新五年级暑期奥数教材

这是一份新五年级暑期奥数教材，共39页。学案主要包含了利用“补数”把接近整十等内容，欢迎下载使用。

第一讲 速算与巧算一
一、把几个互为“补数”的减数先加起来，再从被减数中减去。
例1、计算：① 300-73-27 ② 1000-90-80-20-10
解析： ①式=300-（73＋ 27）
　　＝300-100=200
　　②式=1000-（90＋80＋20＋10）
　　＝1000-200＝800

二、先减去那些与被减数有相同尾数的减数。
例2、计算：① 4723-（723＋189） ② 2356-159-256
解析： ①式=4723-723-189
　　＝4000-189=3811
　　②式=2356-256-159
　　＝2100-159
　　=1941

三、利用“补数”把接近整十、整百、整千…的数先变整，再运算（注意把多加的数再减去，把多减的数再加上）。
例3、 计算：①506-397 ②467＋997
解析：①式=500＋6-400+3（把多减的 3再加上）
　　 =109
　　②式=467＋1000-3（把多加的3再减去）
　　＝1464









课后练习 一
1、用简便方法求差。
① 1870-280-520 ② 4995-（995-480）
　　


③ 500-124-56 ④ 210-48-52



⑤ 4250-294＋94 ⑥ 1272-995



2、用简便方法计算。
① 890-198 ② 365-296
　　

③ 284＋97 ④ 342＋198




3、计算1032+1028+1033+1029+1031+1030





4、计算19998+39996+49995+69996





第二讲 速算与巧算二
例1、简便计算25×5×64×125
解析： = 25×5×64×125
=25×5×(2×4×8)×125
=25×4×5×2×(8×125)
=100×10×1000
=1000000
例2、简便计算125×(10+8)
解析： =125×10+125×8
=1250+1000
=2250
例3、简便计算125×798
解析： =125×（800-2）
=125×800-125×2
=100000-250
=99750
例3、简便计算625÷25
解析： =(625×4)÷(25×4)
=2500÷100
=25
例4、简便计算（350+165）÷5
解析： =350÷5+165÷5
=70+33
=103




课后练习 二
用简便方法计算下面各题
1、75×16 2、25×64×125




3、301×467 4、（20-4）×25





5、9600÷25 6、795×696-695×696





7、（125×99+125）×16 8、(10000-1000-100-10) ÷10




9、(30+32+34+36+38+40) ÷5 10、8÷7+9÷7+11÷7








第三讲 高斯求和
知识要点：若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。
求和公式=（首项+末项）×项数÷2
项数=（末项-首项）÷公差+1
末项=首项+（项数-1）×公差
例1、计算 1＋2＋3＋…＋1999
解析：这串加数1，2，3，…，1999是等差数列，首项是1，末项是1999，共有1999个数。由等差数列求和公式可得
　　 原式=（1＋1999）×1999÷2＝1999000。
注意：利用等差数列求和公式之前，一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
例2、计算 11＋12＋13＋…＋31
解析：这串加数11，12，13，…，31是等差数列，首项是11，末项是31，共有31-11＋1＝21（项）。
原式=（11+31）×21÷2=441。
注意：在利用等差数列求和公式时，有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出项数。根据首项、末项、公差的关系，可以得到
例3、求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。
解析：末项=25＋3×（40-1）＝142，
和=（25＋142）×40÷2＝3340。
注意：利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题。




课后练习 三
1、计算下列各题：
（1）2＋4＋6＋…＋200；
　


（2）17＋19＋21＋…＋39；



（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；



（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。



（5）11＋12＋13＋…＋31





2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
　　




3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。





第四讲 找规律
例1、请找出下列各组数排列的规律，并根据规律在括号里填上适当的数。
（1）1，5，9，13，（ ），21，25。
（2）1，4，9，16，25，（ ），49，64，81。
解析：第1题的规律是每相邻两个数都相差4，所以括号里要填的数字是17
第2题的规律是1×1,2×2,3×3,4×4……，所以括号里要填的数是36
例2、按规律填空
（1）2，3，5，8，12，17，（ ），30，38。
（2）1，6，5，10，9，14，13，（ ），（ ）。
解析：第1题的规律是第三个数开始，都是前两个数的和，所以括号里要填的数是29
第2题可以将这列数分成单数组和双数
单数组：1、5、9、13、（ ），相邻两数相差4
双数组：6、10、14、（ ），相邻两数相差4
所以第1个括号填18，第2个括号填17
例3、请先计算下面一组算式的前三题，然后找出其中的规律，并根据规律直接写出后六题的得数。
1×8+1=
12×8+2=
123×8+3=
1234×8+4=
12345×8+5=
123456×8+6=
1234567×8+7=
12345678×8+8=
123456789×8+9=
解析：可先求出前几个算式找出规律，前几个分别是9、98、987
可得出后面几个式子的结果是9876、98765、987654、9876543、98765432、
987654321





