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2021年湖南省永州市中考模拟数学试卷（四）（word版 含答案）
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这是一份2021年湖南省永州市中考模拟数学试卷（四）（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。
2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（四）
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．若等式0□1＝﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．下列说法正确的是（ ）
A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
B．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6
C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D．一组数据1，2，3，4，5的方差是10
3．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11
C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
5．下列运算正确的是（ ）
A．π﹣3.14＝0 B．+＝ C．a•a＝2a D．a3÷a＝a2
6．求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52021的值为（ ）
A．52021﹣1 B．52022﹣1 C． D．
7．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5
8．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
二.填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）不等式3+2x＞5的解集是 ．
12．（3分）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
13．（3分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝ cm．
14．（3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝ 度．
15．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．
16．（3分）方程x2﹣3x+1＝0的解是 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为 cm．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
三.解答题（共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2017﹣）0+；
（2）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x＝．
20．（8分）已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
21．（9分）某中学为了了解八年级学生体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
22．（7分）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG＝DC．
24．（10分）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
25．（10分）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝，由弧长l＝，得S扇形＝＝••R＝lR．通过观察，我们发现S扇形＝lR类似于S三角形＝×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形＝×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
26．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣1．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m＝﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．若等式0□1＝﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：∵0﹣1＝﹣1，
∴□内的运算符号为﹣．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
B．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6
C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D．一组数据1，2，3，4，5的方差是10
【分析】根据调查方式对A进行判断；根据中位数的定义对B进行判断；根据样本容量的定义对C进行判断；通过方差公式计算可对D进行判断．
【解答】解：A、了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，所以A选项错误；
B、数据3，6，6，7，9的中位数为6，所以B选项正确；
C、从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为200，所以C选项错误；
D、一组数据1，2，3，4，5的方差是2，所以D选项错误．
故选：B．
3．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从上面看共有3列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1，
故选：C．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11
C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；
B、∵11﹣5＝6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
C、∵3+4＝7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
D、∵4a+4a＝8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．π﹣3.14＝0 B．+＝ C．a•a＝2a D．a3÷a＝a2
【分析】根据是数的运算，可判断A，根据二次根式的加减，可判断B，根据同底数幂的乘法，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解；A、π≠3.14，故A错误；
B、被开方数不能相加，故B错误；
C、底数不变指数相加，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
6．求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52021的值为（ ）
A．52021﹣1 B．52022﹣1 C． D．
【分析】底数为2时，两边同时乘以2，当底数为5时，两边同时乘以5，然后两个式子相减即可．
【解答】解：根据题目给出的方法，
令T＝1+5+52+53+…+52021，
