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2021年河南省新乡市长垣县中考数学模拟试卷（word版 含答案）
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这是一份2021年河南省新乡市长垣县中考数学模拟试卷（word版 含答案），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省新乡市长垣县中考数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．2020年我国的嫦娥五号成功发射，首次在380000千米外的月球轨道上进行无人交会对接和样品转移，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．38×104 B．3.8×104 C．3.8×105 D．0.38×106
3．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a2） 3＝a5 D．3﹣＝3
5．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，派谁去参赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
9．如图，长方形ABCD中∠ACB＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（ ）
A．34° B．44° C．56° D．68°
10．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝1，AD＝2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第100次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：π0﹣|﹣2|＝ ．
12．不等式组的解集是 ．
13．不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
14．如图，等边△ABC边长为4，将△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（）÷（x﹣），其中x取最接近的整数．
17．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）请求出捐4册书和8册书的人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，捐6册书的圆心角为 度；
（3）本次捐赠图书册数的中位数为 册，众数为 册；
（4）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
18．如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，OD．
（1）求证：△OAC≌△ODC；
（2）①当∠OCA的度数为 时，四边形BOED为菱形；
②当∠OCA的度数为 时，四边形OACD为正方形．
19．一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距某岛屿（设N、M为该岛屿的东西两端点）最近距离为15海里（即MC＝15海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东62°方向（其中N、M、C在同一条直线上），求该岛屿东西两端点MN之间的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.87）
20．某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
21．二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AD⊥x轴交直线BC于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）M（m，0）为线段AB上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E、F．直线AE与直线BC交于点G，当＝时，求m值．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
（1）a＝ ，k＝ ；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
23．（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①线段AD，BE之间的数量关系为 ；
②∠AEB的度数为 ．
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝，且∠BPD＝90°，请直接写出点C到直线BP的距离．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴所给的四个数中，最小的是﹣2．
故选：D．
2．2020年我国的嫦娥五号成功发射，首次在380000千米外的月球轨道上进行无人交会对接和样品转移，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．38×104 B．3.8×104 C．3.8×105 D．0.38×106
解：380000＝3.8×105．
故选：C．
3．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a2） 3＝a5 D．3﹣＝3
解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
C、（a2） 3＝a6，故此选项错误；
D、3﹣＝2，故此选项错误；
故选：A．
5．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
6．从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，派谁去参赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：∵S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2＜S丁2，
∴派丙去参赛更合适，
故选：C．
7．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