课后练习 四
1、先找出下列各列数的排列规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）2，6，10，14，（ ），22，26
（2）3，6，9，12，（ ），18，21
（3）33，28，23，（ ），13，（ ），3
（4）128，64，32，（ ），8，（ ），2
（5）19，3，17，3，15，3，（ ），（ ），11，3
2、先找出下列数排列的规律，然后在括号里填上适当的数。
（1）3，2，5，2，7，2，（ ），（ ），11，2
（2）28，1，26，1，24，1，（ ），（ ），20，1
（3）1，6，4，8，7，10，（ ），（ ），13，14
（4）3，29，4，28，6，26，9，23，（ ），（ ），18，14
3、找出规律后，直接填写出括号内的数。
1999998÷9=222222
（ ）99999（ ）÷9=333333
（ ）99999（ ）÷9=444444
（ ）99999（ ）÷9=555555
（ ）99999（ ）÷9=666666
（ ）99999（ ）÷9=777777
（ ）99999（ ）÷9=888888
（ ）99999（ ）÷9=999999

4、找规律，写算式。
3=3+27×0
33=6+27×1
333=9+27×12
3333=
33333=
333333=




第五讲 平均数
例1、二（1）班学生分三组植树，第一组有8人，共植树80棵；第二组有6人，共植树66棵；第三组有6人，共植树54棵。平均每人植树多少棵？
解析：因为二（1）班学生分三组植树，由问题可知“平均范围”是三个组，是按人数平均，因此所需条件是三个组植树的总棵数和三个组的总人数。三个组植树的总棵数为：80+66+54=200棵，总人数为：8+6+6=20人，所以平均每人植树200÷20=10棵。
例2、从山顶到山脚的路长36千米，一辆汽车上山，需要4小时到达山顶，下山沿原路返回，只用2小时到达山脚。求这辆汽车往返的平均速度。
解析：求往返的平均速度，要用往返的路程除以往返的时间，往返的路程是
36×2=72千米，往返的时间是4+2=6小时。所以，这辆汽车往返的平均速度是每小时行72÷6=12千米。
例3、如果四个人的平均年龄是23岁，四个人中没有小于18岁的。那么年龄最大的人可能是多少岁？
解析：因为四个人的平均年龄是23岁，那么四个人的年龄和是23×4=92岁；又知道四个人中没有小于18岁的，如果四个人中三个人的年龄都是18岁，就可去求另一个人的年龄最大可能是92－18×3=38岁。
例4、李华参加体育达标测试，五项平均成绩是85分，如果投掷成绩不算在内，平均成绩是83分。李华投掷得了多少他？
解析：先求出五项的总得分：85×5=425分，再算出四项的总分：83×4=332分，最后用五项总分减去四项总分，就等于李华投掷的成绩：425－332=93分。






课后练习 五
1、电视机厂四月份前10天共生产电视机3300台，后20天共生产电视机6300台。这个月平均每天生产电视机多少台？


2、小强家离学校有1200米，早上上学，他家到学校用了15分钟，从学校到家用了10分钟。求小强往返的平均速度。


3、小军参加了3次数学竞赛，平均分是84分。已知前两次平均分是82分，他第三次得了多少分？


4、如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么三个人中年龄最大的可能是多少岁？


5、小明参加数学考试，前两次的平均分是85分，后三次的总分是270分。求小
明这五次考试的平均分数是多少。


6、李大伯上山采药，上山时他每分钟走50米，18分钟到达山顶；下山时，他沿原路返回，每分钟走75米。求李大伯上下山的平均速度。


7、小亮上山时的速度是每小时走2千米，下山时的速度是每小时走6千米。那么，他在上、下山全过程中的平均速度是多少千米？





第六讲 变化规律
例1、两个数相加，一个加数增加9，另一个加数减少9，和是否发生变化？
解析：一个加数增加9，假如另一个加数不变，和就增加9；假如一个加数不变，另一个加数减少9，和就减少9；和先增加9，接着又减少9，所以不发生变化。
例2、两个数相加，如果一个加数增加10，要使和增加6，那么另一个加数应有什么变化？
解析：一个加数增加10，假如另一个加数不变，和就增加10。现在要使和增加6，那么另一个加数应减少10－6=4。
例3、两数相减，如果被减数增加8，减数也增加8，差是否起变化？
解析：被减数增加8，假如减数不变，差就增加8；假如被减数不变，减数增加8，差就减少8。两个数的差先增加8，接着又减少8，所以不起什么变化。
例4、两数相乘，如果一个因数扩大8倍，另一个因数缩小2倍，积将有什么变化？
解析：如果一个因数扩大8倍，另一个因数不变，积将扩大8倍；如果一个因数不变，另一个因数缩小2倍，积将缩小2倍。积先扩大8倍又缩小2倍，因此，积扩大了8÷2=4倍。
例5、两数相除，如果被除数扩大4倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？
解析：如果被除数扩大4倍，除数不变，商就扩大4倍；如果被除数不变，除数缩小2倍，商就扩大2倍。商先扩大4倍，接着又扩大2倍，商将扩大4×2=8倍。






课后练习 六
1、两个数相加，一个数减6，另一个数减2，和起什么变化？


2、两个数相加，如果一个加数增加8，要使和减少15，另一个加数应有什么变化？


3、两个数相加，如果一个加数减少8，要使和减少8，另一个加数应有什么变化？



4、两数相减，被减数增加12，减数减少12，差起什么变化？



5、两数相减，被减数减少10，减数增加10，差起什么变化？



6、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数缩小12倍，积将有什么变化？



7、两数相乘，如果一个因数扩大3倍，另一个因数扩大6倍，积将有什么变化？



8、两数相除，被除数缩小12倍，除数缩小2倍，商将怎样变化？



9、两数相除，除数扩大6倍，要使商扩大3倍，被除数应怎样变化?



