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    沪科版七年级上册数学 第4章 阶段强化专训教案
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    初中数学第4章 直线与角综合与测试教案及反思

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    这是一份初中数学第4章 直线与角综合与测试教案及反思,共20页。

    

    专训一:常见立体图形的分类
    名师点金:立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形,常见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥体(圆锥、棱锥)、台体(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球)四类.
                      

    按柱、锥、球分类
    1.下列各选项中,都为柱体的是(  )

       A            B

       C            D
    2.在如图所示的图形中,是圆柱的有________,是棱柱的有________.(填序号)
    (第2题)


    3.(1)把图中的立体图形分类,并说明分类标准;
    (2)图中③与⑥各有什么特征?有哪些相同点和不同点?
    (第3题)





    按有无曲面分类
    4.下列几何体中表面都是平面的是(  )
    A.圆锥   B.圆柱   C.棱柱   D.球体
    5.把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体,则这个几何体________曲面.(填“有”或“无”)
    6.如图,按组成的面来分类,至少有一个面是平面的图形有________,至少有一个面是曲面的图形有__________.
    (第6题)


    7.将下列图形按有无曲面分类.
    (第7题)








    专训二:立体图形的展开与折叠
    名师点金:一个立体图形的平面展开图的形状由展开的方式决定,不同的展开方式得到的平面展开图一般是不一样的,但无论怎样展开,平面展开图都应体现出原立体图形面的个数与形状.
    正方体的展开图
    1.(中考·德州)如图给定的是纸盒的外表面,下面能由它折叠而成的是(  )
    (第1题)



    2.如图所示的图形都是由6个大小一样的正方形拼成的,哪些是正方体的平面展开图?
    (第2题)






    长方体的展开图
    3.如图是一个长方体的平面展开图,每个面上都标注了字母,请根据要求回答问题.
    (1)如果面A是长方体的上面,那么哪一面会在下面?
    (2)如果面F是长方体的后面,从左面看是面B,那么哪一面会在上面?
    (3)从右面看是面A,从上面看是面E,那么哪一面会在前面?
    (第3题)




    其他立体图形的展开图
    4.如图是一些几何体的平面展开图,请写出这些几何体的名称.
    (第4题)







    立体图形展开图的相关计算问题
    5.(中考·青岛)如图,下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的,若将露出的表面都涂上颜色(底面不涂色),则第○n个几何体中,只有两个面涂色的小立方体共有________个.
    (第5题)


    6.如图所示这样形状的铁皮能围成一个长方体铁桶吗?如果能,它的体积有多大?
    (第6题)



    专训三:巧用线段中点的有关计算
    名师点金:利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算,由相等的线段去判断中点时,点必须在线段上才能成立.

    线段中点问题
    类型一:与线段中点有关的计算
                      

    1.已知A,B,C三点在同一条直线上,若线段AB=20 cm,线段BC=8 cm,M,N分别是线段AB,BC的中点.
    (1)求线段MN的长;






    (2)根据(1)中的计算过程和结果,设AB=a,BC=b,且a>b,其他条件都不变,你能猜出MN的长度吗?(直接写出结果)






    类型二:与线段中点有关的说明题
    2.画线段MN=3 cm,在线段MN上取一点Q,使MQ=NQ;延长线段MN到点A,使AN=MN;延长线段NM到点B,使BN=3BM.
    (1)求线段BM的长;








    (2)求线段AN的长;





    (3)试说明点Q是哪些线段的中点.





    线段分点问题
    类型一:与线段分点有关的计算(设参法)
    3.如图,B,C两点把线段AD分成2∶4∶3的三部分,M是AD的中点,CD=6 cm,求线段MC的长.
    (第3题)





    类型二:线段分点与方程的结合
    4.A,B两点在数轴上的位置如图,O为原点,现A,B两点分别以1个单位长度/秒,4个单位长度/秒的速度同时向左运动.
    (1)几秒后,原点恰好在两点正中间?
    (2)几秒后,恰好有OA∶OB=1∶2?
    (第4题)


    专训四:线段上的动点问题
    名师点金: 解决线段上的动点问题一般需注意:(1)找准点的各种可能的位置;(2)通常可用设元法,表示出移动变化后的线段的长(有可能是常数,那就是定值),再由题意列方程求解.
    线段上动点与中点问题的综合
    1.(1)如图①,AB=16,点D是AB上一动点,M,N分别是AD,DB的中点,能否求出线段MN的长?若能,求出其长,若不能,试说明理由.
    (2)如图②,AB=16,点D运动到线段AB的延长线上,其他条件不变,能否求出线段MN的长?若能,求出其长,若不能,试说明理由.
    (3)你能用一句话描述你发现的结论吗?
    (第1题)














