高考数学一轮复习第八章 8.7

这是一份高考数学一轮复习第八章 8.7，共18页。试卷主要包含了抛物线的概念，抛物线的标准方程和几何性质，抛物线E，直线l过抛物线C等内容，欢迎下载使用。


1．抛物线的概念
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程和几何性质
概念方法微思考
1．若抛物线定义中定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？
提示 过点F且与l垂直的直线．
2．直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？
提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．( × )
(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,4)，0))，准线方程是x＝－eq \f(a,4).( × )
(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x2＝－2ay(a>0)的通径长为2a.( √ )
题组二 教材改编
2．过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，则|PQ|等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
答案 B
解析 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x2＋2＝8.
3．若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( )
A．2 B.eq \f(13,5) C.eq \f(14,5) D．3
答案 A
解析 由抛物线定义可知点P到准线l的距离等于点P到焦点F的距离，由抛物线y2＝4x及直线方程3x＋4y＋7＝0可得直线与抛物线相离．∴点P到准线l的距离与点P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值为点F(1,0)到直线3x＋4y＋7＝0的距离，即eq \f(|3＋7|,\r(32＋42))＝2.故选A.
4．已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________．
答案 y2＝－8x或x2＝－y
解析 设抛物线方程为y2＝mx(m≠0)或x2＝my(m≠0)．
将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.
题组三 易错自纠
5．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是( )
A．y2＝±2eq \r(2)x B．y2＝±2x
C．y2＝±4x D．y2＝±4eq \r(2)x
答案 D
解析 由已知可知双曲线的焦点为(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)．
设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则eq \f(p,2)＝eq \r(2)，
所以p＝2eq \r(2)，所以抛物线方程为y2＝±4eq \r(2)x.故选D.
6．(多选)顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(1,4)))，则点A到此抛物线的焦点的距离可以是( )
A.eq \f(65,64) B.eq \f(5,4) C.eq \f(9,4) D.eq \f(9,8)
答案 AB
解析 若抛物线的焦点在x轴上，则设抛物线的方程为y2＝ax(a≠0)，由点A在抛物线上，得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))2＝a，即a＝eq \f(1,16)，得y2＝eq \f(1,16)x，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为xA＋eq \f(1,64)＝1＋eq \f(1,64)＝eq \f(65,64)；若抛物线的焦点在y轴上，则设抛物线的方程为x2＝by(b≠0)，由点A在抛物线上，得1＝eq \f(1,4)b，即b＝4，得x2＝4y，由抛物线的定义可知，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线焦点的距离为yA＋1＝eq \f(1,4)＋1＝eq \f(5,4).
7．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是__________．
答案 [－1,1]
解析 Q(－2,0)，当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，
解得－1≤k≤1.
抛物线的定义和标准方程
命题点1 定义及应用
例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，F是抛物线y2＝4x的焦点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
答案 4
解析 如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，
则|P1Q|＝|P1F|.
则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4，
即|PB|＋|PF|的最小值为4.
本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________．
答案 2eq \r(5)
解析 由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部．
∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，
∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，
即|PB|＋|PF|的最小值为2eq \r(5).
若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________．
答案 3eq \r(2)－1
解析 由题意知，抛物线的焦点为F(1,0)．
点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，
所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.
易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，
故d2＋|PF|的最小值为eq \f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq \r(2)，
所以d1＋d2的最小值为3eq \r(2)－1.
命题点2 求标准方程
例2 (1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )
A．x2＝－12y或y2＝16x B．x2＝12y或y2＝－16x
C．x2＝9y或y2＝12x D．x2＝－9y或y2＝－12x
答案 A
解析 对于直线方程3x－4y－12＝0，
令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，
所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．
当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
则eq \f(p,2)＝3，所以p＝6，
此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；
当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，
则eq \f(p,2)＝4，所以p＝8，
此时抛物线的标准方程为y2＝16x.
故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x.
(2)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的标准方程为( )
A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x
答案 C
解析 由题意知，Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，抛物线的准线方程为x＝－eq \f(p,2)，则由抛物线的定义知，xM＝5－eq \f(p,2)，设以MF为直径的圆的圆心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，\f(yM,2)))，所以圆的方程为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(5,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(yM,2)))2＝eq \f(25,4)，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的标准方程为y2＝4x或y2＝16x，
故选C.