第七讲 算式谜一
例1、在下面算式的括号里填上合适的数。



解析：根据题目特点，先看个位：7＋5=12，在和的个位（ ）中填2，并向十位进一；再看十位，（ ）+4+1的和个位是1，因此，第一个加数的（ ）中只能填6，并向百位进1；最后来看百位、千位，6+（ ）+1的和的个位是2，第二个加数的（ ）中只能填5，并向千位进1；因此，和的千位（ ）中应填8。
例2、下面各式中“巨”、“龙”、“腾”、“飞”分别代表不同的数字，相同的汉字代表相同的数字。当它们各代表什么数字时，下列的算式成立。



解析：先看个位，3个“飞”相加的和的个位数字是1，可推知“飞”代表7；再看十位，3个“腾”相加，再加上个位进来的2，所得的和的个位是0，可推知“腾”代表6；再看百位，两个“龙”相加，加上十位进上来的2，所得和的个位是0，“龙”可能是4或9，考虑到千位上的“巨”不可能为0，所以“龙”只能代表4，“巨”只能代表1。
例3、把“＋、－、×、÷”分别放在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的数，使下面的两个等式成立。
36○0○15=15 21○3○5=□
解析：先从第一个等式入手，等式右边是15，与等式左边最后一个数15相同，因为0+15=15，所以，只要使36与0的运算结果为0就行。显然，36×0+15=15因为第一个等式已填“×”、“+”，在第二个等式中只有“－”、“÷”可以填，题目要求在方框中填整数，已知3不能被5整除，所以“÷”只能填在21与3之间，而3与5之间填“－”。


课后练习 七
1、在括号里填上合适的数。 2、下列字母各表示什么数
6（ ）（ ）
+ 2（ ）1 5
（ ）0 9 1


3、下面的竖式里，有4个数字被遮住了，求竖式中被盖住的4个数字的和。




4、把“＋、－、×、÷”分别填入下面的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，使下面每组的两个等式成立。
① 9○13○7=100 14○2○5=□

② 17○6○2=100 5○14○7=□


5、（1）填入1、2、3、4、7、9，使等式成立。

□÷□=□÷□

（2）用1、2、3、7、8这五个数字可以列成一个算式：（1+3）×7=28。请你用0、1、2、3、4、6这六个数字列成一个算式。



6、将1 ~ 9这九个数字填入□中（每个数字只能用一次），组成三个等式。


□＋□=□ □－□=□ □×□=□




第八讲 算式谜二
例1、在右面的方框中填上合适的数字。




解析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。
例2、在右面方框中填上适合的数字。




解析：由商的十位是1，以及1与除数的乘积的最高位是1可推知除数的十位是1。由第一次除后余下的数是1，可推知被除数的十位只可能是7、8、9。如果是7，除数的个位是0，那么最后必有余数；如果被除数是8，除数的个位就是1，也不能除尽；只有当被除数的十位是9时，除数的个位是2时，商的个位为6，正好除尽。
例3、下面算式中的a、b、c、d这四个字母各代表什么数字？


解析：因为四位数abcd乘9的积是四位数，可知a是1；d和9相乘的积的个位是1，可知d只能是9；因为第二个因数9与第一个因数百位上的数b相乘的积不能进位，所以b只能是0（1已经用过）；再由b=0，可推知c=8。



课后练习 八
1、在□里填上适当的数。





2、求下列各题中每个汉字所代表的数字。







3、在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立。




4、求下列各题中每个汉字所代表的数字。









第九讲 和差问题
例1、期中考试王平和李杨语文成绩的总和是188分，李杨比王平少4分，两人
各考了多少分？
解析：已知两人的成绩和是188分，而李杨比王平少4分，如果假设李杨的成绩增加4分，这样两人的分数就一样多了，而这时两人的成绩和也会增加4分，所以王平的成绩为 （188+4）÷2=96分，而李杨的成绩为
96-4=92分，可以得出 大数=（和+差）÷2 小数=（和－差）÷2
例2、两筐西瓜共重80千克，如果从第一筐取出7千克放入第二筐中后，第一
筐还比第二筐多2千克。两筐西瓜原来各重多少千克？
解析：根据题意画出线段图
2千克 7千克
第一筐：
第二筐： 80千克

7千克
从图中可知，第一筐取出7千克，第二筐放入7千克，第一筐还比第二筐多2千克，可以求出原来两筐的差是7×2+2=16千克
根据和差公式可以得出第一筐重 (80+16)÷2=48千克
第二筐重 (80-16)÷2=32千克
例3、把一条100米长的绳子剪成三段，要求第二段比第一段多16米，第三段比第一段少18米。 三段绳子各长多少米？
解析：根据题意画出线段图
多16米
第二段
第一段 100米
第三段
少18米
根据题意如果第二段减少16米，第三段增加18米，那么三段的长度都相等，而此时三段的总长度为100-16+18=102米
所以可以求出第一段的长度为102÷3=34米
第二段的长度为34+16=50米
第三段的长度为34-18=16米
课后练习 九
1、两筐水果共重124千克，第一筐比第二筐多8千克，两筐水果各重多少千克？