    线段上动点问题中的存在性问题
    2.如图,已知数轴上两点A,B对应的数分别为-2、6,O为原点,点P为数轴上的一动点,其对应的数为x.
    (第2题)


    (1)PA=________;PB=________(用含x的式子表示);
    (2)在数轴上是否存在这样的点P(不与A,B重合),使PA+PB=10?若存在,请求出x的值;若不存在,请说明理由.
    (3)点P以1个单位长度/s的速度从点O向右运动,同时点A以5个单位长度/s的速度向左运动,点B以20个单位长度/s的速度向右运动,在运动过程中,
    M,N分别是AP,OB的中点,问:的值是否发生变化?请说明理由.












    线段和差倍分关系中的动点问题
    3.如图,线段AB=24,动点P从A出发,以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动,M为AP的中点.
    (1)出发多少秒后,PB=2AM?
    (2)当P在线段AB上运动时,试说明2BM-BP为定值.
    (3)当P在AB延长线上运动时,N为BP的中点,有下列两个结论:①MN长度不变;②MA+PN的值不变.判断两个结论的正误.
    (第3题)




    专训五:巧用角平分线的有关计算
    名师点金: 角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据,因此解这类题要从角平分线入手找角的数量关系,利用图形中相等的角的位置关系,结合角的和、差关系求解.

    角平分线的夹角问题(分类讨论思想)
    1.已知∠AOB=100°,∠BOC=60°,OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,求∠MON的度数.












    巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)
    2.如图,将一张长方形纸斜折过去,使顶点A落在A′处,BC为折痕,然后把BE折过去,使之落在A′B所在直线上,折痕为BD,那么两折痕BC与BD的夹角是多少度?
    (第2题)












    巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问
    题(方程思想)
    3.如图,已知∠BOC=2∠AOC,OD平分∠AOB,且∠COD=19°,求∠AOB的度数.

    (第3题)










    巧用角平分线解决角的推理证明问题
    (转化思想)
    4.如图,已知OD,OE,OF分别为∠AOB,∠AOC,∠BOC的平分线,∠DOE和∠COF有怎样的关系?说明理由.


    (第4题)




    专训六:巧用角平分线的有关计算
    名师点金:  时钟时针、分针转动角度的问题,要注意时针转动一大格,转过角度为周角的十二分之一,即30°.每一个大格之间又分为五个小格,每个小格对应的角度是6°.注意时针与分针转动角度的速度比是1∶12,时针转动30°,分针转动360°;分针与秒针转动角度的速度比是1∶60,分针转动6°(一个小格),秒针转动360°.
    利用时间求角度
    类型一:按固定时间求角度
    1.(1)从上午11时到下午1时30分,这期间时针转过了________;下午1:30,时针、分针的夹角是________.
    (2)3点20分时,时针与分针的夹角是多少度?








    类型二:按动态时间求角度
    2.小华是个数学迷,最近他在研究钟面角(时针与分针组成的角)问题,他想和大家一起来讨论相关问题.
    (1)分针每分钟转6度,时针每分钟转________度.
    (2)你能指出下面各个图中时针与分针之间夹角的大小吗?图①的钟面角为________度,图②的钟面角为________度.
    (第2题)


    (3)12:00时,时针和分针重合,至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象?此时,时针和分针各转动了多少度?





    利用角度求时间(方程思想)
    3.如图,观察时钟,解答下列问题:
    (1)在2时和3时之间什么时刻,时针和分针的夹角为直角?
    (第3题)








    (2)小明下午五点多有事外出时,看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°,下午不到六点回家时,发现时针与分针的夹角又为90°,那么小明外出了多长时间?





