还剩21页未读，
继续阅读
2021年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷（word版 含答案）
展开
这是一份2021年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷（word版 含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
2．单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．a5+a5＝2a5D．a8÷a4＝a2
4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生
B．随机事件发生的概率为1
C．不可能事件发生的概率为0
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
6．在直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如果m＝﹣1，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
8．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mmB．6mmC．4mmD．12mm
9．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（ ）寸．（1尺＝10寸）
A．101B．100C．52D．96
10．如图，反比例函数y＝的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（ ）
A．a＝b+2kB．a＝b﹣2kC．k＜b＜0D．a＜k＜0
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）：
11．数轴上表示3的点到原点的距离是 ．
12．因式分解：m3n﹣9mn＝ ．
13．某班五个合作学习小组人数如下：5、5、x、6、7，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是 ．
14．若a＜1，化简＝ ．
15．如若x2+x＝1，则x4+x3+x+1的值为 ．
16．如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x 时，y1＜y2．
17．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是
18．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）
19．（6分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
21．（10分）如图（1），四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如图（2），连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．
22．（10分）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°．
（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD．
（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（，精确到 0.1米）
23．（10分）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图．
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）补全上面的条形统计图1；
（3）计算喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（4）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．
2021年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共40分.）
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣|＝．
故选：A．
2．单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m＝2，n＝3．
m+n＝2+3＝5，
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．a5+a5＝2a5D．a8÷a4＝a2
【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项错误；
B．（a2）3＝a6，故此选项错误；
C．a5+a5＝2a5，故此选项正确；
D．a8÷a4＝a4，故此选项错误．
故选：C．
4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生
B．随机事件发生的概率为1
C．不可能事件发生的概率为0
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【解答】解：A、概率很小的事件发生可能性小，此选项错误；
B、随机事件发生的概率大于0、小于1，此选项错误；
C、不可能事件发生的概率为0，此选项正确；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数大约是500次，此选项错误；
故选：C．
6．在直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用互为相反数的定义得出m的值，进而利用各象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点P（m，2﹣2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴m+2﹣2m＝0，
解得：m＝2，
故2﹣2m＝2﹣4＝﹣2，
则P点坐标为：（2，﹣2），在第四象限．
故选：D．
7．如果m＝﹣1，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
【分析】估算确定出的范围，进而求出m的范围即可．
