高考数学一轮复习第2章第8节函数与方程

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1．函数的零点
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．
(2)函数零点与方程根的关系：方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．
(3)零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在x0∈(a，b)，使得f(x0)＝0.
2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与零点的关系
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．( )
(2)函数y＝f(x)，x∈D在区间(a，b)⊆D内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( )
(3)若函数f(x)在(a，b)上单调且f(a)·f(b)＜0，则函数f(x)在[a，b]上有且只有一个零点．( )
(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c在b2－4ac＜0时没有零点．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)函数f(x)＝ex＋3x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [∵f(－1)＝eq \f(1,e)－3＜0，f(0)＝1＞0，
∴f(x)在(－1,0)内有零点，
又f(x)为增函数，∴函数f(x)有且只有一个零点．]
3．(2015·安徽高考)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )
A．y＝cs xB．y＝sin x
C．y＝ln xD．y＝x2＋1
A [由于y＝sin x是奇函数；y＝ln x是非奇非偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点，只有y＝cs x是偶函数又有零点．]
4．(2016·江西赣中南五校联考)函数f(x)＝3x－x2的零点所在区间是( )
A．(0,1)B．(1,2)
C．(－2，－1)D．(－1,0)
D [∵f(－2)＝－eq \f(35,9)，f(－1)＝－eq \f(2,3)，
f(0)＝1，f(1)＝2，f(2)＝5，
∴f(0)f(1)＞0，f(1)f(2)＞0，
f(－2)f(－1)＞0，f(－1)f(0)＜0，故选D.]
5．函数f(x)＝ax＋1－2a在区间(－1,1)上存在一个零点，则实数a的取值范围是________．
【导学号：31222059】
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)) [∵函数f(x)的图象为直线，由题意可得f(－1)f(1)＜0，
∴(－3a＋1)·(1－a)＜0，解得eq \f(1,3)＜a＜1，
∴实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1)).]
(1)设f(x)＝ln x＋x－2，则函数f(x)的零点所在的区间为( )
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
(2)函数f(x)＝x2－3x－18在区间[1,8]上________(填“存在”或“不存在”)零点. 【导学号：31222060】
(1)B (2)存在 [(1)函数f(x)的零点所在的区间可转化为函数g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的取值范围．作图如下：
可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．
(2)法一：∵f(1)＝12－3×1－18＝－20＜0，
f(8)＝82－3×8－18＝22＞0，
∴f(1)·f(8)＜0，
又f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]的图象是连续的，
故f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．
法二：令f(x)＝0，得x2－3x－18＝0，
∴(x－6)(x＋3)＝0.
∵x＝6∈[1,8]，x＝－3∉[1,8]，
∴f(x)＝x2－3x－18在x∈[1,8]上存在零点．]
[规律方法] 判断函数零点所在区间的方法：
判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理，当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时，可画出图象判断．
[变式训练1] 已知函数f(x)＝ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2的零点为x0，则x0所在的区间是
( )
A．(0,1)B．(1,2)
C．(2,3)D．(3,4)
C [∵f(x)＝ln x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x－2在(0，＋∞)上是增函数，
又f(1)＝ln 1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－1＝ln 1－2＜0，
f(2)＝ln 2－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))0＜0，
f(3)＝ln 3－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))1＞0，
∴x0∈(2,3)，故选C.]
(1)函数f(x)＝2x|lg0.5x|－1的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2017·秦皇岛模拟)函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ln x－x2＋2x，x＞0，4x＋1，x≤0))的零点个数是________．
(1)B (2)3 [(1)令f(x)＝2x|lg0.5x|－1＝0，
可得|lg0.5x|＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x.
设g(x)＝|lg0.5x|，h(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))x，在同一坐标系下分别画出函数g(x)，h(x)的图象，可以发现两个函数图象一定有2个交点，因此函数f(x)有2个零点．
(2)当x＞0时，作函数y＝ln x和y＝x2－2x的图象，
由图知，当x＞0时，f(x)有2个零点；
当x≤0时，由f(x)＝0得x＝－eq \f(1,4)，
综上，f(x)有3个零点．]
[规律方法] 判断函数零点个数的方法：
(1)解方程法：所对应方程f(x)＝0有几个不同的实数解就有几个零点．
(2)零点存在性定理法：利用零点存在性定理并结合函数的性质进行判断．
(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的个数，就是函数零点的个数．
[变式训练2] (2015·湖北高考)函数f(x)＝2sin xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－x2的零点个数为________．
2 [f(x)＝2sin xsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))－x2＝2sin xcs x－x2＝sin 2x－x2，由f(x)＝0，得sin 2x＝x2.
