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2021年广东省深圳中学共同体中考数学模拟试卷（5月份）
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这是一份2021年广东省深圳中学共同体中考数学模拟试卷（5月份），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣1
3．（3分）下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a3＝a2
C．a3•a2＝a6D．（﹣ab）3＝﹣a3b3
5．（3分）南方某市2020年财政收入10500亿元，用科学记数法表示应为（ ）元．
A．1.05×104B．1.05×1011C．1.05×1012D．1.05×1013
6．（3分）如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（ ）
A．25°B．50°C．60°D．80°
7．（3分）分别由五个大小相同的正方形组成的甲、乙两个几何体如图所示，它们的三视图中完全一致的是（ ）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．三视图
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
9．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21B．36+45＝81C．9+16＝25D．30+34＝64
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为CD上一点，且AE＝AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM＝DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE＝S△ADE；④BE2＝2AE•EC．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝ ．
12．（3分）已知整数a1，a2，…，an（n为正整数）满足a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2021＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，线段AB的长度是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx向右平移2个单位后，刚好经过点（0，4），则不等式2x＞kx+4的解集为 ．
15．（3分）如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题11分，第17题7分，第18题6分，第19题7分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，共55分）
16．（11分）①计算：+|2﹣tan60°|﹣（﹣π）0+（﹣）﹣2．
②先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣3．
17．（7分）北关中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为45分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为 人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是 分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是 分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．过点O作BD的垂线，交BA延长线于点E，交AD于F，交BC于点N，若EF＝OF，∠CBD＝30°，BD＝6．
（1）求证：EF＝EN；
（2）求AF的长．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y2＝的图象与的图象关于y轴对称，在y2＝的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
20．（7分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶成本50元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：w＝﹣2x+240．
（1）设该绿茶的月销售利润为y（元），求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（销售利润＝单价×销售量﹣成本﹣投资）
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作圆O1，过B作圆O1的切线交x轴于点C．
（1）求C点的坐标；
（2）设点D为BC延长线上一点，CD＝BC，P为线段BC上的一个动点，（异于B，C）过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM+PN的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．
22．（9分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3a，其顶点为E，与y轴交于点D（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l：y＝﹣x+8与抛物线在第一象限交于点B，交y轴于点A，求∠ABD﹣∠DBE的值；
（3）若有两个定点F（1，），A（0，8），请在抛物线上找一点K，使得△KFA的周长最小，请求出周长的最小值．
2021年广东省深圳中学共同体中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项.其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：D．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：A．
3．（3分）下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．
【解答】解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；
B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；
C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；
D、此不等式组的无解，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a3＝a2
C．a3•a2＝a6D．（﹣ab）3＝﹣a3b3
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
C、a3•a2＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab）3＝﹣a3b3，正确．