【解答】解：∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，即2＜﹣1＜3，
∴m的取值范围是2＜m＜3．
故选：C．
8．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mmB．6mmC．4mmD．12mm
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cs∠BAC＝，
∴AM＝6×＝3（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝AC，
∴AC＝2AM＝6（mm）．
解法2：连接OC、OD，过O作OM⊥CD于M，如图1所示：
则∠COD＝＝60°，
∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝6mm，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），
∴b＝2OM＝6（mm），
故选：B．
9．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（ ）寸．（1尺＝10寸）
A．101B．100C．52D．96
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
设单门的宽度AO是x寸，则AE＝x﹣1，DE＝10寸，
根据勾股定理，得：AD2＝DE2+AE2，
则x2＝102+（x﹣1）2，
解得：x＝50.5，
故AB＝101寸，
故选：A．
10．如图，反比例函数y＝的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（ ）
A．a＝b+2kB．a＝b﹣2kC．k＜b＜0D．a＜k＜0
【分析】把（﹣，m）代入y＝ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k＝，由图象的特征即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m），
∴﹣＝﹣，即b＝a，∴m＝＝﹣，
∴顶点（﹣，﹣），
把x＝﹣，y＝﹣代入反比例解析式得：k＝，
由图象知：抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴a＜k＜0，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）：
11．数轴上表示3的点到原点的距离是 3 ．
【分析】根据两点间的距离的定义解答即可．
【解答】解：在数轴上，3到原点的距离是3个单位长度，
故答案为：3．
12．因式分解：m3n﹣9mn＝ mn（m+3）（m﹣3） ．
【分析】原式提取mn后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（m2﹣9）＝mn（m+3）（m﹣3）．
故答案为：mn（m+3）（m﹣3）
13．某班五个合作学习小组人数如下：5、5、x、6、7，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是 6 ．
【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵5、5、x、6、7的平均数是6，
∴（5+5+x+6+7）÷7＝6，
解得：x＝7，
将这组数据从小到大排列为5、5、6、7、7，
最中间的数是6，
则这组数据的中位数是6．
故答案为：6．
14．若a＜1，化简＝ ﹣a ．
【分析】＝|a﹣1|﹣1，根据a的范围，a﹣1＜0，所以|a﹣1|＝﹣（a﹣1），进而得到原式的值．
【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝|a﹣1|﹣1
＝﹣（a﹣1）﹣1
＝﹣a+1﹣1
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
15．如若x2+x＝1，则x4+x3+x+1的值为 2 ．
【分析】构造出x2+x，再整体代换求值．
【解答】解：∵x2+x＝1．
∴原式＝x2（x2+x）+x+1
＝x2+x+1
＝1+1
＝2．
故答案为：2．
16．如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x ＞a 时，y1＜y2．
【分析】观察函数图象，找出一次函数y1在y2的图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；
故答案为＞a．
17．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是 54°
【分析】证明∠AOB＝∠COD＝36°，可得∠BOC＝108°，再利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵＝，
∴∠DOC＝∠AOB＝36°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝108°，
∴∠BPC＝∠BOC＝54°，
故答案为：54°．
18．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2＝k．
＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故答案是：y＝．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）
19．（6分）计算：．
【分析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝﹣1+2﹣2
＝﹣1．
20．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当a＝+2时，
原式＝＝＝．
21．（10分）如图（1），四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如图（2），连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．
【分析】（1）根据矩形可得AD∥BC，AD＝BC，再证明EF＝AD即可得证；