则5T＝5+52+53+…+52022，
∴5T﹣T＝52022﹣1，
∴T＝，
故选：C．
7．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5
【分析】根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案．
【解答】解：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝3，
∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠ADB，∠ADB＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠CBD，∠C＝2∠DBC．
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
BC＝2DC＝2×3＝6．
∵EF是梯形中位线，
∴MF是三角形BCD的中位线，
∴MF＝BC＝6＝3，
故选：B．
8．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．
【解答】解：①若d＞5时，直线与圆相离，则m＝0，故正确；
②若d＝5时，直线与圆相离，则m＝1，故正确；
③若1＜d＜5，则m＝2，故错误；
④若d＝1时，直线与圆相交，则m＝3，故错误；
⑤若d＜1时，直线与圆相交，则m＝4，故正确．
故选：C．
9．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题目所给的图示可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，出发0.5小时之内，甲的速度小于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度小于甲的速度，出发1.5小时之后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，再利用函数图象横坐标，得出甲先到达终点．
【解答】解：在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；
由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；
甲的图象的解析式为y＝10x，乙AB段图象的解析式为y＝4x+6，因此出发1.5小时后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，甲的行程比乙多3千米，故③正确；
甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确．
故选：C．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出＝，可解得DE的长，由AE＝AD﹣DE求解即可得出答案．
【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴＝，即＝，
解得DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝5﹣＝2.8．
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）不等式3+2x＞5的解集是 x＞1 ．
【分析】根据解不等式的一般步骤：移项，合并同类项，系数化1，得出即可．
【解答】解：移项，得：2x＞5﹣3，
即2x＞2，
系数化1，得：x＞1．
不等式组的解集为：x＞1．
故答案为：x＞1．
12．（3分）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
13．（3分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝ 8 cm．
【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由垂径定理，
AC＝AB＝12cm．
由半径相等，得
OA＝OD＝13cm．
由勾股定理，得
OC＝＝＝5．
由线段的和差，得
CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，
故答案为：8．
14．（3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝ 52 度．
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝102°，
∴∠DAC＝102°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+102°﹣＝180°，
解得：α＝52°．
故答案为：52．
15．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ＜a＜﹣2 ．
【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根
∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴﹣1，
∴a，
且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案为：＜a＜﹣2．
16．（3分）方程x2﹣3x+1＝0的解是 x1＝，x2＝ ．
【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．
【解答】解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，
b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，
x＝；
∴x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为 6 cm．
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，由C′E⊥AD，可得四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，根据矩形的性质可得EG和FG的长，再根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：如图所示：
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处，C′E⊥AD，
∴四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，
∴EG＝FG＝AB＝6cm，
∴在Rt△EGF中，EF＝＝6cm．
故答案为：6cm．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
【分析】首先根据＝设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，然后利用勾股定理得到AC＝a，然后根据射影定理得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC从而求得CE＝，AE＝，得到＝，利用△CEF∽△AEB，求得＝（）2＝．
【解答】解：∵＝，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
∴a2＝CE•a，2a2＝AE•a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
三.解答题（共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2017﹣）0+；
（2）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x＝．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根的定义进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣3×+1+2
