湖南省株洲市2021年中考数学真题 （word版 含答案）

这是一份湖南省株洲市2021年中考数学真题 （word版 含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

湖南省株洲市2021年中考数学真题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________


一、单选题
1．若的倒数为2，则（ ）
A． B．2 C． D．－2
2．方程的解是（ ）
A． B． C． D．
3．如图所示，四边形是平行四边形，点在线段的延长线上，若，则（ ）

A． B． C． D．
4．某月1日—10日，甲、乙两人的手机“微信运动”的步数统计图如图所示，则下列错误的结论是（ ）

A．1日—10日，甲的步数逐天增加
B．1日—6日，乙的步数逐天减少
C．第9日，甲、乙两人的步数正好相等
D．第11日，甲的步数不一定比乙的步数多
5．计算：（ ）
A． B．－2 C． D．
6．《九章算术》之“粟米篇”中记载了中国古代的“粟米之法”：“粟率五十，粝米三十……”（粟指带壳的谷子，粝米指糙米），其意为：“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”．问题：有3斗的粟（1斗＝10升），若按照此“粟米之法”，则可以换得粝米为（ ）
A．1.8升 B．16升 C．18升 D．50升
7．不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．无解
8．如图所示，在正六边形内，以为边作正五边形，则（ ）

A． B． C． D．
9．二次函数的图像如图所示，点在轴的正半轴上，且，设，则的取值范围为（ ）

A． B．
C． D．
10．某限高曲臂道路闸口如图所示，垂直地面于点，与水平线的夹角为，，若米，米，车辆的高度为（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度．
①当时，小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；
②当时，等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；
③当时，等于3.1米的车辆不可以通过该闸口．
则上述说法正确的个数为（ ）

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

二、填空题
11．计算：__________．
12．因式分解：__________．
13．据报道，2021年全国高考报名人数为1078万．将1078万用科学记数法表示为，则__________．
14．抛掷一枚质地均匀的硬币2次，2次抛掷的结果都是正面朝上的概率是____．
15．如图所示，线段为等腰的底边，矩形的对角线与交于点，若，则__________．

16．中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如下表：
中药
黄芪
焦山楂
当归
销售单价（单位：元/千克）
80
60
90
销售额（单位：元）
120
120
360
则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为___________千克．
17．点、是反比例函数图像上的两点，满足：当时，均有，则的取值范围是__________．
18．《蝶几图》是明朝人戈汕所作的一部组合家具的设计图（蜨，同“蝶”），它的基本组件为斜角形，包括长斜两只、右半斜两只、左半斜两只、闺一只、小三斜四只、大三斜两只，共十三只（图①中的“様”和“隻”为“样”和“只”）．图②为某蝶几设计图，其中和为“大三斜”组件（“一様二隻”的大三斜组件为两个全等的等腰直角三角形），已知某人位于点处，点与点关于直线对称，连接、．若，则 ___________度．


三、解答题
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图所示，在矩形中，点在线段上，点在线段的延长线上，连接交线段于点，连接，若．

（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求线段的长度．
22．将一物体（视为边长为米的正方形）从地面上挪到货车车厢内．如图所示，刚开始点与斜面上的点重合，先将该物体绕点按逆时针方向旋转至正方形的位置，再将其沿方向平移至正方形的位置（此时点与点重合），最后将物体移到车厢平台面上．已知，，过点作于点，米，米．

（1）求线段的长度；
（2）求在此过程中点运动至点所经过的路程．
23．目前，国际上常用身体质量指数“”作为衡量人体健康状况的一个指标，其计算公式：（表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．已知某区域成人的数值标准为：为瘦弱（不健康）：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖（不健康）．某研究人员从该区域的一体检中心随机抽取55名成人的体重、身高数据组成一个样本，计算每名成人的数值后统计如下：
身体属性
人数
瘦弱
2
偏瘦
2
正常
11
偏胖
9
肥胖

（男性身体属性与人数统计表）

（1）求这个样本中身体属性为“正常”的人数；
（2）某女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求该女性的数值；
（3）当且（、为正整数）时，求这个样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值．
24．如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与函数的图像（记为）交于点A，过点A作轴于点，且，点在线段上（不含端点），且，过点作直线轴，交于点，交图像于点．

（1）求的值，并且用含的式子表示点的横坐标；
（2）连接、、，记、的面积分别为、，设，求的最大值．
25．如图所示，是的直径，点、是上不同的两点，直线交线段于点，交过点的直线于点，若，且．

