北京三十五中八年级下学期期中数学试卷【解析版】

这是一份北京三十五中八年级下学期期中数学试卷【解析版】，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

北京三十五中八年级下学期期中数学试卷

一、选择题（每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．请将你认为符合要求的一项的序号填在题中的括号内．每题3分，共30分）
1．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是( )
A．3，5，7 B．5，7，8 C．4，6，7 D．1，，2

2．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的中线为( )
A．cm B．13cm C．6cm D．cm

3．已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°

4．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于( )

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

5．ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的条件是( )
A．a，b，c为任意实数 B．a，b不同时为0
C．a不为0 D．b，c不同时为0

6．2x2+4=0的根是( )
A．x1=2，x2=﹣2 B．x=2 C．无实根 D．以上均不正确
[来源:学科网]
7．已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是( )
A．x2﹣6x+8=0 B．x2+2x﹣3=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2+x﹣6=0

8．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )

A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．

9．若三角形的三边长分别等于，，2，则此三角形的面积为( )
A． B． C． D．

10．如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．

A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④


二、填空题（请将正确答案填在题中的横线上．每题3分，共24分）
11．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m+1=0的一个解，则m的值为__________．

12．x2+3x=0的根是__________．

13．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则m=__________．

14．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为__________．


15．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是__________．


16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为__________．


17．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是__________．[来源:学。科。网Z。X。X。K]

18．已知A（﹣2，2），B（1，﹣2），C（5，1），以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为__________．


三、解答题（19，20题每题8分，其余每题5分，共46分）
19．△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
（1）若a：b=3：4，c=25，求a，b；
（2）若c﹣a=4，b=12，求a，c．

20．解方程：
（1）x2﹣4x﹣2=0
（2）（x+3）（x﹣6）=﹣8．

21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

22．已知：如图，A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．


23．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）填空：当AB：AD=__________时，四边形MENF是正方形．


24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．


25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

26．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．
（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=2，求证：△ABC是“匀称三角形”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”．如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G，每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧．在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由．



北京三十五中2017-2018学年八年级下学期期中数学试卷


一、选择题（每小题的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．请将你认为符合要求的一项的序号填在题中的括号内．每题3分，共30分）
1．下列各组数中，能成为直角三角形的三条边长的是( )
A．3，5，7 B．5，7，8 C．4，6，7 D．1，，2

考点：勾股定理的逆定理．
分析：分别计算每一组中，较小两数的平方和，看是否等于最大数的平方，若等于就是直角三角形，否则就不是直角三角形．
解答： 解：A、因为32+52≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
B、因为52+72≠82，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
C、因为42+62≠72，所以不能构成直角三角形，此选项错误；
D、因为12+（）2=22，能构成直角三角形，此选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了勾股定理的逆定理，已知三条线段的长，判断是否能构成直角三角形的三边，判断的方法是：判断两个较小的数的平方和是否等于最大数的平方即可判断．

2．直角三角形的两条直角边的长分别为5，12，则斜边上的中线为( )
A．cm B．13cm C．6cm D．cm

考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理． [来源:Zxxk.Com]
分析：根据勾股定理求出AB，再根据直角三角形斜边上中线性质求出即可．
解答：
解：由勾股定理得：AB===13，
∵CD是直角三角形ACB斜边AB的中线，
∴CD=AB=，
故选D．
点评：本题考查了直角三角形ACB斜边AB的中线和勾股定理的应用，能熟练地运用性质进行推理和计算是解此题的关键，注意：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

3．已知▱ABCD中，∠A+∠C=200°，则∠B的度数是( )
A．100° B．160° C．80° D．60°

考点：平行四边形的性质．
分析：由四边形ABCD是平行四边形，可得∠A=∠C，AD∥BC，又由∠A+∠C=200°，即可求得∠A的度数，继而求得答案．
解答： 解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，
∵∠A+∠C=200°，
∴∠A=100°，
∴∠B=180°﹣∠A=80°．
故选C．
[来源:学§科§网Z§X§X§K]
点评：此题考查了平行四边形的性质．此题比较简单，注意掌握平行四边形的对角相等、邻角互补的知识．

4．如图，在▱ABCD中，已知AD=8cm，AB=6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于( )