解：∵二次函数y＝（x+2）2+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
8．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
解：由新定义得（x+1）（x﹣1）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣2＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
9．如图，长方形ABCD中∠ACB＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（ ）
A．34° B．44° C．56° D．68°
解：如图，由作图可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC，
∴∠AOE＝90°，∠EAC＝∠ACB＝34°，
∴α＝∠AEO＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
10．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝1，AD＝2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第100次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝2，
∴CE＝BE＝2，
∴OE＝OB+BE＝3，
∴C（﹣2，3），
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，
则第2次旋转结束时，点C的坐标为（3，2）；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（2，﹣3）；
则第6次旋转结束时，点C的坐标为（﹣3，﹣2）；
则第8次旋转结束时，点C的坐标为（﹣2，3）；
…
发现规律：旋转8次一个循环，
∴100÷8＝12…4，
则第100次旋转结束时，点C的坐标为（2，﹣3）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：π0﹣|﹣2|＝ ﹣1 ．
解：原式＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．不等式组的解集是 ﹣1＜x≤3 ．
解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，
解不等式4x＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
13．不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
所以两次都摸到红球的概率为，
故答案为：．
14．如图，等边△ABC边长为4，将△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
解：∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴AC＝CD＝AC＝2，∠A＝60°，
又∵△A'B'C'是△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到，
∴A′D＝C′D＝AD＝CD＝2，∠A′＝60°，
∴△AA′D为等边三角形，
同理△CC′D，△AB′E，△BC′E也为等边三角形，边长都为2，
连接BD，B′D，ED，
∵△A'B'C'是△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到，
∴∠BDB′＝60°，
∴S阴＝S扇形BDB′﹣S△B′DE﹣S△BDE，
∵△ABC与△A′B′C′为等边三角形，D为AC，A′C中点，
∴BD⊥AC，B′D⊥A′C′，
∴BD＝B′D＝＝2，
S扇BDB′＝＝2π，
S△B′DE与S△BDE是底为DE，高的和为BB′＝AC′＝B′D＝2，
在△AED中，∠EAD＝60°，EA＝AD＝2，
∴△ADE为等边三角形，DE＝2，
∴S△B′DE+S△BDE＝×＝2，
∴S阴＝2π﹣2．
故答案为：2π﹣2．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP＝ 或 ．
【解答】解①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．
∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AC＝BD＝＝5．
根据折叠的性质得：PC⊥BB′，
∴∠PBD＝∠BCP，
∴△BCP∽△ABD，
∴，
即＝，
解得：BP＝．
②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．
根据折叠的性质得：BP＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，
∴∠AB′A＝90°，
∴△APB′∽△ACB，
∴，
即，
解得：BP＝．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（）÷（x﹣），其中x取最接近的整数．
解：原式＝
＝
＝，
∵x取最接近的整数，
∴x＝2，
把x＝2代入＝．
17．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）请求出捐4册书和8册书的人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，捐6册书的圆心角为 72 度；
（3）本次捐赠图书册数的中位数为 7 册，众数为 8 册；
（4）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
解：（1）该班学生总人数为12÷30%＝40（人），
捐书4册的人数为40×10%＝4（人），捐书8册的人数为40×35%＝14（人），
补全图形如下：
（2）在扇形统计图中，捐6册书的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）∵中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均为7册，
∴这组数据的中位数为7册，
∵数据8出现的次数最多，有14个，
∴众数为8册，
故答案为：7、8；
（4）估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数320×30%＝96（人）．