（1）求证：直线是的切线；
（2）连接、、、，若．
①求证：；
②过点作，交线段于点，点为线段的中点，若，求线段的长度．
26．已知二次函数．

（1）若，，求方程的根的判别式的值；
（2）如图所示，该二次函数的图像与轴交于点、，且，与轴的负半轴交于点，点在线段上，连接、，满足 ，．
①求证：；
②连接，过点作于点，点在轴的负半轴上，连接，且，求的值．


参考答案
1．A
【分析】
结合倒数的定义即可求解．
【详解】
解：是2的倒数


故答案是：A．
【点睛】
本题考查倒数的定义，属于基础题，难度不大，解题的关键是掌握该定义．倒数的定义：若两数的乘积是1，则称两数互为倒数．
2．D
【分析】
通过移项、合并同类项、系数化为1三个步骤即可完成求解．
【详解】
解：,
,

；
故选：D．
【点睛】
本题考查了解一元一次方程，解决本题的关键是牢记解一元一次方程的基本步骤，即“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”，并能灵活运用；本题较基础，考查了学生的基本功．
3．B
【分析】
根据补角的定义求，再利用平行四边形对角相等的性质求解即可．
【详解】
∵
∴
∵四边形是平行四边形
∴．
故选：B．
【点睛】
本题考查了补角的定义和平行四边形的性质．平行四边形的性质，对边相等，对角相等，对角相互相平分．
4．B
【分析】
对照折线统计图，逐项分析，找到合乎题意的选项，甲，乙两条线，分开看，注意图例．
【详解】
A. 通过折线统计图中甲的图例实线部分，在1日—10日步数逐天增加，正确，不符合题意；
B. 通过折线统计图中乙的图例虚线部分，在1日—5日步数逐天减少，第6日有所增加，错误，符合题意；
C. 通过折线统计图中甲乙折线部分在第9日出现了重合，所以甲、乙两人的步数正好相等，正确；
D. 第11日图形没有给出，只能预测，所以不一定，正确．
题目要求选择错误的结论，B选项错误．
故选B．
【点睛】
本题考查了折线统计图，折线统计图用折线的起伏表示数据的增减变化情况。不仅可以表示数量的多少，而且可以反映数据的增减变化情况，理解折线起伏的意义是解题关键．
5．A
【分析】
将化简，然后根据乘法法则运算即可．
【详解】
解：
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键．
6．C
【分析】
先进行单位换算，再利用50单位的粟，可换得30单位的粝米的关系，建立方程，求解即可．
【详解】
解：由题可知，3斗的粟即为30升的粟，
设其可以换得粝米为x升，
则，
∴，
∴可以换得粝米为18升；
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是找到相等关系，即“50单位的粟，可换得30单位的粝米……”，要求学生能将题干的文字内容转化为数学符号的形式，能正确理解题意，找到相等关系，列出方程．
7．A
【分析】
先解不等式组中的每一个不等式，再利用不等式组解集的口诀“同小取小”得出解集．
【详解】
解：
由①，得：x≤2，
由②，得：x＜1，
则不等式组的解集为：x＜1，
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，关键在于根据解集的特点确定解集：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解得到．
8．B
【分析】
利用正n边形的外角和定理计算即可
【详解】
如图，延长BA到点O，
∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠FAO==60°，
∵五边形ABGHI是正五边形，
∴∠IAO==72°，
∴∠FAI=∠IAO-∠FAO=12°，
故选B．
【点睛】
本题考查了正多边形的外角和定理，熟练掌握正ｎ边形的外角和定理是解题的关键．
9．D
【分析】
由图像可得，，当，，并与轴交于之间，得，据悉可得，据此求解即可．
【详解】
解：由图像可知，图像开口向下，并与轴相交于正半轴，
∴，，
当，，
∵，并由图像可得，二次函数与轴交于之间，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】
本题考查二次函数图象及性质，熟悉相关性质是解题的关键．
10．C
【分析】
①三点共线，直接计算可得；
②做出辅助线，构造直角三角形，利用特殊角的三角函数，求出；
③方法同②．
【详解】
如图过E点作交的延长线于点M，


