高考数学一轮复习 洛必达法函数恒成立问题中的应用

这是一份高考数学一轮复习 洛必达法函数恒成立问题中的应用，共15页。试卷主要包含了命题趋势及其背景，分类讨论和假设反证，洛必达法则的具体内容等内容，欢迎下载使用。
与型函数恒成立相关的导数数学试题是一个热点，也是一个难点.为了充分发挥数学作为基础学科的作用，既重视考查中学数学基础知识的掌握程度，又注重考查进入高校继续学习的潜能.为此，与之相关的数学试题常与大学数学知识有机接轨，以高等数学为背景的命题形式成为了热点.
2.分类讨论和假设反证
导数应用问题是许多市的模考压轴题或是高考压轴题，其中求参数的取值范围就是一类重点考查的题型.这类题目容易让学生想到用分离参数法，一部分题用这种方法很奏效，另一部分题在高中范围内用分离参数的方法却不能顺利解决，高中阶段解决它似乎只有两条路——分类讨论和假设反证的方法.但很多时候洛必达法则可以为我们提供分类讨论的依据，找到正确答案很有帮助.
3.洛必达法则——型和型函数未定式的一种解法.
虽然这些压轴题可以用分类讨论和假设反证的方法求解，但这种方法往往讨论多样、过于繁杂，学生掌握起来非常困难.研究发现利用分离参数的方法不能解决这部分问题的原因是出现了”型的式子，而这就是大学数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则.
4.洛必达法则的具体内容
洛必达法则：设函数、满足：
（1）；（2）在内，和都存在，且；
（3）（可为实数，也可以是）.则.（可循环使用）
注意：
①使用洛必达法则时，是对分子、分母分别求导，而不是对它们的商求导，求导之后再求极限得最值.
②型型可转化为型或型，例如：.
一、简单应用举例（简单应用）
例题1：求的值.
分析可知将带入的分母分子都为，即典型的型.
则（循环使用洛必达法则，对分式的分子分母连续求导）
例题2：求的值.（同例题1的方法可得结果为）
例题3：若不等式对于恒成立，求的取值范围.
解：应用洛必达法则和导数
当时，原不等式等价于.
记，则.
且时，，所以.因此在上单调递减.
.所以.
例题4：已知函数.
（1）若在时有极值，求函数的解析式；
（2）当时，，求的取值范围.
解：（1）因为，所以
由在处取极值，得，求得，所以.
（2）应用洛必达法则和导数
当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于，也即.
记，，则.
记，，则，因此在上单调递增，且，所以；
从而在上单调递增，所以.
由洛必达法则有：，
即当时，，所以，即有.
综上所述，当，时，成立.
通过以上几个例题的分析，我们不难发现应用洛必达法则解决的试题应满足：
（1）可以分离变量；（2）用导数可以确定分离变量后一端新函数的单调性；
（3）出现“”型式子.
二、型函数恒成立问题其它应用举例（中层与高层应用）
例题5：已知函数在处取得极值，且曲线在点处的切线与直线垂直.
(1)求实数的值；
(2)若，不等式恒成立，求实数的取值范围.
解：(1), ；
函数在处取得极值， ；
又曲线在点处的切线与直线垂直，；
解得：；
（2）不等式恒成立可化为，即；
当时，恒成立；
当时，恒成立，
令，则；
令， 则；
令，则；
得在是减函数，故，进而
（或，，得在是减函数，进而）．
可得：，故，所以在是减函数，而要大于等于在上的最大值，但当时，没有意义，变量分离失效，我们可以由洛必达法得到答案，，故答案为．用洛必达法则得到了正确答案．
注：解答题不好用洛必达法则这样高等数学的方法求解，但这种方法起码让我们知道了分界点，那么用初等数学的方法该如何书写？用初等方法解决的话，只需解决好以下两步就可以了．第一步说明当时，命题是成立的；第二步说明当时，命题是不成立的．
用初等方法解决此问题：
令，；
（1）当时，对于函数，有；
此时， 所以；
所以函数在上单调递减，所以．
（2）当时，；令，
（i）当时，，则；
所以 单调递增，则，命题不成立；
（ii）当时，开口向下，，
的两根为，；
当时，，函数在上单调递增；矛盾．
说明：这样，我们就证明了当时，命题成立；当时，命题不成立；在解决问题的过程中，将问题转化为型之后，借助洛必达法则找到了正确答案的分界点，借助分界点这样我们就找到了分类讨论标准，进而成功解决了问题．
例题6：设函数=；
（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求a的取值范围.
解：（1）当时，，.
当时，；当时，.
故在单调递减，在上单调递增.
（2）.
由（1）知，当且仅当x=0时等号成立.
故，从而当，即时，（），
而，于是当时，.
由（），可得（）.
从而当时，，
故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为.
原题的解在处理第（2）问时用到的不等式放缩较难想到，现应用洛必达法则处理如下：
（2）当时，，即.
①当时，；
②当时，等价于.
记，其中，则.
记，则，当时，，所以在上单调递增，且，
所以在上单调递增，且，
因此当时，，从而在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，所以当时，所以，因此.
综上所述，当且时，成立.
