高考数学一轮复习第八章 8.6

这是一份高考数学一轮复习第八章 8.6，共18页。试卷主要包含了双曲线的概念，双曲线的标准方程和几何性质，已知F1，F2分别是双曲线C等内容，欢迎下载使用。

§8.6　双曲线


1．双曲线的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c>2a，其中a，c为常数且a>0，c>0.
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1
(a>0，b>0)
－＝1
(a>0，b>0)
图形


性
质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴　对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c
的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)

概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示　不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0 提示　离心率受到影响．∵e＝＝，故当a>b>0时，10时，e＝(亦称等轴双曲线)；当0.

题组一　思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(　×　)
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(　×　)
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(　√　)
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(　√　)
题组二　教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为(　　)
A. B．5 C. D．2
答案　A
解析　由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案　A
解析　椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三　易错自纠
5．(多选)(2020·辽宁六校协作体月考)若方程＋＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中错误的是(　　)
A．若C为椭圆，则1 B．若C为双曲线，则t>3或t<1
C．曲线C可能是圆
D．若C为椭圆，且长轴在y轴上，则1 答案　AD
解析　若t>3，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线；若t<1，则方程可变形为－＝1，它表示焦点在x轴上的双曲线；若2 6．已知双曲线的实轴长为8，离心率为2，则双曲线的标准方程为__________________．
答案　－＝1或－＝1
解析　由题意知a＝4，e＝＝2，∴c＝8，
∴b2＝c2－a2＝64－16＝48.
∵双曲线的焦点位置不确定，故所求双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
7．P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是它的左、右焦点，且|PF1|＝9，则|PF2|＝________.
答案　17
解析　由题意知a＝4，b＝9，
c＝＝，
由于|PF1|＝9 ∴|PF2|－|PF1|＝2a＝8，
∴|PF2|＝|PF1|＋8＝17.

双曲线的定义
例1　(1)已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________________．
答案　x2－＝1(x≤－1)
解析　如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.

根据两圆外切的条件，
得|MC1|－|AC1|＝|MA|，
|MC2|－|BC2|＝|MB|，
因为|MA|＝|MB|，
所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，
即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6.
又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，
其中a＝1，c＝3，则b2＝8.
故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为______．
答案　2
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
本例(2)中，“∠F1PF2＝60°”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积为________．
答案　2
解析　不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华　在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1　(1)(2020·广东普宁华侨中学期末)过双曲线x2－＝1的左焦点F1作一条直线l交双曲线左支于P，Q两点，若|PQ|＝4，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是________．
答案　12
解析　由题意，得|PF2|－|PF1|＝2，|QF2|－|QF1|＝2.
∵|PF1|＋|QF1|＝|PQ|＝4，
∴|PF2|＋|QF2|－4＝4，
∴|PF2|＋|QF2|＝8.
∴△PF2Q的周长是|PF2|＋|QF2|＋|PQ|＝8＋4＝12.
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案　
解析　∵由双曲线的定义得
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
双曲线的标准方程
1．(2020·合肥调研)已知双曲线的渐近线为y＝±x，实轴长为4，则该双曲线的方程为(　　)
A.－＝1
B.－＝1或－＝1
C.－＝1
D.－＝1或－＝1
答案　D
解析　设双曲线方程为－＝1(m≠0)，
又2a＝4，∴a2＝4，
当m>0时，2m＝4，m＝2；
当m<0时，－m＝4，m＝－4.
故所求双曲线方程为－＝1或－＝1.
2．(2017·全国Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　B
解析　由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
3．过双曲线C：－＝1(a>b>0)的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点F为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的标准方程为(　　)
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案　A
解析　因为渐近线y＝x与直线x＝a交于点A(a，b)，c＝4且＝4，解得a2＝4，b2＝12，因此双曲线的标准方程为－＝1.
4．经过点P(－3,2)和点Q(－6，－7)的双曲线方程为________．
答案　－＝1
解析　设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)，
∴解得
∴双曲线方程为－＝1.
思维升华　求双曲线的标准方程的方法
(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2，写出双曲线方程．
(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为－＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．
注意　①双曲线与椭圆标准方程均可记为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中当m>0，n>0，且m≠n时表示椭圆；当mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．
②常见双曲线设法
(i)已知a＝b的双曲线可设为x2－y2＝λ(λ≠0)；
(ii)已知过两点的双曲线可设为Ax2－By2＝1(AB>0)；
(iii)已知渐近线为±＝0的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
双曲线的几何性质
命题点1　渐近线
例2　(1)已知双曲线9y2－m2x2＝1(m>0)的一个顶点到它的一条渐近线的距离为，则m等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
答案　D
解析　由已知，取顶点，渐近线3y－mx＝0，则顶点到渐近线的距离为＝，解得m＝4.
(2)(2019·江苏)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，则该双曲线的渐近线方程是____________．
答案　y＝±x
解析　因为双曲线x2－＝1(b>0)经过点(3,4)，所以9－＝1，得b＝，所以该双曲线的渐近线方程是y＝±x.
命题点2　离心率
例3　(1)(2019·浙江)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)
A. B．1 C. D．2
答案　C
解析　因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝.
(2)(2019·唐山模拟)设双曲线C：－＝1(a>b>0)的两条渐近线的夹角为α，且cos α＝，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D．2
答案　B
解析　∵a>b>0，∴渐近线y＝x的斜率小于1，
∵两条渐近线的夹角为α，cos α＝.
∴cos2＝，sin2＝，tan2＝，
∴＝，∴＝，
∴e2＝，∴e＝.
(3)(2019·全国Ⅰ)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的倾斜角为130°，则C的离心率为(　　)
A．2sin 40° B．2cos 40°
C. D.
答案　D
解析　由题意可得－＝tan 130°，
所以e＝＝＝
＝＝.
(4)(2019·全国Ⅱ)设F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　A
解析　如图，由题意知，以OF为直径的圆的方程为2＋y2＝，①

