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2021年河南省中考数学全真模拟试卷（二）
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这是一份2021年河南省中考数学全真模拟试卷（二），共31页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内.
1．（3分）在实数2，﹣2，﹣，中最小的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）据河南省统计局网站消息，2020年，面对新冠肺炎疫情带来的严重冲击和复杂多变的国内外环境，河南省生产总值54997.07亿元，按可比价格计算，比上年增长1.3%．数据54997.07亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.499707×1012 B．5.499707×1013
C．54.99707×1011 D．0.5499707×1013
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（﹣2ab）3＝﹣6ab3
C．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 D．a3•（﹣2a）＝﹣2a3
4．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，以下选项主视图、左视图和俯视图中，其中两个视图相同，则相同的视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）我市3月份某一周每天的最高气温统计如表所示，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）
最高气温（℃）
14
18
19
21
天 数
1
1
3
2
A．18，19 B．19，18 C．19，19 D．19，21
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AF＝3，则FC的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
7．（3分）若二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．（3分）现有四张分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字都是非负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，以点C为圆心，以OC为半径作弧，交BC于点F，交CD于点G，以点D为圆心，以AD为半径作弧，交BD于点E，若AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．﹣ C．﹣1 D．+1
10．（3分）平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021（n是正整数）的顶点A2021的坐标是（ ）
A．（4041，） B．（4041，﹣） C．（4043，） D．（4043，﹣）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（﹣1）0﹣（）﹣1＝ ．
12．（3分）如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一个顶点重合，两个直角三角形的斜边AE∥BC，则∠CAD的度数是 ．
13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点A作两坐标轴的平行线，分别交x轴，y轴于点B，C，连接BC，若S△ABC＝6，则k的值为 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD中，点P、Q从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路径匀速运动，同时到达点C时停止运动．连接PQ，设PQ的长为y，运动时间为x，则y（cm）与x（秒）的函数图象如图所示．当x＝2.5秒时，PQ的长是 cm．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）化简求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（x﹣2），其中x为不等式组的整数解．
17．（9分）2021年春节前夕某市教育局在全市范围内展开了“假期防疫给全体师生的一封信”，某校针对“您认为假期防疫方式最有效的是什么？（单选题）”这一问题对本校学生家长进行随机抽样调查．并随机抽取部分问卷进行统计．
问题选项：A．常通风；B．勤洗手；C．少聚集；D．戴口罩；E．其他．
如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该校共抽取多少张调查问卷？
（2）请根据图表，求扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）若该市约有九年级学生50000人，请你估计全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的人数．
18．（9分）如图，已知⊙O中，AC是⊙O的弦，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA＝∠B．
（2）已知∠P＝40°，直径AB＝12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），设运动时间为t（秒）．
①当t＝ 秒时，四边形AQBC面积最大；
②当t＝ 秒时，△ABQ与△ABC全等．
19．（9分）缅怀先烈，牢记历史，某校团委组织新人团的同学参观“二七纪念塔”，小亮在C处观察塔的顶端A的仰角为48°，向前走了26米到达D处时，测得塔的顶端A的仰角为64°，你能求出“二七纪念塔”AB的高度吗？（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）
20．（9分）为落实帮扶措施，确保精准扶贫工作有效开展，加快贫困群众早日脱贫步伐，经过前期对贫困户情况摸排了解，结合贫困户实际养殖意愿，某扶贫工作队开展精准扶贫“送鸡苗”活动，该工作队为帮扶对象购买了一批土鸡苗和乌鸡苗，已知一只土鸡苗比一只乌鸡苗贵2元，购买土鸡苗的费用和购买乌鸡苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种鸡苗购买的数量相同，求乌鸡苗的单价；
（2）若两种鸡苗共购买1100只，且购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，其中土鸡苗至少购买200只，根据（1）中两种鸡苗的单价，该工作队最少花费多少元？
21．（10分）小亮遇到一个函数y＝x4﹣4x2+2，他想利用初中学习函数的经验对这个函数的图象与性质进行探究，以下是他的研究过程，请补充完整：
（1）列表：
x
…
﹣2.1
﹣2
﹣1.9
﹣1.85
﹣1.7
﹣1.39
﹣1.05
﹣0.76
﹣0.61
0
0.61
0.76
1.05
1.39
1.7
1.85
1.9
2
2.1
…
y
…
3.72
2
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
m
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
n
3.72
…
其中m＝ ；n＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x4﹣4x2+2＝0有 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③根据a的取值范围判断关于x的方程x4﹣4x2+2＝a实数根情况．
22．（10分）在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点M为射线CA上一个动点．过点M作ME⊥BM，交射线BA于E，将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN，过点N作NF⊥BN交BC延长线于点F，连接EF．
（1）如图1，当点M在边AC上时，线段EM，EF，NF的数量关系为 ；
（2）如图2，当点M在射线CA上时，判断线段EM，EF，NF的数量关系并说明理由；
（3）当点M在射线CA上运动时，能否存在△BEF为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM的长．
23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于C．点P为二次函数图象上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线AC于点Q．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在以P，Q，O，C的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若射线QP，射线QO，直线AC互为角平分线时，直接写出点P的横坐标．
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内.