＝1﹣+1+2
＝2+；
（2）（x+3）（x﹣3）+2（x2+4）
＝x2﹣9+2x2+8
＝3x2﹣1，
当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝6﹣1＝5．
20．（8分）已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系求出＝4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案．
【解答】解：①∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，
∴2m＞n，
又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×，
∴4m2＞n2，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
②由题意得|x1﹣x2|＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，
由韦达定理得：x1+x2＝2m，x1x2＝，
∴（2m）2﹣4×＝64，即＝4，
∵等腰三角形的面积是16，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝．
∴AD＝＝，
∴＝16，
∴n＝8，
代入＝4，
解得m＝4，
∴m＝4，n＝8．
21．（9分）某中学为了了解八年级学生体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
【分析】（1）用A等级的人数÷A等级的百分比，即可解答；
（2）用总人数﹣A等级的人数﹣B等级的人数﹣D等级的人数，即可得到C等级的学生数；
（3）根据用样本估计总体，即可解答．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名）．
答：本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）50﹣10﹣20﹣4＝16（名）．
答：测试结果为C等级的学生有16名；
如图所示：
（3）700×＝56（名）．
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名．
22．（7分）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【分析】（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为的等腰三角形即可；
（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形；
（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
【解答】解：（1）如图①，符合条件的C点有5个：
；
（2）如图②，正方形ABCD即为满足条件的图形：
；
（3）如图③，边长为的正方形ABCD的面积最大．
．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG＝DC．
【分析】先根据平行四边形的性质得到∠B＝∠D，AB＝CD，再利用垂直的定义得∠AEB＝∠GFD＝90°，于是可根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，根据全等的性质得AB＝DC，所以有DG＝DC．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠AEB＝∠GFD＝90°，
在△AEB和△GFD中，
，
∴△AEB≌△GFD，
∴AB＝DG，
∴DG＝DC．
24．（10分）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
【分析】（1）根据点A和点E的坐标求得直线AE的解析式，然后设出点D的纵坐标，代入直线AE的解析式即可求得点D的坐标，从而求得k值；
（2）根据中心对称的性质得到阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积即可．
【解答】解：（1）∵A（3，5）、E（﹣2，0），
∴设直线AE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝x+2，
∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，
∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），
∵CD∥y轴，
∴设点D的坐标为（﹣3，a），
∴a＝﹣3+2＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
∵反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象经过点D，
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；
（2）如图：
∵点A和点C关于原点对称，
∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，
∴S阴影＝4×3＝12．
25．（10分）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝，由弧长l＝，得S扇形＝＝••R＝lR．通过观察，我们发现S扇形＝lR类似于S三角形＝×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形＝×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果即可；
（2）求出l1+l2＝40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．
【解答】（1）S扇环＝（l1+l2）h，
证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由弧长公式得：R＝，r＝
所以图中扇环的面积S＝×l1×R﹣×l2×r
＝l1•﹣l2•
＝（l12﹣l22）
＝（l1+l2）（l1﹣l2）
＝••（R﹣r）（l1+l2）
＝（l1+l2）（R﹣r）
＝（l1+l2）h，
故猜想正确．
（2）解：根据题意得：l1+l2＝40﹣2h，
则S扇环＝（l1+l2）h
＝（40﹣2h）h
＝﹣h2+20h
＝﹣（h﹣10）2+100
∵﹣1＜0，
∴开口向下，有最大值，
当h＝10时，最大值是100，
即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．
26．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣1．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m＝﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
【分析】（1）利用配方法得到y＝（x﹣m）2+m﹣1，点P（m，m﹣1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；
（2）当m＝﹣3时，抛物线解析式为y＝x2+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（﹣5，0），易得C（0，5），联立抛物线与直线方程可求出P，Q两点坐标，作MN⊥y轴于N，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CMN∽Rt△PAF，利用比例线段可求出点M横坐标，则M点坐标可求出；
