(新高考)高考数学一轮复习第12讲《函数与方程》达标检测(解析版)

《函数与方程》达标检测

[A组]—应知应会

1．（•娄底模拟）函数的零点所在的区间为　　

A． B． C． D．

【分析】先判断函数的单调性，再求特殊点对应的函数值即可求解结论．

【解答】解：在区间上是增函数，且（1），（2），

的零点．

故选：．

2．（春•大兴区期末）方程的实根个数为　　

A．0 B．1 C．2 D．3

【分析】法一：构造函数，利用函数的图象的交点，判断方程的根的个数即可．

法二：构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．

【解答】解：法一：方程的实根即函数和的图象交点的横坐标，

在同一坐标系中，作出和的图象如图，

由图可知，有1个交点，

也就是方程实根的个数为1．

法二：由法一，可知时，有一个零点，令，，

可得，，可知是减函数，函数是增函数；

的最小值为，所以，，是增函数，，

所以函数，，没有零点．即方程在时没有实数根．

所以零点个数为1．

故选：．

3．（•平阳县模拟）已知关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为　　

A． B． 

C． D．

【分析】设，，则方程化为函数，在上有两个不相等的实数根．利用根与系数的关系，列出不等式组求解即可．

【解答】解：设，，则方程化为函数，

在上有两个不相等的实数根．令，因为，

所以，可得，解得

可得．

故选：．

4．（•潮州二模）已知函数，则若在区间，上方程只有一个解，实数的取值范围为　　

A．，或 B．，或 

C． D．，或

【分析】分别求出当时，当时，有一解时的集合，，若在区间，上方程只有一个解，实数的取值范围为在中的补集．

【解答】解：当时，，有一解

即，有一解，

有一解，

令，在，上单调递减，

所以，（1），

所以，

当时，有一解，

即，有一解，

即，有一解，

令，在，上单调递增，

所以，，

所以，

所以若在区间，上方程只有一个解，

所以或，

故选：．

5．（春•高安市校级期中）已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间，上的所有实根之和为　　

A．14 B．12 C．11 D．7

【分析】分析两函数的性质，在同一坐标系内画出两函数图象，利用数形结合的方法可求．

【解答】解：，函数为周期为2的周期函数，

函数，其图象关于点对称，如图，函数的图象也关于点对称，

函数与在，上的交点也关于对称，

设，，，，，，分别为，，，，，．

，，由图象知另一交点横坐标为，，

故两图象在，上的交点的横坐标之和为，

即函数在，上的所有根之和为11．

故选：．

6．（•天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是　　

A．，， B．，， 

C．，， D．，，

【分析】问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，当时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围．

【解答】解：若函数恰有4个零点，

则有四个根，

即与有四个交点，

当时，与图象如下：

两图象只有两个交点，不符合题意，

当时，与轴交于两点，

图象如图所示，

两图象有4个交点，符合题意，

当时，

与轴交于两点，

在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，

只需与在，还有两个交点，即可，

即在，还有两个根，

即在，还有两个根，

函数，（当且仅当时，取等号），

所以，且，

所以，

综上所述，的取值范围为，，．

故选：．

7．（多选）（2019秋•琼山区校级期末）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是　　

A． B． C． D．

【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值，利用函数零点判定定理即可求解

【解答】解：经计算，，

，（1），，

根据零点判定定理可得区间，，，上存在零点，

故选：．

8．（•宣城二模）已知函数的零点在区间，上，则　 　．

【分析】利用函数零点的判定定理，结合是整数，转化求解即可得出结论．

【解答】解：（3），（4），

（3）（4）

函数的零点在之间，

函数的零点在区间，上，

，

故答案为：3．

9．（2019秋•青浦区期末）已知对于任意实数，函数满足．若方程有2019个实数解，则这2019个实数解之和为　 　．

【分析】由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于轴对称，从而可求．

【解答】解：因为函数满足，

所以为偶函数，图象关于轴对称，

若方程有2019个实数解，函数图象关于轴对称，

则这2019个实数解之和为0．

故答案为：0

10．（•山西模拟）已知函数若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为　　    ．

【分析】利用，求出函数的值，结合函数的图象，通过数形结合求解的范围即可．

【解答】解：方程得方程或，

作出函数的图象，如图所示，由图可知，有两个根，故有三个根，

故．

故答案为：．

11．（•南通模拟）已知函数则函数的不同零点的个数为　 　．

【分析】先求得的实根，然后令，整理得：或，再令，求解方程与的实根即可．

【解答】解：由题设条件可知：的实根为或．

令，则有：或，即或．

令，则有或，可解得：，，，，，

函数的不同零点的个数为5．

故答案为：5．

12．（春•玉林期末）若函数恰有两个零点，则的取值范围为　　       ．

【分析】对于分段函数分别讨论每一段上零点的情况，再找到恰有两个零点时，的取值范围．

【解答】解：当时，若，则，

那么，即，

当时，若，则，

①若，即时，无解，

②若，即时，，不符合，无解，

③若，即时，（舍，，

若时，，不符合，无解，

若时，，符合，有一解，

所以若函数有两个零点，则．

综上所述，的取值范围为，．

故答案为：，．

13．（春•洛龙区校级期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当，时，，则函数在区间，上所有零点之和为　  　．

