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高考数学一轮复习第九章 检测九
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这是一份高考数学一轮复习第九章 检测九，共12页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500,600,700，现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛，则应选取的初二年级学生人数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 因为分层抽样中，每个层次在总体中所占的比例与在样本中所占的比例相等，所以应选取的初二年级学生人数为eq \f(600,500＋600＋700)×18＝6，故选B.
2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
答案 C
解析 A中两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.
3．(2020·株州质检)为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是( )
A．参加活动次数是3场的学生约为360人
B．参加活动次数是2场或4场的学生约为480人
C．参加活动次数不高于2场的学生约为280人
D．参加活动次数不低于4场的学生约为360人
答案 D
解析 参加活动次数为3场的学生约有1 000×26%＝260(人)，A错误；
参加活动次数为2场或4场的学生约有1 000×(20%＋18%)＝380(人)，B错误；
参加活动次数不高于2场的学生约有1 000×(8%＋10%＋20%)＝380(人)，C错误；
参加活动次数不低于4场的学生约有1 000×(18%＋12%＋4%＋2%)＝360(人)，D正确．
4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
答案 B
解析 由于eq \f(840,42)＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为eq \f(720－480,20)＝eq \f(240,20)＝12.
5．(2020·沈阳模拟)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(6,13) C.eq \f(4,13) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 设甲同学的座位号为a，乙同学的座位号为b，则事件：甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位包含的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共13种情况．事件：甲、乙两位同学的座位号相加是偶数包含(1,3)，(3,1)，(4,2)，(5,1)，(5,3)，共5种情况，所以该事件发生的概率P＝eq \f(5,13)，故选A.
6．(2020·四川绵阳诊断测试)《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(2π,15) B.eq \f(3π,20) C．1－eq \f(2π,15) D．1－eq \f(3π,20)
答案 C
解析 如图，由题意知5－r＋12－r＝13，
解得r＝2，
∴内切圆的面积S＝πr2＝4π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P＝1－eq \f(4π,\f(1,2)×5×12)＝1－eq \f(2π,15).
7．(2020·蚌埠质检)用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋2，则c等于( )
A．e2 B．e4 C．2 D．4
答案 A
解析 z＝ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c
＝0.3x＋2，
∴ln c＝2 即c＝e2.
8．下列关于线性回归的判断，正确的个数为( )
①若散点图中所有的点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点A，B，C；
③已知回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.50x－0.81，则当x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义，知只有按最小二乘法求得回归系数eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))，得到的直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))才是回归直线，所以①不对；②正确；将x＝25代入eq \(y,\s\up6(^))＝0.50x－0.81，解得eq \(y,\s\up6(^))＝11.69，所以③正确；④正确，所以选D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，下列结论正确的是( )
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．深圳和厦门往返机票的平均价格同去年同期相比有所下降
C．平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州
D．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海
答案 ABC
解析 由图可知ABC正确，D错误．
10．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法正确的是( )
A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加
B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍
C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍
D．2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一
答案 ABD
解析 根据图示数据可知A正确；1935.5×2＝3 871<5 720.9，故B正确；16 635.3×1.5＝24 952.95>23 595.8，故C不正确；23 595.8×eq \f(1,3)≈7865.3>5 720.9，故D正确．故选ABD.
11．某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：
则下列说法正确的是( )
A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
答案 BD
解析 在A中，甲运动员得分的极差为34－9＝25，
乙运动员得分的极差为35－10＝25，
∴甲运动员得分的极差等于乙运动员得分的极差，故A错误；
在B中，甲运动员得分的中位数为eq \f(18＋24,2)＝21，
乙运动员得分的中位数为eq \f(21＋23,2)＝22，
∴甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，故B正确；
在C中，甲运动员得分的平均数为eq \f(1,6)(31＋16＋24＋34＋18＋9)＝22，
乙运动员得分的平均数为eq \f(1,6)(23＋21＋32＋11＋35＋10)＝22，
∴甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值，故C错误；
在D中，甲运动员得分的方差seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(31－22)2＋(16－22)2＋…＋(9－22)2]＝75，
乙运动员得分的方差seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(23－22)2＋(21－22)2＋…＋(10－22)2]≈113，
∵seq \\al(2,甲)∴甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定，故D正确．
故选BD.