则

①当时,三点共线，

小于3.3米的车辆均可以通过该闸口，故①正确．
②当时，

等于2.9米的车辆不可以通过该闸口，故②正确．
③当时，

等于3.1米的车辆可以通过该闸口，故③错误．
综上所述：说法正确的为：①②，共2个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了三角函数的应用，二次根式的估值，正确的作图，计算和对比选项是解题关键．
11．．
【分析】
根据单项式乘以单项式法则以及同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．
【详解】
解：．
故答案：．
【点睛】
本题考查单项式乘以单项式，熟练掌握单项式乘以单项式法则，同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．
12．
【分析】
直接提出公因式即可完成因式分解．
【详解】
解：;
故答案为：．
【点睛】
本题考查了提公因式法进行因式分解，解决本题的关键是找到它们的公因式，提出公因式后再检查分解是否彻底即可，本题为基础题，考查了学生对基础知识的掌握与运用．
13．7．
【分析】
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【详解】
解：万=104
将1078万用科学记数法表示为1.078×107
∴=1.078×107
∴n=7．
故答案为：7．
【点睛】
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
14．
【详解】
试题分析：列举出所有情况，看所求的情况占总情况的多少即可．共有正反，正正，反正，反反4种可能，则2次抛掷的结果都是正面朝上的概率为.
故答案为.
考点：概率公式．
15．4
【分析】
先求出矩形的对角线的长，得到AB的取值，再利用等腰三角形的概念直接得到AC的值．
【详解】
解：∵矩形 ADBE 的对角线 AB 与 DE 交于点 O ，
∴AB=DE，OE=OD，
∴AB=DE=2OD=4，
∵线段 BC 为等腰 △ABC 的底边，
∴AC=AB=4，
故答案为：4．
【点睛】
本题考查了矩形的性质和对等腰三角形概念的理解，解决本题的关键是理解相关概念与性质，能灵活运用题干信息，将它们用数学符号进行表示，本题较基础，考查了学生的几何语言表述的能力以及基本功．
16．2.5
【分析】
由销售额和销售单价可以求出每种中药的销售量，再根据平均数的求法，即可求解平均销售量．
【详解】
解：由题意得黄芪销售量：（千克）；
焦山楂的销售量：（千克）；
当归的销售量：（千克）；
所以平均销售量为：（千克）．
故答案是：2.5．
【点睛】
本题考察平均数的定义，属于基础题型，难度不大．解题的关键是掌握平均数的定义．平均数：用一组数据的综合除以数据个数得到的数．
17．k<0
【分析】
先分析该两点所在的图像的象限和增减性，最后确定k的取值范围即可．
【详解】
解：因为当时，，
说明A、B两点同时位于第一或第四象限，
∵当时，均有，
∴在该图像上，y随x的增大而增大，
∴A、B两点同时位于第四象限，
所以k<0，
故答案为：k<0．
【点睛】
本题考查了反比例函数的图像和性质，解决本题的关键是理解并牢记反比例函数的图像和性质，能根据点的坐标情况分析其图像特点等，涉及了数形结合的思想方法．
18．21
【分析】
由题意易得四边形ABCD是正方形，进而根据轴对称的性质可得AD=DP，，则有CD=DP，然后可得，最后根据等腰三角形的性质可求解．
【详解】
解：∵，且都为等腰直角三角形，
∴四边形ABCD是正方形，
∴，
∵点与点关于直线对称，，
∴，AD=DP，
∴CD=DP，，
∴，
∴，
故答案为21．
【点睛】
本题主要考查正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握正方形的判定与性质、轴对称的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．
19．3
【分析】
熟记特殊三角数值、掌握绝对值的代数意义和负整数指数幂的求法，遵循运算法则计算即可．
【详解】
解：原式
【点睛】
本题考察实数的运算，属于基础题，难度不大．熟练掌握运算法则是解题的关键．
20．，
【分析】
先对分式进行化简，然后根据二次根式的运算进行求值即可．
【详解】
解：原式=，
把代入得：原式=．
【点睛】
本题主要考查分式的化简求值及二次根式的运算，熟练掌握分式的化简求值及二次根式的运算是解题的关键．
21．（1）证明见解析；（2）
【分析】
（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证；
（2）利用平行四边形的性质得到，接着利用锐角三角函数值解直角三角形即可．
【详解】
解：（1）证：因为四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）由（1）知四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴线段的长度为．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数解直角三角形等内容，解决本题的关键是牢记相关概念，能进行边和角之间关系的相互转化等，本题较基础，着重考查了学生的基础知识和对概念公式的运用．
22．（1）米；（2）4米．
【分析】
（1）利用直角三角形FGH即可求解；
（2）连接A1A2，则必过点D1，分别求出A1A2和的长，即可求出点A经过的路程．
【详解】
解：（1）∵MG∥PQ，
∴∠FGM=∠FBP=30°．
∴在中，
（米）．