将x2＋y2＝a2，②
①－②得x＝，
则以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2的相交弦所在直线的方程为x＝，所以|PQ|＝2.
由|PQ|＝|OF|，得2＝c，
整理得c4－4a2c2＋4a4＝0，即e4－4e2＋4＝0，
解得e＝，故选A.
思维升华　求双曲线的离心率
(1)求双曲线的离心率或其范围的方法
①求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
②列出含有a，b，c的等式(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
(2)焦点在x轴上的双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练2　(1)(2019·汉中模拟)若双曲线x2－＝1(m>0)的焦点到渐近线的距离是4，则m的值是(　　)
A．2 B. C．1 D．4
答案　D
解析　双曲线x2－＝1(m>0)的焦点设为(c,0)，
当双曲线方程为－＝1时，
渐近线方程设为bx－ay＝0，可得焦点到渐近线的距离
d＝＝b，
故由题意可得b＝m＝4.
(2)(2019·安徽江淮十校模拟)已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，则其离心率的取值范围是(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　已知点(1,2)是双曲线－＝1(a>0，b>0)上一点，得－＝1，
即＝b2＋4，
所以e＝＝＝>，所以e>.
(3)(2019·天津)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B. C．2 D.
答案　D
解析　由题意，可得F(1,0)，直线l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x.将x＝－1代入y＝±x，得y＝±，所以点A，B的纵坐标的绝对值均为.由|AB|＝4|OF|可得＝4，即b＝2a，b2＝4a2，故双曲线的离心率e＝＝＝.


1．(2020·衡水质检)对于实数m，“1 A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
答案　C
解析　若方程＋＝1表示双曲线，
则(m－1)(m－2)<0，得1 则“1 2．(2019·北京)已知双曲线－y2＝1(a>0)的离心率是，则a等于(　　)
A. B．4 C．2 D.
答案　D
解析　由双曲线方程－y2＝1，得b2＝1，
∴c2＝a2＋1.
∴5＝e2＝＝＝1＋.
结合a>0，解得a＝.
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C.x±y＝0 D．2x±y＝0
答案　C
解析　∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
4．(2020·西南大学附中月考)已知双曲线－＝1(0 A. B. C. D．2
答案　D
解析　由双曲线方程可知渐近线方程为y＝±x，
由两条渐近线夹角为，0 可知其中一条渐近线的倾斜角为，
∴＝，∴a＝，c＝＝，
∴e＝＝＝2.
5．(2019·全国Ⅲ)已知F是双曲线C：－＝1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点．若|OP|＝|OF|，则△OPF的面积为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　由F是双曲线－＝1的一个焦点，
知|OF|＝3，所以|OP|＝|OF|＝3.
不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x0>0，y0>0，
则解得
所以P，
所以S△OPF＝|OF|·y0＝×3×＝.
6．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是(　　)
A．32 B．16 C．84 D．4
答案　B
解析　由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
7．(多选)已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，且一条渐近线方程为x－2y＝0，则双曲线C的方程可能为(　　)
A.－y2＝1 B．x2－＝1
C.－x2＝1 D．y2－＝1
答案　AD
解析　在椭圆＋＝1中，c＝＝.
因为双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦距，
且一条渐近线方程为x－2y＝0，
所以可设双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，
化为标准方程为－＝1.
当λ>0时，c＝＝，解得λ＝1，
则双曲线C的方程为－y2＝1；
当λ<0时，c＝＝，解得λ＝－1，
则双曲线C的方程为y2－＝1.
综上，双曲线C的方程为－y2＝1或y2－＝1，
故选AD.
8．(多选)已知F1，F2分别是双曲线C：y2－x2＝1的上、下焦点，点P是其一条渐近线上一点，且以线段F1F2为直径的圆经过点P，则(　　)
A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
B．以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝1
C．点P的横坐标为±1
D．△PF1F2的面积为
答案　ACD
解析　等轴双曲线C：y2－x2＝1的渐近线方程为y＝±x，故A正确；
由双曲线的方程可知|F1F2|＝2，
所以以F1F2为直径的圆的方程为x2＋y2＝2，故B错误；
点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝2上，
不妨设点P(x0，y0)在直线y＝x上，
所以由解得|x0|＝1，
则点P的横坐标为±1，故C正确；
由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1＝，故D正确．
故选ACD.
9．(2019·华中师大附中月考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与渐近线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为________．
答案　
解析　由题意知＝1，
∴e＝＝.
10．(2020·焦作模拟)已知左、右焦点分别为F1，F2的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，点P在双曲线C上，且|PF1|－|PF2|＝3，则双曲线C的焦距为________．
答案　3
解析　双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线为y＝±x，
一条渐近线与直线l：x－2y＝0相互垂直，可得＝2，
即b＝2a，由双曲线的定义可得2a＝|PF1|－|PF2|＝3，
可得a＝，b＝3，
即有c＝＝＝，
即焦距为2c＝3.
11.如图，F1和F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，A和B是以O为圆心，以|OF1|为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为________．