1．（3分）在实数2，﹣2，﹣，中最小的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣|＝，
∴﹣2＜﹣，
故﹣2＜﹣＜＜2．
故选：B．
2．（3分）据河南省统计局网站消息，2020年，面对新冠肺炎疫情带来的严重冲击和复杂多变的国内外环境，河南省生产总值54997.07亿元，按可比价格计算，比上年增长1.3%．数据54997.07亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.499707×1012 B．5.499707×1013
C．54.99707×1011 D．0.5499707×1013
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：54997.07亿＝5499707000000＝5.499707×1012．
故选：A．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（﹣2ab）3＝﹣6ab3
C．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 D．a3•（﹣2a）＝﹣2a3
【分析】各项利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，以及单项式乘以单项式法则判断即可．
【解答】解：A、原式＝5a2，不符合题意；
B、原式＝﹣8a3b3，不符合题意；
C、元素师＝9a2﹣b2，符合题意；
D、原式＝﹣2a4，不符合题意，
故选：C．
4．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，以下选项主视图、左视图和俯视图中，其中两个视图相同，则相同的视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图的画法即可判断．
【解答】解：主视图和俯视图相同，左边一列是三个小正方形，右边一列是一个小正方形；
左视图由三列，左边一列是两个小正方形，中间一列是三个小正方形，右边一列是一个小正方形；
故选：C．
5．（3分）我市3月份某一周每天的最高气温统计如表所示，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）
最高气温（℃）
14
18
19
21
天 数
1
1
3
2
A．18，19 B．19，18 C．19，19 D．19，21
【分析】根据众数的定义，找出出现次数最多的数就是众数，根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列后，找出最中间的那个数就是中位数．
【解答】解：∵19出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据（最高气温）的众数是19，
∵把这组数据从小到大排列为：14、18、19、19、19、21、21，
最中间的数是19，
∴这组数据的中位数是19，
故选：C．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AF＝3，则FC的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△CDF，∵AE＝EB＝CD，
∴＝＝，
∵AF＝3，
∴CF＝6，
故选：C．
7．（3分）若二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝2，再判断出点A、B、C到对称轴的大小，然后根据二次函数的增减性，x＜2，y随x的增大而增大，x＞2时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣x2+4x﹣4+4+c，
＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∴二次函数对称轴为直线x＝2，
∵2﹣1＝1，
2﹣（﹣1）＝3，
2+﹣2＝，
∴1＜＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
8．（3分）现有四张分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字都是非负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两张卡片的数字都是非负数的情况，即可求出所求的概率．
【解答】解：根据题意列表如下：
0
2
﹣1
﹣3
0
﹣﹣﹣
（2，0）
（﹣1，0）
（﹣3，0）
2
（0，2）
﹣﹣﹣
（﹣1，2）
（﹣3，2）
﹣1
（0，﹣1）
（2，﹣1）
﹣﹣﹣
（﹣3，﹣1）
﹣3
（0，﹣3）
（2，﹣3）
（﹣1，﹣3）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有2种，
则P（两个都是非负数）＝＝．
故选：A．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，以点C为圆心，以OC为半径作弧，交BC于点F，交CD于点G，以点D为圆心，以AD为半径作弧，交BD于点E，若AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．﹣ C．﹣1 D．+1
【分析】根据S阴＝S扇形DAE+S△ODC﹣S扇形OCG，求解即可．
【解答】解：S阴＝S扇形DAE+S△ODC﹣S扇形OCG＝+××2×2﹣＝+1，
故选：D．
10．（3分）平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021（n是正整数）的顶点A2021的坐标是（ ）
A．（4041，） B．（4041，﹣） C．（4043，） D．（4043，﹣）
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2020A2021B2021的顶点A2021的横坐标是：4×1010+1＝4041，纵坐标是：，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（﹣1）0﹣（）﹣1＝ ﹣1 ．
【分析】首先根据负整数指数幂的运算方法，分别求出（﹣1）0、（）﹣1的值是多少，然后把它们相减，求出算式（﹣1）0﹣（）﹣1的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）0﹣（）﹣1
＝1﹣2
＝﹣1
故答案为：﹣1．
12．（3分）如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一个顶点重合，两个直角三角形的斜边AE∥BC，则∠CAD的度数是 15° ．
【分析】由平行可得∠C＝∠EAF＝30°，再用∠DAE﹣∠EAF即可．
【解答】解：由三角板可得：∠C＝30°，∠EAD＝45°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠EAF＝30°．
∵∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAF＝15°．
故答案为：15°．
13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点A作两坐标轴的平行线，分别交x轴，y轴于点B，C，连接BC，若S△ABC＝6，则k的值为 12 ．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝12，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：∵AB⊥y轴，AC∥x轴，
∴四边形OBAC是矩形，
∵S△ABC＝6，
∴S矩形OBAC＝12，
∴|k|＝12，
∵k＞0，
∴k＝12．
故答案为12．
14．（3分）如图，正方形ABCD中，点P、Q从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路径匀速运动，同时到达点C时停止运动．连接PQ，设PQ的长为y，运动时间为x，则y（cm）与x（秒）的函数图象如图所示．当x＝2.5秒时，PQ的长是 cm．
【分析】由题可得：当点P、Q运动2秒时，可得正方形的边长AB＝AD＝2cm，据此求解即可．
【解答】解：由题可得：正方形的边长AB＝AD＝2cm，
点P运动2.5秒时，P点运动了2.5cm，
此时，点P在BC上，
则此时CP＝2﹣0.5＝＝CQ，
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得PQ＝＝（cm），
故答案为：．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为 或 ．
【分析】根据△CBF为直角三角形，即∠CFP为直角，从而证明∠CFD+∠PFA＝90°，得∠CFD＝∠BAC，证得△CDF∽△CBA，根据相似三角形的性质计算得到DF的长度，再用AD长度减去DF后根据轴对称的性质可得AE的长．
【解答】解：①当∠CFP＝90°时，
∵△PCF为直角三角形，
∴∠CFP＝90°，
∴∠CFD+∠PFA＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CAB+∠PAF＝90°，
∵PE⊥AD，点A与点F关于PE对称，
∴PE＝PA，EF＝EA，
∴∠PFA＝∠PAF，
∴∠CAB＝∠CFD，
在△CBA和△CDF中
∴△CBA∽△CDF，
∴，
∵AB＝CD＝6，BC＝8，
∴，
即DF＝，
∴AE＝（AD﹣DF）