（2）连接A1A2，则必过点D1，且四边形A1BGA2是矩形．
∴A1A2=BG=BF-GF=（米）．
∵四边形ABCD和四边形A1BC1D1都是正方形，
∴AB=A1B，∠A1BC1=∠ABC=90°．
∴∠ABA1=180°-∠A1BC1-∠FBP=180°-90°-30°=60°．
∴（米）．
∴在整个运动过程中，点A运动至A2的路程为：
（米）．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、矩形和正方形的性质、平移和旋转的性质等知识点，熟知旋转和平移的性质是解题的关键．
23．（1）20；（2）20；（3）或1．
【分析】
（1）根据图表可得，男性身体属性为“正常”的人数是：11人，女性身体属性为“正常”的人数是：9人，据此求解即可；
（2）根据女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，求解即可；
（3）根据图表可得：男性的人数为：，女性的人数为：，样本容量是55，可得，再根据且可得或，当时，身体属性为“不健康”的男性人数有5人，身体属性为“不健康”的女性人数有7人，据此求可求得比值；当时，身体属性为“不健康”的男性人数有6人，身体属性为“不健康”的女性人数有6人，据此求可求得比值．
【详解】
解：（1）根据图表可得，男性身体属性为“正常”的人数是：11人，女性身体属性为“正常”的人数是：9人，
∴这个样本中身体属性为“正常”的人数是：人；
（2）∵女性的体重为51.2千克，身高为1.6米，
∴该女性的数值；
（3）根据图表可得：男性的人数为：，女性的人数为：，
∵样本容量是55，
∴，
∴，
∵且
∴或
当时，身体属性为“不健康”的男性人数有3+2=5人，身体属性为“不健康”的女性人数有3+4=7人，
∴比值是，
当时，身体属性为“不健康”的男性人数有4+2=6人，身体属性为“不健康”的女性人数有2+4=6人，
∴比值是
综上所述样本中身体属性为“不健康”的男性人数与身体属性为“不健康”的女性人数的比值是或1．
【点睛】
本题考察了条形统计图和统计表，一元一次不等式的求值，比值等知识点，熟悉相关性质，读懂题意是解题的关键．
24．（1），D点横坐标为；（2）
【分析】
（1）先求出A点坐标，再利用待定系数法即可求出k的值，利用OC=t和D点在直线l上即可得到D点横坐标；
（2）分别用含t的式子表示出、，得到关于t的二次函数，求函数的最大值即可．
【详解】
解：（1）∵，
∴A点横坐标为1,
∵A点在一次函数的图像上，
∴，
∴,
∵A点也在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
∵，直线轴，
∴D点纵坐标为t，
∵D点在直线l上，
∴D点横坐标为，
综上可得：，D点横坐标为．
（2）直线轴，交于点，交图像于点，
∴E点纵坐标为t，
将纵坐标t代入反比例函数解析式中得到E点坐标为，
∴，A点到DE的距离为，
∴，
∵轴于点，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大=；
∴的最大值为．
【点睛】
本题综合考查了反比例函数和一次函数，涉及到了用待定系数法求函数解析式、用点的坐标表示线段的长、平面直角坐标系中三角形的面积表示、平行于x轴的直线上的点的坐标特征等内容，本题综合性较强，要求学生对概念的理解和掌握应做到深刻与扎实，本题蕴含了数形结合的思想方法等．
25．（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②1
【分析】
（1）先将转化为，再利用勾股定理逆定理证明即可；
（2）①利用同一条弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半和同一条弧所对的圆周角相等分别得到与，再利用两角分别相等的两三角形相似即可完成求证；
②分别利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理的推论求出AC的长和CG的长，最后利用线段的和差关系求解即可．
【详解】
解：（1）证：因为，且，
∴，
∴,
∴，
∴直线是的切线；
（2）①∵，
又∵，
∴，
∵,
∴．；
②∵，
∴，
设圆的半径为r，
∵， ，
∴，
∴；
∵点为线段的中点，
∴，
∵，
∴,
∴，
∴,
∴线段的长度为1．
【点睛】
本题综合考查了切线的判定定理、圆周角定理及其推论、勾股定理逆定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理的推论等内容，解决本题的关键是牢记相关概念，能根据题意建立相等关系等，本题考查内容较多，综合性较强，对学生的综合分析能力有较高要求．
26．（1） （2）①证明见解析；②=2
【分析】
（1）根据判别式公式代入求解即可．
（2）①通过条件，得到OC=OB，再根据ASA即可得到两个三角形角形全等．
②通过分析条件，证明，得到，再根据相关的线段转换长度，代入求解即可.
【详解】
解：（1）当，时，方程为：，
，
（2）①证明：∵，且，
∴，
∴，
在与中，
，
∴．
②解：，，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴,，
在中，，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∵，
∴ ，
即：，
∴=2或=-1（舍），
【点睛】
本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，韦达定理，以及一元二次方程的解法，三角形全等和相似等相关知识点，根据题意能够找见相关等量关系是解题关键 .