思维升华 (1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．
(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．
跟踪训练1 (1)设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为________．
答案 eq \r(5)
解析 如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，
由抛物线的定义知点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．
于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，
显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，
此时最小值为eq \r([1－－1]2＋0－12)＝eq \r(5).
(2)(2019·衡水中学调研)若抛物线y2＝2px(p>0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( )
A．y2＝4x
B．y2＝36x
C．y2＝4x或y2＝36x
D．y2＝8x或y2＝32x
答案 C
解析 因为抛物线y2＝2px(p>0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P，则P(x0，±6)．
因为P到抛物线的焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))的距离为10，所以由抛物线的定义得x0＋eq \f(p,2)＝10.①
因为P在抛物线上，所以36＝2px0.②
由①②解得p＝2，x0＝9或p＝18，x0＝1，则抛物线的方程为y2＝4x或y2＝36x.
抛物线的几何性质
例3 (1)(2019·广西四校联考)已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到此抛物线焦点的距离为9，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )
A．4 B．9 C．10 D．18
答案 C
解析 抛物线y2＝2px的焦点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，准线方程为x＝－eq \f(p,2).
由题意可得4＋eq \f(p,2)＝9，解得p＝10，
所以该抛物线的焦点到准线的距离为10.
(2)设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为( )
A.eq \f(3\r(3),4) B.eq \f(9\r(3),8) C.eq \f(63,32) D.eq \f(9,4)
答案 D
解析 由已知得焦点坐标为Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
因此直线AB的方程为y＝eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,4)))，
即4x－4eq \r(3)y－3＝0.
方法一 联立直线方程与抛物线方程化简得
4y2－12eq \r(3)y－9＝0，
则yA＋yB＝3eq \r(3)，yAyB＝－eq \f(9,4)，
故|yA－yB|＝eq \r(yA＋yB2－4yAyB)＝6.
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|OF||yA－yB|＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×6＝eq \f(9,4).
方法二 联立直线方程与抛物线方程得x2－eq \f(21,2)x＋eq \f(9,16)＝0，
故xA＋xB＝eq \f(21,2).
根据抛物线的定义有|AB|＝xA＋xB＋p＝eq \f(21,2)＋eq \f(3,2)
＝12，
同时原点到直线AB的距离为d＝eq \f(|－3|,\r(42＋－4\r(3)2))＝eq \f(3,8)，
因此S△OAB＝eq \f(1,2)|AB|·d＝eq \f(9,4).
(3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是________．
答案 (8,12)
解析 设A(xA，yA)，B(xB，yB)．
抛物线的准线l：x＝－2，焦点F(2,0)，
由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2，
圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，
∴△FAB的周长为
|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB，
由抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16可得交点的横坐标为2，∴xB∈(2,6)，∴6＋xB∈(8,12)．
∴△ABF的周长的取值范围是(8,12)．
思维升华 在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．
跟踪训练2 (1)从抛物线y2＝4x在第一象限内的一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝9，设抛物线的焦点为F，则直线PF的斜率为( )
A.eq \f(6\r(2),7) B.eq \f(18\r(2),7) C.eq \f(4\r(2),7) D.eq \f(2\r(2),7)
答案 C
解析 设P(x0，y0)，由抛物线y2＝4x，可知其焦点F的坐标为(1,0)，故|PM|＝x0＋1＝9，解得x0＝8，故P点坐标为(8,4eq \r(2))，所以kPF＝eq \f(0－4\r(2),1－8)＝eq \f(4\r(2),7).
(2)(2020·湖北龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A是抛物线y＝eq \f(1,4)x2的对称轴与准线的交点，点F为该抛物线的焦点，点P在抛物线上且满足|PF|＝m|PA|，则m的最小值为________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 过P作准线的垂线，垂足为N，
则由抛物线的定义可得|PN|＝|PF|，
∵|PF|＝m|PA|，∴|PN|＝m|PA|，则eq \f(|PN|,|PA|)＝m，
设PA的倾斜角为α，则sin α＝m，
当m取得最小值时，sin α最小，此时直线PA与抛物线相切，
设直线PA的方程为y＝kx－1，代入x2＝4y，
可得x2＝4(kx－1)，即x2－4kx＋4＝0，
∴Δ＝16k2－16＝0，∴k＝±1，
∴m的最小值为eq \f(\r(2),2).