＝（8﹣）
＝．
②当∠PCF＝90°时，
∵∠ACB＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝90°，
∴△ACB∽△FAC，
∴＝，
∴AF＝，
∴AE＝AF＝
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）化简求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（x﹣2），其中x为不等式组的整数解．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，解不等式组求出x的范围，根据题意确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣（4x2﹣1）+x2+x﹣2x﹣2
＝4x2+4x+1﹣4x2+1+x2+x﹣2x﹣2
＝x2+3x，
解不等式组，得﹣1≤x＜2，
∵x为整数，
∴x＝﹣1、0、1，
当x＝0时，原式＝0．
17．（9分）2021年春节前夕某市教育局在全市范围内展开了“假期防疫给全体师生的一封信”，某校针对“您认为假期防疫方式最有效的是什么？（单选题）”这一问题对本校学生家长进行随机抽样调查．并随机抽取部分问卷进行统计．
问题选项：A．常通风；B．勤洗手；C．少聚集；D．戴口罩；E．其他．
如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该校共抽取多少张调查问卷？
（2）请根据图表，求扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）若该市约有九年级学生50000人，请你估计全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的人数．
【分析】（1）根据选择C的人数和所占的百分比，可以计算出该校共抽取多少张调查问卷；
（2）根据统计图中的数据和（1）中的结果，可以计算出扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出选择B、C、D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的人数．
【解答】解：（1）100÷20%＝500（张），
即该校共抽取500张调查问卷；
（2）360°×＝43.2°，
即扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数是43.2°；
（3）选择B的有：500×18%＝90（张），
选择E的有：500×20%＝100（张），
选择D的有：500﹣60﹣90﹣100﹣100＝150（张），
补全的条形统计图如右图所示；
（4）50000×＝15000（人），
即估计全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的有15000人．
18．（9分）如图，已知⊙O中，AC是⊙O的弦，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA＝∠B．
（2）已知∠P＝40°，直径AB＝12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），设运动时间为t（秒）．
①当t＝ 3 秒时，四边形AQBC面积最大；
②当t＝ t＝秒或秒或 秒时，△ABQ与△ABC全等．
【分析】（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠OCA+∠PCA＝90°，由AB是⊙O的直径，得到∠OAC+∠B＝90°，于是得到结论；
（2）①如图2中，当点Q在AB下方，＝时，四边形AQBC的面积最大，根据弧长÷速度可得时间t的值；
②根据已知条件求出AO的值，分三种情况讨论当∠AOQ＝∠AOC＝50°时，当∠BOQ＝∠AOC＝50°时，当∠BOQ＝50°时，即∠AOQ＝230°时，再根据弧长公式即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，
∴∠OCA+∠PCA＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠B＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠PCA＝∠B；
（2）①如图2中，当点Q在AB下方，＝时，四边形AQBC的面积最大，此时t＝＝3（s）．
则当t＝3秒时，四边形AQBC面积最大；
故答案为：3；
②∵∠P＝40°，∠PCO＝90°，
∴∠AOC＝50°，
∵AB＝12，
∴AO＝6，
当∠AOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长＝＝（cm），
∴t＝＝；
当∠BOQ＝∠AOC＝50°时，即∠AOQ＝130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长＝＝（cm），
∴t＝＝；
当∠BOQ＝50°时，即∠AOQ＝230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长＝＝π（cm），
∴t＝＝，
∴当t＝s或s或s时，△ABQ与△ABC的面积相等；
故答案为：t＝秒或秒或．
19．（9分）缅怀先烈，牢记历史，某校团委组织新人团的同学参观“二七纪念塔”，小亮在C处观察塔的顶端A的仰角为48°，向前走了26米到达D处时，测得塔的顶端A的仰角为64°，你能求出“二七纪念塔”AB的高度吗？（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）
【分析】根据题意和图形，利用锐角三角函数，可以计算出AB的高度，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠ABC＝90°，CD＝26米，∠C＝48°，∠ADB＝64°，
∵tanC＝，tan∠ADB＝＝，
∴AB＝CB•tanC，AB＝（CB﹣CD）•tan∠ADB，
∴CB•tanC＝（CB﹣CD）•tan∠ADB，
∴CB•tan48°＝（CB﹣26）•tan64°，
解得CB＝，
∴AB＝•tan48°≈×≈63.6（米），
即“二七纪念塔”AB的高度是63.6米．
20．（9分）为落实帮扶措施，确保精准扶贫工作有效开展，加快贫困群众早日脱贫步伐，经过前期对贫困户情况摸排了解，结合贫困户实际养殖意愿，某扶贫工作队开展精准扶贫“送鸡苗”活动，该工作队为帮扶对象购买了一批土鸡苗和乌鸡苗，已知一只土鸡苗比一只乌鸡苗贵2元，购买土鸡苗的费用和购买乌鸡苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种鸡苗购买的数量相同，求乌鸡苗的单价；
（2）若两种鸡苗共购买1100只，且购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，其中土鸡苗至少购买200只，根据（1）中两种鸡苗的单价，该工作队最少花费多少元？
【分析】（1）设乌鸡苗的单价为x元/只，则土鸡苗的单价为（x+2）元/只，利用数量＝总价÷单价，结合两种鸡苗购买的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买土鸡苗m只，则购买乌鸡苗（1100﹣m）只，根据“购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，且土鸡苗至少购买200只”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设该工作队购买鸡苗的总花费为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设乌鸡苗的单价为x元/只，则土鸡苗的单价为（x+2）元/只，
依题意得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：乌鸡苗的单价为5元/只．
（2）设购买土鸡苗m只，则购买乌鸡苗（1100﹣m）只，
依题意得：，
解得：200≤m≤250．
设该工作队购买鸡苗的总花费为w元，则w＝（5+2）m+5（1100﹣m）＝2m+5500，
∵k＝2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝200时，w取得最小值，最小值＝2×200+5500＝5900．
答：该工作队最少花费5900元．
21．（10分）小亮遇到一个函数y＝x4﹣4x2+2，他想利用初中学习函数的经验对这个函数的图象与性质进行探究，以下是他的研究过程，请补充完整：
（1）列表：
x
…
﹣2.1
﹣2
﹣1.9
﹣1.85
﹣1.7
﹣1.39
﹣1.05
﹣0.76
﹣0.61
0
0.61
0.76
1.05
1.39
1.7
1.85
1.9
2
2.1
…
y
…
3.72
2
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
m
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
n
3.72
…
其中m＝ 2 ；n＝ 2 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 函数图象关于y轴对称 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x4﹣4x2+2＝0有 4 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1 ＜ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③根据a的取值范围判断关于x的方程x4﹣4x2+2＝a实数根情况．