2、学校的长方形操场一圈有400米，长和宽相差80米。长和宽各是多少米？


3、甲、乙两筐梨共有140个，如果从甲筐拿出10个放到乙筐，那么两筐梨的个
数正好相等。甲、乙两筐梨原来各有多少个？


4、哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票后还比弟弟多2张，哥哥和弟弟原来各 有多少张？


5、一只两层书架共放书72本，若从上层中拿出9本给下层，上层还比下层多4本，上、下 层共放书多少本？


6、某工厂第一、二、三车间共有工人280人，第一车间比第二车间多10人，第二车间比第 三车间多15人，三个车间各有工人多少人？


7、一个三层书架共放书490本，上层比中层多放10本，下层比中层少放了30本。上、中、下三层各放书多少本？


第十讲 差倍问题
例1、饲养场养的鸭比鹅多80只，鸭的只数是鹅的3倍。问饲养场的鸭和鹅各多少只？
解析：这类题型的解题关键跟和倍问题相似，也可以先找准1倍数，然后根据以下公式进行计算 两数的差÷（倍数-1）=较小数（1倍数）
较小数×倍数=较大数
根据题意可知鹅的只数是1倍数，而鸭的只数是3倍数，那么他们的差是鹅的2倍，所以鹅的只数 80÷（3-1）=40只
鸭的只数 40×3=120只
例2、菜场上萝卜比青菜多1200千克，萝卜的重量比青菜的3倍多200千克。
萝卜、青菜各有多少千克？
解析：根据题意可以先将青菜的重量看成1倍数，而萝卜的重量比青菜的3倍多200千克，假如萝卜的重量减少200千克，那么正好是3倍数，而此时萝卜比青菜多 1200-200=1000千克
所以青菜的重量为 (1200-200)÷（3-1）=500千克
萝卜的重量为 500×3+200=1700 千克
例3、有两袋面粉，从第一袋中取8千克放入第二袋，两袋重量相等。如果从第
二袋中取10千克放入第一袋，则第一袋的重量是第二袋的2倍，两袋原
有面粉多少千克？
解析：根据从第一袋中取8千克放入第二袋，两袋重量相等可知原来两袋的重量差为8×2=16千克，而从第二袋中取10千克放入第一袋，则第一袋的重量是第二袋的2倍可知此时两袋的重量差为16+10×2=36千克
所以此时第二袋的重量为 （8×2+10×2）÷（2-1）=36千克
所以原来第二袋的重量为 36+10=46千克
原来第一袋的重量为 46+16=62千克


课后练习 十
1、小明去市场买水果，他买的苹果个数是梨的3倍，苹果比梨多18个，小明买
苹果和梨各多少个？


2、学校合唱组的女同学人数是男同学的4倍，女同学比男同学多42人，合唱组各有男同学、女同学多少人？


3、教室里的男生比女生多8人，男生比女生的2倍少4人。教室里男女生各有多少人？


4、妈妈把糖平均分给哥哥和弟弟。哥哥给弟弟4块后，弟弟的糖就是哥哥的2倍。哥哥和弟弟原来各有几块糖？


5、水果店有两筐橘子，第一筐橘子的重量是第二筐的5倍，如果从第一筐中取出300个橘子放入第二筐，那么第一筐橘子还比第二筐多60个，原来两筐橘子各多少个？


6、同学们助残捐款，六年级捐款钱数是三年级的3倍，如果从六年级捐款钱数中取出160元放入三年级，那么六年级的捐款钱数还比三年级多40元，两个年级分别捐款多少元？




第十一讲 和倍问题
例1、学校买来两种粉笔共240盒，已知白色粉笔的盒数是彩色粉笔的5倍。两种粉笔各买了多少盒？
解析：这道题的解题关键是找准1倍数，可以根据以下公式计算
两数的和÷（倍数+1）=较小数（1倍数）
1倍数×倍数=较大数
根据题意可以画出线段图：
彩色粉笔：
白色粉笔：
从图中可以看出把彩色粉笔看成1倍数，那么白色粉笔的盒数就是它的5倍，那么总盒数240盒相当于彩色粉笔的(1+5)倍，所以
彩色粉笔：240÷（1+5）=40盒
白色粉笔：40×5=200盒
例2、象山人民广场有杨树和柳树共330棵，杨树棵数比柳树棵数的2倍少12
棵。杨树和柳树各有多少棵？
解析：根据题意可知1倍数是柳树的棵数，而杨树的棵数比柳树棵数的2倍少12棵，假如杨树的棵数增加12棵，那么杨树的棵数正好是柳树棵数的2倍，而此时两种树的总棵数变成330+12=342棵，正好是柳树棵数的
3倍，所以柳树棵数为 (330+12)÷（2+1）=114棵
杨树棵数为114×2-12=216棵
例3、甲车间有工人90人，乙车间有工人134人。甲车间调几名工人到乙车间，才能使乙车间的人数是甲车间的3倍？
解析：根据题意可知两车间的总人数没有发生变化，要使乙车间人数是甲车间的3倍，就把甲车间调走后剩下的人数看成1倍数，就可以求出甲车间调走后剩下的人数
（90+134）÷（3+1）=56人
甲车间原来有90人，调走后还剩下56人，所以甲车间调到乙车间的人数为90-56=34人



