北京东城区2019届高三理科数学综合模拟试卷

这是一份北京东城区2019届高三理科数学综合模拟试卷，共13页。
 北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）                                            2019.5数学 （理科）本试卷共4页，共150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。第一部分（选择题  共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合，则 (A)         (B)       (C)             (D) （2）执行如图所示的程序框图，输入，那么输出的的值分别为（A），              （B），（C），              （D）， （3）已知向量与不共线，且，若三点共线，则实数满足的条件为 (A)               (B)              (C)                    (D) （4）鲁班锁起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构，相传由春   秋时代鲁国工匠鲁班所作. 右图是某个经典的六柱鲁班锁 及其六个构件的图片，下图是其中一个构件的三视图（单位：）， 则此构件的体积为          （A）       （B）      （C）    （D）（5）已知是等差数列的前项和，则“对恒成立”是“”的 (A) 充分而不必要条件                        (B) 必要而不充分条件           (C) 充分必要条件                            (D)既不充分也不必要条件 （6）教室的图书角摆放了一些阅读书目，其中有3本相同的论语、6本互不相同的近代文学名著，现从这9本书中选出3本，则不同的选法种数为(A) 84              (B) 42               (C)                 (D) （7）已知正方体的棱长为，是底面上的动点，，则满足条件的点构成的图形的面积等于(A)              (B)            (C)             (D)  （8）在交通工程学中，常作如下定义：交通流量（辆/小时）：单位时间内通过某一道路横断面的车辆数；车流速度（千米/小时）：单位时间内车流平均行驶的距离；车流密度（辆/千米）：单位长度道路上某一瞬间所存在的车辆数.一般的， 和满足一个线性关系：（其中是正数），则以下说法正确的是(A) 随着车流密度的增大，车流速度在逐渐增大             (B) 随着车流密度的增大，交通流量在逐渐增大             (C) 随着车流速度的增大，交通流量先减小、后增大              (D) 随着车流速度的增大，交通流量先增大、后减小 第二部分（非选择题  共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（ 9 ）已知复数在复平面内对应的点为，则关于虚轴对称的点位于第         象限.（ 10 ）已知，，若，，则满足条件的可以为_____.（ 11）椭圆与曲线关于直线对称，与分别在第一、二、三、四象限交于点若四边形的面积为4，则点的坐标为_______, 的离心率为__    ．     （ 12）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则=    .（13）设关于的不等式组表示的平面区域为钝角三角形及其内部，则的取值范围是      .    （14）已知函数，，对于任意实数，当时，记的最大值为. ①若，则     ；②若则的取值范围是      .   三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）如图，在四边形中，（Ⅰ）求的正弦值；（Ⅱ）若，且△的面积是△面积的4倍，求的长.  （16）（本小题13分）某工厂的机器上有一种易损元件A，这种元件在使用过程中发生损坏时，需要送维修处维修.工厂规定当日损坏的元件A在次日早上8：30之前送到维修处，并要求维修人员当日必须完成所有损坏元件A的维修工作.每个工人独立维修A元件需要时间相同.维修处记录了某月从1日到20日每天维修元件A的个数，具体数据如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A个数91512181218992412 日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A个数12241515151215151524从这20天中随机选取一天，随机变量X表示在维修处该天元件A的维修个数. （Ⅰ）求的分布列与数学期望；（Ⅱ）若，且，求最大值；（Ⅲ）目前维修处有两名工人从事维修工作，为使每个维修工人每天维修元件A的个数的数学期望不超过4个，至少需要增加几名维修工人？ （只需写出结论）   （17）（本小题14分）如图，四边形和三角形所在平面互相垂直，∥，，，，，，平面与平面交于．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求二面角余弦值；（Ⅲ）在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由． （18）（本小题13分）已知点到抛物线准线的距离为2. （Ⅰ）求C的方程及焦点F的坐标；（Ⅱ）设点关于原点的对称点为点，过点作不经过点的直线与交于两点，直线分别交轴于两点.求的值.（19）（本小题14分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）若不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围．（20）（本小题13分）若行列的数表满足：，，，记这样的一个数表为.对于记集合表示集合中元素的个数.（Ⅰ）已知写出的值；（Ⅱ）是否存在数表满足若存在，求出，若不存在，说明理由；（Ⅲ）对于数表，求证：.北京市东城区2018-2019学年度第二学期高三综合练习（二）2019.5         数学（理科）参考答案及评分标准 一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）A            （2）D           （3）C           （4）C （5）C            （6）B           （7）A           （8）D二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（9）四                                      （10）（答案不唯一）（11）                              （12）  （13）                        （14）  三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（Ⅰ）在△中，设，由余弦定理得，整理得，解得.所以由正弦定理得，解得             ............................6分    （Ⅱ）由已知得，所以，化简得 所以           于是        因为，且为锐角，        所以.        因此                                                          ...............13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）由题意可知， X的所有可能取值为 ，且；；；；.所以的分布列为：X912151824P故的数学期望.............................5分（Ⅱ）当取到最大值时，     的只可能为：或或     经计算，，，     所以的最大值为.                        ............................10分 （Ⅲ）至少增加2人                                                   ............................13分 （17）（共14分）解：（Ⅰ）在四边形中，∥．         因为平面，平面，         所以∥平面．因为平面，且平面平面，所以∥．                                         ............................4分 （Ⅱ）如图，取的中点，连接，.在等腰△中，因为平面平面，交线为，又，所以平面.所以      由题意易得如图建立空间直角坐标系，则，，，      ，．       因为，所以.设平面的法向量为                      则 即        令，则．于是．又平面的法向量为，      所以．        由题知二面角为锐角，        所以二面角的余弦值为.                         ............................9分（Ⅲ）不存在满足条件的点，使，理由如下：若，则． 因为点为线段上的动点，设，．       则，       解得．       所以，．           所以．           整理得，此方程无实根．所以线段上不存在点，使.                   ............................14分                                                    （18）（共13分）解：（Ⅰ）由已知得，所以所以抛物线的方程为，焦点的坐标为                ............................4分（II）设点,，由已知得，由题意直线斜率存在且不为0.设直线的方程为 . 由得，则.因为点在抛物线上，所以，，，因为轴，所以.所以的值为2.                                          ............................13分  （19）（共14分）解： （Ⅰ）因为，           所以，，，所以曲线在点处的切线方程为           ............................5分（Ⅱ）因为，所以，，当时，恒成立，恒成立，所以不等式在区间上恒成立.当时，设，，若，，，所以在区间上恒成立；若，，，， 所以在区间上恒成立；所以在区间上单调递增，所以当时，不等式在区间上恒成立；当时，令，，在区间上恒成立，所以在区间上单调递增，，，所以存在，使得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，取得极小值；而，所以，所以不等式在区间上不能恒成立，所以不等式在区间上恒成立时实数的取值范围是..............14分 （20）（共13分）解：（Ⅰ） .                                         ............................3分（Ⅱ）不存在数表，使得.理由如下：       假设存在，使得.不妨设，的可能值为. 当时，经验证这样的不存在.当时，有，这说明此方程组至少有两个方程的解相同，不妨设，所以有，这也说明此方程组至少有两个方程的解相同，这样的只能为或，这两种情况都与矛盾.                                  ..............8分 （Ⅲ） 在数表中，将换成，这将形成，由于，可得从而.当时，由于，所以任两行相同位置的1的个数.又由于，而从1到的整数个数，从而                                 ..............13分