18．如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，OD．
（1）求证：△OAC≌△ODC；
（2）①当∠OCA的度数为 30° 时，四边形BOED为菱形；
②当∠OCA的度数为 45° 时，四边形OACD为正方形．
【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵BD∥OC，
∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠COD，
∵OA＝OD，OC＝OC，
∴△OAC≌△ODC（SAS）；
（2）①∵四边形BOED是菱形，
∴OB＝DB．
又∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB．
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD＝60°．
∵CO∥DB，
∴∠AOC＝60°，
∵射线AG为⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，
②∵四边形OADC是正方形，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ACO＝∠DCO，
∴∠OCA＝45°，
故答案为：30°，45°．
19．一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距某岛屿（设N、M为该岛屿的东西两端点）最近距离为15海里（即MC＝15海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东62°方向（其中N、M、C在同一条直线上），求该岛屿东西两端点MN之间的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.87）
解：由题意可知：AB＝4海里，∠CAM＝45°，∠CBN＝62°，∠ACN＝90°．
在Rt△ACM中，
∵MC＝15，∠CAM＝45°，
∴（海里），
∵AB＝4海里，
∴BC＝AC﹣AB＝15﹣4＝11（海里），
在Rt△BCND中，
∵∠CBN＝62°，
∴NC＝BC•tan∠CBN＝11•tan62°≈11×1.87＝20.57（海里），
∴MN＝NC﹣MC＝20.57﹣15＝5.57≈5.6（海里），
答：该岛屿东西两端点MN之间的距离为5.6海里．
20．某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．
由题意，得
解得
（2）①由题意，得w＝（2000﹣1500）a+（2400﹣1800）（50﹣a），
即w＝30000﹣100a，
又∵50﹣a≤3a∴a≥
∴w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a（a≥）；
②w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a，
∵k＝﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a只能取正整数，
∴当a＝13时，总利润w最大，最大利润w＝30000﹣100×13＝28700
50﹣a＝37
答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元
21．二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AD⊥x轴交直线BC于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）M（m，0）为线段AB上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E、F．直线AE与直线BC交于点G，当＝时，求m值．
解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点B（3，0），点C（0，3），
∵B（3，0）和C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，
∴点A（﹣1，0），
∵AD⊥x轴交直线BC于点D，
∴点D（﹣1，4），
∴AD＝4，
∵EM⊥x轴，AD⊥x轴，
∴EF∥AD，
∴△EFG∽△ADG，
∴，
∵EM⊥x轴交直线BC于点F，点M（m，0），
∴E（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3）．
①若点M在原点右侧，如图1，则EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，解得：m1＝1，m2＝2；
②若点M在原点左侧，如图2，则EF＝（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，
∴，解得：m3＝，m4＝（舍去）；
综上所述，m的值为1或2或．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
（1）a＝ 3 ，k＝ 6 ；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．
①若PA＝OA，则区域W内有 5 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
∴a＝×2＝3，
∴点A（2，3），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝3×2＝6；
故答案为：3.6；
（2）①∵点P为射线OA上一点，且PA＝OA，
∴A为OP中点，
∵A（2，3），
∴点P的坐标为（4，6），
将x＝4代入y＝中，得y＝，
将y＝6代入y＝中，得x＝1，
∵PB，PC分别垂直于x轴和y轴，
∴B（4，），C（1，6），
如图，
结合函数图象可知，区域W内有5个整点，
故答案为：5；
②当点P在点A下方时，如图，
结合函数图象可知，当≤m＜1时，区域W内有5个整点；
当点P在点A上方时，如图，
结合函数图象可知，当时，区域W内有5个整点；
综上所述：当＜m≤4或≤m＜1，区域W内有5个整点．
23．（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①线段AD，BE之间的数量关系为 AD＝BE ；
②∠AEB的度数为 60° ．
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝，且∠BPD＝90°，请直接写出点C到直线BP的距离．