课后练习 十一
1、学校将360本图书分给二、三两个年级，已知三年级所分得的本数是二年级
的2倍，问二、 三两个年级各分得多少本图书？


2、小红和小明共有压岁钱800元，小红的钱数是小明的3倍，小红和小明分别有压岁钱多少元？


3、小林和小军共有画片49张，小林的张数比小军的3倍还多1张，小林和小军分别有多少张画片？


4、小宁有圆珠笔芯30枝，小青有圆珠笔芯15枝，问小青把多少枝给小宁后，小宁的圆珠笔芯枝数是小青的8倍 ？


5、红红有邮票80张，佳佳有邮票60张，要使红红的邮票张数是佳佳的4倍，那么佳佳必须给红红多少张邮票？


6、已知鸡、鸭、鹅共1210只，鸭的只数是鸡的2倍，鹅的只数是鸭的4倍，问鸡、鸭、鹅各多少只？





第十二讲 盈亏问题一
例1、小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友分多少粒糖？
解析：由题目条件可以知道，小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案，第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就少6粒，两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同，第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒，两次分配数之差为5－4＝1（粒）。每人相差1粒，多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人），糖果的粒数为
　　 4×15＋9＝69（粒）。
例2、小朋友分糖果，每人分10粒，正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果。问：有多少粒糖果？
解析：第一种方案是不盈不亏，第二种方案是亏16×3＝48（粒），所以盈亏总额是0＋48=48（粒），而两次分配数之差是16—10＝6（粒）。由盈亏问题的公式得有 小朋友（0＋16×3）÷（16—10）＝8（人），
　　 有 糖10×8＝80（粒）。
例3、王老师去买儿童小提琴，若买7把，则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元。问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱？
解析：本题在购物的两个方案中，每一个方案都出现钱不足的情况，买7把小提琴差110元，买5把小提琴差30元。从买7把变成买5把，少买了7—5=2（把）提琴，而钱的差额减少了110—30＝80（元），即80元钱可以买2把小提琴，可见小提琴的单价为每把40元钱。
小提琴（110—30）÷（7—5）＝40（元），
　　 所带的钱40×7—110＝170（元）。




课后练习 十二
1、小朋友分糖果，每人3粒，余30粒；每人5粒，少4粒。问：有多少个小朋友？多少粒糖？



2、一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克，那么货物还剩下5000千克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克。问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克？



3、学校买来一批图书。若每人发9本，则少25本；若每人发6本，则少7本。问：有多少个学生？买了多少本图书？



4、红星小学去春游。如果每辆车坐60人，那么有15人上不了车；如果每辆车多坐5人，那么恰好多出一辆车。问：有多少辆车？多少个学生？


5、参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔。如果每人分4支，那么多12
支；如果每人分8支，那么恰有1人没分到笔。问：有多少同学？多少支彩
色笔？


6、同学们为学校搬砖，每人搬18块，还余2块；每人搬20块，就有一位同学没砖可搬。问：共有砖多少块？







第十三讲 盈亏问题二
例1、某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？
解析：本题也是盈亏问题，为清楚起见，我们将题中条件加以转化。假设船数固定不变，题目的条件“如果增加一条船……”表示“如果每船坐6人，那么有6人无船可坐”；“如果减少一条船……”表示“如果每船坐9人，那么就空出一条船”。这样，用盈亏问题来做，盈亏总额为6＋9=15（人），两次分配的差为9—6＝3（人）。
船 （6＋9）÷（9—6）＝5（条），
　 人　6×5＋6=36（人）。
例2、少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？
解析：我们将“其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑”转化为“每人都挖6个坑，就多挖了4个坑”。这样就变成了“典型”的盈亏问题。盈亏总额为4＋3＝7（个）坑，两次分配数之差为6—5＝1（个）坑。
人 [3＋（6-4）×2]÷（6-5）＝7（人）
　 坑　5×7＋3＝38（个）。
例3、乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度
走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来
多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多
远？
解析：乐乐从改变速度的那一点到学校，若每分钟走50米，则要迟到8分钟，也就是到上课时间时，他离学校还有50×8＝400（米）；若每分钟多走10米，即每分钟走60米，则到达学校时离上课还有5分钟，如果一直走到上课时间，那么他将多走（50＋10）×5＝300（米）。所以盈亏总额，即总的路程相差
　　 400＋300＝700（米）。
　　 两种走法每分钟相差10米，因此所用时间为
　　 700÷10＝70（分），
　 　也就是说，从乐乐改变速度起到上课时间有70分钟。所以乐乐家到学校的距离为
　 　50×（2＋70＋8）＝4000（米），
　 　或 50×2＋60×（70—5）＝4000（米）。







课后练习 十三
1、在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？



2、小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。问：小红家买来多少只桔子？小红家共有几人？



3、用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面，余7米；如果把绳子5折垂到水面，余1米。求绳长与井深。



4、小明从家到学校去上学，如果每分钟走60米，那么将迟到5分钟；如果每分钟走80米，那么将提前3分钟。小明家距学校多远？



5、学校将一批图书借给“文明小使者”，若每人借9本，则缺25本；若只有1人借4本，其余每人借7本，则恰好分完。问“文明小使者”一共有多少人？



6、李老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。问：有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？



7、育才幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果分给大班的小朋友每人5个，那么余10个；如果分给小班的小朋友每人8个，那么缺2个。已知大班比小班多3个小朋友，这一筐苹果共有多少个？



第十四讲 年龄问题
例1、儿子今年10岁，5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁？
解析：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁，那么5年前母亲的年龄为
5×6＝30（岁），因此母亲今年是 30＋5=35（岁）。
例2、兄弟二人的年龄相差5岁，兄3年后的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁？
解析：根据题意，作示意图如下：