直线与抛物线
例4 (2019·全国Ⅰ)已知抛物线C：y2＝3x的焦点为F，斜率为eq \f(3,2)的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.
(1)若|AF|＋|BF|＝4，求l的方程；
(2)若eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))，求|AB|.
解 设直线l：y＝eq \f(3,2)x＋t，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
(1)由题设可得Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
故|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋eq \f(3,2)，
又|AF|＋|BF|＝4，所以x1＋x2＝eq \f(5,2).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得9x2＋12(t－1)x＋4t2＝0，
令Δ>0，得t则x1＋x2＝－eq \f(12t－1,9).
从而－eq \f(12t－1,9)＝eq \f(5,2)，得t＝－eq \f(7,8).
所以l的方程为y＝eq \f(3,2)x－eq \f(7,8)，即12x－8y－7＝0.
(2)由eq \(AP,\s\up6(→))＝3eq \(PB,\s\up6(→))可得y1＝－3y2，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝\f(3,2)x＋t，,y2＝3x，))可得y2－2y＋2t＝0，
所以y1＋y2＝2，从而－3y2＋y2＝2，故y2＝－1，y1＝3，
代入C的方程得x1＝3，x2＝eq \f(1,3)，
即A(3,3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，－1))，故|AB|＝eq \f(4\r(13),3).
思维升华 (1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．
(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点．若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．
提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．
(4)设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，
若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
①x1x2＝eq \f(p2,4)，y1y2＝－p2.
②弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝eq \f(2p,sin2α)(α为弦AB的倾斜角)．
③以弦AB为直径的圆与准线相切．
④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦．
跟踪训练3 (2020·汉中模拟)已知点M为直线l1：x＝－1上的动点，N(1,0)，过M作直线l1的垂线l，l交MN的中垂线于点P，记点P的轨迹为C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若直线l2：y＝kx＋m(k≠0)与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，与曲线C交于A，B两点，且D为线段AB的中点，求直线l2的方程．
解 (1)由已知可得，|PN|＝|PM|，
即点P到定点N的距离等于它到直线l1的距离，故点P的轨迹是以N为焦点，l1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y2＝4x.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋m，,y2＝4x，))得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0，
∴x1＋x2＝eq \f(4－2km,k2)，∴x0＝eq \f(x1＋x2,2)＝eq \f(2－km,k2)，
y0＝kx0＋m＝eq \f(2,k)，即Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)，\f(2,k)))，
∵直线l2与圆E：(x－3)2＋y2＝6相切于点D，
∴|DE|2＝6，且DE⊥l2，
从而eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)－3))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)))2＝6，kDE·k＝－1，
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)－3＝－2，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－km,k2)－3))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)))2＝6，))
整理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,k)))2＝2，即k＝±eq \r(2)，∴m＝0，
故直线l2的方程为eq \r(2)x－y＝0或eq \r(2)x＋y＝0.
1．(2019·江淮十校联考)抛物线y＝8x2的焦点坐标是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,32))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,16))) C．(0,2) D．(0,4)
答案 A
解析 ∵抛物线的标准方程为x2＝eq \f(1,8)y，
∴焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,32))).
2．(2019·包头青山区模拟)已知点P(2，y)在抛物线y2＝4x上，则点P到抛物线焦点F的距离为( )
A．2 B．3 C.eq \r(3) D.eq \r(2)
答案 B
解析 因为抛物线y2＝4x的焦点为(1,0)，准线为x＝－1，结合定义点P到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.
3．设F为抛物线y2＝2x的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若F为△ABC的重心，则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
又焦点Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，所以x1＋x2＋x3＝3×eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)，
则|eq \(FA,\s\up6(→))|＋|eq \(FB,\s\up6(→))|＋|eq \(FC,\s\up6(→))|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x2＋\f(1,2)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x3＋\f(1,2)))＝(x1＋x2＋x3)＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)＋eq \f(3,2)＝3.
