高考数学一轮复习讲义第11章第1节随机抽样

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1．简单随机抽样
(1)定义：一般地，设一个总体含有N个个体，从中逐个不放回地抽取n个个体作为样本(n≤N)，如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样．
(2)最常用的简单随机抽样方法有两种——抽签法和随机数法．
2．系统抽样的步骤
一般地，假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本．
(1)先将总体的N个个体编号；
(2)确定分段间隔k，对编号进行分段．当eq \f(N,n)(n是样本容量)是整数时，取k＝eq \f(N,n)；
(3)在第1段用简单随机抽样确定第一个个体编号l (l≤k)；
(4)按照一定的规则抽取样本．通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号(l＋k)，再加k得到第3个个体编号(l＋2k)，依次进行下去，直到获取整个样本．
3．分层抽样
(1)定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样．
(2)分层抽样的应用范围：
当总体由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样．( √ )
(2)简单随机抽样每个个体被抽到的机会不一样，与先后有关．( × )
(3)抽签法中，先抽的人抽中的可能性大．( × )
(4)系统抽样在第1段抽样时采用简单随机抽样．( √ )
(5)要从1002个学生中用系统抽样的方法选取一个容量为20的样本，需要剔除2个学生，这样对被剔除者不公平．( × )
(6)分层抽样中，每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关．( × )
1．(教材改编)某公司有员工500人，其中不到35岁的有125人，35～49岁的有280人，50岁以上的有95人，为了调查员工的身体健康状况，从中抽取100名员工，则应在这三个年龄段分别抽取人数为( )
A．33,34,33B．25,56,19
C．20,40,30D．30,50,20
答案 B
解析 因为125∶280∶95＝25∶56∶19，
所以抽取人数分别为25,56,19.
2．(2015·四川)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是( )
A．抽签法B．系统抽样法
C．分层抽样法D．随机数法
答案 C
解析 根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法．
3．(1)某学校为了了解2016年高考数学学科的考试成绩，在高考后对1200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．
(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．
Ⅰ.简单随机抽样法 Ⅱ.系统抽样法 Ⅲ.分层抽样法
问题与方法配对正确的是( )
A．(1)Ⅲ，(2)ⅠB．(1)Ⅰ，(2)Ⅱ
C．(1)Ⅱ，(2)ⅢD．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ
答案 A
解析 通过分析可知，对于(1)，应采用分层抽样法，对于(2)，应采用简单随机抽样法．
4．将参加英语口语测试的1000名学生编号为000,001,002，…，999，从中抽取一个容量为50的样本，按系统抽样的方法分为50组，如果第一组编号为000,001,002，…，019，且第一组随机抽取的编号为015，则抽取的第35个编号为________．
答案 695
解析 由题意可知，第一组随机抽取的编号l＝15，
分段间隔数k＝eq \f(N,n)＝eq \f(1000,50)＝20，则抽取的第35个编号为a35＝15＋(35－1)×20＝695.
5．某学校高一，高二，高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
答案 15
解析 设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10，解得x＝15.
题型一 简单随机抽样
例1 (1)以下抽样方法是简单随机抽样的是( )
A．在某年明信片销售活动中，规定每100万张为一个开奖组，通过随机抽取的方式确定号码的后四位为2709的为三等奖
B．某车间包装一种产品，在自动包装的传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格
C．某学校分别从行政人员、教师、后勤人员中抽取2人、14人、4人了解对学校机构改革的意见
D．用抽签方法从10件产品中选取3件进行质量检验
(2)总体由编号为01,02，…，19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )
A.08B．07C．02D．01
答案 (1)D (2)D
解析 (1)选项A、B不是简单随机抽样，因为抽取的个体间的间隔是固定的；选项C不是简单随机抽样，因为总体的个体有明显的层次；选项D是简单随机抽样．
(2)由题意知前5个个体的编号为08,02,14,07,01.