【分析】（1）将x＝0，2分别代入y＝x4﹣4x2+2即可求出m，n．
（2）描点如下函数图象，关键图象即可求得；
（3）观察函数图象选择一条即可；
（4）①通过图象可以看出；
②根据图象，可以得出此时为递增函数，故得出结论；
③根据图象特点，分类讨论求出．
【解答】解：（1）当x＝0时代入y＝x4﹣4x2+2，得y＝2，则m＝2；
当x＝2时代入y＝x4﹣4x2+2，得y＝2，则n＝2．
故答案为：m＝2；n＝2．
（2）描点即可画出，如下图，
（3）函数图象关于y轴对称；
（4）①通过图象可以看出当y＝0时，与x轴有4个交点，故有4个不相等的实数根；
②根据图象，当x＞2时，y得值随x得增大而增大，故当x2＞x1＞2时，y1＜y2；
③由图象可知，
当a＜﹣2时，无实数根；
当a＝﹣2或a＞2时，有2个实数根；
当﹣2＜a＜2时，有4个实数根；
当a＝2时，有3个实数根；
22．（10分）在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点M为射线CA上一个动点．过点M作ME⊥BM，交射线BA于E，将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN，过点N作NF⊥BN交BC延长线于点F，连接EF．
（1）如图1，当点M在边AC上时，线段EM，EF，NF的数量关系为 EM+EF＝FN ；
（2）如图2，当点M在射线CA上时，判断线段EM，EF，NF的数量关系并说明理由；
（3）当点M在射线CA上运动时，能否存在△BEF为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM的长．
【分析】（1）结论：EM+EF＝FN．如图1中，延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE交FE的延长线于G，设FN交BT于K．利用全等三角形的性质证明FN＝FG，EG＝EM，可得结论．
（2）如图2中，结论：EF＝EM＝FN．延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE于G，延长FN交BT的延长线于K．利用全等三角形的性质证明FN＝FG，EG＝EM，可得结论．
（3）分两种情形：①当点M与A重合时，EB＝EF，此时CM＝CA＝2．②如图3中，当BE＝BF时，过点B作BG⊥EF于G．证明AM＝AB＝2，可得结论．
【解答】解：（1）结论：EM+EF＝FN．
理由：如图1中，延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE交FE的延长线于G，设FN交BT于K．
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CA＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∴∠BAC＝∠BTC＝45°，
∴∠ABT＝90°，
∵ME⊥BM，BN⊥FN，
∴∠BME＝∠BNK＝90°，
∵∠ABT＝∠MBN＝90°，
∴∠EBM＝∠KBN，
∵BM＝BN，
∴△EBM≌△KBN（ASA），
∴BE＝BK，
∵∠EBF＝∠KBF＝45°，BE＝BK，BF＝BF，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFK，
∵BG⊥FG，BN⊥FN，
∴∠G＝∠BNF＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFG≌△BFN（AAS），
∴BG＝BN，FG＝FN，
∵BM＝BN，
∴BG＝BM，
∵∠G＝∠BME＝90°，BE＝BE，
∴Rt△BEG≌Rt△BEM（HL），
∵EG＝EM，
∴EM+EF＝FG＝FN．
故答案为：EM+EF＝FN．
（2）如图2中，结论：EF＝EM＝FN．
理由：延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE于G，延长FN交BT的延长线于K．
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CA＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∴∠BAC＝∠BTC＝45°，
∴∠ABT＝90°，
∵ME⊥BM，BN⊥FN，
∴∠BME＝∠BNK＝90°，
∵∠ABT＝∠MBN＝90°，
∴∠EBM＝∠KBN，
∵BM＝BN，
∴△EBM≌△KBN（ASA），
∴BE＝BK，
∵∠EBF＝∠KBF＝45°，BE＝BK，BF＝BF，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFK，
∵BG⊥FG，BN⊥FN，
∴∠G＝∠BNF＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFG≌△BFN（AAS），
∴BG＝BN，FG＝FN，
∵BM＝BN，
∴BG＝BM，
∵∠BGE＝∠BME＝90°，BE＝BE，
∴Rt△BEG≌Rt△BEM（HL），
∵EG＝EM，
∴EF﹣EM＝EF﹣EG＝FG＝FN．
（3）①当点M与A重合时，EB＝EF，此时CM＝CA＝2．
②如图3中，当BE＝BF时，过点B作BG⊥EF于G．
由2可知，△FBN≌△FBG≌△EBG≌≌EBM，
∴∠ABM＝∠ABG＝∠GBF＝∠FBN＝22.5°，
∵∠BAC＝∠MBA+∠AMB＝45°，
∴∠AMB﹣∠ABM＝22.5°，
∴AB＝AM＝＝＝2，
∴CM＝2+2，
综上所述，满足条件的CM的值为2或2+2．
23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于C．点P为二次函数图象上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线AC于点Q．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在以P，Q，O，C的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若射线QP，射线QO，直线AC互为角平分线时，直接写出点P的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣m+3），求出直线AC的解析式，则Q（m，m+3），根据平行四边形的性质求解即可；
（3）分两种情况：①点P在y轴左侧时，②点P在y轴右侧时，根据角平分线的定义，平行线的性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，则
，
解这个方程组，得a＝﹣，b＝﹣．
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）存在，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣m+3），
∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与y轴交于C．
∴C （0，3），
∵A（﹣4，0），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴Q（m，m+3），
∵以P，Q，O，C的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OC，PQ＝OC＝3，
∴|﹣m2﹣m+3﹣m﹣3|＝3，
解得：m1＝﹣2，m2＝﹣2+2，m3＝﹣2﹣2，
∴存在，点P的横坐标为﹣2或﹣2+2或﹣2﹣2；
（3）分两种情况：
①点P在y轴左侧时，如图，直线AC为角平分线时，
∵直线AC为角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵PM⊥x轴，
∴PM∥y轴，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OQ＝OC＝3，
设点Q的坐标为（x，x+3），
∴x2+（x+3）2＝32，
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣；
②点P在y轴右侧时，如图，射线QO为角平分线时，
过点C作CN⊥PQ于N，
∵直线QO为角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵PM⊥x轴，
∴PM∥y轴，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴CQ＝OC＝3，
设点Q的坐标为（x，x+3），则CN＝x，QN＝QM﹣MN＝x+3﹣3＝x，
∴x2+（x）2＝32，
解得：x1＝﹣（舍去），x2＝；
∴点P的横坐标为﹣或．
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（二）
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内.
1．（3分）在实数2，﹣2，﹣，中最小的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
