湖北省宜昌市2021年中考数学真题（word版 含答案）

2021年湖北省宜昌市初中学业水平考试

数学试题

（本试卷共24小题，满分120分，考试时间120分钟）

注意事项：

本试卷分试题卷和答题卡两部分，请将答案写在答题卡上每题对应的答题区域内，写在试题卷上无效.考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交.

参考公式：一元二次方程的求根公式是，二次函数图象的顶点坐标是，弧长公式是，扇形面积公式是.

一、选择题（下列各小题中，只有一个选项是符合题目要求的，请在答题卡上指定的位置填涂符合要求的选项前面的字母代号.每小题3分，计33分.）

1. -2021的倒数是（    ）

A. 2021 B. -2021 C.  D.

2. 下列四幅图案是四所大学校徽的主体标识，其中是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 2021年5月15月07时18分，“天问一号”火星探测器成功登陆火星表面，开启了中国人自主探测火星之旅.地球与火星的最近距离约为5460万公里.“5460万”用科学记数法表示为（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在上，其中，，，，，则的度数是（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 在六张卡片上分别写有6，，3.1415，，0，六个数，从中随机抽取一张，卡片上的数为无理数的概率是（    ）

A.  B.  C.  D.

7. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压（单位：）是气体体积（单位：）的反比例函数：，能够反映两个变量和函数关系的图象是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四.问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出八钱，会多三钱；每人出七钱，又差四钱.问人数、物价各多少？设人数为人，物价为钱，下列方程组正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 如图，，是上直径两侧的两点.设，则（    ）

A.  B.  C.  D.

11. 从前，古希腊一位庄园主把一块边长为米（）的正方形土地租给租户张老汉.第二年，他对张老汉说：“我把这块地的一边增加6米，相邻的另一边减少6米，变成矩形土地继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”如果这样，你觉得张老汉的租地面积会（    ）

A. 没有变化 B. 变大了 C. 变小了 D. 无法确定

二、填空题（将答案写在答题卡上指定的位置.每小题3分，计12分.）

12. 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高气温的变化量为，攀登后，气温下降__________.

13. 如图，在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位长度得到点，则点关于轴的对称点的坐标是___________.

14. 社团课上，同学们进行了“摸球游戏”：在一个不透明的盒子里装有几十个除颜色不同外其余均相同的黑、白两种球，将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程.整理数据后，制作了“摸出黑球的频率”与“摸球的总次数”的关系图象如图所示，经分析可以推断盒子里个数比较多的是___________（填“黑球”或“白球”）.

15. “莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形.如图，以边长为2厘米的等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积为____________平方厘米.（圆周率用表示）

三、解答题（将解答过程写在答题卡上指定的位置，本大题共有9小题，计75分.）

16.（本题满分6分）先化简，再求值：，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的代入求值.

17.（本题满分6分）解不等式组.

18.（本题满分7分）如图，在中，，.

（1）通过观察尺规作图的痕迹，可以发现直线是线段的__________，射线是的__________；

（2）在（1）所作的图中，求的度数.

19.（本题满分7分）国家规定“中小学生每天在校体育活动时间不低于”.为此，某市就“每天在校体育活动时间”的问题随机调查了辖区内部分初中学生.根据调查结果绘制成的统计图（部分）如图所示，其中分组情况是：

组：  组：

组：  组：

请根据上述信息解答下列问题：

（1）本次调查的人数是____________人；

（2）请根据题中的信息补全频数分布直方图；

（3）组对应扇形的圆心角为__________；

（4）本次调查数据的中位数落在__________组内；

（5）若该市辖区约有80000名初中学生，请估计其中达到国家规定体育活动时间的学生人数约有多少.

20.（本题满分8分）甲超市在端午节这天进行苹果优惠促销活动，苹果的标价为10元，如果一次购买以上的苹果，超过的部分按标价6折售卖.

（单位：）表示购买苹果的重量，（单位：元）表示付款金额.

（1）文文购买苹果需付款___________元，购买苹果需付款____________元；

（2）求付款金额关于购买苹果的重量的函数解析式；

（3）当天，隔壁的乙超市也在进行苹果优惠促销活动，同样的苹果的标价也为10元，且全部按标价的8折售卖.文文如果要购买苹果，请问她在哪个超市购买更划算？

21.（本题满分8分）如图，在菱形中，是对角线上一点（），，垂足为，以为半径的分别交于点，交的延长线于点，与交于点.

（1）求证：是的切线；

（2）若是的中点，，.

①求的长；

②求的长.

22.（本题满分10分）随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和.去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨.

（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？

（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了.同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了.经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值.