12．为研究需要，统计了两个变量x，y的数据情况如表：
其中数据x1，x2，x3，…，xn和数据y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为eq \x\t(x)和eq \x\t(y)，并且计算相关系数r＝－0.8，线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则下列结论正确的为( )
A．点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))必在回归直线上，即eq \x\t(y)＝eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＋eq \(a,\s\up6(^))
B．变量x，y的相关性强
C．当x＝x1，则必有y＝y1
D.eq \(b,\s\up6(^))<0
答案 ABD
解析 A．回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))过样本点中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
即eq \x\t(y)＝eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＋eq \(a,\s\up6(^))，所以A正确；
B．相关系数r＝－0.8，|r|>0.75，变量x，y的相关性强，所以B正确；
C．当x＝x1时，不一定有y＝y1，因此C错误；
D．因为r＝－0.8<0，是负相关，所以eq \(b,\s\up6(^))<0，D正确；
故选ABD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．(2020·安顺联考)三个同学重新随机调换座位，则恰有一个坐在自己原来的位置上的概率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 三人随机换位共有6种坐法，恰有一人坐在自已原来位置上的坐法有3种，所以所求概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
14．(2020·惠州调研)某工厂为了了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差为________．
答案 32
解析 样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，所以数据2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差为22×8＝32.
15．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为________．
答案 0.018
解析 因为(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，所以x＝0.018.
16.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 5 甲组
解析 由题意可知eq \f(75＋88＋89＋98＋90＋a,5)＝
eq \f(76＋85＋89＋98＋97,5)＝89，解得a＝5.
因为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝eq \f(314,5)，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝eq \f(330,5)，
所以seq \\al(2,甲)＜seq \\al(2,乙)，故成绩相对稳定的是甲组．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2020·青岛模拟)某研究机构为了了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了60名学生(其中男、女生人数之比为2∶1)进行问卷调查．进行统计后将这60名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间(单位：分钟)分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]5组，得到如图所示的频率分布直方图(所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟)．
(1)求出女生组频率分布直方图中a的值；
(2)求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数．
解 (1)(0.01＋0.015＋0.03＋0.01＋a)×10＝1，
解得a＝0.035.
(2)60名学生中男、女生人数分别为40,20，
(0.035＋0.01)×10×20＋(0.02＋0.015)×10×40＝9＋14＝23，
即抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数为23.
18．(12分)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：x(单位：吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市市民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1) ，…，[4,4.5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解 (1)由直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，
解得a＝0.30.
(2)因为前6组频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85.
而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85.
所以2.5≤x<3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，
解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准．
19．(12分)(2020·武汉模拟)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
A类行业：85,82,77,78,83,87；
B类行业：76,67,80,85,79,81；
C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82.
(1)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
(2)若从抽取的A类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
解 (1)由题意，得抽取的A，B，C三类行业单位个数之比为3∶3∶4.
由分层抽样的定义，
A类行业的单位个数为eq \f(3,10)×200＝60，
B类行业的单位个数为eq \f(3,10)×200＝60，
C类行业的单位个数为eq \f(4,10)×200＝80，
故该城区A，B，C三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.
(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M.
这3个单位的考核数据情形有{85,82,77}，{85,82,78}，{85,82,83}，{85,82,87}，{85,77,78}，{85,77,83}，{85,77,87}，{85,78,83}，{85,78,87}，{85,83,87}，{82,77,78}，{82,77,83}，{82,77,87}，{82,78,83}，{82,78,87}，{82,83,87}，{77,78,83}，{77,78,87}，{77,83,87}，{78,83,87}，共20种．
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{85,82,83}，{85,82,87}，{85,83,87}，{82,83,87}，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率P(M)＝1－eq \f(4,20)＝eq \f(4,5).
20．(12分)某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率．
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由公式K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，观测值k≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．
(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2，
从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1 位20岁至40岁的市民的事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为eq \f(8,15).
21．(12分)党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态．为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目，现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
(2)从(1)中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
(3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案．
解 (1)样本中“水果达人”的频率为(0.007 5＋0.005)×20＝0.25，
所以样本中“水果达人”的人数为100×0.25＝25，
由图可知，消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3∶2，
其中消费金额不低于100元的人数为25×eq \f(2,5)＝10，
所以，抽取的5人中消费金额不低于100元的人数为10×eq \f(5,25)＝2.