2．（3分）据河南省统计局网站消息，2020年，面对新冠肺炎疫情带来的严重冲击和复杂多变的国内外环境，河南省生产总值54997.07亿元，按可比价格计算，比上年增长1.3%．数据54997.07亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.499707×1012 B．5.499707×1013
C．54.99707×1011 D．0.5499707×1013
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（﹣2ab）3＝﹣6ab3
C．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 D．a3•（﹣2a）＝﹣2a3
4．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，以下选项主视图、左视图和俯视图中，其中两个视图相同，则相同的视图是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）我市3月份某一周每天的最高气温统计如表所示，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）
最高气温（℃）
14
18
19
21
天 数
1
1
3
2
A．18，19 B．19，18 C．19，19 D．19，21
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AF＝3，则FC的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
7．（3分）若二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
8．（3分）现有四张分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字都是非负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，以点C为圆心，以OC为半径作弧，交BC于点F，交CD于点G，以点D为圆心，以AD为半径作弧，交BD于点E，若AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．﹣ C．﹣1 D．+1
10．（3分）平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021（n是正整数）的顶点A2021的坐标是（ ）
A．（4041，） B．（4041，﹣） C．（4043，） D．（4043，﹣）
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（﹣1）0﹣（）﹣1＝ ．
12．（3分）如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一个顶点重合，两个直角三角形的斜边AE∥BC，则∠CAD的度数是 ．
13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点A作两坐标轴的平行线，分别交x轴，y轴于点B，C，连接BC，若S△ABC＝6，则k的值为 ．
14．（3分）如图，正方形ABCD中，点P、Q从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路径匀速运动，同时到达点C时停止运动．连接PQ，设PQ的长为y，运动时间为x，则y（cm）与x（秒）的函数图象如图所示．当x＝2.5秒时，PQ的长是 cm．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为 ．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）化简求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（x﹣2），其中x为不等式组的整数解．
17．（9分）2021年春节前夕某市教育局在全市范围内展开了“假期防疫给全体师生的一封信”，某校针对“您认为假期防疫方式最有效的是什么？（单选题）”这一问题对本校学生家长进行随机抽样调查．并随机抽取部分问卷进行统计．
问题选项：A．常通风；B．勤洗手；C．少聚集；D．戴口罩；E．其他．
如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该校共抽取多少张调查问卷？
（2）请根据图表，求扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）若该市约有九年级学生50000人，请你估计全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的人数．
18．（9分）如图，已知⊙O中，AC是⊙O的弦，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA＝∠B．
（2）已知∠P＝40°，直径AB＝12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），设运动时间为t（秒）．
①当t＝ 秒时，四边形AQBC面积最大；
②当t＝ 秒时，△ABQ与△ABC全等．
19．（9分）缅怀先烈，牢记历史，某校团委组织新人团的同学参观“二七纪念塔”，小亮在C处观察塔的顶端A的仰角为48°，向前走了26米到达D处时，测得塔的顶端A的仰角为64°，你能求出“二七纪念塔”AB的高度吗？（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）
20．（9分）为落实帮扶措施，确保精准扶贫工作有效开展，加快贫困群众早日脱贫步伐，经过前期对贫困户情况摸排了解，结合贫困户实际养殖意愿，某扶贫工作队开展精准扶贫“送鸡苗”活动，该工作队为帮扶对象购买了一批土鸡苗和乌鸡苗，已知一只土鸡苗比一只乌鸡苗贵2元，购买土鸡苗的费用和购买乌鸡苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种鸡苗购买的数量相同，求乌鸡苗的单价；
（2）若两种鸡苗共购买1100只，且购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，其中土鸡苗至少购买200只，根据（1）中两种鸡苗的单价，该工作队最少花费多少元？
21．（10分）小亮遇到一个函数y＝x4﹣4x2+2，他想利用初中学习函数的经验对这个函数的图象与性质进行探究，以下是他的研究过程，请补充完整：
（1）列表：
x
…
﹣2.1
﹣2
﹣1.9
﹣1.85
﹣1.7
﹣1.39
﹣1.05
﹣0.76
﹣0.61
0
0.61
0.76
1.05
1.39
1.7
1.85
1.9
2
2.1
…
y
…
3.72
2
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
m
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
n
3.72
…
其中m＝ ；n＝ ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x4﹣4x2+2＝0有 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1 y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③根据a的取值范围判断关于x的方程x4﹣4x2+2＝a实数根情况．
22．（10分）在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点M为射线CA上一个动点．过点M作ME⊥BM，交射线BA于E，将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN，过点N作NF⊥BN交BC延长线于点F，连接EF．
（1）如图1，当点M在边AC上时，线段EM，EF，NF的数量关系为 ；
（2）如图2，当点M在射线CA上时，判断线段EM，EF，NF的数量关系并说明理由；
（3）当点M在射线CA上运动时，能否存在△BEF为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM的长．
23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于C．点P为二次函数图象上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线AC于点Q．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在以P，Q，O，C的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若射线QP，射线QO，直线AC互为角平分线时，直接写出点P的横坐标．
2021年河南省中考数学全真模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的，将正确选项的代号字母填入题后括号内.
1．（3分）在实数2，﹣2，﹣，中最小的数是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．﹣
【分析】正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．
【解答】解：∵|﹣2|＝2，|﹣|＝，
∴﹣2＜﹣，
故﹣2＜﹣＜＜2．
故选：B．
2．（3分）据河南省统计局网站消息，2020年，面对新冠肺炎疫情带来的严重冲击和复杂多变的国内外环境，河南省生产总值54997.07亿元，按可比价格计算，比上年增长1.3%．数据54997.07亿用科学记数法表示为（ ）