（2）根据已知，由勾股定理求出AE，在利用△ABE∽△DEA，对应边成比例求出AD，即可由平行四边形面积公式得到答案．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，即EF＝BC，
∴EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）如图，连接ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝2，
由勾股定理得，EA2＝16+4＝20，即，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB．
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABE∽△DEA，
∴即，解得AD＝10，
由（1）得四边形AEFD是平行四边形，
且∵EF＝AD＝10，高AB＝4，
∴S平行四边形AEFD＝EF⋅AB＝10×4＝40．
22．（10分）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°．
（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD．
（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（，精确到 0.1米）
【分析】（1）根据正切的定义求出BD，进而求出CD；
（2）根据正弦的定义求出CE，根据题意解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝9m，
∴BD＝AB•tan∠BAD＝9×＝3（m），
∴CD＝BD﹣BC＝3﹣0.5≈4.6（m），
答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.6m；
（2）在Rt△CDE中，∠CDE＝60°，CD＝（3﹣0.5）m，
∴CE＝CD•sin∠CDE＝（3﹣0.5）×＝﹣≈4.1（m），
∵4.1˃3.9，
∴该车能进入该车库停车．
23．（10分）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图．
（1）本次被调查的学生有 200 名；
（2）补全上面的条形统计图1；
（3）计算喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（4）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
【分析】（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；
（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可；
（3）用喜好“菠萝味”的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（4）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：10÷5%＝200（名）
答：本次被调查的学生有200名，
故答案为：200；
（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10＝40（名），
补全条形统计如图1所示：
（3），
答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；
（4）（盒），
答：草莓味要比原味多送144盒．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵＝＝，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵＝，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．
25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；
（2）证明＝，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解答】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，
当点G在点F的右方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cs∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）都在反比例函数图象上．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3求解即可得表达式；
（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PG∥OC，△PDG～△ODC，用含m的代数式表示，配方即可得当的值最大时m的值，从而得到答案；
（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PD与BC的解析式用含m代数式表示E的坐标，再由△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，对应边成比例，用含m的代数式表示BE，配方即可得最大值及点m的值，从而得到P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中得：
，解得
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，如图：
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
设P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PG∥OC，
∴△PDG～△ODC，
∴，
当时，有最大值，此时点P（）；
（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，如图：
由（2）知直线BC解析式为y＝﹣x+3；
设直线AC解析式为y＝px+3，则﹣p+3＝0，解得p＝3，
∴直线AC：y＝3x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD∥AC，
∴设直线PD解析式为y＝3x+n，则﹣m2+2m+3＝3m+n，解得n＝﹣m2﹣m+3，
