2022高考数学一轮复习 第二章 §2.3　幂函数与二次函数

这是一份2022高考数学一轮复习 第二章 §2.3　幂函数与二次函数，共16页。试卷主要包含了了解幂函数的概念，二次函数的图象和性质，))等内容，欢迎下载使用。


1．幂函数
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较
2.二次函数的图象和性质
微思考
1．幂函数的图象会不会出现在第一或第四象限？为什么？
提示 幂函数y＝xα(α为常数)，当x>0时，y>0，故幂函数的图象一定经过第一象限，一定不过第四象限．
2．二次函数的解析式有哪些常用形式？
提示 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)顶点式：y＝a(x－m)2＋n(a≠0)；
(3)零点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数是幂函数．( × )
(2)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．( √ )
(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，x∈[m，n]的最值一定是eq \f(4ac－b2,4a).( × )
(4)二次函数y＝x2＋mx＋1在[1，＋∞)上单调递增的充要条件是m≥－2.( √ )
题组二 教材改编
2．已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(\r(2),2)))，则k＋α等于( )
A.eq \f(1,2) B．1 C.eq \f(3,2) D．2
答案 C
解析 由幂函数的定义，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝1，,\f(\r(2),2)＝k·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α.))
∴k＝1，α＝eq \f(1,2).∴k＋α＝eq \f(3,2).
3.如图是①y＝xa；②y＝xb；③y＝xc在第一象限的图象，则a，b，c的大小关系为( )
A．cB．aC．bD．a答案 D
4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0,3])的值域为________．
答案 [－1,3]
解析 由g(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，
得g(x)在[0,1]上是减函数，
在[1,3]上是增函数，
所以g(x)min＝g(1)＝－1，
因为g(0)＝0，g(3)＝3，
所以g(x)在x∈[0,3]上的值域为[－1,3]．
题组三 易错自纠
5．幂函数(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 C
解析 因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，
(a∈Z)为偶函数，
且在区间(0，＋∞)上是减函数，
所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，
又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.
6．函数y＝x2－ax＋1在区间[－1,2]内单调，则实数a的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]∪[4，＋∞)
解析 函数y＝x2－ax＋1的对称轴为x＝eq \f(a,2)，
则eq \f(a,2)≤－1或eq \f(a,2)≥2，解得a≤－2或a≥4.
题型一 幂函数的图象与性质
1．若幂函数的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(1,4)))，则它的单调递增区间是( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
答案 D
解析 设f(x)＝xα，则2α＝eq \f(1,4)，α＝－2，即f(x)＝x－2，它是偶函数，单调递增区间是(－∞，0)．故选D.
2．已知幂函数(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上单调递减，则n的值为( )
A．－3 B．1 C．2 D．1或2
答案 B
解析 由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1符合题意，故选B.
3．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为( )
A．－1C．－1答案 D
解析 幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．
不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1综上可知，－14．若，则实数a的取值范围是____________．
答案 (－∞，－1)∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(3,2)))
解析 不等式等价于a＋1>3－2a>0或3－2a思维升华 (1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α<0,0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．
(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．
题型二 求二次函数的解析式
例1 (1)函数f(x)满足下列性质：①定义域为R，值域为[1，＋∞)；②图象关于x＝2对称；③对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0.请写出函数f(x)的一个解析式________．(只要写出一个即可)
答案 f(x)＝x2－4x＋5(答案不唯一)
解析 由二次函数的对称性、值域及单调性可得f(x)的解析式可以为f(x)＝(x－2)2＋1，
此时f(x)图象的对称轴为x＝2，开口向上，满足②，
因为对任意x1，x2∈(－∞，0)，且x1≠x2，都有eq \f(fx1－fx2,x1－x2)<0，
等价于f(x)在(－∞，0)上单调递减，
∴f(x)＝(x－2)2＋1满足③，
又f(x)＝(x－2)2＋1≥1，满足①，
故f(x)的解析式可以为f(x)＝x2－4x＋5.
(2)已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
答案 f(x)＝x2－4x＋3
解析 ∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
思维升华 求二次函数解析式的方法
跟踪训练1 (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R，若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，则f(x)＝________.
答案 x2＋2x＋1
解析 设函数f(x)的解析式为f(x)＝a(x＋1)2＝ax2＋2ax＋a，由已知f(x)＝ax2＋bx＋1，
所以a＝1，b＝2a＝2，
故f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)二次函数f(x)满足f(2)＝f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________.