    答案

    专训一
    1.C 2.④;①③⑥
    3.解:(1)按柱体、锥体、球体分:①③⑤⑥⑦为柱体;④⑧为锥体;②为球体.(答案不唯一)
    (2)③是圆柱,圆柱的上、下底面是完全相同的圆,侧面是一个曲面;⑥是五棱柱,上、下底面是完全相同的五边形,侧面是5个长方形.
    相同点:两者都有两个底面.
    不同点:圆柱的底面是圆,五棱柱的底面是五边形.圆柱的侧面是一个曲面,五棱柱的侧面由5个长方形组成.
    4.C 5.有 6.①③④⑤⑥;②③④⑥
    7.解:有曲面的是③④⑤;无曲面的是①②⑥⑦.
    专训二
    1.B
    2.解:图①②③④⑥都是正方体的平面展开图.
    3.解:(1)如果面A是长方体的上面,那么面C会在下面.
    (2)如果面F是长方体的后面,从左面看是面B,那么向外折时面C会在上面,向里折时面A会在上面.
    (3)从右面看是面A,从上面看是面E,那么向外折时面B会在前面,向里折时面D会在前面.
    4.解:①三棱锥;②四棱锥;③五棱锥;④三棱柱;⑤圆柱;⑥圆锥.
    点拨:棱锥和棱柱的共同点是棱锥、棱柱都是以底面多边形的边数来命名的,如三棱锥是指底面为三角形的棱锥,而五棱柱是指底面为五边形的棱柱.它们的不同点是棱柱的侧棱互相平行,而棱锥的侧棱交于一点.
    5.(8n-4) 点拨:从下往上数只有两个面涂色的小立方体个数,图①中:第一层4个,第二层0个;图②中:第一层4个,第二层4个,第三层4个;图③中:第一层4个,第二层4个,第三层4个,第四层8个,故第○n个几何体中涂两个面的小立方体有[4n+4(n-1)]个,即(8n-4)个.
    6.解:能围成,体积为40×70×65=182 000(cm3).
    答:体积为182 000 cm3.
    专训三
    1.解:(1)分两种情况:①当点C在线段AB上时,如图①,因为M为AB的中点,所以MB=AB=×20=10(cm).因为N为BC的中点,所以BN=BC=×8=4(cm),所以MN=MB-BN=10-4=6(cm);
    (第1题)


    ②当点C在线段AB的延长线上时,如图②,因为M为AB的中点,所以MB=AB=×20=10(cm).因为N为BC的中点,所以BN=BC=×8=4(cm),所以MN=MB+BN=10+4=14(cm).
    (2)MN=(a+b)或MN=(a-b).
    2.解:如图.
    (第2题)


    (1)因为BN=3BM,所以BM=MN.
    因为MN=3 cm,所以BM=×3=1.5(cm).
    (2)因为AN=MN,MN=3 cm.所以AN=1.5 cm.
    (3)因为MN=3 cm,MQ=NQ,所以MQ=NQ=1.5 cm.
    所以BQ=BM+MQ=1.5+1.5=3(cm),
    AQ=AN+NQ=1.5+1.5=3(cm).所以BQ=QA.
    所以点Q是线段MN的中点,也是线段AB的中点.
    3.解:设AB=2k cm,则BC=4k cm,CD=3k cm,AD=2k+4k+3k=9k(cm).因为CD=6 cm,即3k=6,所以k=2,则AD=18 cm.又因为M是AD的中点,所以MD=AD=×18=9(cm).所以MC=MD-CD=9-6=3(cm).
    4.解:(1)设运动时间为x秒,依题意得x+3=12-4x,解得x=1.8.
    答:1.8秒后,原点恰好在两点正中间.
    (2)设运动时间为t秒.
    ①B与A相遇前:12-4t=2(t+3),即t=1;
    ②B与A相遇后:4t-12=2(t+3),即t=9.
    答:1秒或9秒后,恰好有OA∶OB=1∶2.
    专训四
    1.解:(1)能.MN=DM+DN=AD+BD=(AD+BD)=AB=8.
    (2)能.MN=MD-DN=AD-BD=(AD-BD)=AB=8.
    (3)若点D在线段AB或线段AB的延长线上,点M,N分别是AD,DB的中点,则MN=AB.
    2.解:(1)|x+2|;|x-6|
    (2)存在.分三种情况:
    ①当点P在A,B之间时,PA+PB=8,故舍去;
    ②当点P在B点右边时,PA=x+2,PB=x-6,因为(x+2)+(x-6)=10,所以x=7;
    ③当点P在A点左边时,PA=-x-2,PB=6-x,因为(-x-2)+(6-x)=10,所以x=-3.
    所以当x=-3或7时,PA+PB=10,
    (3)的值不发生变化,理由如下:
    设运动时间为t s.
    则OP=t,OA=5t+2,OB=20t+6,所以AP=OA+OP=6t+2,AB=OA+OB=25t+8,ON=OB=10t+3,所以AB-OP=24t+8,AM=AP=3t+1,所以OM=OA-AM=5t+2-(3t+1)=2t+1,所以MN=OM+ON=12t+4,所以==2,故的值不发生变化.
    3.解:(1)设出发x秒后,PB=2AM,则PA=2x,PB=24-2x,所以AM=x,所以24-2x=2x,即x=6.所以出发6秒后,PB=2AM.
    (2)因为BM=AB-AM=24-x,PB=24-2x,所以2BM-BP=2(24-x)-(24-2x)=24,即2BM-BP为定值.
    (3)易知PA=2x,AM=PM=x,所以PB=2x-24,所以PN=PB=x-12,
    所以①MN=PM-PN=x-(x-12)=12.
    所以MN长度不变,为定值,即结论①正确;
    ②MA+PN=x+x-12=2x-12,
    所以MA+PN的值是变化的,即结论②不正确.
    专训五
    1.解:(1)如图①,当OC落在∠AOB的内部时,
    因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,
    所以∠BOM=∠AOB=×100°=50°,∠BON=∠BOC=×60°=30°.
    所以∠MON=∠BOM-∠BON=50°-30°=20°.
    (第1题)


