高三数学一轮复习：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系

展开

这是一份高三数学一轮复习：第8章第4节直线与圆、圆与圆的位置关系，共8页。

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：dr⇔相离．
(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔相交，Δ＝0⇔相切，Δ<0⇔相离．
2．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2>0).
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．( )
(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )
(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．( )
(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．( )
[解析] 依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为( )
A．内切 B.相交
C．外切 D.相离
B [两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝eq \r(42＋1)＝eq \r(17).
∵3－23．(2017·合肥调研)直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )
A．－2或12 B.2或－12
C．－2或－12 D.2或12
D [由圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以eq \f(|3×1＋4×1－b|,\r(32＋42))＝1，解得b＝2或12.]
4．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．
eq \f(2\r(55),5) [圆心为(2，－1)，半径r＝2.
圆心到直线的距离d＝eq \f(|2＋2×－1－3|,\r(1＋4))＝eq \f(3\r(5),5)，
所以弦长为2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(22－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(5),5)))2)＝eq \f(2\r(55),5).]
5．(2016·全国卷Ⅰ)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝2eq \r(3)，则圆C的面积为________．
4π [圆C：x2＋y2－2ay－2＝0化为标准方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，
所以圆心C(0，a)，半径r＝eq \r(a2＋2).|AB|＝2eq \r(3)，点C到直线y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距离d＝eq \f(|0－a＋2a|,\r(2))，由勾股定理得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|0－a＋2a|,\r(2))))2＝a2＋2，解得a2＝2，所以r＝2，所以圆C的面积为π×22＝4π.]
(1)(2017·豫南九校联考)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
【导学号：01772298】
A．相交 B.相切
C．相离 D.不确定
(2)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴．过点A(－4，a)作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|＝( )
A．2 B.4eq \r(2)
C．6 D.2eq \r(10)
(1)A (2)C [(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l的距离d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))<1故直线l与圆相交．
法二：直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C：x2＋(y－1)2＝5的内部，∴直线l与圆C相交．
(2)由圆C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
∴圆心为C(2,1)，半径r＝2，
由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．
于是|AB|2＝|AC|2－r2＝40－4＝36，则|AB|＝6.]
[规律方法] 1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；
(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．
2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．
[变式训练1] (1)(2017·山西忻州模拟)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为( )
A．2x＋y－5＝0 B.2x＋y－7＝0
C．x－2y－5＝0 D.x－2y－7＝0
(2)(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：x－eq \r(3)y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.
(1)B (2)4 [(1)依题意知，点(3,1)在圆(x－1)2＋y2＝r2上，且为切点．
∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为eq \f(1,2).
因此切线的斜率k＝－2.
故圆的切线方程为y－1＝－2(x－3)，即2x＋y－7＝0.
(2)由圆x2＋y2＝12知圆心O(0,0)，半径r＝2eq \r(3).
∴圆心(0,0)到直线x－eq \r(3)y＋6＝0的
距离d＝eq \f(6,\r(1＋3))＝3，|AB|＝2eq \r(12－32)＝2eq \r(3).
过C作CE⊥BD于E.
如图所示，则|CE|＝|AB|＝2eq \r(3).
∵直线l的方程为x－eq \r(3)y＋6＝0，
∴kAB＝eq \f(\r(3),3)，则∠BPD＝30°，从而∠BDP＝60°.
∴|CD|＝eq \f(|CE|,sin 60°)＝eq \f(|AB|,sin 60°)＝eq \f(2\r(3),\f(\r(3),2))＝4.]
(2016·山东高考)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是2eq \r(2)，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是( )
A．内切 B.相交
C．外切 D.相离
B [法一：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋y2－2ay＝0，,x＋y＝0))得两交点为(0,0)，(－a，a)．
∵圆M截直线所得线段长度为2eq \r(2)，
∴eq \r(a2＋－a2)＝2eq \r(2).又a>0，∴a＝2.
∴圆M的方程为x2＋y2－4y＝0，即x2＋(y－2)2＝4，圆心M(0,2)，半径r1＝2.
又圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1，圆心N(1,1)，半径r2＝1，
∴|MN|＝eq \r(0－12＋2－12)＝eq \r(2).
∵r1－r2＝1，r1＋r2＝3,1<|MN|<3，∴两圆相交．
法二：∵x2＋y2－2ay＝0(a>0)⇔x2＋(y－a)2＝a2(a>0)，
∴M(0，a)，r1＝a.
∵圆M截直线x＋y＝0所得线段的长度为2eq \r(2)，∴圆心M到直线x＋y＝0的距离d＝eq \f(a,\r(2))＝eq \r(a2－2)，解得a＝2.
以下同法一．]
[规律方法] 1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．
2．若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．
3．若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．
[变式训练2] 若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．
4 [由题意⊙O1与⊙O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，
∴O1A⊥OA.
又∵|OA|＝eq \r(5)，|O1A|＝2eq \r(5)，
∴|OO1|＝5.
又A，B关于OO1对称，
∴AB为Rt△OAO1斜边上高的2倍．
又∵eq \f(1,2)·OA·O1A＝eq \f(1,2)OO1·AC，得AC＝2.
∴AB＝4.]
(2016·江苏高考改编)如图841，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．
图841
(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；
(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．
[解] 圆M的标准方程为(x－6)2＋(y－7)2＝25，
所以圆心M(6,7)，半径为5.1分
(1)由圆心N在直线x＝6上，可设N(6，y0)．
因为圆N与x轴相切，与圆M外切，
所以0因此，圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.5分
(2)因为直线l∥OA，
所以直线l的斜率为eq \f(4－0,2－0)＝2.
设直线l的方程为y＝2x＋m，
即2x－y＋m＝0，
则圆心M到直线l的距离
d＝eq \f(|2×6－7＋m|,\r(5))＝eq \f(|m＋5|,\r(5)).8分
因为BC＝OA＝eq \r(22＋42)＝2eq \r(5)，
而MC2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(BC,2)))2，
所以25＝eq \f(m＋52,5)＋5，解得m＝5或m＝－15.
故直线l的方程为2x－y＋5＝0或2x－y－15＝0.12分
[规律方法] 1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．
2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．
[变式训练3] (2017·天津南开中学模拟)在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－eq \r(3)y＋eq \r(3)－2＝0相切．
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝2eq \r(3)，求直线MN的方程．
[解] (1)将圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0化为(x＋2)2＋(y－1)2＝5－m.1分
∵圆C：x2＋y2＋4x－2y＋m＝0与直线x－eq \r(3)y＋eq \r(3)－2＝0相切，
∴圆心(－2,1)到直线x－eq \r(3)y＋eq \r(3)－2＝0的距离d＝eq \f(4,\r(1＋3))＝2＝r，4分
∴圆C的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝4.5分
(2)若圆C上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，则可设直线MN的方程为2x－y＋c＝0.7分
∵|MN|＝2eq \r(3)，半径r＝2，
∴圆心(－2,1)到直线MN的距离为eq \r(22－\r(3)2)＝1.
则eq \f(|－4－1＋c|,\r(5))＝1，∴c＝5±eq \r(5).10分
∴直线MN的方程为2x－y＋5±eq \r(5)＝0.12分
[思想与方法]
1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．
2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：
(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
(2)代数方法：弦长公式|AB|＝eq \r(1＋k2)|xA－xB|＝eq \r(1＋k2[xA＋xB2－4xAxB]).
[易错与防范]
1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．
2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．
直线与圆的位置关系
圆与圆的位置关系
直线与圆的综合问题