答案 －4x2＋4x＋7
解析 方法一 (利用一般式)
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＋2b＋c＝－1，,a－b＋c＝－1，,\f(4ac－b2,4a)＝8，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－4，,b＝4，,c＝7.))
所以所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
方法二 (利用顶点式)
因为f(2)＝f(－1)，
所以抛物线的对称轴为直线x＝eq \f(2＋－1,2)＝eq \f(1,2).
又根据题意函数有最大值8，
所以f(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8.
因为f(2)＝－1，
所以aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2－\f(1,2)))2＋8＝－1，
解得a＝－4，
所以f(x)＝－4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋8＝－4x2＋4x＋7.
题型三 二次函数的图象和性质
命题点1 二次函数的图象
例2 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示．则下列结论正确的是________．
①b2>4ac；②c>0；③ac>0；④b<0；⑤a－b＋c<0.
答案 ①②⑤
解析 由题图知，a<0，－eq \f(b,2a)>0，c>0，∴b>0，ac<0，故②正确，③④错误．又函数图象与x轴有两交点，∴Δ＝b2－4ac>0，故①正确；又由题图知f(－1)<0，即a－b＋c<0，故⑤正确．
命题点2 二次函数的单调性
例3 函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．[－3,0) B．(－∞，－3]
C．[－2,0] D．[－3,0]
答案 D
解析 当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．
当a≠0时，f(x)的对称轴为直线x＝eq \f(3－a,2a)，
由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(3－a,2a)≤－1，))
解得－3≤a<0.
综上，a的取值范围为[－3,0]．
若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1的单调递减区间是[－1，＋∞)，则a＝________.
答案 －3
解析 由题意知f(x)必为二次函数且a<0，
又eq \f(3－a,2a)＝－1，∴a＝－3.
命题点3 二次函数的值域、最值
例4 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a的值．
解 f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.
(1)当a＝0时，函数f(x)在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；
(2)当a>0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝eq \f(3,8)；
(3)当a<0时，函数f(x)在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.
综上可知，a的值为eq \f(3,8)或－3.
思维升华 解决二次函数图象与性质问题时要注意：
(1)抛物线的开口方向，对称轴位置，定义区间三者相互制约，要注意分类讨论．
(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上的二次函数最值问题，先“定性”(作草图)，再“定量”(看图求解)．
(3)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动．无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论．
跟踪训练2 (1)一次函数y＝ax＋b(a≠0)与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是( )
答案 C
解析 若a>0，则一次函数y＝ax＋b为增函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，故可排除A；若a<0，一次函数y＝ax＋b为减函数，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，故可排除D；对于选项B，看直线可知a>0，b>0，从而－eq \f(b,2a)<0，而二次函数的对称轴在y轴的右侧，故应排除B，选C.
(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的最小值为f(1)，则f(eq \r(2))，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))，f(eq \r(3))的大小关系是( )
A．f(eq \r(2))B．f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))C．f(eq \r(3))D．f(eq \r(2))答案 D
解析 由已知可得二次函数f(x)图象的开口向上，对称轴为直线x＝1，
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)－1))>|eq \r(3)－1|>|eq \r(2)－1|，
∴f(eq \r(2))(3)设函数f(x)＝x2－2x＋2，x∈[t，t＋1]，t∈R，求函数f(x)的最小值．
解 f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，函数图象的对称轴为直线x＝1.
当t＋1≤1，即t≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为减函数，
所以最小值为f(t＋1)＝t2＋1；
当t<1当t≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增函数，
所以最小值为f(t)＝t2－2t＋2.
综上可知，当t≤0时，f(x)min＝t2＋1，当0题型四 二次函数的恒成立问题
例5 (1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2)))
解析 由题意知2ax2＋2x－3<0在[－1,1]上恒成立．
当x＝0时，－3<0，符合题意，a∈R；
当x≠0时，a因为eq \f(1,x)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，
所以当x＝1时，不等号右边式子取最小值eq \f(1,2)，
所以a综上，实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(1,2))).
(2)函数f(x)＝a2x＋3ax－2(a>1)，若在区间[－1,1]上f(x)≤8恒成立，则实数a的最大值为________．
答案 2
解析 令ax＝t，因为a>1，x∈[－1,1]，所以eq \f(1,a)≤t≤a，
原函数化为g(t)＝t2＋3t－2，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))，
显然g(t)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,a)，a))上单调递增，
所以f(x)≤8恒成立，即g(t)max＝g(a)≤8成立，
所以有a2＋3a－2≤8，解得－5≤a≤2，
又a>1，所以1所以a的最大值为2.