4．(2020·惠州调研)已知F是抛物线C：y＝2x2的焦点，N是x轴上一点，线段FN与抛物线C相交于点M，若2eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))，则|eq \(FN,\s\up6(→))|等于( )
A.eq \f(5,8) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,8) D．1
答案 A
解析 由题意得点F的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,8)))，
设点M的坐标为(x0，y0)，点N的坐标为(a,0)，
所以eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0，y0－\f(1,8)))，eq \(MN,\s\up6(→))＝(a－x0，－y0)，
由2eq \(FM,\s\up6(→))＝eq \(MN,\s\up6(→))可得，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x0＝a－x0，,2y0－\f(1,4)＝－y0，))
解得y0＝eq \f(1,12)，x0＝eq \f(1,3)a，
代入抛物线方程可得x0＝±eq \f(\r(6),12)，则a＝±eq \f(\r(6),4)，
所以点N的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(±\f(\r(6),4)，0))，
由两点之间的距离公式可得|FN|＝eq \f(5,8).
5．抛物线x2＝4y的焦点为F，过点F作斜率为eq \f(\r(3),3)的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是( )
A．4 B．3eq \r(3) C．4eq \r(3) D．8
答案 C
解析 由抛物线的定义可得|AF|＝|AH|，
∵AF的斜率为eq \f(\r(3),3)，∴AF的倾斜角为30°，
∵AH垂直于准线，∴∠FAH＝60°，
故△AHF为等边三角形．设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m，\f(m2,4)))，m>0，
过F作FM⊥AH于M，则在Rt△FAM中，
|AM|＝eq \f(1,2)|AF|，∴eq \f(m2,4)－1＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(m2,4)＋1))，
解得m＝2eq \r(3)，故等边三角形AHF的边长|AH|＝4，
∴△AHF的面积是eq \f(1,2)×4×4sin 60°＝4eq \r(3).故选C.
6．抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆的面积为36π，则p等于( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 D
解析 ∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，
∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径．
∵圆的面积为36π，∴圆的半径为6.
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，
∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝6，∴p＝8.故选D.
7．(多选)已知抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，斜率为eq \r(3)且经过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点(点A在第一象限)，与抛物线的准线交于点D，若|AF|＝4，则以下结论正确的是( )
A．p＝2 B．F为AD中点
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
答案 ABC
解析 如图．
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))，直线l的斜率为eq \r(3)，
则直线方程为y＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝2px，,y＝\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(p,2)))，))
得12x2－20px＋3p2＝0.
解得xA＝eq \f(3,2)p，xB＝eq \f(1,6)p，
由|AF|＝eq \f(3,2)p＋eq \f(p,2)＝2p＝4，得p＝2.
∴抛物线方程为y2＝4x.
xB＝eq \f(1,6)p＝eq \f(1,3)，
则|BF|＝eq \f(1,3)＋1＝eq \f(4,3)；
|BD|＝eq \f(|BF|,cs 60°)＝eq \f(\f(4,3),\f(1,2))＝eq \f(8,3)，
∴|BD|＝2|BF|，
|BD|＋|BF|＝eq \f(4,3)＋eq \f(8,3)＝4，则F为AD中点．
故选ABC.
8．(多选)抛物线E：x2＝4y与圆M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B两点，圆心M(0,1)，点P为劣弧上不同于A，B的一个动点，平行于y轴的直线PN交抛物线于点N，则△PMN的周长的可能取值是( )
A．8 B．8.5 C．9 D．10
答案 BC
解析 如图，可得圆心M(0,1)也是抛物线的焦点，
过P作准线的垂线，垂足为H，根据抛物线的定义，
可得|MN|＝|NH|，
故△PMN的周长l＝|NH|＋|NP|＋|MP|
＝|PH|＋4，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＝4y，,x2＋y－12＝16，))得B(2eq \r(3)，3)．
|PH|的取值范围为(4,6)，
∴△PMN的周长|PH|＋4的取值范围为(8,10)，
故B，C满足条件．
9．(2019·江淮十校联考)已知直线l是抛物线y2＝2px(p>0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O和焦点F与l相切，则抛物线的方程为________．
答案 y2＝8x
解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l相切，
∴圆心到准线的距离等于3，
又∵圆心在OF的垂直平分线上，|OF|＝eq \f(p,2)，
∴eq \f(p,2)＋eq \f(p,4)＝3，∴p＝4，故抛物线的方程为y2＝8x.