思维升华 应用简单随机抽样应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是抽签是否方便；二是号签是否易搅匀．一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法．
(2)在使用随机数法时，如遇到三位数或四位数，可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起，每三个或四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体号码或出现重复号码的数字舍去．
(1)下列抽样试验中，适合用抽签法的有( )
A．从某厂生产的5000件产品中抽取600件进行质量检验
B．从某厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
C．从甲、乙两厂生产的两箱(每箱18件)产品中抽取6件进行质量检验
D．从某厂生产的5000件产品中抽取10件进行质量检验
(2)下列抽取样本的方式不属于简单随机抽样的有________________．
①从无限多个个体中抽取100个个体作为样本．
②盒子里共有80个零件，从中选出5个零件进行质量检验．在抽样操作时，从中任意拿出一个零件进行质量检验后再把它放回盒子里．
③从20件玩具中一次性抽取3件进行质量检验．
④某班有56名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的篮球赛．
答案 (1)B (2)①②③④
解析 (1)A，D中的总体个体数较多，不适宜抽签法，C中甲、乙两厂的产品质量有区别，也不适宜抽签法，故选B.
(2)①不是简单随机抽样．
②不是简单随机抽样．由于它是放回抽样．
③不是简单随机抽样．因为这是“一次性”抽取，而不是“逐个”抽取．
④不是简单随机抽样．因为指定个子最高的5名同学是56名中特指的，不存在随机性，不是等可能抽样．
题型二 系统抽样
例2 (1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示
若将运动员按成绩由好到差编为1～35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是( )
A．3B．4C．5D．6
(2)某单位有840名职工，现采用系统抽样方法抽取42人做问卷调查，将840人按1,2，…，840随机编号，则抽取的42人中，编号落入区间[481,720]的人数为( )
A．11B．12C．13D．14
答案 (1)B (2)B
解析 (1)由题意知，将1～35号分成7组，每组5名运动员，成绩落在区间[139,151]的运动员共有4组，故由系统抽样法知，共抽取4名．故选B.
(2)由eq \f(840,42)＝20，即每20人抽取1人，所以抽取编号落在区间[481,720]的人数为eq \f(720－480,20)＝eq \f(240,20)＝12.
引申探究
1．本例(2)中条件不变，若第三组抽得的号码为44，则在第八组中抽得的号码是________．
答案 144
解析 在第八组中抽得的号码为(8－3)×20＋44＝144.
2．本例(2)中条件不变，若在编号为[481,720]中抽取8人，则样本容量为________．
答案 28
解析 因为在编号[481,720]中共有720－480＝240人，又在[481,720]中抽取8人，
所以抽样比应为240∶8＝30∶1，又因为单位职工共有840人，所以应抽取的样本容量为eq \f(840,30)＝28.
思维升华 (1)系统抽样适用的条件是总体容量较大，样本容量也较大．
(2)使用系统抽样时，若总体容量不能被样本容量整除，可以先从总体中随机地剔除几个个体，从而确定分段间隔．
(3)起始编号的确定应用简单随机抽样的方法，一旦起始编号确定，其他编号便随之确定．
(1)(2017·马鞍山月考)高三(1)班有学生52人，现将所有学生随机编号，用系统抽样方法，抽取一个容量为4的样本，已知5号、31号、44号学生在样本中，则样本中还有一个学生的编号是( )
A．8B．13C．15D．18
(2)(2016·烟台模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A，编号落入区间[451,750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为( )
A．7B．9C．10D．15
答案 (1)D (2)C
解析 (1)分段间隔为eq \f(52,4)＝13，故还有一个学生的编号为5＋13＝18，故选D.
(2)由系统抽样的特点知：抽取号码的间隔为eq \f(960,32)＝30，抽取的号码依次为9,39,69，…，939.落入区间[451,750]的有459,489，…，729，这些数构成首项为459，公差为30的等差数列，设有n项，显然有729＝459＋(n－1)×30，解得n＝10.所以做问卷B的有10人．
题型三 分层抽样
命题点1 求总体或样本容量
例3 (1)(2016·东北三校联考)某工厂生产甲、乙、丙三种型号的产品，产品数量之比为3∶5∶7，现用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，其中甲种产品有18件，则样本容量n等于( )
A．54B．90C．45D．126
(2)甲、乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本进行质量检测．若样本中有50件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为________件．
答案 (1)B (2)1800
解析 (1)依题意得eq \f(3,3＋5＋7)×n＝18，解得n＝90，即样本容量为90.