(2)由(1)得，抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为A，B，C.消费金额不低于100元的有2人，记为a，b，
5人中随机抽取2人，所有基本事件如下：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，
共有10种，其中满足题意的有7种．
所以2人中至少有1人购买金额不低于100的概率P＝eq \f(7,10).
(3)依题意得，该游客要购买110元的水果，
若选择方案一，则需支付(80－8)＋30＝102(元)，
选择方案二，则需支付50＋(80－50)×0.9＋(100－80)×0.8＋(110－100)×0.7＝100(元)，
所以选择方案二更优惠．
22．(12分)(2020沈阳期末)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；
(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．
①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断；(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))
②经计算求得y与x之间的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围．(x值精确到0.01)
相关公式：r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，
参考数据：eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝66，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)eq \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)≈77.
解 (1)由题可知，eq \x\t(x)＝eq \f(5＋2＋9＋8＋11,5)＝7(百单)，
eq \x\t(y)＝eq \f(2＋3＋10＋5＋15,5)＝7(百单)，
外卖甲的日接单量的方差
seq \\al(2,甲)＝eq \f(7－52＋7－22＋7－92＋7－82＋7－112,5)
＝10，
外卖乙的日接单量的方差
seq \\al(2,乙)＝eq \f(7－22＋7－32＋7－102＋7－52＋7－152,5)
＝23.6，
因为eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,甲)即外卖甲平均日接单量与乙相同，但外卖甲日接单量更稳定一些，所以外卖甲比外卖乙经营状况更好．
(2) ①因为r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，
由eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝66，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)eq \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)≈77，
代入计算可得，相关系数r≈eq \f(66,77)≈0.857>0.75，
所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系．
②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，
解得x≥20.02，
又20.02×100×3＝6 006，
所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元．参加场数
0
1
2
3
4
5
6
7
参加人数占调查人数的百分比
8%
10%
20%
26%
18%
12%
4%
2%
场次
1
2
3
4
5
6
甲得分
31
16
24
34
18
9
乙得分
23
21
32
11
35
10
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单x(百单)
5
2
9
8
11
外卖乙日接单y(百单)
2
3
10
5
15
1．某中学初一、初二、初三的学生人数分别为500,600,700，现用分层抽样的方法从这三个年级中选取18人参加学校的演讲比赛，则应选取的初二年级学生人数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析 因为分层抽样中，每个层次在总体中所占的比例与在样本中所占的比例相等，所以应选取的初二年级学生人数为eq \f(600,500＋600＋700)×18＝6，故选B.
2．从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
C．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
D．“至少有一个黑球”与“都是红球”
答案 C
解析 A中两个事件能同时发生，故不互斥；同样，B中两个事件也可同时发生，故不互斥；D中两个事件是对立的，故选C.
3．(2020·株州质检)为弘扬中华民族传统文化，某中学学生会对本校高一年级1 000名学生课余时间参加传统文化活动的情况，随机抽取50名学生进行调查，将数据分组整理后，列表如下：
估计该校高一学生参加传统文化活动情况正确的是( )
A．参加活动次数是3场的学生约为360人
B．参加活动次数是2场或4场的学生约为480人
C．参加活动次数不高于2场的学生约为280人
D．参加活动次数不低于4场的学生约为360人
答案 D
解析 参加活动次数为3场的学生约有1 000×26%＝260(人)，A错误；
参加活动次数为2场或4场的学生约有1 000×(20%＋18%)＝380(人)，B错误；
参加活动次数不高于2场的学生约有1 000×(8%＋10%＋20%)＝380(人)，C错误；
参加活动次数不低于4场的学生约有1 000×(18%＋12%＋4%＋2%)＝360(人)，D正确．
4．某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11 B．12 C．13 D．14
答案 B
解析 由于eq \f(840,42)＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落入区间[481,720]的人数为eq \f(720－480,20)＝eq \f(240,20)＝12.