　　由上图可以看出，兄3年后的年龄比弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得，弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到
　　弟今年6＋4＝10（岁），
兄今年10＋5＝15（岁）。
例3、今年爷爷78岁，长孙27岁，次孙23岁，三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和？
解析：今年三个孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）。每过一年，爷爷增加一岁，而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）。因而只需求出12里面有几个2即可。
[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）。






课后练习 十四
1、父亲比儿子大30岁，明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁？


2、王梅比舅舅小19岁，舅舅的年龄比王梅年龄的3倍多1岁。问：他们二人各几岁？

3、小明今年9岁，父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍？


4、父亲年龄是女儿的4倍，三年前父女年龄之和是49岁。问：父女两人现在各多少岁？


5、小乐问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时，你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了。”你能算出刘老师有多少岁吗？


6、小象问大象妈妈：“妈妈，我长到您现在这么大时，您有多少岁了?”妈妈回答说：“我有28岁了”。小象又问：“您像我这么大时，我有几岁呢？”妈妈回答：“你才1岁。”问现在大象妈妈有多少岁了？







第十五 鸡兔同笼问题
例1、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。问：小梅家的鸡与兔各有多少只？
解析：假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只，头的数目不变，脚数增加了2只。因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
　 　有鸡 16-6＝10（只）。
例2、100个和尚140个馍，大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍。问：大、小和尚各有多少人？
解析：本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多
300－140＝160（个）。现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3—1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。
例3、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。问：鸡、兔各多少只？
解析：假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200—20=180（只）。
　 　现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100—30＝70（只）。






课后练习 十五
1、鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只？


2、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。问：象棋与跳棋各有多少副？

3、龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只？


4、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张？


5、振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题？


6、一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天？


7、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只，有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只？






第十六讲 还原问题一
例1、有一个数，把它乘以4以后减去46，再把所得的差除以3，然后减去10，最后得4。问：这个数是几？
解析：这个问题是由
　　 （□×4—46）÷3—10＝4，
　 　求出□。我们倒着看，如果除以3以后不减去10，那么商应该是
4＋10＝14；如果在减去46以后不除以3，那么差该是14×3＝42；
可知这个数乘以4后的积为42＋46＝88，因此这个数是88÷4=22。
例2、一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米，这捆电线原有多少米？
解析：由逆推法知，第二次用完还剩下15＋7=22（米），第一次用完还剩下
（22—10）×2＝24（米），原来电线长（24＋3）×2＝54（米）。
［（15＋7—10）×2＋3］×2＝54（米）。
例3、甲、乙、丙三组共有图书90本，乙组向甲组借3本后，又送给丙组5本，
结果三个组拥有相等数目的图书。问：甲、乙、丙三个组原来各有多少本
图书？
解析：尽管甲、乙、丙三个组之间将图书借来借去，但图书的总数90本没有变，由最后三个组拥有相同数目的图书知道，每个组都有图书90÷3＝30（本）。根据题目条件，原来各组的图书为
　　 甲组有30＋3＝33（本），
　 　乙组有30—3＋5＝32（本），
　　 丙组有30—5＝25（本）。






课后练习 十六
1、某数加上11，减去12，乘以13，除以14，其结果等于26，这个数是多少？


2、某数加上6，乘以6，减去6，其结果等于36，求这个数。


3、小乐爷爷今年的年龄数减去15后，除以4，再减去6之后，乘以10，恰好是100。问：小乐爷爷今年多少岁？


4、粮库内有一批面粉，第一次运出总数的一半多3吨，第二次运出剩下的一半少7吨，还剩4吨。问：粮库里原有面粉多少吨？


5、某人去银行取款，第1次取了存款的一半还多5元，第二次取了余下的一半还多10元，这时存折上还剩125元。问：此人原有存款多少元？


6、三筐苹果共90千克，如果从甲筐取出15千克放入乙筐，从乙筐取出20千克放入丙筐，从丙筐取出17千克放入甲筐，这时，三筐苹果就同样重，甲、乙、丙原来各有苹果多少千克？






第十七讲 还原问题二
例1、有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？
解析：棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚。由此逆推，得到
　　 第三次分之前有1×4＋1＝5（枚），
　 　第二次分之前有5×1＋1＝21（枚），
　 　第一次分之前有21×4＋1＝85（枚）。
　　 所以原来至少有85枚棋子。
例2、三堆苹果共48个。先从第一堆中拿出与第二堆个数相等的苹果并入第二堆；再从第二堆中拿出与第三堆个数相等的苹果并入第三堆；最后又从第三堆中拿出与这时第一堆个数相等的苹果并入第一堆。这时，三堆苹果数恰好相等。问：三堆苹果原来各有多少个？
解析：由题意知，最后每堆苹果都是48÷3＝16（个），由此向前逆推如下表：

　　 原来第一、二、三堆依次有22，14，12个苹果。
　　 逆推时注意，每次变化中，有一堆未动；有一堆增加了一倍，逆推时应
除以2；另一堆减少了增加一倍那堆增加的数，逆推时应使用加法。
例3、有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶油倒入乙、丙两桶，使它们各增加原有油的一倍；再将乙桶油倒入丙、甲两桶，使它们的油各增加一倍；最后按同样的规律将丙桶油倒入甲、乙两桶。这时，各桶油都是16千克。问：各桶原有油多少千克？
解析：列表逆推如下：