∴直线PD解析式为：y＝3x﹣m2﹣m+3，
由得，
∴E ，
∵∠CAO＝∠PDB＝∠PEI，∠COA＝∠PIE，
∴△PEI∽△CAO，
而AC＝＝，BC＝＝3，
∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，
∴PE＝EI，
∴PE＝10EI＝10（OH﹣OK）＝10（m﹣）＝m﹣m2，
∵∠BOC＝∠BKE＝90°，∠EBK＝∠CBO，
∴△BEK∽△BCO，
∴EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝3：3：3＝1：1：，
∴BE＝BK，
∴BE＝2BK＝2（3﹣）＝6﹣﹣，
∴BE
＝m﹣m2﹣（6﹣﹣）
＝﹣2m2+8m﹣6
＝﹣2（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，BE的最大值，最大值为2，此时P（2，3）．
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
2．单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．a5+a5＝2a5D．a8÷a4＝a2
4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
5．下列说法正确的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生
B．随机事件发生的概率为1
C．不可能事件发生的概率为0
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
6．在直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
7．如果m＝﹣1，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
8．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mmB．6mmC．4mmD．12mm
9．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（ ）寸．（1尺＝10寸）
A．101B．100C．52D．96
10．如图，反比例函数y＝的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（ ）
A．a＝b+2kB．a＝b﹣2kC．k＜b＜0D．a＜k＜0
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）：
11．数轴上表示3的点到原点的距离是 ．
12．因式分解：m3n﹣9mn＝ ．
13．某班五个合作学习小组人数如下：5、5、x、6、7，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是 ．
14．若a＜1，化简＝ ．
15．如若x2+x＝1，则x4+x3+x+1的值为 ．
16．如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x 时，y1＜y2．
17．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是
18．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 ．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）
19．（6分）计算：．
20．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
21．（10分）如图（1），四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如图（2），连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．
22．（10分）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°．
（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD．
（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（，精确到 0.1米）
23．（10分）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图．
（1）本次被调查的学生有 名；
（2）补全上面的条形统计图1；
（3）计算喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（4）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．
2021年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题只有一个正确答案，每小题4分，共40分.）
1．的绝对值是（ ）
A．B．C．D．
【分析】绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
【解答】解：根据负数的绝对值等于它的相反数，得|﹣|＝．
故选：A．
2．单项式9xmy3与单项式4x2yn是同类项，则m+n的值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据同类项的定义，可得m，n的值，根据有理数的加法，可得答案．
【解答】解：由题意，得
m＝2，n＝3．
m+n＝2+3＝5，
故选：D．
3．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a5C．a5+a5＝2a5D．a8÷a4＝a2
【分析】直接利用合并同类项法则以及整式的乘除运算法则分别计算得出答案．
【解答】解：A．a2•a3＝a5，故此选项错误；
B．（a2）3＝a6，故此选项错误；
C．a5+a5＝2a5，故此选项正确；
D．a8÷a4＝a4，故此选项错误．
故选：C．
4．下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据中心对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是中心对称图形；