(2)分层抽样中各层的抽样比相同．样本中甲设备生产的产品有50件，则乙设备生产的产品有30件．在4800件产品中，甲、乙设备生产的产品总数比为5∶3，所以乙设备生产的产品的总数为1800件．
命题点2 求某层入样的个体数
例4 (1)(2015·北京)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为( )
A.90B．100C．180D．300
(2)(2015·福建)某校高一年级有900名学生，其中女生400名．按男女比例用分层抽样的方法，从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数为________．
答案 (1)C (2)25
解析 (1)由题意抽样比为eq \f(320,1600)＝eq \f(1,5)，
∴该样本中的老年教师人数为900×eq \f(1,5)＝180.
(2)由题意知，男生共有500名，根据分层抽样的特点，在容量为45的样本中男生应抽取人数为45×eq \f(500,900)＝25.
思维升华 分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量：按该层所占总体的比例计算．
(2)已知某层个体数量，求总体容量或反之：根据分层抽样就是按比例抽样，列比例式进行计算．
(3)确定是否应用分层抽样：分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况．
(1)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为________．
(2)某公司共有1000名员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法，从全体员工中抽取一个样本容量为80的样本，已告知广告部门被抽取了4个员工，则广告部门的员工人数为________．
答案 (1)200,20 (2)50
解析 (1)该地区中小学生总人数为
3500＋2000＋4500＝10000，
则样本容量为10000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2000×2%×50%＝20.
(2)eq \f(1000,80)＝eq \f(x,4)，x＝50.
五审图表找规律
典例 (12分)某单位有2000名职工，老年、中年、青年分布在管理、技术开发、营销、生产各部门中，如下表所示：
(1)若要抽取40人调查身体状况，则应怎样抽样？
(2)若要开一个25人的讨论单位发展与薪金调整方面的座谈会，则应怎样抽选出席人？
(3)若要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解，则应怎样抽样？
抽取40人调查身体状况
↓(观察图表中的人数分类统计情况)
样本人群应受年龄影响
↓(表中老、中、青分类清楚，人数确定)
要以老、中、青分层，用分层抽样
↓
要开一个25人的座谈会
↓(讨论单位发展与薪金调整)
样本人群应受管理、技术开发、营销、生产方面的影响
↓(表中管理、技术开发、营销、生产分类清楚，人数确定)
要以管理、技术开发、营销、生产人员分层，用分层抽样
↓
要抽20人调查对广州亚运会举办情况的了解
↓可认为亚运会是大众体育盛会，一个单位人员对情况了解相当
将单位人员看作一个整体
↓(从表中数据看总人数为2000)
人员较多，可采用系统抽样
规范解答
解 (1)按老年、中年、青年分层，用分层抽样法抽取，[1分]
抽取比例为eq \f(40,2000)＝eq \f(1,50).[2分]
故老年人、中年人、青年人各抽取4人、12人、24人．[4分]
(2)按管理、技术开发、营销、生产分层，用分层抽样法抽取，[5分]
抽取比例为eq \f(25,2000)＝eq \f(1,80)，[6分]
故管理、技术开发、营销、生产各部门抽取2人、4人、6人、13人．[8分]
(3)用系统抽样，
对全部2000人随机编号，号码从0001～2000，每100号分为一组，从第一组中用简单随机抽样抽取一个号码，然后将这个号码分别加100,200，…，1900，共20人组成一个样本．[12分]
1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为( )
A．6B．8
C．10D．12
答案 B
解析 设样本容量为N，则N×eq \f(30,70)＝6，∴N＝14，
∴高二年级所抽学生人数为14×eq \f(40,70)＝8.