解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB＝AB，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠ADC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝120°＝∠CEB，
∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；
故答案为：①AD＝BE，②60°；
（2）∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∠BAC＝45°，，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴，∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠AED＝90°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝∠ADB﹣∠AED＝135°﹣90°＝45°，
故 ，∠BEC＝45°；
（3）∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图3，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，连接BP，过点C作CH⊥BP于H，过点D作DE⊥CH于E，
∵CD＝＝BC，∠BCD＝90°
∴BD＝2，
∵∠BPD＝90°
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠PHE＝∠PEH，
∴PH＝PE，∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，四边形PHED是矩形，
∴PH＝DE，
在△BCH和△CDE中，
，
∴△BCH≌△CDE，
∴BH＝CE，CH＝DE，
∴CH＝PH，
∵BP＝3，BC＝，
∴CH＝PH＝3﹣BH，
在Rt△CHB中，BC2＝CH2+BH2，
即（）2＝（3﹣BH）2+BH2，
解得：BH＝或．
∴点C到直线BP的距离为或．
2021年河南省新乡市长垣县中考数学模拟试卷
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．2020年我国的嫦娥五号成功发射，首次在380000千米外的月球轨道上进行无人交会对接和样品转移，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．38×104 B．3.8×104 C．3.8×105 D．0.38×106
3．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a2） 3＝a5 D．3﹣＝3
5．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
6．从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，派谁去参赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
8．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
9．如图，长方形ABCD中∠ACB＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（ ）
A．34° B．44° C．56° D．68°
10．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝1，AD＝2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第100次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：π0﹣|﹣2|＝ ．
12．不等式组的解集是 ．
13．不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
14．如图，等边△ABC边长为4，将△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP＝ ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（）÷（x﹣），其中x取最接近的整数．
17．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）请求出捐4册书和8册书的人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，捐6册书的圆心角为 度；
（3）本次捐赠图书册数的中位数为 册，众数为 册；
（4）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
18．如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，OD．
（1）求证：△OAC≌△ODC；
（2）①当∠OCA的度数为 时，四边形BOED为菱形；
②当∠OCA的度数为 时，四边形OACD为正方形．
19．一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距某岛屿（设N、M为该岛屿的东西两端点）最近距离为15海里（即MC＝15海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东62°方向（其中N、M、C在同一条直线上），求该岛屿东西两端点MN之间的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.87）
20．某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
21．二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AD⊥x轴交直线BC于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）M（m，0）为线段AB上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E、F．直线AE与直线BC交于点G，当＝时，求m值．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
