高三数学一轮复习： 第9章 第2节 随机抽样

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1．简单随机抽样
(1)定义：设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样的方法：抽签法和随机数法．
2．系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体编号．
(2)确定分段间隔K，对编号进行分段，当eq \f(N,n)是整数时，取k＝eq \f(N,n)，当eq \f(N,n)不是整数时，随机从总体中剔除余数，再取k＝eq \f(N′,n)(N′为从总体中剔除余数后的总数)．
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l(l≤k)．
(4)按照一定的规则抽取样本，通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
(1)定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)简单随机抽样中每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( )
(2)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样．( )
(3)要从1 002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( )
(4)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．(教材改编)在“世界读书日”前夕，为了了解某地5 000名居民某天的阅读时间，从中抽取了200名居民的阅读时间进行统计分析．在这个问题中，5 000名居民的阅读时间的全体是( )
A．总体 B.个体
C．样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本
A [从5 000名居民某天的阅读时间中抽取200名居民的阅读时间，样本容量是200，抽取的200名居民的阅读时间是一个样本，每名居民的阅读时间就是一个个体，5 000名居民的阅读时间的全体是总体．]
3．(2015·广东高考)为了解1 000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50 B.40
C.25 D.20
C [根据系统抽样的特点分段间隔为eq \f(1 000,40)＝25.]
4．(2015·四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法 B.系统抽样法
C．分层抽样法 D.随机数法
C [根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．]
5．(2017·福州检测)某校高一年级有900名学生，其中女生400名，按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
25 [设男生抽取x人，则有eq \f(45,900)＝eq \f(x,900－400)，解得x＝25.]
(1)下列抽取样本的方式属于简单随机抽样的个数为( )
①盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里；
②从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验；
③某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
A．0 B.1
C.2 D.3
(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08 B.07
C.02 D.01
(1)A (2)D [(1)①②③中都不是简单随机抽样，这是因为：①是放回抽样，②中是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取，③中“指定个子最高的5名同学”，不存在随机性，不是等可能抽样．
(2)由随机数表法的随机抽样的过程可知选出的5个个体是08,02,14,07,01，所以第5个个体的编号是01.]
[规律方法] 1.简单随机抽样是从含有N(有限)个个体的总体中，逐个不放回地抽取样本，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等．
2．(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)随机数法适用于总体中个体数较多的情形．其中随机数表法的操作要点：编号，选起始数，读数，获取样本．
[变式训练1] 下面的抽样方法是简单随机抽样的为( )
【导学号：01772358】
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
D [A，B选项中为系统抽样，C为分层抽样．]
(1)(2015·湖南高考)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图9­2­1所示.
图9­2­1
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A．3 B.4
C.5 D.6
(2)(2017·郑州调研)从编号为0,1,2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的方法抽取容量为5的样本，若编号为28的产品在样本中，则该样本中产品的最大编号为________.
【导学号：01772359】
(1)B (2)76 [(1)抽样间隔为35÷7＝5，因此可将编号为1～35的35个数据分成7组，每组有5个数据，在区间[139,151]上共有20个数据，分在4个小组中，每组取1人，共取4人．
(2)由系统抽样知，抽样间隔k＝eq \f(80,5)＝16，
因为样本中含编号为28的产品，
则与之相邻的产品编号为12和44.
故所取出的5个编号依次为12,28,44,60,76，即最大编号为76.]
[规律方法] 1.如果总体容量N能被样本容量n整除，则抽样间隔为k＝eq \f(N,n)，否则，可随机地从总体中剔除余数，然后按系统抽样的方法抽样．特别注意，每个个体被抽到的机会均是eq \f(n,N).
2．系统抽样中依次抽取的样本对应的号码就是一个等差数列，首项就是第1组所抽取样本的号码，公差为间隔数，根据等差数列的通项公式就可以确定每一组内所要抽取的样本号码．
[变式训练2] (1)(2017·唐山模拟)为规范学校办学，某省教育厅督察组对某所高中进行了抽样调查．抽到的班级一共有52名学生，现将该班学生随机编号，用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知7号、33号、46号同学在样本中，那么样本中还有一位同学的编号应是( )
A．13 B.19
C.20 D.51
(2)(2017·烟台模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为
( )
A．7 B.9
C.10 D.15
(1)C (2)C [(1)由系统抽样的原理知抽样的间隔为eq \f(52,4)＝13，故抽取的样本的编号分别为7,7＋13,7＋13×2,7＋13×3，即抽取的编号为7,20,33,46.
(2)抽取号码的间隔为eq \f(960,32)＝30，落入区间[451,750]的“段”数有eq \f(750－451＋1,30)＝10.
故做问卷B的应有10人．]
(1)(2015·北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
A．90 B.100
C.180 D.300
(2)某中学有高中生3 500人，初中生1 500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为________．
(1)C (2)100 [(1)设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得eq \f(x,900)＝eq \f(320,1 600)，故x＝180.
(2)法一：由题意可得eq \f(70,n－70)＝eq \f(3 500,1 500)，解得n＝100.
法二：由题意，抽样比为eq \f(70,3 500)＝eq \f(1,50)，总体容量为3 500＋1 500＝5 000，故n＝5 000×eq \f(1,50)＝100.]
[规律方法] 1.分层抽样中分多少层，如何分层要视具体情况而定，总的原则是：层内样本的差异要小，两层之间的样本差异要大，且互不重叠．
2．为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.分层抽样的有关计算，转化为按比例列方程或算式求解．
[变式训练3] 甲、乙两套设备生产的同类型产品共4 800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
1 800 [由题设，抽样比为eq \f(80,4 800)＝eq \f(1,60).
设甲设备生产的产品为x件，则eq \f(x,60)＝50，∴x＝3 000.
故乙设备生产的产品总数为4 800－3 000＝1 800.]
[思想与方法]
1．三种抽样方法的共同点都是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，体现了这三种抽样方法的客观性和公平性．若样本容量为n，总体容量为N，每个个体被抽到的概率是eq \f(n,N).
2．系统抽样抽取的个体编号从小到大成等差数列．
3．分层抽样：适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；分层后，在每一层抽样时可采用简单随机抽样或系统抽样．
[易错与防范]
1．简单随机抽样中易忽视样本是从总体中逐个抽取，是不放回抽样．
2．系统抽样中，易忽视抽取的样本数也就是分段的段数，当eq \f(N,n)不是整数时，注意剔除，剔除的个体是随机的．
3．分层抽样中，易忽视每层抽取的个体的比例是相同的．
简单随机抽样
7816
6572
0802
6314
0702
4369
9728
0198
3204
9234
4935
8200
3623
4869
6938
7481
系统抽样及其应用
分层抽样及应用
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300