故选：D．
5．（3分）南方某市2020年财政收入10500亿元，用科学记数法表示应为（ ）元．
A．1.05×104B．1.05×1011C．1.05×1012D．1.05×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：10500亿＝1050000000000＝1.05×1012．
故选：C．
6．（3分）如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（ ）
A．25°B．50°C．60°D．80°
【分析】由题干BE＝DE＝BC＝DC，可知四边形BECD为菱形，又∠C＝100°，所以∠BED＝100°，∠CBE＝∠CDE＝80°．连接BD，易知AE、BE、DE是△ABD的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案．
【解答】解：连接BD，并延长AE交BD于点O，
∵AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，∴四边形BCDE是菱形，
∴AE、BE、DE是△ABD的角平分线．
∴A、E、O、C四点共线，
∵∠C＝100°，∴∠BED＝100°，
∴∠BEO＝∠BED＝50°，
∴∠ABE＝25°，
∴∠BAD＝50°，
故选：B．
7．（3分）分别由五个大小相同的正方形组成的甲、乙两个几何体如图所示，它们的三视图中完全一致的是（ ）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从正面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：3，1，1，乙从左往右3列小正方形的个数为：3，1，1，符合题意；
从左面可看到甲1列小正方形的个数为：3，乙从左往右3列小正方形的个数为：3，1，1，不符合题意；
从上面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：1，1，1，乙从左往右3列小正方形的个数为：1，1，1，但位置不同，不符合题意．
故选：A．
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
【分析】根据两根和与系数的关系，直接可得结论．
【解答】解：根据根与系数的关系，
x1+x2＝﹣＝2．
故选：B．
9．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21B．36+45＝81C．9+16＝25D．30+34＝64
【分析】符合条件的两个三角形数要满足二个条件：两个三角形数之和等于正方形数，两个三角形数之差等于正方形数的平方根．
【解答】解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠，所以D是错误的．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为CD上一点，且AE＝AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM＝DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE＝S△ADE；④BE2＝2AE•EC．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由于DM是直角△ADE斜边AE上的中线，欲证DM＝DA，只需证明AD＝AE即可；②在直角△ADE中，由于∠ADE＝90°，AD＝AE，得出∠DEA＝30°，然后分别算出∠AEB与∠CEB的度数即可；③由于S△ABE＝S矩形ABCD，S△ADE＜S矩形ABCD，从而进行判断；④如果设BC＝DA＝a，则可用含a的代数式表示BC、AE、EC的长度，然后在直角△BCE中运用勾股定理算出BE2的值，再算出2AE•EC的值，比较即可．
【解答】解：①∵在直角△ADE中，∠ADE＝90°，M为AE的中点，∴DM＝AE，∵AE＝AB，AB＝2BC＝2DA，∴DM＝DA，正确；
②在直角△ADE中，∠ADE＝90°，AD＝AE，∴∠DEA＝30°．∵CD∥AB，∴∠EAB＝∠DEA＝30°，∠CEB＝∠ABE．在△EAB中，∠EAB＝30°，AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝75°，∴∠CEB＝75°，∴EB平分∠AEC，正确；
③∵S△ABE＝S矩形ABCD，S△ADE＜S△ADC＝S矩形ABCD，∴S△ABE＞S△ADE，错误；
④在矩形ABCD中，设BC＝DA＝a，则AE＝AB＝DC＝2BC＝2a，DE＝AD＝a，∴EC＝（2﹣）a．在直角△BCE中，BE2＝BC2+CE2＝a2+[（2﹣）a]2＝（8﹣4）a2，2AE•EC＝2×2a×（2﹣）a＝（8﹣4）a2，正确．
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝ ﹣m（m﹣1）2 ．
【分析】原式提取﹣m后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+1）＝﹣m（m﹣1）2．
故答案为：﹣m（m﹣1）2
12．（3分）已知整数a1，a2，…，an（n为正整数）满足a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2021＝ ﹣1010 ．
【分析】根据给出的代数式多写出几项找出规律即可．
【解答】解：由题知a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，
a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，
…，
所以n是奇数时，an＝﹣，
n是偶数时，an＝﹣，
∴a2021＝﹣1010，
故答案为：﹣1010．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，线段AB的长度是 ．
【分析】利用tan∠CBD＝，设DC＝3x，BC＝4x，通过勾股定理可推出DC、BC的长，再由勾股定理可算出AB的长．
【解答】解：由题易知：△BCD为直角三角形，AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，
设DC＝3x，BC＝4x，由勾股定理易得：BD＝5x＝5，
∴x＝1，DC＝3，BC＝4，
在Rt△ACB中，AC＝AD+DC＝5+3＝8，BC＝4，
∴AB＝＝＝4．
故答案为：4．
14．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx向右平移2个单位后，刚好经过点（0，4），则不等式2x＞kx+4的解集为 x＞1 ．
【分析】由题意直线y＝kx向右平移2个单位后，刚好经过点（0，4），根据待定系数法求出直线的解析式，然后代入不等式中，从而求出不等式的解集．
【解答】解：∵直线y＝kx向右平移2个单位得：y＝k（x﹣2），又其过点（0，4），
∴4＝﹣2k，
解得：k＝﹣2，
∴不等式2x＞kx+4可化为：2x＞﹣2x+4
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
15．（3分）如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．