（1）a＝ ，k＝ ；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．
①若PA＝OA，则区域W内有 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
23．（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①线段AD，BE之间的数量关系为 ；
②∠AEB的度数为 ．
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝，且∠BPD＝90°，请直接写出点C到直线BP的距离．
参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列四个数中，最小的是（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
解：∵﹣2＜﹣1＜0＜1，
∴所给的四个数中，最小的是﹣2．
故选：D．
2．2020年我国的嫦娥五号成功发射，首次在380000千米外的月球轨道上进行无人交会对接和样品转移，将380000用科学记数法表示为（ ）
A．38×104 B．3.8×104 C．3.8×105 D．0.38×106
解：380000＝3.8×105．
故选：C．
3．如图所示正三棱柱的主视图是（ ）
A． B． C． D．
解：如图所示正三棱柱的主视图是平行排列的两个矩形，
故选：B．
4．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2
C．（a2） 3＝a5 D．3﹣＝3
解：A、a2•a3＝a5，故此选项正确；
B、（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故此选项错误；
C、（a2） 3＝a6，故此选项错误；
D、3﹣＝2，故此选项错误；
故选：A．
5．如图，BD是四边形ABCD的对角线．若∠1＝∠2，∠ADC＝100°，则∠A等于（ ）
A．70° B．75° C．80° D．85°
解：∵∠1＝∠2，
∴AB∥CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
∵∠ADC＝100°，
∴∠A＝180°﹣100°＝80°，
故选：C．
6．从甲、乙、丙、丁中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成续都是90分，方差分别是S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，派谁去参赛更合适（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
解：∵S甲2＝3，S乙2＝2.6，S丙2＝2，S丁2＝3.6，
∴S丙2＜S乙2＜S甲2＜S丁2，
∴派丙去参赛更合适，
故选：C．
7．若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x+2）2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
解：∵二次函数y＝（x+2）2+k，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣2，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜2，
∴y2＜y1＜y3．
故选：D．
8．定义新运算“a※b”：对于任意实数a、b，都有a※b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，例4※2＝（4+2）（4﹣2）﹣1＝12﹣1＝11．则方程x※1＝x的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．只有一个实数根
解：由新定义得（x+1）（x﹣1）﹣1＝x，
整理得x2﹣x﹣2＝0，
∵△＝（﹣1）2﹣4×1×（﹣2）＝9＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
9．如图，长方形ABCD中∠ACB＝68°，请依据尺规作图的痕迹，求出∠α等于（ ）
A．34° B．44° C．56° D．68°
解：如图，由作图可知，EF垂直平分线段AC，AE平分∠DAC，
∴∠AOE＝90°，∠EAC＝∠ACB＝34°，
∴α＝∠AEO＝90°﹣34°＝56°，
故选：C．
10．如图，矩形ABCD的顶点A、B分别在x轴、y轴上，OA＝OB＝1，AD＝2，将矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，则第100次旋转结束时，点C的坐标为（ ）
A．（3，2） B．（2，﹣3） C．（﹣3，2） D．（﹣2，3）
解：如图，过点C作CE⊥y轴于点E，连接OC，
∵OA＝OB＝2，
∴∠ABO＝∠BAO＝45°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝45°，
∵BC＝AD＝2，
∴CE＝BE＝2，
∴OE＝OB+BE＝3，
∴C（﹣2，3），
∵矩形ABCD绕点O顺时针旋转，每次旋转45°，
则第2次旋转结束时，点C的坐标为（3，2）；
则第4次旋转结束时，点C的坐标为（2，﹣3）；
则第6次旋转结束时，点C的坐标为（﹣3，﹣2）；
则第8次旋转结束时，点C的坐标为（﹣2，3）；
…
发现规律：旋转8次一个循环，
∴100÷8＝12…4，
则第100次旋转结束时，点C的坐标为（2，﹣3）．
故选：B．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．计算：π0﹣|﹣2|＝ ﹣1 ．
解：原式＝1﹣2
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
12．不等式组的解集是 ﹣1＜x≤3 ．
解：解不等式3﹣x≥0，得：x≤3，
解不等式4x＞2（x﹣1），得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x≤3，
故答案为：﹣1＜x≤3．
13．不透明的袋子中装有2个红球和1个白球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率是 ．
解：画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有4种结果，
所以两次都摸到红球的概率为，
故答案为：．