【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．

【解答】解：因为为奇函数，则，

故，

则，

即函数是周期为4的周期函数，

是上的奇函数，当，时，，，时，，

，时，，

，时，，

，则，（2）

由得，

当时，，不成立，即，

则，

作出函数和的图象如图：

则两个函数关于点对称，

两个图象有4个交点，两两关于对称，

则函数在区间，上所有零点之和为，

故答案为：8．

14．（春•金凤区校级期中）已知奇函数的定义域为，．

（1）求实数，的值；

（2）若，，方程恰有两解，求的取值范围．

【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，的关系，再由奇函数中求出的值，进而求出，的值；

（2）由（1）得的解析式即所给的区间范围，要使方程有两解，既是函数有交点，换元可得为二次函数，根据函数的单调性求出最值．进而求出的取值范围．

【解答】解：（1）由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即，可得：，①，

由在定义域内，又是奇函数，所以，

所以可得：，解得，

将代入①可得：，

所以，；

（2）由（1）得：，若，，即，，

在，单调递增，

所以，，

设，；

所以方程：有解，可得，，有解，

令，，，开口向上的抛物线，

对称轴，．

函数先减后增，且离对称轴较远，

所以，最小且为：，

时，最大，且为，

且，

综上所述：方程恰有两解，的取值范围为：，．

15．（2019秋•邵阳期末）设，函数．

（1）若函数在，为单调函数，求的取值范围；

（2）根据的不同取值情况，确定函数在定义域内零点的个数．

【分析】（1）函数定义域为，分类讨论，，函数的单调情况即可；

（2），可得或，令．分类讨论，，，根的情况即可得到的零点个数．

【解答】解：显然，

当时，，

，在，为增函数，

在，为增函数．

当时，．

显然在，为增函数．

当时，

此时，为的零点，又是的零点，不单调．

综上，实数的取值范围为，；

（2），

由，可得或，①

①式可化为．

设．

Ⅰ．若，有两个根0，1．

故函数有2个零点；

Ⅱ．若，，

对称轴，

且△．

故有两个不同正根，

即函数有3个零点．

Ⅲ．若，△，

故函数只有1个零点．

 [B组]—强基必备

1．（•葫芦岛二模）已知函数，方程有四个不同的实数根，记最大的根的取值集合为，若函数，有零点，则的取值范围是　　        ．

【分析】先分析函数性质，进而画出图象，结合图象得方程有四个不同的实数根时，的取值范围，进而得，点坐标，集合，若函数，有零点，与，有交点，结合图象求出的取值范围．

【解答】解：在上单调递减，

在上单调递增，

在上单调递增，

在上单调递减，

（1），，，

画出图象如下：

若方程有四个不同的实数根，

则有四个不同的实数根，

即与有四个交点，

所以，

令，解得或，

，解得或，

得，，，

所以最大的根的取值集合为，

若函数，有零点，

则与，有交点，

，

设切点，，

，，，

解得，

所以，

所以实数的取值范围为，，

故答案为：，．

2．（春•齐齐哈尔期末）已知函数，若，则函数有　 　个零点；若函数有3个零点，则实数的取值范围是　      　．

【分析】判断函数单调性，根据零点存在性定理判断零点个数；分离参数，讨论方程的根的情况，根据有3个零点和的范围得出函数的范围．

【解答】解：（1）当时，，

显然是的一个零点，

令，则，

故在上单调递增，又，，

在上有1个零点，

故有2个零点．

（2）令可得，

令，则，

当时，，当时，，

当时，取得最大值（1），

又当时，，当时，，

令，则当或时，关于的方程只有1解，

当时，关于的方程有2解，

当时，关于的方程无解．

令且，则在和，上单调递增，

有3个零点，关于的方程在和，上各有1解，

又（1），，

．

故答案为：2，．

3．（2019秋•黄浦区校级期末）已知函数的定义域为区间，若对于内任意、，都有成立，则称函数是区间的“函数”．

（1）判断函数是否是“函数”？说明理由；

（2）已知，求证：函数是“函数”；

（3）设函数是，上的“函数”， （a），（b），且存在，使得（c），试探讨函数在区间，上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）．

【分析】（1）由题意直接判断即可；

（2）由题意直接判断即可；

（3）举例即可得出结论．

【解答】解：（1）是，理由如下：

任取，，且，

则成立，

故函数是“函数”．

（2）证明：事实上，任取，，且，

则成立，即得证；

（3）函数在，上的零点个数可以为0、1或2个．

例如，是函数，如图，

其零点个数为0；

是函数，如图，

其零点个数为1；

是函数，如图，

其零点个数为2；

函数不可能有3个零点，假设，，均是零点，且，

则由可知，势必，，，上恒大于0，从而导致矛盾．