高三数学一轮复习： 第10章 第5节 古典概型

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1．基本事件的特点
(1)任何两个基本事件是互斥的．
(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
2．古典概型
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
(2)每个基本事件出现的可能性相等．
3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是eq \f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq \f(m,n).
4．古典概型的概率公式
P(A)＝eq \f(A包含的基本事件的个数,基本事件的总数).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．( )
(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．( )
(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．( )
(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为( )
①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；
②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；
③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；
④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．
A．0 B.1
C.2 D.3
B [由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]
3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )
A.eq \f(8,15) B.eq \f(1,8)
C.eq \f(1,15) D.eq \f(1,30)
C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq \f(1,15).]
4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )
A.eq \f(3,10) B.eq \f(1,5)
C.eq \f(1,10) D.eq \f(1,20)
C [从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为eq \f(1,10).故选C.]
5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．
eq \f(1,3) [由乘法计数原理，两人各选一种运动服有3×3＝9种方法，
其中同色的有3种情况．
所以所求事件的概率P＝eq \f(3,9)＝eq \f(1,3).]
(1)(2017·佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为( )
A.eq \f(5,21) B.eq \f(10,21)
C.eq \f(11,21) D.1
(2)(2015·江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为______．
(1)B (2)eq \f(5,6) [(1)从袋中任取2个球共有Ceq \\al(2,15)＝105种取法，其中恰好1个白球，1个红球共有Ceq \\al(1,10)Ceq \\al(1,5)＝50种取法，所以所取的球恰好1个白球1个红球的概率为eq \f(50,105)＝eq \f(10,21).
(2)由古典概型概率公式，得所求事件的概率为P＝eq \f(C\\al(2,4)－C\\al(2,2),C\\al(2,4))＝eq \f(5,6).]
[规律方法] 1.计算古典概型事件的概率可分三步：(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.
2．确定基本事件个数的方法：
(1)基本事件较少的古典概型，用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．
(2)利用计数原理、排列与组合的有关知识计算基本事件．
[变式训练1] (1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )
【导学号：01772397】
A.eq \f(1,5) B.eq \f(2,5)
C.eq \f(3,5) D.eq \f(4,5)
(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．
(1)C (2)eq \f(5,6) [(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．
所以所求事件的概率P＝1－eq \f(4,10)＝eq \f(3,5).
(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件eq \x\t(A)＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，eq \x\t(A)包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P(eq \x\t(A))＝eq \f(6,36)＝eq \f(1,6)，所以P(A)＝1－eq \f(1,6)＝eq \f(5,6).]
(2015·四川卷改编)某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．
(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；
(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．
[解] (1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．
参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq \f(C\\al(3,3)C\\al(3,4),C\\al(3,6)C\\al(3,6))＝eq \f(1,100).3分
因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq \f(1,100)＝eq \f(99,100).5分
(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.
则P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(2,3),C\\al(4,6))＝eq \f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(1,3),C\\al(4,6))＝eq \f(1,5).10分
由互斥事件的概率加法公式可知，
P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq \f(3,5)＋eq \f(1,5)＝eq \f(4,5)，
故所求事件的概率为eq \f(4,5).12分
[规律方法] 1.求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．
2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．
[变式训练2] (2016·山东高考题)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图10­5­1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
图10­5­1
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
(1)求小亮获得玩具的概率；
(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
[解] 用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.3分
(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．
所以P(A)＝eq \f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq \f(5,16).5分
(2)记“xy≥8”为事件B，“3