A．5.499707×1012 B．5.499707×1013
C．54.99707×1011 D．0.5499707×1013
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．
【解答】解：54997.07亿＝5499707000000＝5.499707×1012．
故选：A．
3．（3分）下列各式计算正确的是（ ）
A．2a2+3a2＝5a4 B．（﹣2ab）3＝﹣6ab3
C．（3a+b）（3a﹣b）＝9a2﹣b2 D．a3•（﹣2a）＝﹣2a3
【分析】各项利用合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方，平方差公式，以及单项式乘以单项式法则判断即可．
【解答】解：A、原式＝5a2，不符合题意；
B、原式＝﹣8a3b3，不符合题意；
C、元素师＝9a2﹣b2，符合题意；
D、原式＝﹣2a4，不符合题意，
故选：C．
4．（3分）如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，以下选项主视图、左视图和俯视图中，其中两个视图相同，则相同的视图是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图、左视图、俯视图的画法即可判断．
【解答】解：主视图和俯视图相同，左边一列是三个小正方形，右边一列是一个小正方形；
左视图由三列，左边一列是两个小正方形，中间一列是三个小正方形，右边一列是一个小正方形；
故选：C．
5．（3分）我市3月份某一周每天的最高气温统计如表所示，则这组数据（最高气温）的众数与中位数分别是（ ）
最高气温（℃）
14
18
19
21
天 数
1
1
3
2
A．18，19 B．19，18 C．19，19 D．19，21
【分析】根据众数的定义，找出出现次数最多的数就是众数，根据中位数的定义将这组数据从小到大重新排列后，找出最中间的那个数就是中位数．
【解答】解：∵19出现了3次，出现的次数最多，
∴这组数据（最高气温）的众数是19，
∵把这组数据从小到大排列为：14、18、19、19、19、21、21，
最中间的数是19，
∴这组数据的中位数是19，
故选：C．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AF＝3，则FC的值为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．9
【分析】利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，
∴△AEF∽△CDF，∵AE＝EB＝CD，
∴＝＝，
∵AF＝3，
∴CF＝6，
故选：C．
7．（3分）若二次函数y＝﹣x2+4x+c的图象经过A（1，y1），B（﹣1，y2），C（2+，y3）三点，则y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y2＜y3＜y1 D．y2＜y1＜y3
【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝2，再判断出点A、B、C到对称轴的大小，然后根据二次函数的增减性，x＜2，y随x的增大而增大，x＞2时，y随x的增大而减小解答．
【解答】解：∵y＝﹣x2+4x+c＝﹣x2+4x﹣4+4+c，
＝﹣（x﹣2）2+4+c，
∴二次函数对称轴为直线x＝2，
∵2﹣1＝1，
2﹣（﹣1）＝3，
2+﹣2＝，
∴1＜＜3，
∴y2＜y3＜y1．
故选：C．
8．（3分）现有四张分别标有数字﹣3，﹣1，0，2的卡片，它们除数字外完全相同．把卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片上所标的数字都是非负数的概率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出两张卡片的数字都是非负数的情况，即可求出所求的概率．
【解答】解：根据题意列表如下：
0
2
﹣1
﹣3
0
﹣﹣﹣
（2，0）
（﹣1，0）
（﹣3，0）
2
（0，2）
﹣﹣﹣
（﹣1，2）
（﹣3，2）
﹣1
（0，﹣1）
（2，﹣1）
﹣﹣﹣
（﹣3，﹣1）
﹣3
（0，﹣3）
（2，﹣3）
（﹣1，﹣3）
﹣﹣﹣
所有等可能的情况有12种，其中两张卡片的数字都是非负数的情况有2种，
则P（两个都是非负数）＝＝．
故选：A．
9．（3分）如图，正方形ABCD中，点O为对角线的交点，以点C为圆心，以OC为半径作弧，交BC于点F，交CD于点G，以点D为圆心，以AD为半径作弧，交BD于点E，若AB＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．+ B．﹣ C．﹣1 D．+1
【分析】根据S阴＝S扇形DAE+S△ODC﹣S扇形OCG，求解即可．
【解答】解：S阴＝S扇形DAE+S△ODC﹣S扇形OCG＝+××2×2﹣＝+1，
故选：D．
10．（3分）平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△B2020A2021B2021（n是正整数）的顶点A2021的坐标是（ ）
A．（4041，） B．（4041，﹣） C．（4043，） D．（4043，﹣）
【分析】首先根据△OA1B1是边长为2的等边三角形，可得A1的坐标为（1，），B1的坐标为（2，0）；然后根据中心对称的性质，分别求出点A2、A3、A4的坐标各是多少；最后总结出An的坐标的规律，求出A2n+1的坐标是多少即可．
【解答】解：∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴A1的坐标为：（1，），B1的坐标为：（2，0），
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称，
∵2×2﹣1＝3，2×0﹣＝﹣，
∴点A2的坐标是：（3，﹣），
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称，
∵2×4﹣3＝5，2×0﹣（﹣）＝，
∴点A3的坐标是：（5，），
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称，
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称，
∵2×6﹣5＝7，2×0﹣＝﹣，
∴点A4的坐标是：（7，﹣），
…，
∵1＝2×1﹣1，3＝2×2﹣1，5＝2×3﹣1，7＝2×4﹣1，…，
∴An的横坐标是：2n﹣1，A2n+1的横坐标是：2（2n+1）﹣1＝4n+1，
∵当n为奇数时，An的纵坐标是：，当n为偶数时，An的纵坐标是：﹣，
∴顶点A2n+1的纵坐标是：，
∴△B2nA2n+1B2n+1（n是正整数）的顶点A2n+1的坐标是：（4n+1，），
∴△B2020A2021B2021的顶点A2021的横坐标是：4×1010+1＝4041，纵坐标是：，
故选：A．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）计算：（﹣1）0﹣（）﹣1＝ ﹣1 ．
【分析】首先根据负整数指数幂的运算方法，分别求出（﹣1）0、（）﹣1的值是多少，然后把它们相减，求出算式（﹣1）0﹣（）﹣1的值是多少即可．
【解答】解：（﹣1）0﹣（）﹣1
＝1﹣2
＝﹣1
故答案为：﹣1．
12．（3分）如图，将一副直角三角板如图放置，使两个三角形的一个顶点重合，两个直角三角形的斜边AE∥BC，则∠CAD的度数是 15° ．
【分析】由平行可得∠C＝∠EAF＝30°，再用∠DAE﹣∠EAF即可．
【解答】解：由三角板可得：∠C＝30°，∠EAD＝45°，
∵AE∥BC，
∴∠C＝∠EAF＝30°．
∵∠EAD＝45°，
∴∠CAD＝∠EAD﹣∠EAF＝15°．
故答案为：15°．
13．（3分）如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）图象上一点，过点A作两坐标轴的平行线，分别交x轴，y轴于点B，C，连接BC，若S△ABC＝6，则k的值为 12 ．
【分析】根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝12，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．
【解答】解：∵AB⊥y轴，AC∥x轴，
∴四边形OBAC是矩形，
∵S△ABC＝6，
∴S矩形OBAC＝12，
∴|k|＝12，
∵k＞0，
∴k＝12．
故答案为12．
14．（3分）如图，正方形ABCD中，点P、Q从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A﹣B﹣C和A﹣D﹣C的路径匀速运动，同时到达点C时停止运动．连接PQ，设PQ的长为y，运动时间为x，则y（cm）与x（秒）的函数图象如图所示．当x＝2.5秒时，PQ的长是 cm．
【分析】由题可得：当点P、Q运动2秒时，可得正方形的边长AB＝AD＝2cm，据此求解即可．
【解答】解：由题可得：正方形的边长AB＝AD＝2cm，
点P运动2.5秒时，P点运动了2.5cm，
此时，点P在BC上，
则此时CP＝2﹣0.5＝＝CQ，
在Rt△PCQ中，由勾股定理，得PQ＝＝（cm），
故答案为：．
15．（3分）如图，点P为矩形ABCD对角线AC上异于A、C的一个动点，过点P作PE⊥AD于点E，点F为点A关于PE的对称点，连接PF、FC，若AB＝6，BC＝8，当△CPF为直角三角形时，AE的长为 或 ．
