人教a版数学【选修1-1】作业：2.2.2双曲线的简单几何性质（含答案）

这是一份2020-2021学年本册综合当堂检测题，共6页。试卷主要包含了掌握双曲线的简单几何性质，直线与双曲线，eq \f,3)，eq \f－eq \f＝1，eq \f)－eq \f＝1等内容，欢迎下载使用。
2.2.2　双曲线的简单几何性质 课时目标　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.了解双曲线的渐近性及渐近线的概念.3.掌握直线与双曲线的位置关系．1．双曲线的几何性质 标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质焦点  焦距 范围  对称性 顶点  轴长实轴长＝______，虚轴长＝______离心率 渐近线  2.直线与双曲线一般地，设直线l：y＝kx＋m (m≠0)          ①双曲线C：－＝1 (a>0，b>0)             ②把①代入②得(b2－a2k2)x2－2a2mkx－a2m2－a2b2＝0.(1)当b2－a2k2＝0，即k＝±时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线C相交于________．(2)当b2－a2k2≠0，即k≠±时，Δ＝(－2a2mk)2－4(b2－a2k2)(－a2m2－a2b2)．Δ>0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相交；Δ＝0⇒直线与双曲线有________公共点，此时称直线与双曲线相切；Δ<0⇒直线与双曲线________公共点，此时称直线与双曲线相离．一、选择题1．下列曲线中离心率为的是(　　)A．－＝1                 B．－＝1C．－＝1                 D．－＝12．双曲线－＝1的渐近线方程是(　　)A．y＝±x                  B．y＝±xC．y＝±x                 D．y＝±x3．双曲线与椭圆4x2＋y2＝1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的方程为(　　)A．2x2－4y2＝1              B．2x2－4y2＝2C．2y2－4x2＝1              D．2y2－4x2＝34．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2，则双曲线的渐近线方程为(　　)A．y＝±x               B．y＝±2xC．y＝±x               D．y＝±x5．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，则这样的直线有(　　)A．1条          B．2条        C．3条           D．4条6．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为(　　)A.         B.        C．2          D.题　号123456答　案      二、填空题7．两个正数a、b的等差中项是，一个等比中项是，且a>b，则双曲线－＝1的离心率e＝______.8．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，且a＝10，c－b＝6，则顶点A运动的轨迹方程是________________．9．与双曲线－＝1有共同的渐近线，并且经过点(－3，2)的双曲线方程为__________．三、解答题10．根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)经过点，且一条渐近线为4x＋3y＝0；(2)P(0,6)与两个焦点连线互相垂直，与两个顶点连线的夹角为.       11．设双曲线x2－＝1上两点A、B，AB中点M(1，2)，求直线AB的方程．  能力提升12．设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为(　　)A．             B．C．          D．13．设双曲线C：－y2＝1 (a>0)与直线l：x＋y＝1相交于两个不同的点A、B.(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；（2）若设直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值．    1．双曲线－＝1 (a>0，b>0)既关于坐标轴对称，又关于坐标原点对称；其顶点为(±a，0)，实轴长为2a，虚轴长为2b；其上任一点P(x，y)的横坐标均满足|x|≥a.2．双曲线的离心率e＝的取值范围是(1，＋∞)，其中c2＝a2＋b2，且＝，离心率e越大，双曲线的开口越大．可以通过a、b、c的关系，列方程或不等式求离心率的值或范围．3．双曲线－＝1 (a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，也可记为－＝0；与双曲线－＝1具有相同渐近线的双曲线的方程可表示为－＝λ (λ≠0)．2．2.2　双曲线的简单几何性质答案知识梳理1.标准方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)图形性质焦点F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≥a或y≤－a，x∈R对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点(－a,0)，(a,0)(0，－a)，(0，a)轴长实轴长＝2a，虚轴长＝2b离心率e＝(e>1)渐近线y＝±xy＝±x2.(1)一点　(2)两个　一个　没有作业设计1．B　[∵e＝，∴e2＝＝，∴＝.]2．A3．C　[由于椭圆4x2＋y2＝1的焦点坐标为，则双曲线的焦点坐标为，又由渐近线方程为y＝x，得＝，即a2＝2b2，又由2＝a2＋b2，得a2＝，b2＝，又由于焦点在y轴上，因此双曲线的方程为2y2－4x2＝1.故选C.]4．C　[由题意知，2b＝2,2c＝2，则b＝1，c＝，a＝；双曲线的渐近线方程为y＝±x.]5．C　[点(，0)即为双曲线的右顶点，过该点有两条与双曲线渐近线平行的直线与双曲线仅有一个公共点，另过该点且与x轴垂直的直线也与双曲线只有一个公共点．]6．B　[||PF1|－|PF2||＝2a，即3|PF2|＝2a，所以|PF2|＝≥c－a，即2a≥3c－3a，即5a≥3c，则≤.]7.解析　a＋b＝5，ab＝6，解得a，b的值为2或3.又a>b，∴a＝3，b＝2.∴c＝，从而e＝＝.8.－＝1(x>3)解析　以BC所在直线为x轴，BC的中点为原点建立直角坐标系，则B(－5,0)，C(5,0)，而|AB|－|AC|＝6<10.故A点的轨迹是双曲线的右支，其方程为－＝1(x>3)．9.－＝1解析　∵所求双曲线与双曲线－＝1有相同的渐近线，∴可设所求双曲线的方程为－＝λ (λ≠0)．∵点(－3,2)在双曲线上，∴λ＝－＝.∴所求双曲线的方程为－＝1.10．解　(1)因直线x＝与渐近线4x＋3y＝0的交点坐标为，而3<|－5|，故双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1，由解得故所求的双曲线方程为－＝1.(2)设F1、F2为双曲线的两个焦点．依题意，它的焦点在x轴上．因为PF1⊥PF2，且|OP|＝6，所以2c＝|F1F2|＝2|OP|＝12，所以c＝6.又P与两顶点连线夹角为，所以a＝|OP|·tan＝2，所以b2＝c2－a2＝24.故所求的双曲线方程为－＝1.11．解　方法一　(用韦达定理解决)显然直线AB的斜率存在．设直线AB的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋2－k，由得(2－k2)x2－2k(2－k)x－k2＋4k－6＝0，当Δ>0时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则1＝＝，∴k＝1，满足Δ>0，∴直线AB的方程为y＝x＋1.方法二　(用点差法解决)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则，两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝(y1－y2)(y1＋y2)．∵x1≠x2，∴＝，∴kAB＝＝1，∴直线AB的方程为y＝x＋1，代入x2－＝1满足Δ>0.∴直线AB的方程为y＝x＋1.12. D　[设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，如图所示，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，而kBF＝－，∴·(－)＝－1，整理得b2＝ac.∴c2－a2－ac＝0，两边同除以a2，得e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)．]13．解　(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点得有两个不同的解，消去y并整理得(1－a2)x2＋2a2x－2a2＝0，①∴解得－<a<且a≠±1.又∵a>0，∴0<a<且a≠1.∵双曲线的离心率e＝＝ ，∴0<a<，且a≠1，∴e>且e≠.∴双曲线C的离心率e的取值范围是∪(，＋∞)．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(0,1)．∵ ＝，∴(x1，y1－1)＝(x2，y2－1)，由此可得x1＝x2.∵x1，x2都是方程①的根，且1－a2≠0，∴x1＋x2＝x2＝－，x1x2＝x＝－，消去x2得－＝，即a2＝.又∵a>0，∴a＝.