思维升华 不等式恒成立求参数范围，一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数，直接求最值．这两个思路，最后都是转化为求函数的最值问题．
跟踪训练3 已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．
答案 (－∞，－eq \r(2))
解析 由题意知f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)>f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t>2m＋mt2对任意实数t恒成立，
∴mt2＋4t＋2m<0对任意实数t恒成立⇒eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m<0，,Δ＝16－8m2<0))⇒m∈(－∞，－eq \r(2))．
课时精练
1．若f(x)是幂函数，且满足eq \f(f4,f2)＝3，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))等于( )
A．3 B．－3 C.eq \f(1,3) D．－eq \f(1,3)
答案 C
解析 设f(x)＝xα，则eq \f(4α,2α)＝2α＝3，
∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))α＝eq \f(1,3).
2．函数的图象是( )
答案 B
解析 由函数图象上的特殊点(1,1)，可排除A，D；由特殊点(8,2)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,8)，\f(1,2)))，可排除C，故选B.
3．若幂函数在(0，＋∞)上为增函数，则m的值为( )
A．1或3 B．1 C．3 D．2
答案 B
解析 由题意得m2－4m＋4＝1，m2－6m＋8>0，
解得m＝1.
4．已知a，b，c∈R，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若f(0)＝f(4)>f(1)，则( )
A．a>0,4a＋b＝0 B．a<0,4a＋b＝0
C．a>0,2a＋b＝0 D．a<0,2a＋b＝0
答案 A
解析 由f(0)＝f(4)，得f(x)＝ax2＋bx＋c图象的对称轴为直线x＝－eq \f(b,2a)＝2，∴4a＋b＝0，
又f(0)>f(1)，f(4)>f(1)，
∴f(x)先减后增，于是a>0，故选A.
5．(多选)(2020·河南省实验中学质检)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为( )
A．0 B．[－3,0]
C．3 D．－3
答案 AD
解析 依题意，得Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，
则m＝0或m＝－3.∴实数m的取值范围是{0，－3}．
6．(多选)若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值可以是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 CD
解析 二次函数y＝kx2－4x＋2图象的对称轴为直线x＝eq \f(2,k)，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需eq \f(2,k)≤1，解得k≥2；当k<0时，eq \f(2,k)<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符合要求．综上可得实数k的取值范围是[2，＋∞)．
7．已知α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3))，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________.
答案 －1
解析 ∵α∈eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－2，－1，－\f(1,2)，\f(1,2)，1，2，3))，
幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，
∴α是奇数，且α<0，∴α＝－1.
8．已知函数f(x)＝4x2＋kx－8在[－1,2]上不单调，则实数k的取值范围是________．
答案 (－16,8)
解析 函数f(x)＝4x2＋kx－8的对称轴为直线x＝－eq \f(k,8)，则－1<－eq \f(k,8)<2，
解得－169．已知函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，且满足f(－x)＝f(－1＋x)，则函数f(x)在[－1,3]上的值域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，12))
解析 因为函数f(x)＝x2＋ax＋b的图象过坐标原点，
所以f(0)＝0，所以b＝0.
因为f(－x)＝f(－1＋x)，
所以函数f(x)的图象的对称轴为直线x＝－eq \f(1,2)，
所以a＝1，所以f(x)＝x2＋x＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))2－eq \f(1,4)，
由f(x)的图象知，x∈[－1,3]时，f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－eq \f(1,4)，f(x)max＝f(3)＝12.
故f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，12)).
10．已知函数f(x)＝x2＋mx－1，若对于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)<0成立，则实数m的取值范围是_____________________________________________________________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，0))
解析 因为函数图象开口向上，
所以根据题意只需满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fm＝m2＋m2－1<0，,fm＋1＝m＋12＋mm＋1－1<0，))
解得－eq \f(\r(2),2)11．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)．
(1)若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式；
(2)在(1)的条件下，当x∈[3,5]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围．
解 (1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1，所以b＝2a.
因为方程f(x)＝0有且只有一个根，
所以Δ＝b2－4a＝0.
所以4a2－4a＝0，所以a＝1，b＝2.
所以f(x)＝x2＋2x＋1.
(2)g(x)＝f(x)－kx＝x2＋2x＋1－kx
＝x2－(k－2)x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(k－2,2)))2＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(k－2,2)))2.