设y1＝sin 2x，y2＝x2，在同一平面直角坐标系中画出二者的图象，如图所示．
由图象知，两个函数图象有两个交点，故函数f(x)有两个零点．]
(2017·昆明模拟)已知定义在R上的偶函数f(x)满足f(x－4)＝f(x)，且在区间[0,2]上f(x)＝x，若关于x的方程f(x)＝lgax有三个不同的实根，求a的取值范围．
[思路点拨] 先作出函数f(x)的图象，根据方程有三个不同的根，确定应满足的条件．
[解] 由f(x－4)＝f(x)知，函数的周期为4，又函数为偶函数，所以f(x－4)＝f(x)＝f(4－x)，3分
所以函数图象关于x＝2对称，且f(2)＝f(6)＝f(10)＝2，要使方程f(x)＝lgax有三个不同的根，则满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞1，,f6＜2，,f10＞2，))8分
如图，即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＞1，,lga6＜2，,lga10＞2，))解得eq \r(6)＜a＜eq \r(10).
故a的取值范围是(eq \r(6)，eq \r(10)).12分
[规律方法] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．
[变式训练3] (1)函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3)B．(1,2)
C．(0,3)D．(0,2)
(2)(2016·山东高考)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|x|，x≤m，,x2－2mx＋4m，x>m，))其中m>0.若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是________．
(1)C (2)(3，＋∞) [(1)∵函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a在区间(1,2)上单调递增，又函数f(x)＝2x－eq \f(2,x)－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f(1)·f(2)＜0，∴(－a)(4－1－a)＜0，即a(a－3)＜0，∴0＜a＜3.
(2)作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则有4m－m20.又m>0，解得m>3.]
[思想与方法]
1．转化思想在函数零点问题中的应用
方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．
2．判断函数零点个数的常用方法
(1)通过解方程来判断．
(2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断．
(3)将函数y＝f(x)－g(x)的零点个数转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)图象公共点的个数来判断．
3．利用函数零点求参数范围的常用方法：直接法、分离参数法、数形结合法．
[易错与防范]
1．函数的零点不是点，是方程f(x)＝0的实根．
2．函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件．
课时分层训练(十一) 函数与方程
A组基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．若函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是
( ) 【导学号：31222061】
A．0,2 B．0，eq \f(1,2)
C．0，－eq \f(1,2)D．2，－eq \f(1,2)
C [由题意知2a＋b＝0，即b＝－2a.
令g(x)＝bx2－ax＝0，得x＝0或x＝eq \f(a,b)＝－eq \f(1,2).]
2．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的区间为( )
A．(－2，－1)B．(－1,0)
C．(0,1)D．(1,2)
C [因为f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1＞0，故f(0)·f(1)＜0，故选C.]
3．函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
B [由指数函数、幂函数的性质可知，f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内单调递增，且f(0)＝－1＜0，f(2)＝10＞0，所以f(0)·f(2)＜0，即函数f(x)＝2x＋x3－2在区间(0,2)内有唯一一个零点，故选B.]
4．已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0，x≤0，,ex，x＞0，))则使函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点的实数m的取值范围是( )
A．[0,1)B．(－∞，1)
C．(－∞，1]∪(2，＋∞)D．(－∞，0]∪(1，＋∞)
D [函数g(x)＝f(x)＋x－m的零点就是方程f(x)＋x＝m的根，画出h(x)＝f(x)＋x＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x，x≤0，,ex＋x，x＞0))的大致图象(图略)．
观察它与直线y＝m的交点，得知当m≤0或m＞1时，有交点，即函数g(x)＝f(x)＋x－m有零点．]
5．(2016·湖北七校2月联考)已知f(x)是奇函数且是R上的单调函数，若函数y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)只有一个零点，则实数λ的值是( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,8)
C．－eq \f(7,8) D．－eq \f(3,8)
C [令y＝f(2x2＋1)＋f(λ－x)＝0，则f(2x2＋1)＝－f(λ－x)＝f(x－λ)，因为f(x)是R上的单调函数，所以2x2＋1＝x－λ只有一个实根，即2x2－x＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－eq \f(7,8).故选C.]
二、填空题
6．已知关于x的方程x2＋mx－6＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数m的取值范围是________．
【导学号：31222062】
(－∞，1) [设函数f(x)＝x2＋mx－6，则根据条件有f(2)＜0，即4＋2m－6＜0，解得m＜1.]
7．(2016·浙江高考)设函数f(x)＝x3＋3x2＋1，已知a≠0，且f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2，x∈R，则实数a＝________，b＝________.
－2 1 [∵f(x)＝x3＋3x2＋1，则f(a)＝a3＋3a2＋1，
∴f(x)－f(a)＝(x－b)(x－a)2＝(x－b)(x2－2ax＋a2)＝x3－(2a＋b)x2＋(a2＋2ab)x－a2b＝x3＋3x2－a3－3a2.