注：洛必达法则很容易解决了这个问题，现在我们用初等的方法改写一下此题的第（2）问，讲清楚两个问题就可以了：一是时命题成立；二是时命题不成立.格式如下：
（2）；
①当时，（，求导易证）；
所以在上单调递增，从而，命题是成立的.
②当时，，易得，，其中，可得
在上单调递减，在上单调递增.
且，所以当时，；
所以在上单调递减，故，此时命题不成立.
故得正确答案是.
说明：经过洛必达法则的使用，我们对的处理就显得自然的多了，所以洛必达法则对很多优秀学生来说，知道其处理的思路，很多时候对我们解决导数压轴题还是有很大帮助的.
例题7：函数，曲线在点处的切线方程为.
（1）求、的值；
（2）如果当，且时，，求的取值范围.
解：（1）易得，.
（2）方法一：分类讨论、假设反证法
由（1）知，所以.
考虑函数，则.
(i)当时，由知，当时，.因为，
所以当时，，可得；当时，，可得
，从而当且时，，即；
（ii）当时，由于当时，，故，而，故当时，，可得，与题设矛盾.
（iii）当时，，而，故当时，，可得，与题设矛盾.综上可得，的取值范围为.
注：分三种情况讨论：①；②；③不易想到.尤其是②时，许多考生都停留在此层面，举反例更难想到.而这方面根据不同题型涉及的解法也不相同，这是高中阶段公认的难点，即便通过训练也很难提升.
方法二：运用洛必达和导数求解本题的恒成立问题
当，且时，，即，
也即，记，，且
则，
记，则，
从而在上单调递增，且，因此当时，，当时，；当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增.
由洛必达法则有
，
即当，且时，.因为恒成立，所以.综上所述，当，且时，成立，的取值范围为.
注：（1）本题由已知很容易想到用分离变量的方法把参数分离出来.然后对分离出来的函数求导，研究其单调性、极值.
（2）分离参数之后，先帮助我们找到正确答案，在利用常规不分离的思路去证时是不可能的，这时要分和两种情况就显得比较明显了（大家可以尝试着改写）.
下面再举几例来说明这个问题：
例题8：设函数.
（1）证明：当时，；
（2）设当时，，求的取值范围.
解：（1）易证.
（2）应用洛必达法则和导数
由题设，此时.
①当时，若，则，不成立；
②当时，当时，，即；
若，则；
若，则等价于，即.
记，则.
记，则，.
因此，在上单调递增，且，所以，
即在上单调递增，且，所以.
因此，所以在上单调递增.
由洛必达法则有，
即当时，，即有，所以.
综上所述，的取值范围是.
注：本题在用初等方法改写时，先做当时，同（2）中的①，得到不符合.可令，即得：，求得，再令：，
可证得：时命题成立，时命题不成立.
例题9：已知函数，．
（1）若函数是上的单调递增函数，求实数的最小值；
（2）若，且对任意，都有不等式成立，求实数的取值范围．
解：(1)∵函数在R上单调递增，
∴恒成立，∴，即，∴.
(2)考虑变量分离，应用洛必达法则求解：
∵，∴函数，
由对任意都成立，得恒成立.
即恒成立.
①当，恒成立；
②当，恒成立；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当时，即：恒成立；
令，则
∴在上单调递增；
∴（行不通，洛必达法则），
所以：
初等方法解决：
∵，∴函数，∵，∴.
对于任意，令，
则
①当，即时，，
∴在上为单调递增函数，∴，符合题意，∴.
②当，即时，令，于是.
∵，∴，∴，∴在上为单调递增函数，
∴，即，∴.
(ⅰ)当，即时，，
∴在上为单调递增函数，于是，符合题意，∴.
(ⅱ)当，即时，存在，使得当时，有，
此时在上为单调递减函数，从而，不能使恒成立，
综上所述，实数的取值范围为.
注：本题是与三角函数导数有关的问题，如果没有洛必达法则的应用，分界点的选取就显得很不自然了，不容易想到.借助于洛必达法则，在用初等方法改写的过程中，分界点的讨论选取就显得很自然了.
例题10：设函数．
（1）求的单调区间；（2）如果对任何，都有，求的取值范围．
解：（1）．
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，
在每一个区间（）是减函数．
（2）应用洛必达法则和导数
若，则；
若，则等价于，即：
则.
记，
因此，当时，，在上单调递减，且，故，所以在上单调递减，
而.
另一方面，当时，，因此.
例题11：若不等式对于恒成立，求的取值范围.
解：应用洛必达法则和导数
当时，原不等式等价于.
记，则.
记，则.
因为，
，所以在上单调递减，且，
所以在上单调递减，且.因此在上单调递减，
且，故，因此在上单调递减.
由洛必达法则有
，
即当时，，即有.
故时，不等式对于恒成立.
综述：关于洛必达法则在型函数恒成立问题中的应用问题，我们可以对优秀的学生讲一讲洛必达法则的应用，再通过强化训练就能掌握解决此类难题的这一有效方法.它虽然不能作为规范解答，但可以帮助我们找到分类讨论的标准.
当然这一法则出手的时机：（1）所构造的分式型函数在定义域上单调；（2）是型.