小五数学第11讲：神奇的数字9（教师版）

第十一讲  神奇的数字9

1、     最大的一位数字是9，9是完全平方数

2、     9是帝王之数，帝王的尊严为九五之尊，代表公权的礼器为九鼎，“普天之下，莫非王土”的土地称为九州。

3、     9是阳之极，9是三的倍数，三为阳数，因而9就成了阳数的极限，谓之“重阳”，这就是九九重阳的由来。

4、     将任意一个三位自然数的各位数字打乱重排得到一个新的自然数，新数与旧数的差全是9的倍数

5、     将一个数字中的各个位数相加，所得的和若能被9整除，则该数也能被9整除。

6、     将一个数字中的各个位数相加（和若为多位数，再将和的各个位数相加，直至得到一个一位数），所得数即为该数除以9后的剩余数。

7、     将一个数中的各位数相加所得的和，与原数相减，其差为9的倍数（即被9 整除）。

8、     将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9的倍数。

9、     将两数的9余数相加，若与答案的9余数相等，则计算正确。

10、 将两数的9余数相减，若与答案的9余数相等，则计算正确。（够减直减，不够加9减）

11、 将两数的9余数相乘，若与答案的9余数相等，则计算正确。

12、 一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同

13、  加法数字谜的一个规律：竖式中加数总共进了几位，和的数字和就比加数的数字和减少几个9

一、数字9的整除性

二、数字9的余数求法

三、数字9的灵活使用

例1：下列数字能被9整除的是（）

A．19     B.118    c.117    d.236

解析：各位数的和能被9整除，一个数就能被9整除

答案：c

例2：下列自然数除以9的余数最大的是（）

A．186     B.423    C.118    D.234

解析：将一个数字中的各个位数相加所得数即为该数除以9后的剩余数

答案：A

例3把0.4747…化成分数

解析：0.4747…×100=47.4747…… 

    0.4747…×100－0.4747… = 47.4747… －0.4747…

          (100－1)×0.4747…=  47 

    即       99×0.4747…    =  47 

    那么          0.4747…  = 47/99 

答案：47/99

例4某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它的百位数字与个位数字之和是

解析：某三位数是9的倍数,且在300到400之间,它百位数字与个位数字之和等于十

那么这个三位数是387

答案387

例5等式386A5961=（3*（2066+A））（3*（2066+A）），其中字母“A”代表1到9中的一个数字，求A代表的是哪个数字？

解析：等号的右边是一个能够被9整除的数，也就是说左边的这个数字是能被9整除的，这个时候我们只需要来找左边这个数字的数字根就可以了，把9或者相加能得到9的数字全部去掉，可以去掉3和6，8和1,9，最后剩下的是5、6和A，5+6=11,11只能加7最终的结果才能是9的倍数，所以字母A只能代表数字7

答案：7

例6：观察9=（101-1）  99=（102-1） 999=（103-1）

请写出0.9999=        

       0.2222=           

       0.1111=           

解析：0.9999=9999÷10000=（104-1）÷10000

0.2222=2222÷10000=（104-1）÷10000÷9×2

      0.1111=1111÷10000=（104-1）÷10000÷9

答案：（104-1）÷10000

（104-1）÷10000÷9×2

（104-1）÷10000÷9

A

1、  求7123021 除以9 的余数为（）

A、1  B、3    C、5     D、7

解析：7+1+2+3+2+1=16，16÷9=1…7；

答案：D

2、  求1234567除以9的余数为（）

A、1  B、3    C、5     D、7

解析：1+2+3+4+5+6+7=28   28÷9=3…1

答案：A

3、  下列各式余数为3的是（）

A、1234÷9 B、2345÷9    C、4567÷9     D、6789÷9

解析：一个数初一9的余数与这个数各位数和除以9的余数相等

答案：D

4、  计算9×11

解析：数字的简便运算尽量化成10的倍数9×11=（10-1）×（10+1）==100-1=99

答案：99

5、  请直接写出下列各式的余数

（1）91919111÷9（2）1238765÷9

（3）8763451÷9                            （4） 87623419÷9

（5）7826012÷9                            （6） 79124231÷9

解析：一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同

答案：5 5 7 4 8 2            

B

1、    把0.33…化成分数为

解析：0.33… ×10＝3.33…  

       0.33… ×10－0.33… = 3.33…－0.33… 

             (10-1) ×0.33… =3 

         即   9×0.33… = 3 

      那么  0.33… =  3/9  =1/3 

答案：1/3

2、    下列各式的余数分别为

（1）23478÷9                （2）82378÷9

（3）829876÷9                （4）938167÷9

解析：一个数除以9的余数等于这个数各位数和除以9的余数

答案：6 1 4 7

3、    验证下列各式的差除以9的余数与0的关系

（1）54321-12345                （2）62351-15326

（3）92751-15729                （4）74924-42947

（5）32-23                      （6）83279-97238

解析：将一个数字反向后与原数相减（一般为大减小），所得差为9的倍数。

答案：都等于0

4、    判断下列各式计算是否正确

（1）123+789＝912（2）342+167=508

解析：（1）123余6，789余6，912余3， 6＋6＝12＝3，即结果正确。

      （2）342余0，167余5，508余4，0+5≠4，即结果错误

答案：正确错误

5、    快速计算

（1）9×8×10（2）26×27×28

（3）3×8+26（4）2+8+64

解析：（1）原式=9×（9-1）×（9+1）=9×（81-1）=720

（2）原式=（27-1）×27×（27+1）=（272-1）×27=92 ×92 -27=6534

（3）原式=3×（9-1）+（3×9-1）=4×9-3-1=32

（4）原式=2+（9-1）+（7×9+1）=2+8×9=74

答案：720 6534 32 74

C

1、求7813×1768除以9 的余数为

解析：7813除以 9余 1；1768除以 9余 4；则7813×1768除以 9余1×4= 4

答案4

2、求100100除以9 的余数为          

解析：100除以 9余 1，则1100 除以9余1

答案：1

3、将1～2013 写成一排：1234……20122013，求这个数除以9 的余数.

