类型三 与折叠有关的探究题-2021年中考数学二轮复习重难题型突破

类型三  与折叠有关的探究题

【典例1】已知在△ABC中，AC＝BC＝m，D是AB边上的一点，将∠B沿着过点D的直线折叠，使点B落在AC边的点P处（不与点A，C重合），折痕交BC边于点E．

（1）特例感知 如图1，若∠C＝60°，D是AB的中点，求证：AP＝AC；

（2）变式求异 如图2，若∠C＝90°，m＝6，AD＝7，过点D作DH⊥AC于点H，求DH和AP的长；

（3）化归探究 如图3，若m＝10，AB＝12，且当AD＝a时，存在两次不同的折叠，使点B落在AC边上两个不同的位置，请直接写出a的取值范围．

【典例2】实践操作：第一步：如图1，将矩形纸片沿过点D的直线折叠，使点A落在上的点处，得到折痕，然后把纸片展平．第二步：如图2，将图1中的矩形纸片沿过点E的直线折叠，点C恰好落在上的点处，点B落在点处，得到折痕，交于点M，交于点N，再把纸片展平．

问题解决：

（1）如图1，填空：四边形的形状是_____________________；

（2）如图2，线段与是否相等？若相等，请给出证明；若不等，请说明理由；

（3）如图2，若，求的值．

【典例3】如图，矩形纸片ABCD，将△AMP和△BPQ分别沿PM和PQ折叠（AP＞AM），点A和点B都与点E重合；再将△CQD沿DQ折叠，点C落在线段EQ上的点F处.

（1）判断△AMP，△BPQ，△CQD和△FDM中有哪几对相似三角形？

（2）如果AM=1，sin∠DMF=，求AB的长.

【典例4】如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是射线CB上的一个动点，把△DCE沿DE折叠，点C的对应点为C′．

（1）若点C′刚好落在对角线BD上时，BC′=　 　；

（2）若点C′刚好落在线段AB的垂直平分线上时，求CE的长；

（3）若点C′刚好落在线段AD的垂直平分线上时，求CE的长．

【典例5】如图所示，有一块面积为1的正方形纸片ABCD，M、N分别为AD、BC的边上中点，将C点折至MN上，落在P点的位置，折痕为BQ，连接PQ．
（1）求MP的长；
（2）求证：以PQ为边长的正方形的面积等于.

【典例6】已知：矩形纸片中，AB=26厘米，厘米，点E在AD上，且厘米，点P是AB边上一动点，按如下操作：

步骤一，折叠纸片，使点P与点E重合，展开纸片得折痕（如图（1）所示）；

步骤二，过点P作交所在的直线于点Q，连结QE（如图（2）所示）；

（1）无论点P在AB边上任何位置，都有PQ            QE（填“＞”、“=”、“＜”号 ）

（2）如图（3）所示，将矩形纸片放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作：

①当点P在A点时，与交于点点的坐标是（             ，            ）；

②当厘米时，与交于点，点的坐标是（             ，           ）；

③当厘米时，在图（3）中画出，（不要求写画法）并求出与的交点的坐标；

（3）点P在在运动过程中，与形成一系列的交点，…观察，猜想：众多的交点形成的图象是什么？并直接写出该图象的函数表达式.

 （1）            （2） （3）