【分析】过C作CH⊥AE于H，先证得△BGP≌△CHP，得到BG＝CH，∠GBP＝∠PCH，继而证得∠HCE＝∠HEC，得到△CEH是等腰直角三角形，可得CE＝BG，再根据三角形的面积公式求出BG即可．
【解答】解：如图，过C作CH⊥AE于H，
∵AG＝GE，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝BEA，
∵BG⊥AE，
∴∠BGP＝∠CHP＝90°，
∵P为BC的中点，
∴BP＝CP，
在△BGP和△CHP中，
，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG＝CH，∠GBP＝∠PCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠ABC＝∠ABG+∠GBP＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠GBP＝∠BAG，
∴∠PCH＝∠BEP，
∴∠HCE＝∠HEC，
∴CH＝EH，
∵∠CHE＝90°，
∴CE＝CH，即CE＝BG，
在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝BC＝1，
∴AP＝＝，
∵S△ABP＝AB•BP＝AP•BG，
∴BG＝＝，
∴CE＝×＝，
故答案为．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题11分，第17题7分，第18题6分，第19题7分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，共55分）
16．（11分）①计算：+|2﹣tan60°|﹣（﹣π）0+（﹣）﹣2．
②先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣3．
【分析】①先化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再进一步计算即可；
②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：①原式＝×+|2﹣|﹣1+4
＝+2﹣+3
＝5；
②原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝＝＝．
17．（7分）北关中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为45分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为 50 人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是 48.5 分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是 48 分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
【分析】（1）根据得分为45分的学生人数与所占的百分比列式计算即可求出被抽查的学生人数为50；根据中位数的定义找出第25、26两个人的得分，然后求平均数即可；先求出的50分的女生人数是5，再根据算术平均数的求法列式计算即可得解；
（2）根据得50分的女生人数为5，补全折线图即可；
（3）列出图表，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）抽查的学生人数为：（3+2）÷10%＝50人；
由图可知，得分为45分的人数为：3+2＝5，
得分为46分的人数为：2+4＝6，
得分为47分的人数为：4+3＝7，
得分为48分的人数为：3+4＝7，
得分为49分的人数为：9+7＝16，
所以，第25人的得分为48分，第26人的得分为49分，
中位数为＝48.5；
得分50分的女生人数为：50﹣5﹣6﹣7﹣7﹣16﹣4＝50﹣45＝5人．
所以，女生成绩的平均数为：＝＝48；
故答案为：50，48.5，48；
（2）女生得分50分的有5人，所以补全图形如图；
（3）设得分50分的男生分别为男1、男2、男3、男4，其中男1、男2是体育特长生，
得分50分的女生分别为女1、女2、女3、女4、女5，其中女1、女2是体育特长生，
列表如下：
由表可知，一共有20种等可能情况，其中都不是体育特长生的有6种情况，
所以，P（都不是体育特长生）＝＝．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．过点O作BD的垂线，交BA延长线于点E，交AD于F，交BC于点N，若EF＝OF，∠CBD＝30°，BD＝6．
（1）求证：EF＝EN；
（2）求AF的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△AOF≌△CON，可得OF＝ON，即可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求BN＝6，通过证明△EAF∽△EBN，可得，即可求解．
【解答】证明：（1）如图所示；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝OC，BO＝OD，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOF与△CON中，
，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴OF＝ON，
∵EF＝OF，
∴EF＝EN；
（2）∵EF⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∵∠OBN＝30°，BO＝BD＝3，
∴BN＝＝6，
∵AF∥BN，
∴△EAF∽△EBN，
∴，
∴，
∴AF＝2．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y2＝的图象与的图象关于y轴对称，在y2＝的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
【分析】（1）根据x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值．
∴A点的横坐标是﹣1，
∴A（﹣1，3），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，因直线过A、C，
则，
解之得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵y2＝的图象与的图象关于y轴对称，
∴y2＝（x＞0），
∵B点是直线y＝﹣x+2与y轴的交点，
∴B（0，2），
设P（n，）n＞2，
S四边形BCQP＝S四边形OQPB﹣S△OBC＝2，
∴（2+）n﹣×2×2＝2，
n＝，
∴P（，）．
20．（7分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶成本50元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：w＝﹣2x+240．
（1）设该绿茶的月销售利润为y（元），求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（销售利润＝单价×销售量﹣成本﹣投资）
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