5．(2020·沈阳模拟)共有编号分别为1,2,3,4,5的五个座位，在甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位的条件下，甲、乙两位同学的座位号相加是偶数的概率为( )
A.eq \f(5,13) B.eq \f(6,13) C.eq \f(4,13) D.eq \f(1,2)
答案 A
解析 设甲同学的座位号为a，乙同学的座位号为b，则事件：甲同学不坐2号座位，乙同学不坐5号座位包含的基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共13种情况．事件：甲、乙两位同学的座位号相加是偶数包含(1,3)，(3,1)，(4,2)，(5,1)，(5,3)，共5种情况，所以该事件发生的概率P＝eq \f(5,13)，故选A.
6．(2020·四川绵阳诊断测试)《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是( )
A.eq \f(2π,15) B.eq \f(3π,20) C．1－eq \f(2π,15) D．1－eq \f(3π,20)
答案 C
解析 如图，由题意知5－r＋12－r＝13，
解得r＝2，
∴内切圆的面积S＝πr2＝4π，
∴豆子落在内切圆外部的概率P＝1－eq \f(4π,\f(1,2)×5×12)＝1－eq \f(2π,15).
7．(2020·蚌埠质检)用模型y＝cekx拟合一组数据时，为了求出回归方程，设z＝ln y，其变换后得到线性回归方程z＝0.3x＋2，则c等于( )
A．e2 B．e4 C．2 D．4
答案 A
解析 z＝ln y＝ln(cekx)＝ln c＋ln ekx＝kx＋ln c
＝0.3x＋2，
∴ln c＝2 即c＝e2.
8．下列关于线性回归的判断，正确的个数为( )
①若散点图中所有的点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；
②散点图中的绝大多数点都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的点A，B，C；
③已知回归方程eq \(y,\s\up6(^))＝0.50x－0.81，则当x＝25时，y的估计值为11.69；
④回归方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 D
解析 能使所有数据点都在它附近的直线不止一条，而据回归直线的定义，知只有按最小二乘法求得回归系数eq \(a,\s\up6(^))，eq \(b,\s\up6(^))，得到的直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))才是回归直线，所以①不对；②正确；将x＝25代入eq \(y,\s\up6(^))＝0.50x－0.81，解得eq \(y,\s\up6(^))＝11.69，所以③正确；④正确，所以选D.
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．如图是2019年春运期间十二个城市售出的往返机票的平均价格以及相比去年同期变化幅度的数据统计图，下列结论正确的是( )
A．深圳的变化幅度最小，北京的平均价格最高
B．深圳和厦门往返机票的平均价格同去年同期相比有所下降
C．平均价格从高到低位于前三位的城市为北京、深圳、广州
D．平均价格的涨幅从高到低位于前三位的城市为天津、西安、上海
答案 ABC
解析 由图可知ABC正确，D错误．
10．新闻出版业不断推进供给侧结构性改革，深入推动优化升级和融合发展，持续提高优质出版产品供给，实现了行业的良性发展．下面是2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收情况，则下列说法正确的是( )
A．2012年至2016年我国新闻出版业和数字出版业营收均逐年增加
B．2016年我国数字出版业营收超过2012年我国数字出版业营收的2倍
C．2016年我国新闻出版业营收超过2012年我国新闻出版业营收的1.5倍
D．2016年我国数字出版业营收占新闻出版业营收的比例未超过三分之一
答案 ABD
解析 根据图示数据可知A正确；1935.5×2＝3 871<5 720.9，故B正确；16 635.3×1.5＝24 952.95>23 595.8，故C不正确；23 595.8×eq \f(1,3)≈7865.3>5 720.9，故D正确．故选ABD.
11．某赛季甲乙两名篮球运动员各6场比赛得分情况如表：
则下列说法正确的是( )
A．甲运动员得分的极差小于乙运动员得分的极差
B．甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数
C．甲运动员得分的平均值大于乙运动员得分的平均值
D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定
答案 BD
解析 在A中，甲运动员得分的极差为34－9＝25，
乙运动员得分的极差为35－10＝25，
∴甲运动员得分的极差等于乙运动员得分的极差，故A错误；
在B中，甲运动员得分的中位数为eq \f(18＋24,2)＝21，
乙运动员得分的中位数为eq \f(21＋23,2)＝22，
∴甲运动员得分的中位数小于乙运动员得分的中位数，故B正确；
在C中，甲运动员得分的平均数为eq \f(1,6)(31＋16＋24＋34＋18＋9)＝22，
乙运动员得分的平均数为eq \f(1,6)(23＋21＋32＋11＋35＋10)＝22，
∴甲运动员得分的平均值等于乙运动员得分的平均值，故C错误；
在D中，甲运动员得分的方差seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,6)[(31－22)2＋(16－22)2＋…＋(9－22)2]＝75，
乙运动员得分的方差seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,6)[(23－22)2＋(21－22)2＋…＋(10－22)2]≈113，
∵seq \\al(2,甲)
故选BD.