　　 原来甲、乙、丙桶分别有油26，14，8千克。
逆推时注意，每次变化时，有两桶各增加了一倍，逆推时应分别除以2；
另一桶减少了上述两桶增加的数，逆推时应使用加法。



课后练习 十七
1、有一堆桃，第一只猴拿走其中的一半加1个，第二只猴又拿走剩下的一半加1个，第三、四、五只猴照此方式办理，最后还剩下一个桃。问：原来有多少个桃？


2、书架有上、中、下三层，一共放了192本书。先从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层现有的同样多的书放到上层，这时三层的书刚好相等。问：这个书架上、中、下三层原来各有多少本书？


3、甲、乙、丙三人各有若干元钱，甲拿出一半平分给乙、丙，乙又拿出现有的一半平分给甲、丙，最后丙又拿出现有的一半平分给甲、乙。这时他们各有240元。问：甲、乙、丙三人原来各有多少钱？


4、甲、乙、丙三个盒子中各有若干个小球，从甲盒内拿出4个放入乙盒，再从乙盒内拿出8个放入丙盒后，三个盒子内的小球个数相等，原来乙盒比丙盒多几个球？








第十八讲 行程问题一
例1、小明去外婆家时坐车，回家时步行，在路上一共用了90分钟。如果他往
返都坐车需30分钟；如果他往返都步行，需多少分钟？
解析：根据“往返都坐车需30分钟”可算出单程坐车需要的时间是15分钟，进而算出单程步行所需的时间是90-15=75分
所以往返都步行需要的时间是75×2=150分

例2、表哥准备开车去接小明，已知两人原来相距300千米，表哥的小轿车每小时行52千米，小明乘坐的大巴车每小时行40千米，若两车同时从两地相向而行，经过多长时间两车相距24千米？
解析：两车要相距24千米，说明两车共同行使了300-24=276千米，而每小时两车合行52+40=92千米，因此需要276÷92=3小时。

例3、下午，小明乘中巴车以每小时60千米的速度回家，出发1小时后，表哥发现小明有一样东西忘拿了，立即坐小轿车以每小时90千米的速度追去。表哥经过多少小时才能追上小明？
解析：根据题意可知，当小轿车出发时，与中巴车的路程差是60×1=60千米。而小轿车每小时比中巴车多行90-60=30千米，也就是每小时可以追上中巴车30千米，那就需要60÷30=2小时。







课后练习 十八
1、 张师傅上班坐车，下班步行，在路上共用90分钟。如果往返都步行，在路上共需要150分钟。问张师傅往返都坐车，在路上则需多少时间？



2、 宁宁上学时骑车，放学回家时步行，在路上共用去40分钟。已知他骑车的速度是步行的4倍，那么宁宁往返都骑车需多长时间？



3、 学校环形跑道长200米，冬冬和晶晶同时从起跑线起跑，冬冬每秒跑6米，晶晶每秒跑4米。问：冬冬第一次追上晶晶要多少秒？第一次追上晶晶时两人各跑了多少米？



4、 小军每分钟行40米，小明每分钟行60米，两人分别从AB两地同时出发，相遇后，小军再走9分钟到达B地，求AB两地相距多少米？



5、 一辆汽车以每小时50千米的速度从A地到B地，出发10小时后，超过中点100千米。照这样的速度，这辆汽车还要行使多长时间才能到达B地？



6、 甲乙两车同时从相距500千米的两地相对开出，甲车每小时比乙车多行6千米，相遇时甲车比乙车一共多行了30千米，问甲车每小时行多少千米？




7、 一辆汽车以每小时40千米的速度从甲地开往乙地，出发3小时后，离中点还有10千米。如果剩下的路程以每小时70千米的速度行驶，那么还要行驶多长时间才能到达乙地？




第十九讲 行程问题二
例1、哥哥和迪迪一起坐火车去西安。哥哥说：“我们坐的火车长150米，每秒行20米。全车通过一座450米长的大桥，需要多少时间？”
解析：火车通过大桥，就是指从车头上桥起到车尾离桥止，即火车过桥所走的路程是：桥长+火车车身长=150+450=600米
每秒所行使的速度是20米，所以时间为
600÷20=30秒
例2、第二天迪迪和哥哥从宾馆顺道去表哥家玩，表哥来接他们。表哥和迪迪他们同时乘坐甲乙两辆汽车从两地相向开出，甲车每小时行56千米，乙车每小时行48千米，他们在距中点32千米处相遇。迪迪他们住的宾馆距离表哥家有多少千米？
解析：
32千米
甲每小时行56千米 乙每小时行48千米
表哥家 宾馆
中点 相遇点


？千米
从图中可以看出，在相同的时间内，甲车行了全程的一半还多32千米，乙车行驶全程的一半少32千米，也就是说，甲车比乙车多行64千米。这是因为甲车每小时比乙车每小时多行56-48=8千米。可以求出相遇时间为
64÷8=8小时 所以两地距离是（56+48）×8=832千米
例3、坐完了火车，他们从A地坐甲公交车去B风景区，途中与同时从B地开出的乙公交车相遇，相遇点离A地90千米处。相遇后两车继续以原速前进，到达B地后，他们发现有东西丢在A地住处又立刻返回。在途中与返回的乙公交车第二次相遇，相遇处在离B地110千米处。AB两地间的距离是多少？
解析：从题意可以看出：甲乙两车从出发到第二次相遇合走了3个全程。当两车合走一个全程时，甲车行了90千米。两车合走三个全程，甲车就应该 行了3个90千米，即270千米。
根据题意可知甲行了一个全程还多110千米，则AB间的距离是
270-110=160千米。