（3）联立原抛物线方程y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1和y＝x﹣1，可得P（m，m﹣1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ2＝2，OQ2＝2m2+2m+1，OP2＝2m2﹣2m+1，然后分类讨论：当PQ＝OQ时，2m2+2m+1＝2；当PQ＝OP时，2m2﹣2m+1＝2；当OP＝OQ时，2m2+2m+1＝2m2﹣2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可．
【解答】（1）证明：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点P的坐标为（m，m﹣1），
∵当x＝m时，y＝x﹣1＝m﹣1，
∴点P在直线l上；
∴，解得：或，
则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），
作MN⊥y轴于N，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，
∵OA＝OC＝5，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∴∠MCN＝45°﹣∠ACM，
∵QG＝3，OG＝2，
∴AG＝OA﹣OG＝3＝QG，
∴△AQG为等腰直角三角形，
∴∠QAG＝45°，
∵∠APF＝90°﹣∠PAF＝90°﹣（∠PAQ+45°）＝45°﹣∠PAQ，
∵∠ACM＝∠PAQ，
∴∠APF＝∠MCN，
∴Rt△CMN∽Rt△PAF，
∴
设M（x，x2+6x+5），
∴MN＝﹣x，CN＝5﹣（x2+6x+5）＝﹣x2﹣6x，
∴，
整理得x2+4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝﹣4，
∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）；
（3）解：解方程组，得，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m），
∴PQ2＝（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2＝2，OQ2＝（m+1）2+m2＝2m2+2m+1，OP2＝m2+（m﹣1）2＝2m2﹣2m+1，
当PQ＝OQ时，2m2+2m+1＝2，解得：，，
当PQ＝OP时，2m2﹣2m+1＝2，解得：，，
当OP＝OQ时，2m2+2m+1＝2m2﹣2m+1，解得m＝0，
综上所述，m的值为，0．
2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（四）
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．若等式0□1＝﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
2．下列说法正确的是（ ）
A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
B．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6
C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D．一组数据1，2，3，4，5的方差是10
3．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11
C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
5．下列运算正确的是（ ）
A．π﹣3.14＝0 B．+＝ C．a•a＝2a D．a3÷a＝a2
6．求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52021的值为（ ）
A．52021﹣1 B．52022﹣1 C． D．
7．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5
8．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
9．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
二.填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）不等式3+2x＞5的解集是 ．
12．（3分）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 ．
13．（3分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝ cm．
14．（3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝ 度．
15．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ．
16．（3分）方程x2﹣3x+1＝0的解是 ．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为 cm．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
三.解答题（共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2017﹣）0+；
（2）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x＝．
20．（8分）已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
21．（9分）某中学为了了解八年级学生体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
22．（7分）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG＝DC．
24．（10分）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
25．（10分）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝，由弧长l＝，得S扇形＝＝••R＝lR．通过观察，我们发现S扇形＝lR类似于S三角形＝×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形＝×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
26．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣1．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m＝﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
2021年湖南省永州市中考数学模拟试卷（四）
参考答案与试题解析
一．选择题（每小题4分，共40分）
1．若等式0□1＝﹣1成立，则□内的运算符号为（ ）
A．+ B．﹣ C．× D．÷
【分析】根据有理数的减法运算法则进行计算即可得解．
【解答】解：∵0﹣1＝﹣1，
∴□内的运算符号为﹣．
故选：B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．了解飞行员视力的达标率应使用抽样调查
B．一组数据3，6，6，7，9的中位数是6
C．从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为2000
D．一组数据1，2，3，4，5的方差是10
【分析】根据调查方式对A进行判断；根据中位数的定义对B进行判断；根据样本容量的定义对C进行判断；通过方差公式计算可对D进行判断．