14．如图，等边△ABC边长为4，将△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到△A'B'C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为 ．
解：∵△ABC为等边三角形，D为AC的中点，
∴AC＝CD＝AC＝2，∠A＝60°，
又∵△A'B'C'是△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到，
∴A′D＝C′D＝AD＝CD＝2，∠A′＝60°，
∴△AA′D为等边三角形，
同理△CC′D，△AB′E，△BC′E也为等边三角形，边长都为2，
连接BD，B′D，ED，
∵△A'B'C'是△ABC绕AC的中点D顺时针旋转60°得到，
∴∠BDB′＝60°，
∴S阴＝S扇形BDB′﹣S△B′DE﹣S△BDE，
∵△ABC与△A′B′C′为等边三角形，D为AC，A′C中点，
∴BD⊥AC，B′D⊥A′C′，
∴BD＝B′D＝＝2，
S扇BDB′＝＝2π，
S△B′DE与S△BDE是底为DE，高的和为BB′＝AC′＝B′D＝2，
在△AED中，∠EAD＝60°，EA＝AD＝2，
∴△ADE为等边三角形，DE＝2，
∴S△B′DE+S△BDE＝×＝2，
∴S阴＝2π﹣2．
故答案为：2π﹣2．
15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，点P是AB上（不含端点A，B）任意一点，把△PBC沿PC折叠，当点B′的对应点落在矩形ABCD的对角线上时，BP＝ 或 ．
【解答】解①点A落在矩形对角线BD上，如图1所示．
∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3
∴∠ABC＝90°，AC＝BD，
∴AC＝BD＝＝5．
根据折叠的性质得：PC⊥BB′，
∴∠PBD＝∠BCP，
∴△BCP∽△ABD，
∴，
即＝，
解得：BP＝．
②点A落在矩形对角线AC上，如图2所示．
根据折叠的性质得：BP＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，
∴∠AB′A＝90°，
∴△APB′∽△ACB，
∴，
即，
解得：BP＝．
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．先化简，再求值：（）÷（x﹣），其中x取最接近的整数．
解：原式＝
＝
＝，
∵x取最接近的整数，
∴x＝2，
把x＝2代入＝．
17．2020年为“扶贫攻坚”决胜之年．某校八年级（1）班的同学积极响应校团委号召，每位同学都向学校对口帮扶的贫困地区捐赠了图书．全班捐书情况如图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）请求出捐4册书和8册书的人数，并补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，捐6册书的圆心角为 72 度；
（3）本次捐赠图书册数的中位数为 7 册，众数为 8 册；
（4）该校八年级共有320名学生，估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数．
解：（1）该班学生总人数为12÷30%＝40（人），
捐书4册的人数为40×10%＝4（人），捐书8册的人数为40×35%＝14（人），
补全图形如下：
（2）在扇形统计图中，捐6册书的圆心角为360°×＝72°，
故答案为：72；
（3）∵中位数是第20、21个数据的平均数，而第20、21个数据均为7册，
∴这组数据的中位数为7册，
∵数据8出现的次数最多，有14个，
∴众数为8册，
故答案为：7、8；
（4）估计该校八年级学生本次捐赠图书为7册的学生人数320×30%＝96（人）．
18．如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，OD．
（1）求证：△OAC≌△ODC；
（2）①当∠OCA的度数为 30° 时，四边形BOED为菱形；
②当∠OCA的度数为 45° 时，四边形OACD为正方形．
【解答】（1）证明：∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵BD∥OC，
∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠COD，
∵OA＝OD，OC＝OC，
∴△OAC≌△ODC（SAS）；
（2）①∵四边形BOED是菱形，
∴OB＝DB．
又∵OD＝OB，
∴OD＝OB＝DB．
∴△OBD为等边三角形，
∴∠OBD＝60°．
∵CO∥DB，
∴∠AOC＝60°，
∵射线AG为⊙O的切线，
∴OA⊥AC，
∴∠OAC＝90°，
∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，
②∵四边形OADC是正方形，
∴∠ACD＝90°，
∵∠ACO＝∠DCO，
∴∠OCA＝45°，
故答案为：30°，45°．
19．一艘海监船从A点沿正北方向巡航，其航线距某岛屿（设N、M为该岛屿的东西两端点）最近距离为15海里（即MC＝15海里），在A点测得岛屿的西端点M在点A的东北方向，航行4海里后到达B点，测得岛屿的东端点N在点B的北偏东62°方向（其中N、M、C在同一条直线上），求该岛屿东西两端点MN之间的距离．（精确到0.1海里）（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan62°≈1.87）
解：由题意可知：AB＝4海里，∠CAM＝45°，∠CBN＝62°，∠ACN＝90°．
在Rt△ACM中，
∵MC＝15，∠CAM＝45°，
∴（海里），
∵AB＝4海里，
∴BC＝AC﹣AB＝15﹣4＝11（海里），
在Rt△BCND中，
∵∠CBN＝62°，
∴NC＝BC•tan∠CBN＝11•tan62°≈11×1.87＝20.57（海里），
∴MN＝NC﹣MC＝20.57﹣15＝5.57≈5.6（海里），
答：该岛屿东西两端点MN之间的距离为5.6海里．
20．某营业厅销售3部A型号手机和2部B型号手机的营业额为10800元，销售4部A型号手机和1部B型号手机的营业额为10400元．
（1）求每部A型号手机和B型号手机的售价；
（2）该营业厅计划一次性购进两种型号手机共50部，其中B型号手机的进货数量不超过A型号手机数量的3倍．已知A型手机和B型手机的进货价格分别为1500元/部和1800元/部，设购进A型号手机a部，这50部手机的销售总利润为W元．
①求W关于a的函数关系式；
②该营业厅购进A型号和B型号手机各多少部时，才能使销售总利润最大，最大利润为多少元？