（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？

23.（本题满分11分）如图，在矩形中，是边上一点，，，垂足为.将四边形绕点顺时针旋转，得到四边形.所在的直线分别交直线于点，交直线于点，交于点.所在的直线分别交直线于点，交直线于点，连接交于点.

（1）如图1，求证：四边形是正方形；

（2）如图2，当点和点重合时.

①求证：；

②若，，求线段的长；

（3）如图3，若交于点，，求的值.

24.（本题满分12分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，顶点坐标记为.抛物线的顶点坐标记为.

（1）写出点坐标；

（2）求，的值（用含的代数式表示）；

（3）当时，探究与的大小关系；

（4）经过点和点的直线与抛物线，的公共点恰好为3个不同点时，求的值.

2021年湖北省宜昌市初中学业水平考试

数学试题参考答案

一、选择题（每小题3分）

二、填空题（每小题3分）

三、解答题

16.

解：原式

.

当时，原式.

当时，原式.（选择一种情况即可）

17. .

解：由不等式①得，，

由不等式②得，，

∴不等式组的解集为：.

18.（1）垂直平分线，角平分线

（2）解：∵是线段的垂直平分线，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∴.

∵射线是的平分线，

∴.

19.（1）400，

（2）240，图略，

（3）36，

（4）C，

（5），

，

，

达到国家规定体育活动时间的学生人数约56000人.

20.（1）30元，46元，

（2）当时，，

当时，设，将，代入解析式

解得，，

∴，

（3）当时，，

（4），

∵，

∴甲超市比乙超市划算.

21.（1）证明：如图1，

过点作于点，

∵是菱形的对角线，

∴，

∵，，

∴，

∴是的切线.

（2）①如图2，

∵是的中点，，

∴.

∵，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴由弧长公式，得到的长：.

②方法一：如图3，

过点作于点，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵四边形是矩形，

∴，

在中，设，

∴，

∴.

方法二：如图4，过作于点，

∵，，，

∴，，，

，

∴.

22.（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则

，

，

漫灌用水：，

喷灌用水：，

滴灌用水：，

漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨.

（2）由题意得，

，

解得（舍去），，所以.

（3）节省水费：元，

维修投入：元，

新增设备：元，

，

∴节省水费大于两项投入之和.

23.（1）在矩形中，，

∵，则，

∴四边形是矩形.

∵，

∴矩形是正方形.

（2）①如图1，

∵，

∴，，

∴，

又∵，，

∴，

∴.

②方法一：设正方形边长为，由，

∴，

∴，

∴在中，，

∴，

∴.

由而知，，

由可得：，

由可得：，

∴，

∴，

∴，

由可得：，

∴.

方法二：如图2，过点作于点，

由，

可得：，

由方法一，可知，

∴，

由方法一，可知为中点，从而，，

从而由勾股定理得.

（3）方法一：如图3，延长与的延长线交于点，

由题意可知，，，

∴，，

∴，

设，，则，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴.

∵，

∴.

方法二，如图4，过点作，垂足为点.

由题意可知，，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

设，则，，

∴，，则，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，，，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴.

方法三：如图5，设与交于点，

设，则，，

由题意可知，，，，

∴，

∴，

由方法（2）可知，，

所以，

又∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.

24.（1）∵，令，，

∴，，

∴.

（2），

∴，

∵，

∴.

（3）∵，，

当时，，

此时或，

.

方法一：由如图1图象可知：

当时，，

当时，，

当时，，

当或时，.

方法二：①当时，可得或，

即当或时，，

②当时，可得，

即当时，，

③当时，可得或，

即当或时，.

方法三：观察第24题图2可知.

当时，，

当时，，

当时，，

当或时，.

（4）设直线的解析式为：，

则，

由（1）-（2）得，，

∴，

直线的解析式为：.

第一种情况：如图3，

当直线经过抛物线，的交点时，

联立抛物线与的解析式可得：

①

联立直线与抛物线的解析式可得：

，

则，②

当时，把代入得：，

把，代入直线的解析式得：

，

∴，

∴.

此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点.

当时，把代入①得：

，

该方程判别式，所以该方程没有实数根.

第二种情况：如图4，

当直线与抛物线或者与抛物线只有一个公共点时.

当直线与抛物线只有一个公共点时，

联立直线与抛物线可得，

∴，

此时，即，

∴，

∴.

由第一种情况而知直线与抛物线公共点的横坐标为，，

当时，，∴.

所以此时直线与抛物线，的公共点恰好为三个不同点.

如图5，当直线与抛物线只有一个公共点，

∵，，∴，

联立直线与抛物线，

，

，

当时，，

此时直线与抛物线，的公共点只有一个，

∴.

综上所述：∴，，，.