由g(x)的图象知，要满足题意，
则eq \f(k－2,2)≥5或eq \f(k－2,2)≤3，即k≥12或k≤8，
所以所求实数k的取值范围为(－∞，8]∪[12，＋∞)．
12．已知函数f(x)＝x2＋(2a－1)x－3.
(1)当a＝2，x∈[－2,3]时，求函数f(x)的值域；
(2)若函数f(x)在[－1,3]上的最大值为1，求实数a的值．
解 (1)当a＝2时，f(x)＝x2＋3x－3，x∈[－2,3]，
函数图象的对称轴为直线x＝－eq \f(3,2)∈[－2,3]，
∴f(x)min＝f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)))＝eq \f(9,4)－eq \f(9,2)－3＝－eq \f(21,4)，
f(x)max＝f(3)＝15，
∴f(x)的值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(21,4)，15)).
(2)函数图象的对称轴为直线x＝－eq \f(2a－1,2).
①当－eq \f(2a－1,2)≤1，即a≥－eq \f(1,2)时，f(x)max＝f(3)＝6a＋3，
∴6a＋3＝1，即a＝－eq \f(1,3)，满足题意；
②当－eq \f(2a－1,2)>1，
即a<－eq \f(1,2)时，
f(x)max＝f(－1)＝－2a－1，
∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意．
综上可知，a＝－eq \f(1,3)或－1.
13.幂函数y＝xα，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线(如图)，设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y＝xa，y＝xb的图象三等分，即有BM＝MN＝NA，那么a－eq \f(1,b)等于( )
A．0 B．1 C.eq \f(1,2) D．2
答案 A
解析 由BM＝MN＝NA，点A(1,0)，B(0,1)，
∴Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)))，Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，\f(1,3)))，
将两点坐标分别代入y＝xa，y＝xb，
得
∴.
14．若函数y＝x2－3x－4的定义域为[0，m]，值域为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(25,4)，－4))，则m的取值范围是________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3))
解析 二次函数图象的对称轴为x＝eq \f(3,2)，且f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))＝－eq \f(25,4)，f(3)＝f(0)＝－4，结合函数图象(如图所示)，
可得m∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，3)).
15．(2020·上海复兴高级中学期中)对于问题：当x>0时，均有[(a－1)x－1](x2－ax－1)≥0，求实数a的所有可能值．几位同学提供了自己的想法．
甲：解含参不等式，其解集包含正实数集；
乙：研究函数y＝[(a－1)x－1](x2－ax－1)；
丙：分别研究两个函数y1＝(a－1)x－1与y2＝x2－ax－1；
丁：尝试能否参变量分离研究最值问题．
你可以选择其中某位同学的想法，也可以用自己的想法，可以得出的正确答案为________．
答案 eq \f(3,2)
解析 选丙．画出y2＝x2－ax－1的草图，y2＝x2－ax－1过定点C(0，－1)．
∴y2＝x2－ax－1与x轴有两个交点，且两交点在原点两侧，
又y1＝(a－1)x－1也过定点C(0，－1)，
故直线y1＝(a－1)x－1只有过点A，C才满足题意，
∴a－1>0，即a>1，令y1＝0得x＝eq \f(1,a－1)，
将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a－1)，0))代入y2＝x2－ax－1＝0，
解得a＝0(舍)或a＝eq \f(3,2).
16．是否存在实数a∈[－2,1]，使函数f(x)＝x2－2ax＋a的定义域为[－1,1]时，值域为[－2,2]？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
解 f(x)＝(x－a)2＋a－a2，
当－2≤a<－1时，f(x)在[－1,1]上为增函数，
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1＝－2，,f1＝2，))得a＝－1(舍去)；
当－1≤a≤0时，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fa＝－2，,f1＝2，))得a＝－1；
当0综上可得，存在实数a满足条件，且a＝－1.函数
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x－1
图象
性
质
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
单调性
在R上单调递增
在(－∞，0]上单调递减；在(0，＋∞)上单调递增
在R上单调递增
在[0，＋∞)上单调递增
在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减
公共点
(1,1)
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
图象
定义域
R
R
值域
eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4ac－b2,4a)，＋∞))
eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，\f(4ac－b2,4a)))
单调性
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递减；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递增
在x∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(b,2a)))上单调递增；
在x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，＋∞))上单调递减
对称性
函数的图象关于直线x＝－eq \f(b,2a)对称