【分析】根据△CBF为直角三角形，即∠CFP为直角，从而证明∠CFD+∠PFA＝90°，得∠CFD＝∠BAC，证得△CDF∽△CBA，根据相似三角形的性质计算得到DF的长度，再用AD长度减去DF后根据轴对称的性质可得AE的长．
【解答】解：①当∠CFP＝90°时，
∵△PCF为直角三角形，
∴∠CFP＝90°，
∴∠CFD+∠PFA＝90°，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠CAB+∠PAF＝90°，
∵PE⊥AD，点A与点F关于PE对称，
∴PE＝PA，EF＝EA，
∴∠PFA＝∠PAF，
∴∠CAB＝∠CFD，
在△CBA和△CDF中
∴△CBA∽△CDF，
∴，
∵AB＝CD＝6，BC＝8，
∴，
即DF＝，
∴AE＝（AD﹣DF）
＝（8﹣）
＝．
②当∠PCF＝90°时，
∵∠ACB＝∠CAF，∠B＝∠ACF＝90°，
∴△ACB∽△FAC，
∴＝，
∴AF＝，
∴AE＝AF＝
故答案为：或．
三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）
16．（8分）化简求值：（2x+1）2﹣（2x+1）（2x﹣1）+（x+1）（x﹣2），其中x为不等式组的整数解．
【分析】根据完全平方公式、平方差公式、多项式乘多项式的运算法则把原式化简，解不等式组求出x的范围，根据题意确定x的值，代入计算即可．
【解答】解：原式＝4x2+4x+1﹣（4x2﹣1）+x2+x﹣2x﹣2
＝4x2+4x+1﹣4x2+1+x2+x﹣2x﹣2
＝x2+3x，
解不等式组，得﹣1≤x＜2，
∵x为整数，
∴x＝﹣1、0、1，
当x＝0时，原式＝0．
17．（9分）2021年春节前夕某市教育局在全市范围内展开了“假期防疫给全体师生的一封信”，某校针对“您认为假期防疫方式最有效的是什么？（单选题）”这一问题对本校学生家长进行随机抽样调查．并随机抽取部分问卷进行统计．
问题选项：A．常通风；B．勤洗手；C．少聚集；D．戴口罩；E．其他．
如图是根据调查结果绘制成的统计图（不完整）
请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）该校共抽取多少张调查问卷？
（2）请根据图表，求扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数．
（3）请将条形统计图补充完整．
（4）若该市约有九年级学生50000人，请你估计全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的人数．
【分析】（1）根据选择C的人数和所占的百分比，可以计算出该校共抽取多少张调查问卷；
（2）根据统计图中的数据和（1）中的结果，可以计算出扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数；
（3）根据（1）中的结果和扇形统计图中的数据，可以计算出选择B、C、D的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（4）根据统计图中的数据，可以计算出全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的人数．
【解答】解：（1）100÷20%＝500（张），
即该校共抽取500张调查问卷；
（2）360°×＝43.2°，
即扇形统计图中“A”选项所对应扇形的圆心角的度数是43.2°；
（3）选择B的有：500×18%＝90（张），
选择E的有：500×20%＝100（张），
选择D的有：500﹣60﹣90﹣100﹣100＝150（张），
补全的条形统计图如右图所示；
（4）50000×＝15000（人），
即估计全市九年级学生家长中认为“戴口罩”是假期防疫最有效的方式的有15000人．
18．（9分）如图，已知⊙O中，AC是⊙O的弦，AB为⊙O的直径，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA＝∠B．
（2）已知∠P＝40°，直径AB＝12cm，点Q在优弧ABC上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止（点Q与点C不重合），设运动时间为t（秒）．
①当t＝ 3 秒时，四边形AQBC面积最大；
②当t＝ t＝秒或秒或 秒时，△ABQ与△ABC全等．
【分析】（1）连接OC，由PC是⊙O的切线，得到∠OCA+∠PCA＝90°，由AB是⊙O的直径，得到∠OAC+∠B＝90°，于是得到结论；
（2）①如图2中，当点Q在AB下方，＝时，四边形AQBC的面积最大，根据弧长÷速度可得时间t的值；
②根据已知条件求出AO的值，分三种情况讨论当∠AOQ＝∠AOC＝50°时，当∠BOQ＝∠AOC＝50°时，当∠BOQ＝50°时，即∠AOQ＝230°时，再根据弧长公式即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，连接OC，
∵PC是⊙O的切线，
∴∠PCO＝90°，
∴∠OCA+∠PCA＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠OAC+∠B＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠PCA＝∠B；
（2）①如图2中，当点Q在AB下方，＝时，四边形AQBC的面积最大，此时t＝＝3（s）．
则当t＝3秒时，四边形AQBC面积最大；
故答案为：3；
②∵∠P＝40°，∠PCO＝90°，
∴∠AOC＝50°，
∵AB＝12，
∴AO＝6，
当∠AOQ＝∠AOC＝50°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长＝＝（cm），
∴t＝＝；
当∠BOQ＝∠AOC＝50°时，即∠AOQ＝130°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长＝＝（cm），
∴t＝＝；
当∠BOQ＝50°时，即∠AOQ＝230°时，△ABQ与△ABC的面积相等，
∴点Q所经过的弧长＝＝π（cm），
∴t＝＝，
∴当t＝s或s或s时，△ABQ与△ABC的面积相等；
故答案为：t＝秒或秒或．
19．（9分）缅怀先烈，牢记历史，某校团委组织新人团的同学参观“二七纪念塔”，小亮在C处观察塔的顶端A的仰角为48°，向前走了26米到达D处时，测得塔的顶端A的仰角为64°，你能求出“二七纪念塔”AB的高度吗？（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米）（参考数据：sin48°≈，tan48°≈，sin64°≈，tan64°≈2）
【分析】根据题意和图形，利用锐角三角函数，可以计算出AB的高度，本题得以解决．
【解答】解：由题意可得，
∠ABC＝90°，CD＝26米，∠C＝48°，∠ADB＝64°，
∵tanC＝，tan∠ADB＝＝，
∴AB＝CB•tanC，AB＝（CB﹣CD）•tan∠ADB，
∴CB•tanC＝（CB﹣CD）•tan∠ADB，
∴CB•tan48°＝（CB﹣26）•tan64°，
解得CB＝，
∴AB＝•tan48°≈×≈63.6（米），
即“二七纪念塔”AB的高度是63.6米．
20．（9分）为落实帮扶措施，确保精准扶贫工作有效开展，加快贫困群众早日脱贫步伐，经过前期对贫困户情况摸排了解，结合贫困户实际养殖意愿，某扶贫工作队开展精准扶贫“送鸡苗”活动，该工作队为帮扶对象购买了一批土鸡苗和乌鸡苗，已知一只土鸡苗比一只乌鸡苗贵2元，购买土鸡苗的费用和购买乌鸡苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种鸡苗购买的数量相同，求乌鸡苗的单价；
（2）若两种鸡苗共购买1100只，且购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，其中土鸡苗至少购买200只，根据（1）中两种鸡苗的单价，该工作队最少花费多少元？
【分析】（1）设乌鸡苗的单价为x元/只，则土鸡苗的单价为（x+2）元/只，利用数量＝总价÷单价，结合两种鸡苗购买的数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设购买土鸡苗m只，则购买乌鸡苗（1100﹣m）只，根据“购买两种鸡苗的总费用不超过6000元，且土鸡苗至少购买200只”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，设该工作队购买鸡苗的总花费为w元，利用总价＝单价×数量，即可得出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【解答】解：（1）设乌鸡苗的单价为x元/只，则土鸡苗的单价为（x+2）元/只，
依题意得：＝，
解得：x＝5，
经检验，x＝5是原方程的解，且符合题意．
答：乌鸡苗的单价为5元/只．
（2）设购买土鸡苗m只，则购买乌鸡苗（1100﹣m）只，
依题意得：，
解得：200≤m≤250．
设该工作队购买鸡苗的总花费为w元，则w＝（5+2）m+5（1100﹣m）＝2m+5500，
∵k＝2＞0，
∴w随m的增大而增大，
∴当m＝200时，w取得最小值，最小值＝2×200+5500＝5900．
答：该工作队最少花费5900元．
21．（10分）小亮遇到一个函数y＝x4﹣4x2+2，他想利用初中学习函数的经验对这个函数的图象与性质进行探究，以下是他的研究过程，请补充完整：
（1）列表：
x
…
﹣2.1
﹣2
﹣1.9
﹣1.85
﹣1.7
﹣1.39
﹣1.05
﹣0.76
﹣0.61
0
0.61
0.76
1.05
1.39
1.7