2．(2017·榆林月考)打桥牌时，将洗好的扑克牌(52张)随机确定一张为起始牌后，开始按次序搬牌，对任何一家来说，都是从52张总体抽取一个13张的样本．这种抽样方法是( )
A．系统抽样B．分层抽样
C．简单随机抽样D．非以上三种抽样方法
答案 A
解析 符合系统抽样的特点，故选A.
3．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，p3，则( )
A．p1＝p2C．p1＝p3答案 D
解析 由于三种抽样过程中，每个个体被抽到的概率都是相等的，因此p1＝p2＝p3.
4．为了解1000名学生的学习情况，采用系统抽样的方法，从中抽取容量为40的样本，则分段的间隔为( )
A．50B．40C．25D．20
答案 C
解析 由eq \f(1000,40)＝25，可得分段的间隔为25.
5．某初级中学有学生270人，其中一年级108人，二、三年级各81人，现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1,2，…，270，使用系统抽样时，将学生统一随机编号为1,2，…，270，并将整个编号依次分为10段，如果抽得号码有下列四种情况：
①7,34,61,88,115,142,169,196,223,250
②5,9,100,107,111,121,180,195,200,265
③11,38,65,92,119,146,173,200,227,254
④30,57,84,111,138,165,192,219,246,270
关于上述样本的下列结论中，正确的是( )
A．②、③都不能为系统抽样
B．②、④都不能为分层抽样
C．①、④都可能为系统抽样
D．①、③都可能为分层抽样
答案 D
解析 因为③可以为系统抽样，所以选项A不对；因为②可以为分层抽样，所以选项B不对；因为④不为系统抽样，所以选项C不对，故选D.
6．将参加夏令营的600名学生编号为001,002，…，600.采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003.这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为( )
A．26,16,8B．25,17,8
C．25,16,9D．24,17,9
答案 B
解析 由题意及系统抽样的定义可知，将这600名学生按编号依次分成50组，每一组各有12名学生，第k(k∈N*)组抽中的号码是3＋12(k－1)．
令3＋12(k－1)≤300得k≤eq \f(103,4)，因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25；
令300<3＋12(k－1)≤495得eq \f(103,4)7．(2016·山西大同一中月考)用简单随机抽样的方法从含有10个个体的总体中，抽取一个容量为3的样本，其中某一个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性分别是( )
A.eq \f(1,10)，eq \f(1,10)B.eq \f(3,10)，eq \f(1,5)
C.eq \f(1,5)，eq \f(3,10)D.eq \f(3,10)，eq \f(3,10)
答案 A
解析 在抽样过程中，个体a每一次被抽中的概率是相等的，因为总体容量为10，故个体a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性均为eq \f(1,10)，故选A.
8．(2017·天津质检)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6，则应从一年级本科生中抽取________名学生．
答案 60
解析 设应从一年级本科生中抽取x名学生，则eq \f(x,300)＝eq \f(4,4＋5＋5＋6)，解得x＝60.
9．(2016·潍坊模拟)某高中在校学生有2000人．为了响应“阳光体育运动”的号召，学校开展了跑步和登山的比赛活动．每人都参与而且只能参与其中一项比赛，各年级参与比赛的人数情况如下表：
其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的eq \f(2,5).为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为________．
答案 36
解析 根据题意，可知样本中参与跑步的人数为200×eq \f(3,5)＝120，所以从高二年级参与跑步的学生中应抽取的人数为120×eq \f(3,2＋3＋5)＝36.
10．一个总体中有90个个体，随机编号0,1,2，…，89，以从小到大的编号顺序平均分成9个小组，组号依次为1,2,3，…，9.现用系统抽样方法抽取一个容量为9的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m，那么在第k组中抽取的号码个位数字与m＋k的个位数字相同，若m＝8，则在第8组中抽取的号码是________．
答案 76
解析 由题意知m＝8，k＝8，则m＋k＝16，也就是第8组抽取的号码个位数字为6，十位数字为8－1＝7，故抽取的号码为76.
