人教版数学中考复习《函数应用题》教学课件ppt课件

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(应用题中常见的几种数学模型）
应用题的数学模型是针对或参照应用特 征或数量依存关系采用形式化的数学语言， 概括或近似表达出来的一种数学结构，本节 课结合实例介绍几种解应用题常用的数学模 型。一、函数模型在数学应用题中，某些量的变化，通常都是遵循一定 规律的，这些规律就是我们学过的函数。
例1、某种商品进货单价为40元，按单价每个50元售出，能卖出 50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元，其销售量就减少一 个，问零售价上涨到多少元时，这批货物能取得最高利润.
分析：利润=（零售价—进货单价）销售量
故有：设利润为 y元，零售价上涨x元y=（50+x-40）（50-x）（其中 0〈x〈50））=-x2+40x+500 x  20 2  900 900当且仅当 x  20时等号成立即零售价上涨到70元时，这批货物能取得最高利润.最高利润为900元.
许多数学应用题都要求我们求出一个（或几个）量来，或求出 一个（或几个）量以后就可导致问题的最终解决，解方程（组） 就是最有效的工具。例2、批零文具店规定，凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算,批发价每购60支比零售60支少1元,现有班长小王来购买铅笔,若给全 班每人买1支铅笔,则必须按零售价结算,需用m元(m为自然数),但若多 买10支,则可按批发价结算恰好也用m元,问该班共有多少名学生?
解: 设全班共有x人,则零售价为m 元, 批发价为x由题设得
解得, m  x(x 10)
又x, m  N , 所以x  50, m  5
所以该班共有50名同学。
(40  x  50)
数学应用题中一些最优化问题，往往需用不等式知识加以解决。例3、 某县一中计划把一块边长为20米的等边三角形ABC的边角地辟为植物新品种实验基 地，图中DE需把基地分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上。设AD=x(x≥10)，ED=y，试用x表示y的函数关系式；如果DE是灌溉输水管道的位置，为了节约，则希望它最短，DE的位置应该在哪 里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应该在哪里？说明现由。
分析要求y与x的函数关系式，就是找出DE与AD的等量关系。（1）三角形ADE中角A为600故由余弦定理可得y、x、AE三者关系。
解：（I）∵ΔABC的边长为20米，D在AB上，则10≤x≤20。
 1 x  AE sin 60  1 224
 200 (10  x  20)
(2)若DE做为输水管道，则需求y的最小值
 200 400  200  102,当且仅当x
即x  102时,若DE做为参观线路，须求y的最大值。令
 t  [100 , 400 ], yt 
f (t )  t 
, 任取100  t1  t2  400 ,
x在三角形ADE中，由余弦定理得：
当100≤t10,∴f(t1)>f(t2)， 则f(t)在[100，200]上是减函数。当200≤t10，又t1-t2<0,∴f(t1)200  102y300  103
当t=100或t=400即x=10或20时，
故若DE是输水管道的位置，则需使 x 10若DE是参观线路，则需使x=10或20思考：DE的几何意义是什么？
)  (t1 t2 ) 1 2
 f (t1)  f (t2 )  (t1 
如果数学应用题中涉及的量，其变化带有明显的离散性，那么所考查的很有 可能就是数列模型。例 4、某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业， 1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元。以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的2。 根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达3 到 8100万元可以达到小康水平.若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是 哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？分析：本题是考虑该乡从两个企业中获得利润问题。该乡从两个企业中获得的总利润=甲上缴利润+乙上缴利润
略解：（1）设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元。
 2  n  1
当且仅当n=2时，即98年总利润最少为y=960万元。
（2）2005年时，n=9此时y=
故还需筹集2000-960=1040万元才能解决温8
=8201.25+28.9即2005年底该乡能达到小康水平。
把数学应用题翻译成数学中的几何问题，通过几何知识解决。例5.炮弹的运行轨道若不计空气阻力是抛物线, 现测得我炮位A与目标B的水平距离 为6000m时,而当射程是6000m时, 炮弹运行轨道的最大高度是1200m, 在A, B间距离A 点500m处有一高度为350m的障碍物, 试计算炮弹能否越过障碍物?
则C（3000，1200）
x  30002  2 py 1200为弹道运行的抛物线方程
又A0,0在抛物线上, 所以p  3750从而弹道方程为x  30002  7500y 1200当x  500时, y  367  350
作业：〈教与学〉P34.7,8
数学应用题并不难，求解过程通常分三步：1、阅读理解：即读懂题目中的文字叙述所反映的实际背景,领悟其中的数学 本质,弄清题中出现的量及其数学含义。2、根据各个量的关系,进行数学化设计,即建立目标函数,将实际问题转化为 数学问题（。常用列表法，画图法等来帮助理解。）3、进行标准化设计,即转化为常规的函数问题或其他常规的数学问题加以解决。（通常用解方程（组）、解不等式（组）、利用函数的单调性等 ）