【解答】解：A、了解飞行员视力的达标率应使用全面调查，所以A选项错误；
B、数据3，6，6，7，9的中位数为6，所以B选项正确；
C、从2000名学生中选200名学生进行抽样调查，样本容量为200，所以C选项错误；
D、一组数据1，2，3，4，5的方差是2，所以D选项错误．
故选：B．
3．如图所示的几何体是由五个小正方体组合而成的，它的俯视图是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在主视图中．
【解答】解：从上面看共有3列，从左到右小正方形的个数分别为2、1、1，
故选：C．
4．下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ）
A．5，6，10 B．5，6，11
C．3，4，8 D．4a，4a，8a（a＞0）
【分析】根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：A、∵10﹣5＜6＜10+5，∴三条线段能构成三角形，故本选项正确；
B、∵11﹣5＝6，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
C、∵3+4＝7＜8，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误；
D、∵4a+4a＝8a，∴三条线段不能构成三角形，故本选项错误．
故选：A．
5．下列运算正确的是（ ）
A．π﹣3.14＝0 B．+＝ C．a•a＝2a D．a3÷a＝a2
【分析】根据是数的运算，可判断A，根据二次根式的加减，可判断B，根据同底数幂的乘法，可判断C，根据同底数幂的除法，可判断D．
【解答】解；A、π≠3.14，故A错误；
B、被开方数不能相加，故B错误；
C、底数不变指数相加，故C错误；
D、底数不变指数相减，故D正确；
故选：D．
6．求1+2+22+23+…+22021的值，可令S＝1+2+22+23+…+22021，则2S＝2+22+23+24+…+22022，因此2S﹣S＝22022﹣1．仿照以上推理，计算出1+5+52+53+…+52021的值为（ ）
A．52021﹣1 B．52022﹣1 C． D．
【分析】底数为2时，两边同时乘以2，当底数为5时，两边同时乘以5，然后两个式子相减即可．
【解答】解：根据题目给出的方法，
令T＝1+5+52+53+…+52021，
则5T＝5+52+53+…+52022，
∴5T﹣T＝52022﹣1，
∴T＝，
故选：C．
7．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝3，梯形中位线EF与对角线BD相交于点M，且BD⊥CD，则MF的长为（ ）
A．1.5 B．3 C．3.5 D．4.5
【分析】根据等腰梯形的性质，可得∠ABC与∠C的关系，∠ABD与∠ADB的关系，根据等腰三角形的性质，可得∠ABD与∠ADB的关系，根据直角三角形的性质，可得BC的长，再根据三角形的中位线，可得答案．
【解答】解：已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD＝AD＝3，
∴∠ABC＝∠C，∠ABD＝∠ADB，∠ADB＝∠DBC．
∴∠ABD＝∠CBD，∠C＝2∠DBC．
∵BD⊥CD，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC＝∠C＝30°，
BC＝2DC＝2×3＝6．
∵EF是梯形中位线，
∴MF是三角形BCD的中位线，
∴MF＝BC＝6＝3，
故选：B．
8．已知⊙O的半径r＝3，设圆心O到一条直线的距离为d，圆上到这条直线的距离为2的点的个数为m，给出下列命题：
①若d＞5，则m＝0；②若d＝5，则m＝1；③若1＜d＜5，则m＝3；④若d＝1，则m＝2；⑤若d＜1，则m＝4．
其中正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．5
【分析】根据直线与圆的位置关系和直线与圆的交点个数以及命题中的数据分析即可得到答案．
【解答】解：①若d＞5时，直线与圆相离，则m＝0，故正确；
②若d＝5时，直线与圆相离，则m＝1，故正确；
③若1＜d＜5，则m＝2，故错误；
④若d＝1时，直线与圆相交，则m＝3，故错误；
⑤若d＜1时，直线与圆相交，则m＝4，故正确．
故选：C．
9．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据题目所给的图示可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，出发0.5小时之内，甲的速度小于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度小于甲的速度，出发1.5小时之后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，再利用函数图象横坐标，得出甲先到达终点．
【解答】解：在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；
由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；
甲的图象的解析式为y＝10x，乙AB段图象的解析式为y＝4x+6，因此出发1.5小时后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，甲的行程比乙多3千米，故③正确；
甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确．
故选：C．
10．如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为（ ）
A．2.5 B．2.8 C．3 D．3.2
【分析】连接BD、CD，由勾股定理先求出BD的长，再利用△ABD∽△BED，得出＝，可解得DE的长，由AE＝AD﹣DE求解即可得出答案．
【解答】解：如图1，连接BD、CD，
，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴BD＝，
∵弦AD平分∠BAC，
∴CD＝BD＝，
∴∠CBD＝∠DAB，
在△ABD和△BED中，
∴△ABD∽△BED，
∴＝，即＝，
解得DE＝，
∴AE＝AD﹣DE＝5﹣＝2.8．
故选：B．
二.填空题（每小题3分，共24分）
11．（3分）不等式3+2x＞5的解集是 x＞1 ．
【分析】根据解不等式的一般步骤：移项，合并同类项，系数化1，得出即可．
【解答】解：移项，得：2x＞5﹣3，
即2x＞2，
系数化1，得：x＞1．
不等式组的解集为：x＞1．
故答案为：x＞1．
12．（3分）图中是对顶角量角器，用它测量角的原理是 对顶角相等 ．
【分析】由题意知，一个破损的扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角，根据对顶角的性质解答即可．
【解答】解：由题意得，扇形零件的圆心角与其两边的反向延长线组的角是对顶角．因为对顶角相等，所以利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数．
故答案为：对顶角相等．
13．（3分）如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝ 8 cm．
【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由垂径定理，
AC＝AB＝12cm．
由半径相等，得
OA＝OD＝13cm．
由勾股定理，得
OC＝＝＝5．
由线段的和差，得
CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，
故答案为：8．
14．（3分）如图，△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，则∠ADC＝ 52 度．