12．为研究需要，统计了两个变量x，y的数据情况如表：
其中数据x1，x2，x3，…，xn和数据y1，y2，y3，…，yn的平均数分别为eq \x\t(x)和eq \x\t(y)，并且计算相关系数r＝－0.8，线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))，则下列结论正确的为( )
A．点(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))必在回归直线上，即eq \x\t(y)＝eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＋eq \(a,\s\up6(^))
B．变量x，y的相关性强
C．当x＝x1，则必有y＝y1
D.eq \(b,\s\up6(^))<0
答案 ABD
解析 A．回归直线eq \(y,\s\up6(^))＝eq \(b,\s\up6(^))x＋eq \(a,\s\up6(^))过样本点中心(eq \x\t(x)，eq \x\t(y))，
即eq \x\t(y)＝eq \(b,\s\up6(^))eq \x\t(x)＋eq \(a,\s\up6(^))，所以A正确；
B．相关系数r＝－0.8，|r|>0.75，变量x，y的相关性强，所以B正确；
C．当x＝x1时，不一定有y＝y1，因此C错误；
D．因为r＝－0.8<0，是负相关，所以eq \(b,\s\up6(^))<0，D正确；
故选ABD.
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．)
13．(2020·安顺联考)三个同学重新随机调换座位，则恰有一个坐在自己原来的位置上的概率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 三人随机换位共有6种坐法，恰有一人坐在自已原来位置上的坐法有3种，所以所求概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
14．(2020·惠州调研)某工厂为了了解产品的生产情况，随机抽取了100个样本．若样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，则数据2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差为________．
答案 32
解析 样本数据x1，x2，…，x100的方差为8，所以数据2x1－1,2x2－1，…，2x100－1的方差为22×8＝32.
15．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x的值为________．
答案 0.018
解析 因为(0.006×3＋0.01＋0.054＋x)×10＝1，所以x＝0.018.
16.如图所示的茎叶图是甲、乙两组各5名学生的数学竞赛成绩(70分～99分)，若甲、乙两组学生的平均成绩一样，则a＝________；甲、乙两组学生的成绩相对稳定的是________．(本题第一空2分，第二空3分)
答案 5 甲组
解析 由题意可知eq \f(75＋88＋89＋98＋90＋a,5)＝
eq \f(76＋85＋89＋98＋97,5)＝89，解得a＝5.
因为seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(－14)2＋(－1)2＋0＋92＋62]＝eq \f(314,5)，seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(－13)2＋(－4)2＋0＋92＋82]＝eq \f(330,5)，
所以seq \\al(2,甲)＜seq \\al(2,乙)，故成绩相对稳定的是甲组．
四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2020·青岛模拟)某研究机构为了了解某学校学生使用手机的情况，在该校随机抽取了60名学生(其中男、女生人数之比为2∶1)进行问卷调查．进行统计后将这60名学生按男、女分为两组，再将每组学生每天使用手机的时间(单位：分钟)分为[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50]5组，得到如图所示的频率分布直方图(所抽取的学生每天使用手机的时间均不超过50分钟)．
(1)求出女生组频率分布直方图中a的值；
(2)求抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数．
解 (1)(0.01＋0.015＋0.03＋0.01＋a)×10＝1，
解得a＝0.035.
(2)60名学生中男、女生人数分别为40,20，
(0.035＋0.01)×10×20＋(0.02＋0.015)×10×40＝9＋14＝23，
即抽取的60名学生中每天使用手机时间不少于30分钟的学生人数为23.
18．(12分)我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准：x(单位：吨)，用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市市民用水量分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量(单位：吨)，将数据按照[0,0.5)，[0.5,1) ，…，[4,4.5] 分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由．
解 (1)由直方图，可得(0.08＋0.16＋a＋0.40＋0.52＋a＋0.12＋0.08＋0.04)×0.5＝1，
解得a＝0.30.