10．(2020·山东模拟)直线l过抛物线C：y2＝2px (p > 0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝________，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝________.
答案 2 1
解析 由题意知eq \f(p,2)＝1，从而p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x.
当直线AB的斜率不存在时，将x＝1代入抛物线方程，解得|AF|＝|BF|＝2，
从而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1.
当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y＝k(x－1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,y2＝4x，))
整理，得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝\f(2k2＋4,k2)，,x1x2＝1，))
从而eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝eq \f(1,x1＋1)＋eq \f(1,x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋x1x2＋1)＝eq \f(x1＋x2＋2,x1＋x2＋2)＝1.
综上，eq \f(1,|AF|)＋eq \f(1,|BF|)＝1.
11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3 m，车与箱共高4.5 m，此车能否通过隧道？说明理由．
解 建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A，B，则A(－3，－3)，B(3，－3)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，
将B点坐标代入得9＝－2p·(－3)，
所以p＝eq \f(3,2).
所以抛物线方程为x2＝－3y(－3≤y≤0)．
因为车与箱共高4.5 m，
所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5 m.
设抛物线上点D的坐标为(x0，－0.5)，则xeq \\al(2,0)＝eq \f(3,2)，
所以|x0|＝eq \r(\f(3,2))＝eq \f(\r(6),2)，
所以2|x0|＝eq \r(6)<3，故此车不能通过隧道．
12．(2019·全国Ⅰ)已知点A，B关于坐标原点O对称，|AB|＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切．
(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；
(2)是否存在定点P，使得当A运动时，|MA|－|MP|为定值？并说明理由．
解 (1)因为⊙M过点A，B，
所以圆心M在AB的垂直平分线上．
由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a)．
因为⊙M与直线x＋2＝0相切，
所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.
由已知得|AO|＝2.
又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，
解得a＝0或a＝4.
故⊙M的半径r＝2或r＝6.
(2)存在定点P(1,0)，使得|MA|－|MP|为定值．
理由如下：
设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，|AO|＝2.
由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2，
化简得M的轨迹方程为y2＝4x.
因为曲线C：y2＝4x是以点P(1,0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以|MP|＝x＋1.
因为|MA|－|MP|＝r－|MP|＝x＋2－(x＋1)＝1，
所以存在满足条件的定点P.
13．过点(0,3)的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，线段AB的垂直平分线经过点(4,0)，F为抛物线的焦点，则|AF|＋|BF|的值为________．
答案 6
解析 设AB的中点为H，抛物线的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1，设A，B，H在准线上的射影为A′，B′，H′，则|HH′|＝eq \f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)，
由抛物线的定义可得，|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，
|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝2|HH′|.
由题意知直线AB的斜率必存在且不为0，
设直线AB的方程为y＝kx＋3，与y2＝4x联立得k2x2＋(6k－4)x＋9＝0，
由Δ＝(6k－4)2－36k2>0，得k设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4－6k,k2)，AB的中点H的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－3k,k2)，\f(2,k)))，
线段AB的垂直平分线过点(4,0)，方程为y＝－eq \f(1,k)(x－4)，
且过点Heq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－3k,k2)，\f(2,k)))，则eq \f(2,k)＝－eq \f(1,k)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2－3k,k2)－4))，
得2k2＋3k－2＝0，解得k＝－2或k＝eq \f(1,2)(舍去)，
则H(2，－1)，|HH′|＝2＋1＝3，
则|AF|＋|BF|＝|AA′|＋|BB′|＝2|HH′|＝6.
