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人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案
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这是一份人教版九年级上册24.1.2 垂直于弦的直径教案，共5页。教案主要包含了板书设计等内容，欢迎下载使用。
教学目标
1、知识目标：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动
手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时
培养学生勇于探索的精神。
教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点
1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
教学辅助
多媒体、可折叠的圆形纸板。
教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程
九、板书设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计目的
情
景
创
设
情景创设
情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
把一些实际问题转化为数学问题
思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？
从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。
回
顾
旧
识
回顾旧识
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）
学生观察一些图形：
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。
引
入
新
课
引入新课
问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？
（2）如果是，它的对称轴是什么？
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次
观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论
培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题
揭
示
课
题
揭示课题
电脑上用几何画板上作图：
（1）做一圆
(2) 在圆上任意作一条弦 AB；
(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。
（板书课题：垂直于弦的直径）
在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E
师
生
互
动
师生互动
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论
（1）图中圆可能会有哪些等量关系？
（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？
实验：将圆沿直径CD对折
观察：图形重合部分，思考图中的等量关系
猜想： AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？
引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质
拓展升华
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
学生自主探证
通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
归
纳
小
结
归纳小结
由学生小结，电脑显示
知识总结：
这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。
讲评总结：
1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？
2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用
3这节课的学习你有什么疑问？
4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议？
讲评回答
回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高
分层
作业
分层作业
1、必做题:习题24.1—1,9
2、选做题:习题24.1—12
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
24.1.2 垂直于
垂径定理：
垂径定理逆定理：
弦的直径
垂径定理证明：
方法归纳：
技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。
重要思路：
（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程
构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距
教学目标
1、知识目标：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动
手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时
培养学生勇于探索的精神。
教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用。
教学难点
1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
教学辅助
多媒体、可折叠的圆形纸板。
教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
教学过程
九、板书设计
教学环节
教师活动
学生活动
设计目的
情
景
创
设
情景创设
情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
把一些实际问题转化为数学问题
思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？
从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。
回
顾
旧
识
回顾旧识
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）
学生观察一些图形：
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。
引
入
新
课
引入新课
问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？
（2）如果是，它的对称轴是什么？
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次
观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论
培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题
揭
示
课
题
揭示课题
电脑上用几何画板上作图：
（1）做一圆
(2) 在圆上任意作一条弦 AB；
(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。
（板书课题：垂直于弦的直径）
在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E
师
生
互
动
师生互动
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论
（1）图中圆可能会有哪些等量关系？
（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？
实验：将圆沿直径CD对折
观察：图形重合部分，思考图中的等量关系
猜想： AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？
引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质
拓展升华
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论
学生自主探证
通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
归
纳
小
结
归纳小结
由学生小结，电脑显示
知识总结：
这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。
讲评总结：
1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？
2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用
3这节课的学习你有什么疑问？
4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议？
讲评回答
回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高
分层
作业
分层作业
1、必做题:习题24.1—1,9
2、选做题:习题24.1—12
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
24.1.2 垂直于
垂径定理：
垂径定理逆定理：
弦的直径
垂径定理证明：
方法归纳：
技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。
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构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距
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