(2)因为前6组频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52＋0.30)×0.5＝0.88>0.85.
而前5组的频率之和为(0.08＋0.16＋0.30＋0.40＋0.52)×0.5＝0.73<0.85.
所以2.5≤x<3.
由0.3×(x－2.5)＝0.85－0.73，
解得x＝2.9.
因此，估计月用水量标准为2.9吨，85%的居民每月的用水量不超过标准．
19．(12分)(2020·武汉模拟)为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念，某城区对辖区内A，B，C三类行业共200个单位的生态环境治理成效进行了考核评估，考评分数达到80分及其以上的单位被称为“星级”环保单位，未达到80分的单位被称为“非星级”环保单位．现通过分层抽样的方法获得了这三类行业的20个单位，其考评分数如下：
A类行业：85,82,77,78,83,87；
B类行业：76,67,80,85,79,81；
C类行业：87,89,76,86,75,84,90,82.
(1)计算该城区这三类行业中每类行业的单位个数；
(2)若从抽取的A类行业这6个单位中，再随机选取3个单位进行某项调查，求选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位的概率．
解 (1)由题意，得抽取的A，B，C三类行业单位个数之比为3∶3∶4.
由分层抽样的定义，
A类行业的单位个数为eq \f(3,10)×200＝60，
B类行业的单位个数为eq \f(3,10)×200＝60，
C类行业的单位个数为eq \f(4,10)×200＝80，
故该城区A，B，C三类行业中每类行业的单位个数分别为60,60,80.
(2)记选出的这3个单位中既有“星级”环保单位，又有“非星级”环保单位为事件M.
这3个单位的考核数据情形有{85,82,77}，{85,82,78}，{85,82,83}，{85,82,87}，{85,77,78}，{85,77,83}，{85,77,87}，{85,78,83}，{85,78,87}，{85,83,87}，{82,77,78}，{82,77,83}，{82,77,87}，{82,78,83}，{82,78,87}，{82,83,87}，{77,78,83}，{77,78,87}，{77,83,87}，{78,83,87}，共20种．
这3个单位都是“星级”环保单位的考核数据情形有{85,82,83}，{85,82,87}，{85,83,87}，{82,83,87}，共4种，没有都是“非星级”环保单位的情形，
故这3个单位都是“星级”环保单位或都是“非星级”环保单位的情形共4种，
故所求概率P(M)＝1－eq \f(4,20)＝eq \f(4,5).
20．(12分)某旅行社为调查市民喜欢“人文景观”景点是否与年龄有关，随机抽取了55名市民，得到数据如下表所示：
(1)判断是否有99.5%的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关？
(2)用分层抽样的方法从喜欢“人文景观”景点的市民中随机抽取6人作进一步调查，将这6名市民作为一个样本，从中任选2人，求恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率．
参考公式：K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.
解 (1)由公式K2＝eq \f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)得，观测值k≈11.978>7.879，所以有99.5%以上的把握认为喜欢“人文景观”景点与年龄有关．
(2)由题意知抽取的6人中大于40岁的市民有4个，20岁至40岁的市民有2个，分别记为B1，B2，B3，B4，C1，C2，
从中任选2人的基本事件有(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，B4)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，(C1，C2)，共15个，其中恰有1位大于40岁的市民和1 位20岁至40岁的市民的事件有(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(B4，C1)，(B4，C2)，共8个，所以恰有1位大于40岁的市民和1位20岁至40岁的市民的概率为eq \f(8,15).
21．(12分)党的十九大报告指出，要以创新理念提升农业发展新动力，引领经济发展走向更高形态．为进一步推进农村经济结构调整，某村举办水果观光采摘节，并推出配套乡村游项目，现统计了4月份100名游客购买水果的情况，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)若将购买金额不低于80元的游客称为“水果达人”，现用分层抽样的方法从样本的“水果达人”中抽取5人，求这5人中消费金额不低于100元的人数；
(2)从(1)中的5人中抽取2人作为幸运客户免费参加山村旅游项目，请列出所有的基本事件，并求2人中至少有1人购买金额不低于100元的概率；
(3)为吸引顾客，该村特推出两种促销方案，
方案一：每满80元可立减8元；
方案二：金额超过50元但又不超过80元的部分打9折，金额超过80元但又不超过100元的部分打8折，金额超过100元的部分打7折．
若水果的价格为11元/千克，某游客要购买10千克，应该选择哪种方案．
解 (1)样本中“水果达人”的频率为(0.007 5＋0.005)×20＝0.25，
所以样本中“水果达人”的人数为100×0.25＝25，
由图可知，消费金额在[80,100)与[100,120]的人数比为3∶2，
其中消费金额不低于100元的人数为25×eq \f(2,5)＝10，
所以，抽取的5人中消费金额不低于100元的人数为10×eq \f(5,25)＝2.