答案　＋1
解析　设F1F2＝2c，连接AF1，
∵△F2AB是等边三角形，且F1F2是⊙O的直径，
∴∠AF2F1＝30°，∠F1AF2＝90°，
∴|AF1|＝c，|AF2|＝c，
2a＝c－c，e＝＝＝＋1.
12.(2020·临川一中模拟)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)中，A1，A2是左、右顶点，F是右焦点，B是虚轴的上端点．若在线段BF上(不含端点)存在不同的两点Pi(i＝1,2)，使得·＝0，则双曲线离心率的取值范围是________．

答案　
解析　设c为半焦距，则F(c，0)，又B(0，b)，
所以BF：bx＋cy－bc＝0，
以A1A2为直径的圆的方程为⊙O：x2＋y2＝a2，
因为·＝0，i＝1,2，
所以⊙O与线段BF有两个交点(不含端点)，
所以即
故解得
13．(2020·长沙模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)，若存在过右焦点F的直线与双曲线交于A，B两点，且＝3，则双曲线离心率的最小值为(　　)
A. B. C．2 D．2
答案　C
解析　因为过右焦点的直线与双曲线C相交于A，B两点，且＝3，故直线与双曲线相交只能交于左、右两支，即点A在左支，点B在右支，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，右焦点F(c,0)，因为＝3，所以c－x1＝3(c－x2)，3x2－x1＝2c，因为x1≤－a，x2≥a，所以－x1≥a,3x2≥3a，故3x2－x1≥4a，即2c≥4a，≥2，即e≥2.所以双曲线离心率的最小值为2.
14．(2019·江南十校联考)已知双曲线C1，C2的焦点分别在x轴，y轴上，渐近线方程都为y＝±x(a>0)，离心率分别为e1，e2，则e1＋e2的最小值为________．
答案　2
解析　由题意得双曲线C1的方程为－y2＝t(a>0，t>0)，
双曲线C2的方程为y2－＝λ(a>0，λ>0)，
所以e1＝＝，e2＝＝，
所以e1＋e2＝＋≥2＝2≥2(当且仅当a＝1时等号成立)．

15．(2020·广东华附、省实、广雅、深中联考)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c,0)作圆x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交抛物线y2＝4cx于点P，O为坐标原点，若＝(＋)，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　∵|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，
∴|EF|＝＝b，
∵＝(＋)，
∴E为PF的中点，|OP|＝|OF|＝c，|PF|＝2b，
设F′(c,0)为双曲线的右焦点，也为抛物线的焦点，
则EO为△PFF′的中位线，
则|PF′|＝2|OE|＝2a，可设P的坐标为(m，n)，
则有n2＝4cm，
由抛物线的定义可得|PF′|＝m＋c＝2a，
m＝2a－c，n2＝4c(2a－c)，
又|OP|＝c，即有c2＝(2a－c)2＋4c(2a－c)，
化简可得，c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，
由于e>1，解得e＝.
16．(2020·长沙雅礼中学模拟)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C左支上一点，A(0,6)，当△APF周长最小时，则点P的坐标为________．
答案　(－2,2)
解析　如图，由双曲线C的方程可知a2＝1，b2＝8，

∴c2＝a2＋b2＝1＋8＝9，
∴c＝3，
∴左焦点E(－3,0)，
右焦点F(3,0)，
∵|AF|＝＝15，
∴当△APF的周长最小时，|PA|＋|PF|最小．
由双曲线的性质得|PF|－|PE|＝2a＝2，
∴|PF|＝|PE|＋2，
又|PE|＋|PA|≥|AE|＝|AF|＝15，当且仅当A，P，E三点共线且点P在线段AE上时，等号成立，
∴△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝15＋|PE|＋|AP|＋2≥15＋15＋2＝32.
直线AE的方程为y＝2x＋6，将其代入到双曲线方程得x2＋9x＋14＝0，
解得x＝－7(舍)或x＝－2，
由x＝－2，得y＝2(负值已舍)，
∴点P的坐标为(－2,2)．