1.85
1.9
2
2.1
…
y
…
3.72
2
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
m
0.63
0
﹣1.20
﹣2.0
﹣1.20
0
0.63
n
3.72
…
其中m＝ 2 ；n＝ 2 ；
（2）如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了以上表中各组对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象；
（3）观察函数图象，写出一条该函数的性质 函数图象关于y轴对称 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①方程x4﹣4x2+2＝0有 4 个互不相等的实数根；
②有两个点（x1，y1）和（x2，y2）在此函数图象上，当x2＞x1＞2时，比较y1和y2的大小关系为：y1 ＜ y2（填“＞”、“＜”或“＝”）；
③根据a的取值范围判断关于x的方程x4﹣4x2+2＝a实数根情况．
【分析】（1）将x＝0，2分别代入y＝x4﹣4x2+2即可求出m，n．
（2）描点如下函数图象，关键图象即可求得；
（3）观察函数图象选择一条即可；
（4）①通过图象可以看出；
②根据图象，可以得出此时为递增函数，故得出结论；
③根据图象特点，分类讨论求出．
【解答】解：（1）当x＝0时代入y＝x4﹣4x2+2，得y＝2，则m＝2；
当x＝2时代入y＝x4﹣4x2+2，得y＝2，则n＝2．
故答案为：m＝2；n＝2．
（2）描点即可画出，如下图，
（3）函数图象关于y轴对称；
（4）①通过图象可以看出当y＝0时，与x轴有4个交点，故有4个不相等的实数根；
②根据图象，当x＞2时，y得值随x得增大而增大，故当x2＞x1＞2时，y1＜y2；
③由图象可知，
当a＜﹣2时，无实数根；
当a＝﹣2或a＞2时，有2个实数根；
当﹣2＜a＜2时，有4个实数根；
当a＝2时，有3个实数根；
22．（10分）在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，点M为射线CA上一个动点．过点M作ME⊥BM，交射线BA于E，将线段BM绕点B逆时针旋转90°得到线段BN，过点N作NF⊥BN交BC延长线于点F，连接EF．
（1）如图1，当点M在边AC上时，线段EM，EF，NF的数量关系为 EM+EF＝FN ；
（2）如图2，当点M在射线CA上时，判断线段EM，EF，NF的数量关系并说明理由；
（3）当点M在射线CA上运动时，能否存在△BEF为等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请直接写出CM的长．
【分析】（1）结论：EM+EF＝FN．如图1中，延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE交FE的延长线于G，设FN交BT于K．利用全等三角形的性质证明FN＝FG，EG＝EM，可得结论．
（2）如图2中，结论：EF＝EM＝FN．延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE于G，延长FN交BT的延长线于K．利用全等三角形的性质证明FN＝FG，EG＝EM，可得结论．
（3）分两种情形：①当点M与A重合时，EB＝EF，此时CM＝CA＝2．②如图3中，当BE＝BF时，过点B作BG⊥EF于G．证明AM＝AB＝2，可得结论．
【解答】解：（1）结论：EM+EF＝FN．
理由：如图1中，延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE交FE的延长线于G，设FN交BT于K．
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CA＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∴∠BAC＝∠BTC＝45°，
∴∠ABT＝90°，
∵ME⊥BM，BN⊥FN，
∴∠BME＝∠BNK＝90°，
∵∠ABT＝∠MBN＝90°，
∴∠EBM＝∠KBN，
∵BM＝BN，
∴△EBM≌△KBN（ASA），
∴BE＝BK，
∵∠EBF＝∠KBF＝45°，BE＝BK，BF＝BF，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFK，
∵BG⊥FG，BN⊥FN，
∴∠G＝∠BNF＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFG≌△BFN（AAS），
∴BG＝BN，FG＝FN，
∵BM＝BN，
∴BG＝BM，
∵∠G＝∠BME＝90°，BE＝BE，
∴Rt△BEG≌Rt△BEM（HL），
∵EG＝EM，
∴EM+EF＝FG＝FN．
故答案为：EM+EF＝FN．
（2）如图2中，结论：EF＝EM＝FN．
理由：延长AC到T，使得CT＝CA，连接BT，NT，过点B作BG⊥FE于G，延长FN交BT的延长线于K．
∵AC＝CB，∠ACB＝90°，
∴∠CAB＝45°，
∵CA＝CT，BC⊥AT，
∴BA＝BT，
∴∠BAC＝∠BTC＝45°，
∴∠ABT＝90°，
∵ME⊥BM，BN⊥FN，
∴∠BME＝∠BNK＝90°，
∵∠ABT＝∠MBN＝90°，
∴∠EBM＝∠KBN，
∵BM＝BN，
∴△EBM≌△KBN（ASA），
∴BE＝BK，
∵∠EBF＝∠KBF＝45°，BE＝BK，BF＝BF，
∴△EBF≌△KBF（SAS），
∴∠BFE＝∠BFK，
∵BG⊥FG，BN⊥FN，
∴∠G＝∠BNF＝90°，
∵BF＝BF，
∴△BFG≌△BFN（AAS），
∴BG＝BN，FG＝FN，
∵BM＝BN，
∴BG＝BM，
∵∠BGE＝∠BME＝90°，BE＝BE，
∴Rt△BEG≌Rt△BEM（HL），
∵EG＝EM，
∴EF﹣EM＝EF﹣EG＝FG＝FN．
（3）①当点M与A重合时，EB＝EF，此时CM＝CA＝2．
②如图3中，当BE＝BF时，过点B作BG⊥EF于G．
由2可知，△FBN≌△FBG≌△EBG≌≌EBM，
∴∠ABM＝∠ABG＝∠GBF＝∠FBN＝22.5°，
∵∠BAC＝∠MBA+∠AMB＝45°，
∴∠AMB﹣∠ABM＝22.5°，
∴AB＝AM＝＝＝2，
∴CM＝2+2，
综上所述，满足条件的CM的值为2或2+2．
23．（11分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，与y轴交于C．点P为二次函数图象上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，交直线AC于点Q．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）是否存在以P，Q，O，C的四边形是平行四边形，若存在，请求出点P的横坐标，若不存在，请说明理由；
（3）若射线QP，射线QO，直线AC互为角平分线时，直接写出点P的横坐标．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；
（2）设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣m+3），求出直线AC的解析式，则Q（m，m+3），根据平行四边形的性质求解即可；
（3）分两种情况：①点P在y轴左侧时，②点P在y轴右侧时，根据角平分线的定义，平行线的性质以及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）由二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（﹣4，0），B（1，0）两点，则
，
解这个方程组，得a＝﹣，b＝﹣．
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣x+3；
（2）存在，设点P的横坐标为m，则P（m，﹣m2﹣m+3），
∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象与y轴交于C．
∴C （0，3），
∵A（﹣4，0），
∴直线AC的解析式为y＝x+3，
∴Q（m，m+3），
∵以P，Q，O，C的四边形是平行四边形，
∴PQ∥OC，PQ＝OC＝3，
∴|﹣m2﹣m+3﹣m﹣3|＝3，
解得：m1＝﹣2，m2＝﹣2+2，m3＝﹣2﹣2，
∴存在，点P的横坐标为﹣2或﹣2+2或﹣2﹣2；
（3）分两种情况：
①点P在y轴左侧时，如图，直线AC为角平分线时，
∵直线AC为角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵PM⊥x轴，
∴PM∥y轴，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴OQ＝OC＝3，
设点Q的坐标为（x，x+3），
∴x2+（x+3）2＝32，
解得：x1＝0（舍去），x2＝﹣；
②点P在y轴右侧时，如图，射线QO为角平分线时，
过点C作CN⊥PQ于N，
∵直线QO为角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵PM⊥x轴，
∴PM∥y轴，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠3，
∴CQ＝OC＝3，
设点Q的坐标为（x，x+3），则CN＝x，QN＝QM﹣MN＝x+3﹣3＝x，
∴x2+（x）2＝32，
解得：x1＝﹣（舍去），x2＝；
∴点P的横坐标为﹣或．
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