B、是中心对称图形；
C、不是中心对称图形；
D、不是中心对称图形．
故选：B．
5．下列说法正确的是（ ）
A．概率很小的事件不可能发生
B．随机事件发生的概率为1
C．不可能事件发生的概率为0
D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次
【分析】不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件，发生的概率大于0并且小于1．
【解答】解：A、概率很小的事件发生可能性小，此选项错误；
B、随机事件发生的概率大于0、小于1，此选项错误；
C、不可能事件发生的概率为0，此选项正确；
D、投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数大约是500次，此选项错误；
故选：C．
6．在直角坐标系中，点P（m，2﹣2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，则P点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】直接利用互为相反数的定义得出m的值，进而利用各象限内点的坐标特点得出答案．
【解答】解：∵点P（m，2﹣2m）的横坐标与纵坐标互为相反数，
∴m+2﹣2m＝0，
解得：m＝2，
故2﹣2m＝2﹣4＝﹣2，
则P点坐标为：（2，﹣2），在第四象限．
故选：D．
7．如果m＝﹣1，那么m的取值范围是（ ）
A．0＜m＜1B．1＜m＜2C．2＜m＜3D．3＜m＜4
【分析】估算确定出的范围，进而求出m的范围即可．
【解答】解：∵9＜12＜16，
∴3＜＜4，即2＜﹣1＜3，
∴m的取值范围是2＜m＜3．
故选：C．
8．如图，要拧开一个边长为a（a＝6mm）的正六边形，扳手张开的开口b至少为（ ）
A．4mmB．6mmC．4mmD．12mm
【分析】根据题意，即是求该正六边形的边心距的2倍．构造一个由半径、半边、边心距组成的直角三角形，且其半边所对的角是30度，再根据锐角三角函数的知识求解．
【解答】解：设正多边形的中心是O，其一边是AB，
∴∠AOB＝∠BOC＝60°，
∴OA＝OB＝AB＝OC＝BC，
∴四边形ABCO是菱形，
∵AB＝6mm，∠AOB＝60°，
∴cs∠BAC＝，
∴AM＝6×＝3（mm），
∵OA＝OC，且∠AOB＝∠BOC，
∴AM＝MC＝AC，
∴AC＝2AM＝6（mm）．
解法2：连接OC、OD，过O作OM⊥CD于M，如图1所示：
则∠COD＝＝60°，
∴∠COM＝90°﹣60°＝30°，△OCD是等边三角形，
∴OC＝OD＝CD＝6mm，
∵OM⊥CD，
∴CM＝DM＝CD＝3（mm），OM＝CM＝3（mm），
∴b＝2OM＝6（mm），
故选：B．
9．在我国古代数学著作《九章算术》的第九章《勾股》中记载了这样的一个问题：“今天有开门去阔一尺，不合二寸，问门广几何？”意思是：如图，推开两扇门（AD和BC），门边缘D，C两点到门槛AB的距离是1尺，两扇门的间隙CD为2寸，则门宽AB长是（ ）寸．（1尺＝10寸）
A．101B．100C．52D．96
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：过点D作DE⊥AB，垂足为E，
设单门的宽度AO是x寸，则AE＝x﹣1，DE＝10寸，
根据勾股定理，得：AD2＝DE2+AE2，
则x2＝102+（x﹣1）2，
解得：x＝50.5，
故AB＝101寸，
故选：A．
10．如图，反比例函数y＝的图象经过二次函数y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m）（m＞0），则有（ ）
A．a＝b+2kB．a＝b﹣2kC．k＜b＜0D．a＜k＜0
【分析】把（﹣，m）代入y＝ax2+bx图象的顶点坐标公式得到顶点（﹣，﹣），再把（﹣，﹣）代入得到k＝，由图象的特征即可得到结论．
【解答】解：∵y＝ax2+bx图象的顶点（﹣，m），
∴﹣＝﹣，即b＝a，∴m＝＝﹣，
∴顶点（﹣，﹣），
把x＝﹣，y＝﹣代入反比例解析式得：k＝，
由图象知：抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∴a＜k＜0，
故选：D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分.）：
11．数轴上表示3的点到原点的距离是 3 ．
【分析】根据两点间的距离的定义解答即可．
【解答】解：在数轴上，3到原点的距离是3个单位长度，
故答案为：3．
12．因式分解：m3n﹣9mn＝ mn（m+3）（m﹣3） ．
【分析】原式提取mn后，利用平方差公式分解即可．
【解答】解：原式＝mn（m2﹣9）＝mn（m+3）（m﹣3）．
故答案为：mn（m+3）（m﹣3）
13．某班五个合作学习小组人数如下：5、5、x、6、7，已知这组数据的平均数是6，则这组数据的中位数是 6 ．
【分析】根据平均数的计算公式先求出x的值，再根据中位数的定义求解即可．
【解答】解：∵5、5、x、6、7的平均数是6，
∴（5+5+x+6+7）÷7＝6，
解得：x＝7，
将这组数据从小到大排列为5、5、6、7、7，
最中间的数是6，
则这组数据的中位数是6．
故答案为：6．
14．若a＜1，化简＝ ﹣a ．
【分析】＝|a﹣1|﹣1，根据a的范围，a﹣1＜0，所以|a﹣1|＝﹣（a﹣1），进而得到原式的值．
【解答】解：∵a＜1，
∴a﹣1＜0，
∴＝|a﹣1|﹣1
＝﹣（a﹣1）﹣1
＝﹣a+1﹣1
＝﹣a．
故答案为：﹣a．
15．如若x2+x＝1，则x4+x3+x+1的值为 2 ．
【分析】构造出x2+x，再整体代换求值．
【解答】解：∵x2+x＝1．
∴原式＝x2（x2+x）+x+1
＝x2+x+1
＝1+1
＝2．
故答案为：2．
16．如图两条相交直线y1与y2的图象如图所示，当x ＞a 时，y1＜y2．
【分析】观察函数图象，找出一次函数y1在y2的图象下方所对应的自变量的范围即可．
【解答】解：观察图象得：当x＞a时，y1＜y2；
故答案为＞a．
17．如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝36°，则圆周角∠BPC的度数是 54°
【分析】证明∠AOB＝∠COD＝36°，可得∠BOC＝108°，再利用圆周角定理可得结论．
【解答】解：∵＝，
∴∠DOC＝∠AOB＝36°，
∴∠BOC＝180°﹣∠AOB﹣∠COD＝108°，
∴∠BPC＝∠BOC＝54°，
故答案为：54°．