11．200名职工年龄分布如图所示，从中随机抽取40名职工作样本，采用系统抽样方法，按1～200编号，分为40组，分别为1～5,6～10，…，196～200，第5组抽取号码为22，第8组抽取号码为________．若采用分层抽样，40岁以下年龄段应抽取________人．
答案 37 20
解析 将1～200编号分为40组，则每组的间隔为5，其中第5组抽取号码为22，则第8组抽取的号码应为22＋3×5＝37；由已知条件200名职工中40岁以下的职工人数为200×50%＝100，设在40岁以下年龄段中应抽取x人，则eq \f(40,200)＝eq \f(x,100)，解得x＝20.
12．某校共有学生2000名，各年级男、女学生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为________.
答案 16
解析 依题意可知二年级的女生有380人，那么三年级的学生人数应该是2000－373－377－380－370＝500，即总体中各个年级的人数比为3∶3∶2，故用分层抽样法应在三年级抽取的学生人数为64×eq \f(2,8)＝16.
13．某公路设计院有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取n个人参加市里召开的科学技术大会．如果采用系统抽样和分层抽样的方法抽取，不用剔除个体，如果参会人数增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求n.
解 总体容量为6＋12＋18＝36.
当样本容量是n时，由题意知，系统抽样的间隔为eq \f(36,n)，分层抽样的比例是eq \f(n,36)，抽取的工程师人数为eq \f(n,36)×6＝eq \f(n,6)，技术员人数为eq \f(n,36)×12＝eq \f(n,3)，技工人数为eq \f(n,36)×18＝eq \f(n,2)，
所以n应是6的倍数，36的约数，即n＝6,12,18.
当样本容量为(n＋1)时，总体容量是35人，系统抽样的间隔为eq \f(35,n＋1)，因为eq \f(35,n＋1)必须是整数，所以n只能取6.即样本容量n＝6.
*14.某公司有一批专业技术人员，对他们进行年龄状况和接受教育程度(学历)的调查，其结果(人数分布)如下表：
(1)用分层抽样的方法在35～50岁年龄段的专业技术人员中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至少有1人学历为研究生的概率；
(2)在这个公司的专业技术人员中按年龄状况用分层抽样的方法抽取N个人，其中35岁以下48人，50岁以上10人，再从这N个人中随机抽取出1人，此人的年龄为50岁以上的概率为eq \f(5,39)，求x，y的值．
解 (1)用分层抽样的方法在35～50岁中抽取一个容量为5的样本，设抽取学历为本科的人数为m，
∴eq \f(30,50)＝eq \f(m,5)，解得m＝3.
抽取的样本中有研究生2人，本科生3人，分别记作S1，S2；B1，B2，B3.
从中任取2人的所有等可能基本事件共有10个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，其中至少有1人的学历为研究生的基本事件有7个：(S1，B1)，(S1，B2)，(S1，B3)，(S2，B1)，(S2，B2)，(S2，B3)，(S1，S2)，
∴从中任取2人，至少有1人学历为研究生的概率为eq \f(7,10).
(2)由题意，得eq \f(10,N)＝eq \f(5,39)，解得N＝78，
∴35～50岁中被抽取的人数为78－48－10＝20，
∴eq \f(48,80＋x)＝eq \f(20,50)＝eq \f(10,20＋y)，
解得x＝40，y＝5，即x，y的值分别为40,5.7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198
3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1800
青年教师
1600
合计
4300
人数
管理
技术开发
营销
生产
共计
老年
40
40
40
80
200
中年
80
120
160
240
600
青年
40
160
280
720
1200
共计
160
320
480
1040
2000
高一年级
高二年级
高三年级
跑步
a
b
c
登山
x
y
z
一年级
二年级
三年级
女生
373
x
y
男生
377
370
z
学历
35岁以下
35～50岁
50岁以上
本科
80
30
20
研究生
x
20
y