【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝102°，表示出∠B和∠BAD的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数．
【解答】解：∵AC＝AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，
设∠ADC＝α，
∴∠B＝∠BAD＝，
∵∠BAC＝102°，
∴∠DAC＝102°﹣，
在△ADC中，
∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，
∴2α+102°﹣＝180°，
解得：α＝52°．
故答案为：52．
15．（3分）关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是 ＜a＜﹣2 ．
【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a的取值范围，然后根据根两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得a，易得a的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1＝0的两个不相等的实数根
∴△＝（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
设f（x）＝ax2﹣3x﹣1，如图，
∵实数根都在﹣1和0之间，
∴﹣1，
∴a，
且有f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即f（﹣1）＝a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）＝﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴＜a＜﹣2，
故答案为：＜a＜﹣2．
16．（3分）方程x2﹣3x+1＝0的解是 x1＝，x2＝ ．
【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．
【解答】解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，
b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，
x＝；
∴x1＝，x2＝．
故答案为：x1＝，x2＝．
17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，点E、F分别是边BC、AD上一点，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处．若C′E⊥AD，则EF的长为 6 cm．
【分析】根据矩形的性质和折叠的性质，由C′E⊥AD，可得四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，根据矩形的性质可得EG和FG的长，再根据勾股定理可得EF的长．
【解答】解：如图所示：
∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点C、D分别落在点C′、D′处，C′E⊥AD，
∴四边形ABEG和四边形C′D′FG是矩形，
∴EG＝FG＝AB＝6cm，
∴在Rt△EGF中，EF＝＝6cm．
故答案为：6cm．
18．（3分）如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，＝，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则的值等于 ．
【分析】首先根据＝设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，然后利用勾股定理得到AC＝a，然后根据射影定理得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC从而求得CE＝，AE＝，得到＝，利用△CEF∽△AEB，求得＝（）2＝．
【解答】解：∵＝，
∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，
∴AC＝a，
∵BF⊥AC，
∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
∴a2＝CE•a，2a2＝AE•a，
∴CE＝，AE＝，
∴＝，
∵△CEF∽△AEB，
∴＝（）2＝，
故答案为：．
三.解答题（共8小题，共78分）
19．（12分）（1）计算：2﹣1﹣3tan30°+（2017﹣）0+；
（2）先化简，再求值：（x+3）（x﹣3）+2（x2+4），其中x＝．
【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值，零指数幂，算术平方根的定义进行计算，再算乘法，最后算加减即可；
（2）先根据平方差公式和单项式乘以多项式进行计算，再合并同类项，最后代入求出答案即可．
【解答】解：（1）原式＝1﹣3×+1+2
＝1﹣+1+2
＝2+；
（2）（x+3）（x﹣3）+2（x2+4）
＝x2﹣9+2x2+8
＝3x2﹣1，
当x＝时，原式＝3×（）2﹣1＝6﹣1＝5．
20．（8分）已知关于x的方程，其中m、n是等腰三角形的腰和底边长．
（1）说明这个方程有两个不相等的实数根．
（2）若方程的两实数根的差的绝对值是8，且等腰三角形的面积是16，求m，n的值．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＝4m2﹣n2＞0，进而可证出方程有两个不相等的实数根；
（2）由根与系数的关系求出＝4，根据三角形的面积可求出m，n的值，则可求出答案．
【解答】解：①∵m、n是等腰三角形的腰和底边长，
∴2m＞n，
又∵△＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×1×，
∴4m2＞n2，
∴△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
②由题意得|x1﹣x2|＝8，
∴（x1﹣x2）2＝64，
∴（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，
由韦达定理得：x1+x2＝2m，x1x2＝，
∴（2m）2﹣4×＝64，即＝4，
∵等腰三角形的面积是16，
如图，过点A作AD⊥BC于点D，
∴BD＝CD＝．
∴AD＝＝，
∴＝16，
∴n＝8，
代入＝4，
解得m＝4，
∴m＝4，n＝8．
21．（9分）某中学为了了解八年级学生体能状况，从八年级学生中随机抽取部分学生进行体能测试，测试结果分为A，B，C，D四个等级，请根据两幅统计图中的信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查共抽取了多少名学生？
（2）求测试结果为C等级的学生数，并补全条形图；
（3）若该中学八年级共有700名学生，请你估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有多少名？
【分析】（1）用A等级的人数÷A等级的百分比，即可解答；
（2）用总人数﹣A等级的人数﹣B等级的人数﹣D等级的人数，即可得到C等级的学生数；
（3）根据用样本估计总体，即可解答．
【解答】解：（1）10÷20%＝50（名）．
答：本次抽样调查共抽取了50名学生；
（2）50﹣10﹣20﹣4＝16（名）．
答：测试结果为C等级的学生有16名；
如图所示：
（3）700×＝56（名）．
答：估计该中学八年级学生中体能测试结果为D等级的学生有56名．
22．（7分）图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：
（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
（2）在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