    (2)如图②,当OC落在∠AOB的外部时,
    因为OM平分∠AOB,ON平分∠BOC,
    所以∠BOM=∠AOB=×100°=50°,∠BON=∠BOC=×60°=30°.
    所以∠MON=∠BOM+∠BON=50°+30°=80°.
    综上可知,∠MON的度数为20°或80°.
    点拨:本题已知没有图,作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况,体现了分类讨论思想的运用.
    2.解:因为∠CBA与∠CBA′折叠重合,所以∠CBA=∠CBA′.
    因为∠EBD与∠A′BD折叠重合,所以∠EBD=∠A′BD.
    又因为这四个角的和是180°,
    所以∠CBD=∠CBA′+∠A′BD=×180°=90°.
    即两折痕BC与BD的夹角为90°.
    点拨:本题可运用折叠法动手折叠,便于寻找角与角之间的关系.
    3.解:设∠AOC=x,则∠BOC=2x.
    因为OD平分∠AOB,所以∠AOD=∠AOB=(∠AOC+∠BOC)=x.
    又因为∠COD=∠AOD-∠AOC,所以19°=x-x,
    解得x=38°.所以∠AOB=3x=3×38°=114°.
    点拨:根据图形巧设未知数,用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程,求出角的度数,体现了方程思想的运用.
    4.解:∠DOE=∠COF.理由如下:
    因为OD平分∠AOB,所以∠DOB=∠AOB.
    因为OF平分∠BOC,所以∠BOF=∠BOC.
    所以∠DOB+∠BOF=∠AOB+∠BOC=∠AOC,即∠DOF=∠AOC.
    又因为OE平分∠AOC,所以∠EOC=∠AOC,所以∠DOF=∠EOC.
    又因为∠DOF=∠DOE+∠EOF,∠EOC=∠EOF+∠COF,所以∠DOE=∠COF.
    点拨:欲找出∠DOE与∠COF的关系,只要找到∠DOF与∠EOC的关系即可.而OD,OF分别是∠AOB,∠BOC的平分线,那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系,而且又有∠AOC=2∠EOC,即可转化成∠DOE与∠COF的关系,体现了转化思想的运用.
    专训六
    1.解:(1)75°;135°
    (2)时针每小时转30°,分针每分钟转6°.时针从指向12开始转过的角度为3×30°=100°,分针从指向12开始转过的角度为20×6°=120°,120°-100°=20°,即3点20分时,时针与分针的夹角是20°.
    2.解:(1)0.5 (2)30;22.5
    (3)设x分钟后分针与时针再次重合,则6x-0.5x=360,解得x=,
    即经过分钟会再次出现时针与分针重合的现象.
    ×0.5°=°,×6°=°.
    答:时针转了°,分针转了°.
    3.解:(1)设从2时经过x分钟,分针与时针的夹角为直角,依题意,有×6°=90°,解得x=.
    答:在2时分时,时针和分针的夹角为直角.
    (2)设小明外出了y分钟,则时针走了0.5y度,分针走了6y度.
    根据题意,列方程为6y=90+0.5y+90,
    解得y=.
    答:小明外出了分钟.
    点拨:在钟表问题中,常利用时针与分针的转动度数关系:分针每分钟转动6°,时针每分钟转动0.5°,并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系.

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