课后练习 十九
1、 小张以每秒3米的速度沿着铁路跑步，迎面开来一列长147米的火车，他的速度是每秒18米。火车经过小张身边要多少秒？




2、 甲乙两人从AB两地步行相向而行，甲每小时走3千米，乙每小时走2千米，两人相遇时距离中点3千米。问AB两地相距多远？




3、 一列火车长100米，以每秒20米的速度穿过一条300米的隧道。火车穿过隧道要多长时间？




4、 湖中有AB两座岛，甲乙两人都曾在两岛间游了一个来回。他们分别从AB两岛同时出发，第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。AB两岛相距多少米？




5、 一列火车，以每分钟400米的速度通过长6700米的南京长江大桥，用了17分。这列火车长多少米？



6、喜羊羊和灰太狼同时从甲乙两地相向而行，喜羊羊每小时行7千米，灰太狼每小时行9千米，它们在距离中点4千米的地方相遇。求甲乙两地的距离。




第二十讲 逻辑问题
例1、小王、小张和小李一位是工人，一位是农民，一位是教师，现在只知道：小李比教师年龄大；小王与农民不同岁；农民比小张年龄小。问：谁是工人？谁是农民？谁是教师？
解析：由此得到左下表。表格中打“√”表示肯定，打“×”表示否定。

　　 因为左上表中，任一行、任一列只能有一个“√”，其余是“×”，所以小李是农民，于是得到右上表。因为农民小李比小张年龄小，又小李比教师年龄大，所以小张比教师年龄大，即小张不是教师。因此得到左下表，从而得到右下表，即小张是工人，小李是农民，小王是教师。
例2、四个小朋友宝宝、星星、强强和乐乐在院子里踢足球，一阵响声，惊动了正在读书的陆老师，陆老师跑出来查看，发现一块窗户玻璃被打破了。陆老师问：“是谁打破了玻璃？” 宝宝说：“是星星无意打破的。”
　 　星星说：“是乐乐打破的。” 乐乐说：“星星说谎。”
　 　强强说：“反正不是我打破的。”
　 　如果只有一个孩子说了实话，那么这个孩子是谁？是谁打破了玻璃？
解析：因为星星和乐乐说的正好相反，所以必是一对一错，我们可以逐一假设检验。假设星星说得对，即玻璃窗是乐乐打破的，那么强强也说对了，这与“只有一个孩子说了实话”矛盾，所以星星说错了。
　　 假设乐乐说对了，按题意其他孩子就都说错了。由强强说错了，推知玻璃是强强打破的。宝宝、星星确实都说错了。符合题意。
　　 所以是强强打破了玻璃。
例3、甲、乙、丙、丁四人同时参加全国小学数学夏令营。赛前甲、乙、丙分别做了预测。
　 　甲说：“丙第1名，我第3名。”乙说：“我第1名，丁第4名。”
　 　丙说：“丁第2名，我第3名。”
　 　成绩揭晓后，发现他们每人只说对了一半，你能说出他们的名次吗？
解析：我们以“他们每人只说对了一半”作为前提，进行逻辑推理。
　　 假设甲说的第一句话“丙第1名”是对的，第二句话“我第3名”是错的。由此推知乙说的“我第1名”是错的，“丁第4名”是对的；丙说的“丁第2名”是错的，“丙第3名”是对的。这与假设“丙第1名是对的”矛盾，所以假设不成立。
　　 再假设甲的第二句“我第3名”是对的，那么丙说的第二句“我第3名”是错的，从而丙说的第一句话“丁第2名”是对的；由此推出乙说的“丁第4名”是错的，“我第1名”是对的。至此可以排出名次顺序：乙第1名、丁第2名、甲第3名、丙第4名。

课后练习 二十
1、甲、乙、丙分别是来自中国、日本和英国的小朋友。甲不会英文，乙不懂日
语却与英国小朋友热烈交谈。问：甲、乙、丙分别是哪国的小朋友？



2、李波、顾锋、刘英三位老师共同担负六年级某班的语文、数学、政治、体育、音乐和图画六门课的教学，每人教两门。现知道：
　　（1）顾锋最年轻；
　　（2）李波喜欢与体育老师、数学老师交谈；
　　（3）体育老师和图画老师都比政治老师年龄大；
　　（4）顾锋、音乐老师、语文老师经常一起去游泳；
　　（5）刘英与语文老师是邻居。
　　 问：各人分别教哪两门课程？



3、学校新来了一位老师，五个学生分别听到如下的情况：
　　（1）是一位姓王的中年女老师，教语文课；
　　（2）是一位姓丁的中年男老师，教数学课；
　　（3）是一位姓刘的青年男老师，教外语课；
　　（4）是一位姓李的青年男老师，教数学课；
　　（5）是一位姓王的老年男老师，教外语课。
　　他们每人听到的四项情况中各有一项正确。问：真实情况如何？




4、 红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，用布包着在桌上排成一行。A，B，C，D，E五个人猜各包里的珠子的颜色。
　　A猜：第2包紫色，第3包黄色；
　　B猜：第2包蓝色，第4包红色；
　　C猜：第1包红色，第5包白色；
　　D猜：第3包蓝色，第4包白色；
　　E猜：第2包黄色，第5包紫色。
结果每人都猜对了一种，并且每包只有一人猜对，他们各自猜对了哪种颜色的珠子？