(2)由(1)得，抽取的5人中消费金额低于100元的有3人，记为A，B，C.消费金额不低于100元的有2人，记为a，b，
5人中随机抽取2人，所有基本事件如下：(A，B)，(A，C)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(a，b)，
共有10种，其中满足题意的有7种．
所以2人中至少有1人购买金额不低于100的概率P＝eq \f(7,10).
(3)依题意得，该游客要购买110元的水果，
若选择方案一，则需支付(80－8)＋30＝102(元)，
选择方案二，则需支付50＋(80－50)×0.9＋(100－80)×0.8＋(110－100)×0.7＝100(元)，
所以选择方案二更优惠．
22．(12分)(2020沈阳期末)互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，某市一调查机构针对该市市场占有率较高的甲、乙两家网络外卖企业(以下外卖甲、外卖乙)的经营情况进行了调查，调查结果如下表：
(1)试根据表格中这五天的日接单量情况，从统计的角度说明这两家外卖企业的经营状况；
(2)据统计表明，y与x之间具有线性关系．
①请用相关系数r对y与x之间的相关性强弱进行判断；(若|r|>0.75，则可认为y与x有较强的线性相关关系(r值精确到0.001))
②经计算求得y与x之间的线性回归方程为eq \(y,\s\up6(^))＝1.382x－2.674，假定每单外卖业务企业平均能获纯利润3元，试预测当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润的大致范围．(x值精确到0.01)
相关公式：r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，
参考数据：eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝66，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)eq \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)≈77.
解 (1)由题可知，eq \x\t(x)＝eq \f(5＋2＋9＋8＋11,5)＝7(百单)，
eq \x\t(y)＝eq \f(2＋3＋10＋5＋15,5)＝7(百单)，
外卖甲的日接单量的方差
seq \\al(2,甲)＝eq \f(7－52＋7－22＋7－92＋7－82＋7－112,5)
＝10，
外卖乙的日接单量的方差
seq \\al(2,乙)＝eq \f(7－22＋7－32＋7－102＋7－52＋7－152,5)
＝23.6，
因为eq \x\t(x)＝eq \x\t(y)，seq \\al(2,甲)
(2) ①因为r＝eq \f(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)yi－\x\t(y),\r(\i\su(i＝1,n, )xi－\x\t(x)2)\r(\i\su(i＝1,n, )yi－\x\t(y)2))，
由eq \i\su(i＝1,5, )(xi－eq \x\t(x))(yi－eq \x\t(y))＝66，
eq \r(\i\su(i＝1,5, )xi－\x\t(x)2)eq \r(\i\su(i＝1,5, )yi－\x\t(y)2)≈77，
代入计算可得，相关系数r≈eq \f(66,77)≈0.857>0.75，
所以可认为y与x之间有较强的线性相关关系．
②令y≥25，得1.382x－2.674≥25，
解得x≥20.02，
又20.02×100×3＝6 006，
所以当外卖乙日接单量不低于25百单时，外卖甲所获取的日纯利润大约不低于6 006元．参加场数
0
1
2
3
4
5
6
7
参加人数占调查人数的百分比
8%
10%
20%
26%
18%
12%
4%
2%
场次
1
2
3
4
5
6
甲得分
31
16
24
34
18
9
乙得分
23
21
32
11
35
10
x
x1
x2
x3
…
xn
y
y1
y2
y3
…
yn
喜欢
不喜欢
总计
大于40岁
20
5
25
20岁至40岁
10
20
30
总计
30
25
55
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
1日
2日
3日
4日
5日
外卖甲日接单x(百单)
5
2
9
8
11
外卖乙日接单y(百单)
2
3
10
5
15
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