【分析】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，即可得到y的最大值；
（2）根据第一问可以得到第一个月获得的最大利润，然后根据题意，即可得到相应的方程，从而可以得到第二个月里应该将销售单价定为多少．
【解答】解：（1）由题意可得，
y与x的函数关系式为：y＝（x﹣50）•w﹣3000＝（x﹣50）•（﹣2x+240）﹣3000＝﹣2x2+340x﹣15000；
∵y＝﹣2x2+340x﹣15000＝﹣2（x﹣85）2﹣550，
∴当x＝85时，y的值最大为﹣550元．
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为﹣550元，
∴第1个月还有550元的投资成本没有收回．
∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250才可以，
∴（x﹣50）•（﹣2x+240）＝2250，
解得，x1＝75，x2＝95．
根据题意，x2＝95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作圆O1，过B作圆O1的切线交x轴于点C．
（1）求C点的坐标；
（2）设点D为BC延长线上一点，CD＝BC，P为线段BC上的一个动点，（异于B，C）过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM+PN的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）先判断出BC⊥AB，进而求出直线BC的解析式，即可得出结论；
（2）先求出点A，B坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标，进而求出直线AD的解析式，设出点P坐标，进而表示出M，N的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BC是⊙O1的切线，
∴BC⊥AB，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴直线BC的解析式为y＝2x+4，
令y＝0，
∴2x+4＝0，
∴x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）；
（2）PM+PN的值是定值，定值为20，
理由：针对于直线y＝﹣x+4，
令x＝0，
∴y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴A（8，0），
由（1）知，C（﹣2，0），
∵CD＝BC，
∴D（﹣4，﹣4），
∵A（8，0），
∴直线AD的解析式为y＝x﹣，
∵点P在线段BC上，
设P（m，2m+4）（﹣2＜m＜0），
∵PM∥x轴，
∴M（﹣4m，2m+4），N（6m+20，2m+4），
∴PM+PN＝﹣4m﹣m+（6m+20﹣m）＝20，
即：PM+PN的值是定值，定值为20．
22．（9分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3a，其顶点为E，与y轴交于点D（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l：y＝﹣x+8与抛物线在第一象限交于点B，交y轴于点A，求∠ABD﹣∠DBE的值；
（3）若有两个定点F（1，），A（0，8），请在抛物线上找一点K，使得△KFA的周长最小，请求出周长的最小值．
【分析】（1）将D点（0，4）代入y＝a（x﹣1）2+3a，即可求解；
（2）由中点公式可得：点E′（﹣1，5），则∠HBD＝∠EBD，则∠ABH＝∠ABD﹣∠DBE，进而求解；
（3）设点K（x，y），则KF2＝（x﹣1）2+（y﹣）2＝x2﹣2x+1+y2+﹣y＝y2﹣y+＝（y﹣）2，则KF＝y﹣，而HK＝y﹣，即KF＝HK，进而求解．
【解答】解：（1）将D点（0，4）代入y＝a（x﹣1）2+3a得：4＝a+3a，解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x+4；
（2）由点B、D、E坐标知，BE2＝BD2+BE2，故BD⊥ED，
连接DE并延长至点E′，使DE＝DE′，则BD是EE′的中垂线，连接BE′交y轴于点H，
由中点公式可得：点E′（﹣1，5），则∠HBD＝∠EBD，
则∠ABH＝∠ABD﹣∠DBE，
同理可得直线BE′的函数表达式为：y＝x+，故点H（0，），
在△ABH中，AB＝，AH＝，BH＝，
过点H作HK⊥AB与点K，设：KB＝x，则AK＝﹣x，
则HK2＝（）2﹣（）2＝（）2﹣x2，
解得：x＝，则cs∠ABH＝＝，故∠ABH＝45°，
即：∠ABD﹣∠DBE＝45°；
（3）作直线m：y＝，交y轴于点G，过点K作KH⊥直线m交于点H，连接AH，
则点G（0，），设点K（x，y），
则KF2＝（x﹣1）2+（y﹣）2＝x2﹣2x+1+y2+﹣y＝y2﹣y+＝（y﹣）2，
则KF＝y﹣，而HK＝y﹣，即KF＝HK，
而AK+KF＝AK+KH≥AH≥AG（点K位于点D时取等号），
故AK+KF的最小值为AG＝8﹣＝，而AF＝，
故周长的最小值为：．
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣1
3．（3分）下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）
A．B．
C．D．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a3＝a2
C．a3•a2＝a6D．（﹣ab）3＝﹣a3b3
5．（3分）南方某市2020年财政收入10500亿元，用科学记数法表示应为（ ）元．
A．1.05×104B．1.05×1011C．1.05×1012D．1.05×1013
6．（3分）如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（ ）
A．25°B．50°C．60°D．80°
7．（3分）分别由五个大小相同的正方形组成的甲、乙两个几何体如图所示，它们的三视图中完全一致的是（ ）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．三视图
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
9．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21B．36+45＝81C．9+16＝25D．30+34＝64
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为CD上一点，且AE＝AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM＝DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE＝S△ADE；④BE2＝2AE•EC．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝ ．
12．（3分）已知整数a1，a2，…，an（n为正整数）满足a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2021＝ ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，线段AB的长度是 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx向右平移2个单位后，刚好经过点（0，4），则不等式2x＞kx+4的解集为 ．