A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm

考点：平行四边形的性质；等腰三角形的性质．
专题：几何图形问题．
分析：由平行四边形对边平行根据两直线平行，内错角相等可得∠EDA=∠DEC，而DE平分∠ADC，进一步推出∠EDC=∠DEC，在同一三角形中，根据等角对等边得CE=CD，则BE可求解．
解答： 解：根据平行四边形的性质得AD∥BC，
∴∠EDA=∠DEC，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC=∠ADE，
∴∠EDC=∠DEC，
∴CD=CE=AB=6，[来源:学科网]
即BE=BC﹣EC=8﹣6=2．
故选：A．
点评：本题直接通过平行四边形性质的应用，及等腰三角形的判定，属于基础题．

5．ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程的条件是( )
A．a，b，c为任意实数 B．a，b不同时为0
C．a不为0 D．b，c不同时为0

考点：一元二次方程的定义．
分析：根据一元二次方程的定义进行解答即可．
解答： 解：∵ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，
∴a≠0．
故选C．
点评：本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键．

6．2x2+4=0的根是( )
A．x1=2，x2=﹣2 B．x=2 C．无实根 D．以上均不正确

考点：解一元二次方程-直接开平方法．
分析：首先把方程移项、二次项系数化为1，得到x2=﹣2，再根据负数没有平方根即可求解．
解答： 解：移项得：2x2=﹣4．
系数化为1得：x2=﹣2，
∵负数没有平方根，
∴方程没有实数根．
故选C．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，不用计算一元二次方程根的判别式，根据负数没有平方根即可判定方程无解．

7．已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是( )
A．x2﹣6x+8=0 B．x2+2x﹣3=0 C．x2﹣x﹣6=0 D．x2+x﹣6=0

考点：根与系数的关系．
分析：首先设此一元二次方程为x2+px+q=0，由二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，根据根与系数的关系可得p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，继而求得答案．
解答： 解：设此一元二次方程为x2+px+q=0，
∵二次项系数为1，两根分别为2，﹣3，
∴p=﹣（2﹣3）=1，q=（﹣3）×2=﹣6，
∴这个方程为：x2+x﹣6=0．
故选：D．
点评：此题考查了根与系数的关系．此题难度不大，注意若二次项系数为1，x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=﹣p，x1x2=q，反过来可得p=﹣（x1+x2），q=x1x2．

8．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是( )

A．+1 B．﹣+1 C．﹣1 D．

考点：勾股定理；实数与数轴．
分析：先根据勾股定理求出三角形的斜边长，再根据两点间的距离公式即可求出A点的坐标．
解答： 解：图中的直角三角形的两直角边为1和2，
∴斜边长为：=，
∴﹣1到A的距离是，那么点A所表示的数为：﹣1．
故选C．
点评：本题考查的是勾股定理及两点间的距离公式，解答此题时要注意，确定点A的符号后，点A所表示的数是距离原点的距离．

9．若三角形的三边长分别等于，，2，则此三角形的面积为( )
A． B． C． D．

考点：勾股定理的逆定理．
分析：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形．直角三角形面积=．[来源:学_科_网Z_X_X_K]
解答： 解：根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形，
本题有：（）2+22=（）2，所以三角形是直角三角形，且两直角边分别为2，，
根据直角三角形的面积公式得：S△=×=，
故选B．
点评：本题考查了勾股定理的逆定理和直角三角形的面积的求解．

10．如图，四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2…，如此进行下去，得到四边形AnBnCnDn．下列结论正确的有( )
①四边形A2B2C2D2是矩形；
②四边形A4B4C4D4是菱形；
③四边形A5B5C5D5的周长是
④四边形AnBnCnDn的面积是．

A．①② B．②③ C．②③④ D．①②③④

考点：三角形中位线定理；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质．
专题：压轴题；规律型．
分析：首先根据题意，找出变化后的四边形的边长与四边形ABCD中各边长的长度关系规律，然后对以下选项作出分析与判断：
①根据矩形的判定与性质作出判断；
②根据菱形的判定与性质作出判断；
③由四边形的周长公式：周长=边长之和，来计算四边形A5B5C5D5的周长；
④根据四边形AnBnCnDn的面积与四边形ABCD的面积间的数量关系来求其面积．
解答： 解：①连接A1C1，B1D1．
∵在四边形ABCD中，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1，[来源:学#科#网Z#X#X#K]
∴A1D1∥BD，B1C1∥BD，C1D1∥AC，A1B1∥AC；
∴A1D1∥B1C1，A1B1∥C1D1，
∴四边形A1B1C1D1是平行四边形；
∵AC丄BD，∴四边形A1B1C1D1是矩形，
∴B1D1=A1C1（矩形的两条对角线相等）；
∴A2D2=C2D2=C2B2=B2A2（中位线定理），
∴四边形A2B2C2D2是菱形；
故①错误；