解：（1）设每部A型号手机的售价为x元，每部B型号手机的售价为y元．
由题意，得
解得
（2）①由题意，得w＝（2000﹣1500）a+（2400﹣1800）（50﹣a），
即w＝30000﹣100a，
又∵50﹣a≤3a∴a≥
∴w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a（a≥）；
②w关于a的函数关系式为w＝30000﹣100a，
∵k＝﹣100＜0，
∴w随a的增大而减小，
又∵a只能取正整数，
∴当a＝13时，总利润w最大，最大利润w＝30000﹣100×13＝28700
50﹣a＝37
答：该营业厅购进A型号手机13部，B型号手机37部时，销售总利润最大，最大利润为28700元
21．二次函数y＝﹣x2+bx+c与x轴分别交于点A和点B，与y轴交于点C，直线BC的解析式为y＝﹣x+3，AD⊥x轴交直线BC于点D．
（1）求二次函数的解析式；
（2）M（m，0）为线段AB上一动点，过点M且垂直于x轴的直线与抛物线及直线BC分别交于点E、F．直线AE与直线BC交于点G，当＝时，求m值．
解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分别交于B、C两点，
∴点B（3，0），点C（0，3），
∵B（3，0）和C（0，3）在抛物线y＝﹣x2+bx+c上，
∴，解得，
∴二次函数的解析式为：y＝﹣x2+2x+3．
（2）∵二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B，
∴点A（﹣1，0），
∵AD⊥x轴交直线BC于点D，
∴点D（﹣1，4），
∴AD＝4，
∵EM⊥x轴，AD⊥x轴，
∴EF∥AD，
∴△EFG∽△ADG，
∴，
∵EM⊥x轴交直线BC于点F，点M（m，0），
∴E（m，﹣m2+2m+3），F（m，﹣m+3）．
①若点M在原点右侧，如图1，则EF＝（﹣m2+2m+3）﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∴，解得：m1＝1，m2＝2；
②若点M在原点左侧，如图2，则EF＝（﹣m+3）﹣（﹣m2+2m+3）＝m2﹣3m，
∴，解得：m3＝，m4＝（舍去）；
综上所述，m的值为1或2或．
22．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
（1）a＝ 3 ，k＝ 6 ；
（2）横，纵坐标都是整数的点叫做整点．点P（m，n）为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数y＝（x＞0）的图象于点B，C．由线段PB，PC和函数y＝（x＞0）的图象在点B，C之间的部分所围成的区域（不含边界）记为W．
①若PA＝OA，则区域W内有 5 个整点；
②若区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．
解：（1）∵直线l：y＝x与反比例函数y＝（x＞0）的图象交于点A（2，a）．
∴a＝×2＝3，
∴点A（2，3），
∵反比例函数y＝过点A，
∴k＝3×2＝6；
故答案为：3.6；
（2）①∵点P为射线OA上一点，且PA＝OA，
∴A为OP中点，
∵A（2，3），
∴点P的坐标为（4，6），
将x＝4代入y＝中，得y＝，
将y＝6代入y＝中，得x＝1，
∵PB，PC分别垂直于x轴和y轴，
∴B（4，），C（1，6），
如图，
结合函数图象可知，区域W内有5个整点，
故答案为：5；
②当点P在点A下方时，如图，
结合函数图象可知，当≤m＜1时，区域W内有5个整点；
当点P在点A上方时，如图，
结合函数图象可知，当时，区域W内有5个整点；
综上所述：当＜m≤4或≤m＜1，区域W内有5个整点．
23．（1）问题发现：
如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接BE．
①线段AD，BE之间的数量关系为 AD＝BE ；
②∠AEB的度数为 60° ．
（2）拓展探究：
如图2，△ACB和△AED均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，点B，D，E在同一直线上，连接CE，求的值及∠BEC的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形ABCD中，CD＝，若点P满足PD＝，且∠BPD＝90°，请直接写出点C到直线BP的距离．
解：（1）①∵△ACB和△DCE均为等边三角形，
∴CA＝CB＝AB，CD＝CE＝DE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD＝∠BCE，
在△CDA和△CEB中，
，
∴△CDA≌△CEB（SAS），
∴AD＝BE；
②∵△CDA≌△CEB，
∴∠CEB＝∠ADC，
∵∠CDE＝60°，
∴∠ADC＝120°＝∠CEB，
∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°；
故答案为：①AD＝BE，②60°；
（2）∵△ACB和△AED均为等腰直角三角形，
∴∠DAE＝∠ADE＝45°，∠BAC＝45°，，
∴∠DAE﹣∠CAD＝∠BAC﹣∠CAD，即∠CAE＝∠BAD，
∴△CAE∽△BAD，
∴，∠AEC＝∠ADB，
∵∠ADE＝45°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣45°＝135°，
∵∠AED＝90°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝∠ADB﹣∠AED＝135°﹣90°＝45°，
故 ，∠BEC＝45°；
（3）∵点P满足PD＝，
∴点P在以D为圆心，为半径的圆上，
∵∠BPD＝90°，
∴点P在以BD为直径的圆上，
∴如图3，点P是两圆的交点，若点P在BD上方，连接BP，过点C作CH⊥BP于H，过点D作DE⊥CH于E，
∵CD＝＝BC，∠BCD＝90°
∴BD＝2，
∵∠BPD＝90°
∴BP＝＝3，
∵∠BPD＝90°＝∠PHE＝∠PEH，
∴PH＝PE，∠1+∠3＝90°，∠2+∠3＝90°，
∴∠1＝∠2，四边形PHED是矩形，
∴PH＝DE，
在△BCH和△CDE中，
，
∴△BCH≌△CDE，
∴BH＝CE，CH＝DE，
∴CH＝PH，
∵BP＝3，BC＝，
∴CH＝PH＝3﹣BH，
在Rt△CHB中，BC2＝CH2+BH2，
即（）2＝（3﹣BH）2+BH2，
解得：BH＝或．
∴点C到直线BP的距离为或．
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