再根据同底数幂相乘的法则运算。

     

    参考答案:

    一、知识梳理

    自主小测

    1.[答案] (1)√ (2)× (3)×

    2.A [2.]

    3.C [m<0时,没有意义,其余各式均有意义.]

    4. [x3=-5,则x=-.]

    二、学习过程

    探究1(1)3±2 (2)± (3)[3,+∞] 

    解析:(1)27的立方根是3164次方根是±2.

    (2)因为x62 016,所以x±.

    (3)要使有意义,则需要x3≥0,即x3.

    所以实数x的取值范围是[3,+∞)

    跟踪训练1 A [(3)2n>0,所以有意义,中根指数为5有意义,(5)2n1<0,因此无意义,中根指数为9,有意义.选A.]

    探究2[] (1)原式=(2)(2)=-4.

    (2)原式=|2|2224.

    (3)原式=|x2|

    跟踪训练2;[] |3a1|

    |3a1|3a1可知3a1≥0a.

    探究3:答案] (1)× (2)× (3)×:

    三、达标检测

    1. 【答案】B [164次方根应是±22,所以正确的应为③④.]

    2. 【答案】B [164次方根应是±22,所以正确的应为③④.]

    3. [答案]D [由题意可知a≥0,故排除ABC选项,选D.]

    4. 【答案】1 [4ππ31.]

    5.【答案】x [x<0x>02=-x.]

    7. 思路探究:(1)x<0,先计算|x|,再化简.

    (2)结合-3<x<3,开方,化简,再求值.

    (1)1 [x<0|x|=-x|x|=-x

    x|x|xx1=-1.]

    [] (2)|x1||x3|

    当-3<x≤1时,原式=1x(x3)=-2x2.

    1<x<3时,原式=x1(x3)=-4.

    因此,原式=

     

     

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