②由①知，四边形A2B2C2D2是菱形；
∴根据中位线定理知，四边形A4B4C4D4是菱形；
故②正确；

③根据中位线的性质易知，A5B5=A3B3=×A1B1=××AC，B5C5=B3C3=×B1C1=××BD，
∴四边形A5B5C5D5的周长是2×（a+b）=；
故③正确；

④∵四边形ABCD中，AC=a，BD=b，且AC丄BD，
∴S四边形ABCD=ab÷2；
由三角形的中位线的性质可以推知，每得到一次四边形，它的面积变为原来的一半，
四边形AnBnCnDn的面积是；
故④正确；
综上所述，②③④正确．
故选C．

点评：本题主要考查了菱形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的中位线定理（三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半）．解答此题时，需理清菱形、矩形与平行四边形的关系．

二、填空题（请将正确答案填在题中的横线上．每题3分，共24分）
11．若x=﹣1是关于x的一元二次方程x2+3x﹣2m+1=0的一个解，则m的值为﹣．

考点：一元二次方程的解．
专题：计算题．
分析：根据一元二次方程的解的定义，把x=﹣1代入方程得到关于m的方程，然后解一次方程即可．
解答： 解：把x=﹣1代入方程得（﹣1）2+3×（﹣1）﹣2m+1=0，
解得m=﹣．
故答案为﹣．
点评：本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

12．x2+3x=0的根是x1=0，x2=﹣3．

考点：解一元二次方程-因式分解法．
专题：计算题．
分析：方程利用因式分解法求出解即可．
解答： 解：方程分解得：x（x+3）=0，
可得x=0或x+3=0，
解得：x1=0，x2=﹣3．
故答案为：x1=0，x2=﹣3．
点评：此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

13．若关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，则m=＜﹣1．

考点：根的判别式．
分析：先根据关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
解答： 解：∵关于x的方程x2﹣2x﹣m=0无实数根，
∴△=4+4m＜0，
解得m＜﹣1．
故答案为：＜﹣1．
点评：本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，当△＜0时，方程没有实数根是解答此题的关键．

14．如图，▱ABCD的对角线相交于点O，两条对角线的和为18，AD的长为5，则△OBC的周长为14．


考点：平行四边形的性质．
专题：数形结合．
分析：根据两对角线之和为18，可得出OB+OC的值，再由AD=BC，可得出△OBC的周长．
解答： 解：由题意得，OB+OC=（AC+BD）=9，
又∵AD=BC=5，
∴△OBC的周长=9+5=14．
故答案为：14．
点评：此题考查了平行四边形的性质，解答此题需要掌握平行四边形的对角线互相平分，对边相等的性质，难度一般．

15．如图，菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，若EF=3，则菱形ABCD的周长是24．


考点：菱形的性质；三角形中位线定理．
专题：数形结合．
分析：根据题意可得出EF是△ABC的中位线，易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC．
解答： 解：∵AC是菱形ABCD的对角线，E、F分别是AB、AC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF=BC=3，
∴BC=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24．
故答案为24．
点评：本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的性质，关键是根据EF是△ABC的中位线，得出BC的长度，难度一般．

16．如图，矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为．


考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
分析：根据勾股定理可得BD=5，由折叠的性质可得△ADG≌△A'DG，则A'D=AD=3，A'G=AG，则A'B=5﹣3=2，在Rt△A'BG中根据勾股定理求AG的即可．
解答： 解：在Rt△ABD中，AB=4，AD=3，[来源:学科网]
∴BD===5，
由折叠的性质可得，△ADG≌△A'DG，
∴A'D=AD=3，A'G=AG，
∴A'B=BD﹣A'D=5﹣3=2，
设AG=x，则A'G=AG=x，BG=4﹣x，
在Rt△A'BG中，x2+22=（4﹣x）2[来源:Zxxk.Com]
解得x=，
即AG=．
点评：此题主要考查折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键．

17．已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，则∠AED的度数是15°或75°．

考点：正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
专题：计算题．
分析：当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，∠ADC=90°，根据等边△CDE，得到CD=DE，∠CDE=60°，推出AD=DE，得出∠DAE=∠AED，根据三角形的内角和定理求出即可；
当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出∠ADE=150°，求出即可．
解答： 解：有两种情况：
（1）当E在正方形ABCD内时，如图1
∵正方形ABCD，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵等边△CDE，
∴CD=DE，∠CDE=60°，
∴∠ADE=90°﹣60°=30°，
∴AD=DE，
∴∠DAE=∠AED=（180°﹣∠ADE）=75°；