18．如图，点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点，图中阴影部分的面积为10π，则反比例函数的解析式为 y＝ ．
【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的，即可求得圆的半径，再根据P在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得k的值．
【解答】解：设圆的半径是r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得：
πr2＝10π
解得：r＝2．
∵点P（3a，a）是反比例函数y＝（k＞0）与⊙O的一个交点．
∴3a2＝k．
＝r
∴a2＝×（2）2＝4．
∴k＝3×4＝12，
则反比例函数的解析式是：y＝．
故答案是：y＝．
三、解答题：（本大题共8个小题，共78分）
19．（6分）计算：．
【分析】首先计算乘方、特殊角的三角函数值、开方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
【解答】解：
＝﹣1+2﹣2
＝﹣1．
20．（8分）先化简，再求值：÷﹣，其中a＝+2．
【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算可得．
【解答】解：原式＝•﹣
＝﹣
＝，
当a＝+2时，
原式＝＝＝．
21．（10分）如图（1），四边形ABCD是矩形，E是BC边上一点，点F在BC的延长线上，且CF＝BE．
（1）求证：四边形AEFD是平行四边形；
（2）如图（2），连接ED，若∠AED＝90°，AB＝4，BE＝2，求四边形AEFD的面积．
【分析】（1）根据矩形可得AD∥BC，AD＝BC，再证明EF＝AD即可得证；
（2）根据已知，由勾股定理求出AE，在利用△ABE∽△DEA，对应边成比例求出AD，即可由平行四边形面积公式得到答案．
【解答】解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC，
∵CF＝BE，
∴CF+EC＝BE+EC，即EF＝BC，
∴EF＝AD，
∴四边形AEFD是平行四边形；
（2）如图，连接ED，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABE中，AB＝4，BE＝2，
由勾股定理得，EA2＝16+4＝20，即，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠AEB．
∵∠B＝∠AED＝90°，
∴△ABE∽△DEA，
∴即，解得AD＝10，
由（1）得四边形AEFD是平行四边形，
且∵EF＝AD＝10，高AB＝4，
∴S平行四边形AEFD＝EF⋅AB＝10×4＝40．
22．（10分）如图为某单位地下停车库入口处的平面示意图，如图，在司机开车经过坡面即将进入车库时，在车库入口CD的上方BC处会看到一个醒目的限高标志，现已知图中BC高度为0.5m，AB宽度为9m，坡面的坡角为30°．
（1）根据图（1）求出入口处顶点C到坡面的铅直高度CD．
（2）图（2）中，线段CE为顶点C到坡面AD的垂直距离，现已知某货车高度为3.9米，请判断该车能否进入该车库停车？（，精确到 0.1米）
【分析】（1）根据正切的定义求出BD，进而求出CD；
（2）根据正弦的定义求出CE，根据题意解答即可．
【解答】解：（1）在Rt△ABD中，∠BAD＝30°，AB＝9m，
∴BD＝AB•tan∠BAD＝9×＝3（m），
∴CD＝BD﹣BC＝3﹣0.5≈4.6（m），
答：点C到坡面的铅直高度CD约为4.6m；
（2）在Rt△CDE中，∠CDE＝60°，CD＝（3﹣0.5）m，
∴CE＝CD•sin∠CDE＝（3﹣0.5）×＝﹣≈4.1（m），
∵4.1˃3.9，
∴该车能进入该车库停车．
23．（10分）某市为了增强学生体质，全面实施“学生饮用奶”营养工程．某品牌牛奶供应商提供了原味、草莓味、菠萝味、香橙味、核桃味五种口味的牛奶提供学生饮用．某中学为了了解学生对不同口味牛奶的喜好，对全校订购牛奶的学生进行了随机调查（每盒各种口味牛奶的体积相同），绘制了如图两张不完整的人数统计图．
（1）本次被调查的学生有 200 名；
（2）补全上面的条形统计图1；
（3）计算喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（4）该校共有1200名学生订购了该品牌的牛奶，牛奶供应商每天只为每名订购牛奶的学生配送一盒牛奶．要使学生每天都喝到自己喜好的口味的牛奶，牛奶供应商每天送往该校的牛奶中，草莓味要比原味多送多少盒？
【分析】（1）喜好“核桃味”牛奶的学生人数除以它所占的百分比即可得本次被调查的学生人数；
（2）用本次被调查的学生的总人数减去喜好原味、草莓味、菠萝味、核桃味的人数得出喜好香橙味的人数，补全条形统计图即可；
（3）用喜好“菠萝味”的学生人数除以总人数再乘以360°，即可得喜好“菠萝味”的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数；
（4）用喜好草莓味的人数占的百分比减去喜好原味的人数占的百分比，再乘以该校的总人数，即可得出答案．
【解答】解：（1）根据题意得：10÷5%＝200（名）
答：本次被调查的学生有200名，
故答案为：200；
（2）200﹣38﹣62﹣50﹣10＝40（名），
补全条形统计如图1所示：
（3），
答：喜好“菠萝味”牛奶的学生人数在扇形统计图2中所占圆心角的度数为90°；
（4）（盒），
答：草莓味要比原味多送144盒．
24．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两个点，＝＝，连接AD，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）若直径AB＝6，求AD的长．
【分析】（1）连接OD，根据已知条件得到∠BOD＝180°＝60°，根据等腰三角形的性质得到∠ADO＝∠DAB＝30°，得到∠EDA＝60°，求得OD⊥DE，于是得到结论；
（2）连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵＝＝，
∴∠BOD＝180°＝60°，
∵＝，
∴∠EAD＝∠DAB＝BOD＝30°，
∵OA＝OD，
∴∠ADO＝∠DAB＝30°，
∵DE⊥AC，
∴∠E＝90°，
∴∠EAD+∠EDA＝90°，
∴∠EDA＝60°，