（3）在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．
【分析】（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为的等腰三角形即可；
（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形；
（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．
【解答】解：（1）如图①，符合条件的C点有5个：
；
（2）如图②，正方形ABCD即为满足条件的图形：
；
（3）如图③，边长为的正方形ABCD的面积最大．
．
23．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，交边BC于点E，点F为边CD上一点，且DF＝BE．过点F作FG⊥CD，交边AD于点G．求证：DG＝DC．
【分析】先根据平行四边形的性质得到∠B＝∠D，AB＝CD，再利用垂直的定义得∠AEB＝∠GFD＝90°，于是可根据“ASA”判定△AEB≌△GFD，根据全等的性质得AB＝DC，所以有DG＝DC．
【解答】证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，
∵AE⊥BC，FG⊥CD，
∴∠AEB＝∠GFD＝90°，
在△AEB和△GFD中，
，
∴△AEB≌△GFD，
∴AB＝DG，
∴DG＝DC．
24．（10分）如图，点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，分别过点A，C作y轴的平行线，与反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象交于点B，D，连接AD，BC，AD与x轴交于点E（﹣2，0）．
（1）求k的值；
（2）直接写出阴影部分面积之和．
【分析】（1）根据点A和点E的坐标求得直线AE的解析式，然后设出点D的纵坐标，代入直线AE的解析式即可求得点D的坐标，从而求得k值；
（2）根据中心对称的性质得到阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积即可．
【解答】解：（1）∵A（3，5）、E（﹣2，0），
∴设直线AE的解析式为y＝kx+b，
则，
解得：，
∴直线AE的解析式为y＝x+2，
∵点A（3，5）关于原点O的对称点为点C，
∴点C的坐标为（﹣3，﹣5），
∵CD∥y轴，
∴设点D的坐标为（﹣3，a），
∴a＝﹣3+2＝﹣1，
∴点D的坐标为（﹣3，﹣1），
∵反比例函数y＝（0＜k＜15）的图象经过点D，
∴k＝﹣3×（﹣1）＝3；
（2）如图：
∵点A和点C关于原点对称，
∴阴影部分的面积等于平行四边形CDGF的面积，
∴S阴影＝4×3＝12．
25．（10分）如图①，半径为R，圆心角为n°的扇形面积是S扇形＝，由弧长l＝，得S扇形＝＝••R＝lR．通过观察，我们发现S扇形＝lR类似于S三角形＝×底×高．
类比扇形，我们探索扇环（如图②，两个同心圆围成的圆环被扇形截得的一部分叫做扇环）的面积公式及其应用．
（1）设扇环的面积为S扇环，的长为l1，的长为l2，线段AD的长为h（即两个同心圆半径R与r的差）．类比S梯形＝×（上底+下底）×高，用含l1，l2，h的代数式表示S扇环，并证明；
（2）用一段长为40m的篱笆围成一个如图②所示的扇环形花园，线段AD的长h为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？
【分析】（1）根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果即可；
（2）求出l1+l2＝40﹣2h，代入（1）的结果，化成顶点式，即可得出答案．
【解答】（1）S扇环＝（l1+l2）h，
证明：设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由弧长公式得：R＝，r＝
所以图中扇环的面积S＝×l1×R﹣×l2×r
＝l1•﹣l2•
＝（l12﹣l22）
＝（l1+l2）（l1﹣l2）
＝••（R﹣r）（l1+l2）
＝（l1+l2）（R﹣r）
＝（l1+l2）h，
故猜想正确．
（2）解：根据题意得：l1+l2＝40﹣2h，
则S扇环＝（l1+l2）h
＝（40﹣2h）h
＝﹣h2+20h
＝﹣（h﹣10）2+100
∵﹣1＜0，
∴开口向下，有最大值，
当h＝10时，最大值是100，
即线段AD的长h为10m时，花园的面积最大，最大面积是100m2．
26．（12分）已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1（m是常数）的顶点为P，直线l：y＝x﹣1．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m＝﹣3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM＝∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．
【分析】（1）利用配方法得到y＝（x﹣m）2+m﹣1，点P（m，m﹣1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；
（2）当m＝﹣3时，抛物线解析式为y＝x2+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（﹣5，0），易得C（0，5），联立抛物线与直线方程可求出P，Q两点坐标，作MN⊥y轴于N，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CMN∽Rt△PAF，利用比例线段可求出点M横坐标，则M点坐标可求出；
（3）联立原抛物线方程y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1和y＝x﹣1，可得P（m，m﹣1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ2＝2，OQ2＝2m2+2m+1，OP2＝2m2﹣2m+1，然后分类讨论：当PQ＝OQ时，2m2+2m+1＝2；当PQ＝OP时，2m2﹣2m+1＝2；当OP＝OQ时，2m2+2m+1＝2m2﹣2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可．
【解答】（1）证明：∵y＝x2﹣2mx+m2+m﹣1＝（x﹣m）2+m﹣1，
∴点P的坐标为（m，m﹣1），
∵当x＝m时，y＝x﹣1＝m﹣1，
∴点P在直线l上；
∴，解得：或，
则P（﹣3，﹣4），Q（﹣2，﹣3），
作MN⊥y轴于N，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，
∵OA＝OC＝5，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠ACO＝45°，
∴∠MCN＝45°﹣∠ACM，
∵QG＝3，OG＝2，
∴AG＝OA﹣OG＝3＝QG，
∴△AQG为等腰直角三角形，
∴∠QAG＝45°，
∵∠APF＝90°﹣∠PAF＝90°﹣（∠PAQ+45°）＝45°﹣∠PAQ，
∵∠ACM＝∠PAQ，
∴∠APF＝∠MCN，
∴Rt△CMN∽Rt△PAF，
∴
设M（x，x2+6x+5），
∴MN＝﹣x，CN＝5﹣（x2+6x+5）＝﹣x2﹣6x，
∴，
整理得x2+4x＝0，解得x1＝0（舍去），x2＝﹣4，
∴点M的坐标为（﹣4，﹣3）；
（3）解：解方程组，得，则P（m，m﹣1），Q（m+1，m），
∴PQ2＝（m+1﹣m）2+（m﹣m+1）2＝2，OQ2＝（m+1）2+m2＝2m2+2m+1，OP2＝m2+（m﹣1）2＝2m2﹣2m+1，
当PQ＝OQ时，2m2+2m+1＝2，解得：，，
当PQ＝OP时，2m2﹣2m+1＝2，解得：，，
当OP＝OQ时，2m2+2m+1＝2m2﹣2m+1，解得m＝0，
综上所述，m的值为，0．
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