（2）当E在正方形ABCD外时，如图2
∵等边三角形CDE，
∴∠EDC=60°，
∴∠ADE=90°+60°=150°，
∴∠AED=∠DAE=（180°﹣∠ADE）=15°．

故答案为：15°或75°．[来源:学科网ZXXK]

点评：本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．

18．已知A（﹣2，2），B（1，﹣2），C（5，1），以A，B，C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为（8，﹣3）（2，5），（﹣6，﹣1）．

考点：平行四边形的判定；坐标与图形性质．
分析：首先画出坐标系，再分别以AB、AC、BC为对角线作出平行四边形，进而可得D点坐标．
解答： 解：如图所示：
第四个顶点D的坐标为（8，﹣3）（2，5），（﹣6，﹣1）．
故答案为：（8，﹣3）（2，5），（﹣6，﹣1）．

点评：此题主要考查了平行四边形的判定，掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解决问题的关键．

三、解答题（19，20题每题8分，其余每题5分，共46分）
19．△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
（1）若a：b=3：4，c=25，求a，b；
（2）若c﹣a=4，b=12，求a，c．

考点：勾股定理．
分析：（1）设a=3x，则b=4x，再根据勾股定理求出x的值，进而可得出结论．
（2）根据勾股定理可得a，b，c的数量关系，再把已知条件代入即可求出a，c的值．
解答： 解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且a：b=3：4，
∴设a=3x，则b=4x．
∵a2+b2=c2，即（3x）2+（4x）2=252，解得x=5，
∴a=3x=15，b=4x=20；
（2）∵△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c
∴a2+b2=c2，
∵c﹣a=4，b=12，
∴a2+144=（a+4）2，
解得：a=16，
∴c=20．
点评：本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

20．解方程：
（1）x2﹣4x﹣2=0
（2）（x+3）（x﹣6）=﹣8．

考点：解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法．
专题：计算题．
分析：（1）利用配方法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
解答： 解：（1）x2﹣4x+4=6
（x﹣2）2=6，
x﹣2=±，
所以x1=2+，x2=2﹣；
（2）x2﹣3x﹣10=0，
（x﹣5）（x+2）=0，
x﹣5=0或x+2=0，
所以x1=5，x2=﹣2．
点评：本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．

21．已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

考点：根的判别式；一元二次方程的解；解一元二次方程-公式法．
专题：计算题．
分析：（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围；
（2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值．
解答： 解：（1）根据题意得：△=4﹣4（2k﹣4）=20﹣8k＞0，
解得：k＜；

（2）由k为正整数，得到k=1或2，
利用求根公式表示出方程的解为x=﹣1±，
∵方程的解为整数，
∴5﹣2k为完全平方数，
则k的值为2．
点评：此题考查了根的判别式，一元二次方程的解，以及公式法解一元二次方程，弄清题意是解本题的关键．

22．已知：如图，A、C是▱DEBF的对角线EF所在直线上的两点，且AE=CF．求证：四边形ABCD是平行四边形．


考点：平行四边形的判定与性质．
专题：证明题．
分析：如图，连接BD，交AC于点O，欲证明证明四边形ABCD是平行四边形，只需证得AO=CO，DO=BO．
解答： 证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形DEBF是平行四边形，
∴OD=OB，OE=OF．
又∵AE=CF，
∴AE+OE=CF+OF，即OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．

点评：本题考查了平行四边的判定与性质．平行四边形的判定方法共有五种，应用时要认真领会它们之间的联系与区别，同时要根据条件合理、灵活地选择方法．

23．已知：如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是线段BM、CM的中点．
（1）求证：△ABM≌△DCM；
（2）填空：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形．


考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；正方形的判定．
专题：几何图形问题．
分析：（1）根据矩形性质得出AB=DC，∠A=∠D=90°，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）求出四边形MENF是平行四边形，求出∠BMC=90°和ME=MF，根据正方形的判定推出即可．
解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M为AD的中点，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM中

∴△ABM≌△DCM（SAS）．

（2）解：当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
理由是：∵AB：AD=1：2，AM=DM，AB=CD，
∴AB=AM=DM=DC，
∵∠A=∠D=90°，
∴∠ABM=∠AMB=∠DMC=∠DCM=45°，
∴∠BMC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=∠DCB=90°，
∴∠MBC=∠MCB=45°，
∴BM=CM，
∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点，
∴BE=CF，ME=MF，NF∥BM，NE∥CM，
∴四边形MENF是平行四边形，
∵ME=MF，∠BMC=90°，
∴四边形MENF是正方形，
即当AB：AD=1：2时，四边形MENF是正方形，
故答案为：1：2．