14．过抛物线C：x2＝4y的焦点F作直线l交C于A，B两点，设D(0,3)．若(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，则弦AB的长为________．
答案 4
解析 若(eq \(DA,\s\up6(→))＋eq \(DB,\s\up6(→)))·eq \(AB,\s\up6(→))＝0，
则线段AB的垂直平分线过点D.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则xeq \\al(2,1)＝4y1，xeq \\al(2,2)＝4y2，
两式相减得x1＋x2＝eq \f(4y1－y2,x1－x2)＝4kAB，
即kAB＝eq \f(x1＋x2,4)，
则弦AB的中点与点D(0,3)的连线的斜率
k＝eq \f(\f(y1＋y2,2)－3,\f(x1＋x2,2))＝－eq \f(4,x1＋x2)，
所以y1＋y2＝2，所以|AB|＝y1＋y2＋2＝4.
15．已知曲线G：y＝eq \r(－x2＋16x－15)及点Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，若曲线G上存在相异两点B，C，其到直线l：2x＋1＝0的距离分别为|AB|和|AC|，则|AB|＋|AC|＝________.
答案 15
解析 曲线G：y＝eq \r(－x2＋16x－15)，
即为半圆M：(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，
由题意得B，C为半圆M与抛物线y2＝2x的两个交点，
由y2＝2x与(x－8)2＋y2＝49(y≥0)，
联立方程组得x2－14x＋15＝0，方程必有两个不相等的实根，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，则x1＋x2＝14，
所以|AB|＋|AC|＝x1＋eq \f(1,2)＋x2＋eq \f(1,2)＝14＋1＝15.
16.已知抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点F且倾斜角为eq \f(π,4)的直线l被E截得的线段长为8.
(1)求抛物线E的方程；
(2)已知点C是抛物线上的动点，以C为圆心的圆过点F，且圆C与直线x＝－eq \f(1,2)相交于A，B两点. 求|FA|·|FB|的取值范围．
解 (1)由题意，直线l的方程为y＝x－eq \f(p,2)，联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))消去y整理得x2－3px＋eq \f(p2,4)＝0.
设直线l与抛物线E的交点的横坐标分别为x1，x2，则x1＋x2＝3p，故直线l被抛物线E截得的线段长为x1＋x2＋p＝4p＝8，得p＝2，
∴抛物线E的方程为y2＝4x.
(2)由(1)知，F(1,0)，设C(x0，y0)，则圆C的方程是
(x－x0)2＋(y－y0)2＝(x0－1)2＋yeq \\al(2,0).
令x＝－eq \f(1,2)，得y2－2y0y＋3x0－eq \f(3,4)＝0.
又∵yeq \\al(2,0)＝4x0，∴Δ＝4yeq \\al(2,0)－12x0＋3＝yeq \\al(2,0)＋3>0恒成立．
设Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y3))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，y4))，
则y3＋y4＝2y0，y3y4＝3x0－eq \f(3,4).
∴|FA|·|FB|＝eq \r(y\\al(2,3)＋\f(9,4))·eq \r(y\\al(2,4)＋\f(9,4))
＝eq \r(y3y42＋\f(9,4)y\\al(2,3)＋y\\al(2,4)＋\f(81,16))
＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x0－\f(3,4)))2＋\f(9,4)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(4y\\al(2,0)－2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x0－\f(3,4)))))＋\f(81,16))
＝eq \r(9x\\al(2,0)＋18x0＋9)＝3|x0＋1|.
∵x0≥0，∴|FA|·|FB|∈[3，＋∞)．
∴|FA|·|FB|的取值范围是[3，＋∞)．标准
方程
y2＝2px
(p>0)
y2＝－2px
(p>0)
x2＝2py
(p>0)
x2＝－2py
(p>0)
p的几何意义：焦点F到准线l的距离
图形
顶点
坐标
O(0,0)
对称轴
x轴
y轴
焦点
坐标
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(p,2)，0))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(p,2)))
Feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(p,2)))
离心率
e＝1
准线
方程
x＝－eq \f(p,2)
x＝eq \f(p,2)
y＝－eq \f(p,2)
y＝eq \f(p,2)
范围
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
y≥0，x∈R
y≤0，x∈R
开口
方向
向右
向左
向上
向下
焦半径
x0＋eq \f(p,2)
－x0＋eq \f(p,2)
y0＋eq \f(p,2)
－y0＋eq \f(p,2)
通径长
2p