由此可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＋b＝－3，①,a2＋2ab＝0，②,a3＋3a2＝a2b.③))
∵a≠0，∴由②得a＝－2b，代入①式得b＝1，a＝－2.]
8．(2015·湖南高考)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是__________．
(0,2) [由f(x)＝|2x－2|－b＝0得|2x－2|＝b.
在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示，
则当0三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3－x2＋eq \f(x,2)＋eq \f(1,4).证明：存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，使f(x0)＝x0.
[证明] 令g(x)＝f(x)－x.2分
∵g(0)＝eq \f(1,4)，geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))－eq \f(1,2)＝－eq \f(1,8)，
∴g(0)·geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＜0.7分
又函数g(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))上连续，
∴存在x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))，使g(x0)＝0，
即f(x0)＝x0.12分
10．已知二次函数f(x)＝x2＋(2a－1)x＋1－2a，
(1)判断命题：“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y＝f(x)在区间(－1,0)及eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，求实数a的取值范围．
[解] (1)“对于任意的a∈R，方程f(x)＝1必有实数根”是真命题．
依题意，f(x)＝1有实根，即x2＋(2a－1)x－2a＝0有实根.3分
因为Δ＝(2a－1)2＋8a＝(2a＋1)2≥0对于任意的a∈R恒成立，即x2＋(2a－1)x－2a＝0必有实根，从而f(x)＝1必有实根.5分
(2)依题意，要使y＝f(x)在区间(－1,0)及eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2)))内各有一个零点，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f－1>0，,f0<0，,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))>0，))7分
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－4a>0，,1－2a<0，,\f(3,4)－a>0，))解得eq \f(1,2)故实数a的取值范围为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)B组能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·郑州模拟)已知函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－a，x≤0，,2x－1，x＞0))(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)B．(－∞，－1]
C．[－1,0)D．(0,1]
D [因为当x＞0时，f(x)＝2x－1，
由f(x)＝0得x＝eq \f(1,2).
所以要使f(x)在R上有两个零点，则必须2x－a＝0在(－∞，0]上有唯一实数解．
又当x∈(－∞，0]时，2x∈(0,1]，且y＝2x在(－∞，0]上单调递增，
故所求a的取值范围是(0,1]．]
2．函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1，x≤0，,lg2x，x>0，))则函数y＝f[f(x)]＋1的所有零点所构成的集合为________．
【导学号：31222063】
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)，\f(1,4)，\r(2))) [由题意知f[f(x)]＝－1，由f(x)＝－1得x＝－2或x＝eq \f(1,2)，
则函数y＝f[f(x)]＋1的零点就是使f(x)＝－2或f(x)＝eq \f(1,2)的x的值．
解f(x)＝－2得x＝－3或x＝eq \f(1,4)，
解f(x)＝eq \f(1,2)得x＝－eq \f(1,2)或x＝eq \r(2)，
从而函数y＝f[f(x)]＋1的零点构成的集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(1,2)，\f(1,4)，\r(2))).]
3．若关于x的方程22x＋2xa＋a＋1＝0有实根，求实数a的取值范围．
[解] 法一(换元法)：设t＝2x(t＞0)，则原方程可变为t2＋at＋a＋1＝0，(*)
原方程有实根，即方程(*)有正根．
令f(t)＝t2＋at＋a＋1.3分
①若方程(*)有两个正实根t1，t2，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝a2－4a＋1≥0，,t1＋t2＝－a＞0，,t1·t2＝a＋1＞0，))解得－1＜a≤2－2eq \r(2)；6分
②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根不合题意，舍去)，则f(0)＝a＋1＜0，解得a＜－1；9分
③若方程(*)有一个正实根和一个零根，则f(0)＝0且－eq \f(a,2)＞0，解得a＝－1.
综上，a的取值范围是(－∞，2－2eq \r(2)].12分
法二(分离变量法)：由方程，解得a＝－eq \f(22x＋1,2x＋1)，3分
设t＝2x(t＞0)，
则a＝－eq \f(t2＋1,t＋1)＝－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(2,t＋1)－1))
＝2－eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(t＋1＋\f(2,t＋1)))，其中t＋1＞1，9分
由基本不等式，得(t＋1)＋eq \f(2,t＋1)≥2eq \r(2)，当且仅当t＝eq \r(2)－1时取等号，故a≤2－2eq \r(2).12分
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
二次函数y＝ax2＋bx＋c
(a＞0)的图象
与x轴的交点
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
无交点
零点个数
2
1
0
函数零点所在区间的判断
判断函数零点的个数
函数零点的应用