∴∠EDO＝∠EDA+∠ADO＝90°，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：连接BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠DAB＝30°，AB＝6，
∴BD＝AB＝3，
∴AD＝＝3．
25．（13分）如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B（2，2），反比例函数y＝（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝．
（1）求反比例函数关系式和点E的坐标；
（2）写出DE与AC的位置关系并说明理由；
（3）点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上．
【分析】（1）求出D（，2），再用待定系数法即可求解；
（2）证明＝，即可求解；
（3）①当点F在点C的下方时，求出FH＝1，CH＝，求出点F（1，），则点G（3，），即可求解；②当点F在点C的上方时，同理可解．
【解答】解：（1）∵B（2，2），则BC＝2，
而BD＝，
∴CD＝2﹣＝，故点D（，2），
将点D的坐标代入反比例函数表达式得：2＝，解得k＝3，
故反比例函数表达式为y＝，
当x＝2时，y＝，故点E（2，）；
（2）由（1）知，D（，2），点E（2，），点B（2，2），
则BD＝，BE＝，
故＝＝，＝＝＝，
∴DE∥AC；
（3）①当点F在点C的下方时，
当点G在点F的右方时，如下图，
过点F作FH⊥y轴于点H，
∵四边形BCFG为菱形，则BC＝CF＝FG＝BG＝2，
在Rt△OAC中，OA＝BC＝2，OC＝AB＝2，
则tan∠OCA＝＝＝，故∠OCA＝30°，
则FH＝FC＝1，CH＝CF•cs∠OCA＝2×＝，
故点F（1，），则点G（3，），
当x＝3时，y＝＝，故点G在反比例函数图象上；
②当点F在点C的上方时，
同理可得，点G（1，3），
同理可得，点G在反比例函数图象上；
综上，点G的坐标为（3，）或（1，3）都在反比例函数图象上．
26．（13分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点P是直线BC上方抛物线上的动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，连接BC与OP，交于点D，求当的值最大时点P的坐标；
（3）如图②，过点P作PD∥AC交x轴于点D，交BC于点E，求BE的最大值及点P的坐标．
【分析】（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3求解即可得表达式；
（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PG∥OC，△PDG～△ODC，用含m的代数式表示，配方即可得当的值最大时m的值，从而得到答案；
（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，设P（m，﹣m2+2m+3），利用PD与BC的解析式用含m代数式表示E的坐标，再由△PEI∽△CAO，△BEK∽△BCO，对应边成比例，用含m的代数式表示BE，配方即可得最大值及点m的值，从而得到P的坐标．
【解答】解：（1）把A（﹣1，0），B（3，0），分别代入y＝ax2+bx+3（a≠0）中得：
，解得
∴该抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点G，如图：
∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，
∴C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+3，则3k+3＝0，解得k＝﹣1，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3；
设P（m，﹣m2+2m+3），则点G（m，﹣m+3），
∴PG＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，
∵PG∥OC，
∴△PDG～△ODC，
∴，
当时，有最大值，此时点P（）；
（3）过P作PH⊥x轴于点H，交BC于点J，过E作EI⊥PH于点I、EK⊥x轴于点K，如图：
由（2）知直线BC解析式为y＝﹣x+3；
设直线AC解析式为y＝px+3，则﹣p+3＝0，解得p＝3，
∴直线AC：y＝3x+3，
设P（m，﹣m2+2m+3），
∵PD∥AC，
∴设直线PD解析式为y＝3x+n，则﹣m2+2m+3＝3m+n，解得n＝﹣m2﹣m+3，
∴直线PD解析式为：y＝3x﹣m2﹣m+3，
由得，
∴E ，
∵∠CAO＝∠PDB＝∠PEI，∠COA＝∠PIE，
∴△PEI∽△CAO，
而AC＝＝，BC＝＝3，
∴EI：PI：PE＝OA：OC：AC＝1：3：，
∴PE＝EI，
∴PE＝10EI＝10（OH﹣OK）＝10（m﹣）＝m﹣m2，
∵∠BOC＝∠BKE＝90°，∠EBK＝∠CBO，
∴△BEK∽△BCO，
∴EK：BK：BE＝CO：BO：BC＝3：3：3＝1：1：，
∴BE＝BK，
∴BE＝2BK＝2（3﹣）＝6﹣﹣，
∴BE
＝m﹣m2﹣（6﹣﹣）
＝﹣2m2+8m﹣6
＝﹣2（m﹣2）2+2，
∴当m＝2时，BE的最大值，最大值为2，此时P（2，3）．
相关试卷
2023年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷（5月份）（含解析）： 这是一份2023年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷（5月份）（含解析），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷（含解析）： 这是一份2022年湖南省株洲市茶陵县中考数学模拟试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了9899×108B，试根据所提供的信息解答下列问题，【答案】C，【答案】B，899×107．，【答案】A，【答案】D等内容，欢迎下载使用。
2022年湖南省株洲市重点中学中考数学模拟调研试卷(word版含答案)： 这是一份2022年湖南省株洲市重点中学中考数学模拟调研试卷(word版含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