解析：这个多位数与1+2+3++2013对9 同余；

1+2+3++2013= 2013×10076×8= 48余3

答案：3

4、检验此式是否正确：135987984＋981252341＝1117241325

解析：两个加数的9 余分别是0 和8，则和的9 余应该是8，而等式右侧多位数的9 余为0，所以错误。

答案：错误

5、将数字1~ 9 填入下面竖式，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字．若“H”= 4，那么四位数GHIH等于        ．

A B C

＋D E F

＝G H I H

解析：G = 1，所有数字总和 49，49 除以 9 余4，故知横线上方、下方除以 9 都余 2，故(1+4+ I +4)除以9 余2，得到I 的理论值为2. 之后只需填出一种即可：上下数字和相差27，故进3 位，每个数位都有进位，易填出一种为735+689=1424

答案：1424

1、111118932初以9的余数为（）

A、1B、6    C、3D、0

解析：各位数的和为27，能够整除9

答案：D

2、判断下列各式计算是否正确

（1）183726+2936=186661         （2）9178367+102683=9281050

解析：（1）183726余0，2936余2，186661余1，即结果错误

（2）9178367余5，102683余2，9281050余7，5+2=7，即结果正确

答案：错误 正确

3、请直接写出下列各式的余数

（1）8763451÷9                            （2） 87623419÷9

解析：一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同

答案： 7 4

4、下列除式余数最大的是（）

A、２３÷３B、５４４３÷９　　C、３３６÷３　D、２２４５÷２

解析：余数分别为2 7 0 1

答案：C

5、把0.325656…化成分数为

解析：0.325656… ×100=32.5656…   ① 

     0.325656… ×10000=3256.56… ② 

     用②－①即得: 

    0.325656…×9900 = 3256.5656…－32.5656…

     0.325656…×9900 = 3256－32 

   所以,   0.325656… =3224/9900

答案：3224/9900

6、    判断正误

（1）789÷9余5                                   （   ）

解析：各位数和除以9

答案：×

（2）19267+8916的和除以9余4                     （   ）

解析：各加数分别除以9，相加后再求余

答案：√

（3）888+222能被9整除                            （   ）

解析：各加数分别除以9，相加后再求余

答案：×

（4）431+28910余3                                 （ ）

解析：各加数分别除以9，相加后再求余

答案：×

1、把0.4777…化成分数为

A、42/91   B、43/90     C、43/89     D、41/90

解析：0.4777… ×10=4.777…     ① 

     0.4777…×100=47.77…      ② 

       用②－①即得: 

      0.4777…×90=47－4 

  所以, 0.4777… =  43/90 

答案：B

2、请直接写出下列各式的余数

（1）7826012÷9                            （2） 79124231÷9

解析：一个数a 与它的各个数位数字和b 除以9 的余数相同

答案： 8 2 

3、快速判断下列各式计算是否正确

（1）34987+10467=45454      （2）8167234+23012=8200246

解析：（1）34987余4，10467余0，45454余4，即结果正确

       （2）8167234余4，23012余8，8200246余4，4+8=12余3≠4，即结果错误

答案：正确 错误

4、快速判断下列各式计算是否正确

（1）89-123＝666

解析：789余6，123余6，666余9或0.

        6-6＝0，即结果正确。

        注：够减直减，不够加9减。

答案：正确

（2）123×456＝56088

解析：123余6，456余6，56088余9或0.

        6×6＝36＝9＝0，即结果正确

答案：正确

（3）54756÷235＝233……1

解析：54756余0，235余1，233余8，1余1.

        1×8＋1＝9＝0，即结果正确。

答案：正确

5、计算

（1）456+789         （2）123+456

（3）258+369          

回答两加数的数字和和与和的数字和差多少，并找出规律

解析：

答案：1245 579 627

规律：两加数个十百万等位上的数字分别相加，够10，进1，差值为进位总次数乘以9

6、把0.52323……化成分数

解析：0.52323……×1000=523.23……

0.52323……×100000=52323.23……

所以0.52323……×99000=51800，0.52323……=51800÷99000=518/990

答案：518/990

7、神奇的数字“1”和“9”．（不计算，写出各题的积）
（1）1×9=______．
（2）11×99=______．
（3）111×999=______．
（4）1111×9999=______．
（5）11111×99999=______．
（6）111111×999999=______．

解析：计算前几个找规律

1×9=9，

11×99=1089，

111×999=110889，

1111×9999=11108889，

11111×99999=1111088889，

111111×999999=111110888889，

答案：9，1089，110889，11108889，1111088889，111110888889

8、快速计算314159×9＝

解析：变为：0314159×9＝

             从高位算起：

                0本位：2-0＝2

                3本位：11-3＝8

                1本位：3-1＝2

                4本位：11-4＝7

                1本位：5-1＝4

                5本位：8-5＝3

                9本位：10-9＝1

              即：314159×9＝2827431.

答案：2827431