点评：本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的性质和判定，三角形的中位线的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较好，难度适中．

24．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：
将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2
证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）
∴b2+ab=c2+a（b﹣a）
∴a2+b2=c2
请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．
将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．


考点：勾股定理的证明．
分析：首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．
解答： 证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，则BF=b﹣a，
∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，
又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），
∴ab+b2+ab=ab+c2+a（b﹣a），
∴a2+b2=c2．

点评：此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解本题的关键．

25．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x=﹣1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

考点：一元二次方程的应用．
专题：代数几何综合题．
分析：（1）直接将x=﹣1代入得出关于a，b的等式，进而得出a=b，即可判断△ABC的形状；
（2）利用根的判别式进而得出关于a，b，c的等式，进而判断△ABC的形状；
（3）利用△ABC是等边三角形，则a=b=c，进而代入方程求出即可．
解答： 解：（1）△ABC是等腰三角形；
理由：∵x=﹣1是方程的根，
∴（a+c）×（﹣1）2﹣2b+（a﹣c）=0，
∴a+c﹣2b+a﹣c=0，
∴a﹣b=0，
∴a=b，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）∵方程有两个相等的实数根，
∴（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）=0，
∴4b2﹣4a2+4c2=0，
∴a2=b2+c2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）当△ABC是等边三角形，∴（a+c）x2+2bx+（a﹣c）=0，可整理为：
2ax2+2ax=0，
∴x2+x=0，
解得：x1=0，x2=﹣1．
点评：此题主要考查了一元二次方程的应用以及根的判别式和勾股定理逆定理等知识，正确由已知获取等量关系是解题关键．

26．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．
（1）已知：如图1，在△ABC中，∠C=90°，BC=2，AB=2，求证：△ABC是“匀称三角形”；

（2）在平面直角坐标系xOy中，如果三角形的一边在x轴上，且这边的中线恰好等于这边的长，我们又称这个三角形为“水平匀称三角形”．如图2，现有10个边长是1的小正方形组成的长方形区域记为G，每个小正方形的顶点称为格点，A（3，0），B（4，0），若C、D（C、D两点与O不重合）是x轴上的格点，且点C在点A的左侧．在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有几个？其中是否存在横坐标为整数的点P，如果存在请求出这个点P的坐标，如果不存在请说明理由．

考点：勾股定理；坐标与图形性质；直角三角形斜边上的中线．
分析：（1）作AC边的中线BD交AC于点D，运用勾股定理求出BD，AC=BD得出△ABC是“匀称三角形”．
（2）①在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有4个．利用图形表示出各点．
②在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P．第四种情况，运用△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”得出P点横坐标为整数3．
解答： 解：（1）如图1，作AC边的中线BD交AC于点D，
∵∠C=90°，BC=2，AB=2，
∴AC==4．
∴AD=CD=2．
BD==4，
∴AC=BD，
∴△ABC是“匀称三角形”；
（2）①在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P共有4个．
如图：
第一种如图2，点C（1，0），点D（3，0）与A重合，用圆的交点找点P，

第二种如图3，点C（1，0），点D（2，0）

第三种如图4，点C（1，0），点D（5，0）

第四种如图5，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，

②在G内使△PAC与△PBD都是“水平匀称三角形”的点P中，存在横坐标为整数的点P．
第四种情况，如图5，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形．

∵A（3，0），C（2，0），
B（4，0），D（3，0）
∴AC=1，BD=1
设PM、PN分别为CA、DB上的中线，
∴AM=AC=，
AN=BD=，
∴AM=AN=，
∴点A为MN的中点．
∵△PAC与△PBD是“水平匀称三角形”，
∴PM=AC=1，PN=BD=1，
∴PM=PN=1，
∴PA⊥MN，即PA与x轴垂直，
∵A（3，0）
∴P点横坐标为整数3．
在Rt△PMA中，PM=1，AM=，
∴PA=，
∴P（3，）
所以，当C点坐标为（2，0），D点坐标为（3，0）与A重合时，△PAC与△PBD是水平匀称三角形且P点横坐标为整数．

点评：本题主要考查了几何变换综合题，题目给出了新的定义即“匀称三角形”和“水平匀称三角形”，解题的关键是理解定义并能正确运用定义解题．