15．（3分）如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题11分，第17题7分，第18题6分，第19题7分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，共55分）
16．（11分）①计算：+|2﹣tan60°|﹣（﹣π）0+（﹣）﹣2．
②先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣3．
17．（7分）北关中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为45分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为 人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是 分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是 分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．过点O作BD的垂线，交BA延长线于点E，交AD于F，交BC于点N，若EF＝OF，∠CBD＝30°，BD＝6．
（1）求证：EF＝EN；
（2）求AF的长．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y2＝的图象与的图象关于y轴对称，在y2＝的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
20．（7分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶成本50元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：w＝﹣2x+240．
（1）设该绿茶的月销售利润为y（元），求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（销售利润＝单价×销售量﹣成本﹣投资）
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作圆O1，过B作圆O1的切线交x轴于点C．
（1）求C点的坐标；
（2）设点D为BC延长线上一点，CD＝BC，P为线段BC上的一个动点，（异于B，C）过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM+PN的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．
22．（9分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3a，其顶点为E，与y轴交于点D（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l：y＝﹣x+8与抛物线在第一象限交于点B，交y轴于点A，求∠ABD﹣∠DBE的值；
（3）若有两个定点F（1，），A（0，8），请在抛物线上找一点K，使得△KFA的周长最小，请求出周长的最小值．
2021年广东省深圳中学共同体中考数学模拟试卷（5月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.每小题均有四个选项.其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（3分）2的相反数是（ ）
A．B．﹣C．2D．﹣2
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
【解答】解：2的相反数是﹣2，
故选：D．
2．（3分）函数y＝中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥1B．x≥﹣1C．x≤1D．x≤﹣1
【分析】根据二次根式的意义，被开方数是非负数即可求解．
【解答】解：根据题意得：x﹣1≥0，
解得x≥1．
故选：A．
3．（3分）下列某不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则该不等式组是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】先根据在数轴上表示不等式解集的方法得出该不等式组的解集，再找出符合条件的不等式组即可．
【解答】解：A、此不等式组的解集为x＜2，不符合题意；
B、此不等式组的解集为2＜x＜4，符合题意；
C、此不等式组的解集为x＞4，不符合题意；
D、此不等式组的无解，不符合题意；
故选：B．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．（a3）2＝a5B．a6÷a3＝a2
C．a3•a2＝a6D．（﹣ab）3＝﹣a3b3
【分析】直接利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、（a3）2＝a6，故此选项错误；
B、a6÷a3＝a3，故此选项错误；
C、a3•a2＝a5，故此选项错误；
D、（﹣ab）3＝﹣a3b3，正确．
故选：D．
5．（3分）南方某市2020年财政收入10500亿元，用科学记数法表示应为（ ）元．
A．1.05×104B．1.05×1011C．1.05×1012D．1.05×1013
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
【解答】解：10500亿＝1050000000000＝1.05×1012．
故选：C．
6．（3分）如图，四边形ABCD内有一点E，AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，若∠C＝100°，则∠BAD的大小是（ ）
A．25°B．50°C．60°D．80°
【分析】由题干BE＝DE＝BC＝DC，可知四边形BECD为菱形，又∠C＝100°，所以∠BED＝100°，∠CBE＝∠CDE＝80°．连接BD，易知AE、BE、DE是△ABD的角平分线．再根据菱形的性质即可得出答案．
【解答】解：连接BD，并延长AE交BD于点O，
∵AE＝BE＝DE＝BC＝DC，AB＝AD，∴四边形BCDE是菱形，
∴AE、BE、DE是△ABD的角平分线．
∴A、E、O、C四点共线，
∵∠C＝100°，∴∠BED＝100°，
∴∠BEO＝∠BED＝50°，
∴∠ABE＝25°，
∴∠BAD＝50°，
故选：B．
7．（3分）分别由五个大小相同的正方形组成的甲、乙两个几何体如图所示，它们的三视图中完全一致的是（ ）
A．主视图B．左视图C．俯视图D．三视图
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【解答】解：从正面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：3，1，1，乙从左往右3列小正方形的个数为：3，1，1，符合题意；
从左面可看到甲1列小正方形的个数为：3，乙从左往右3列小正方形的个数为：3，1，1，不符合题意；
从上面可看到甲从左往右三列小正方形的个数为：1，1，1，乙从左往右3列小正方形的个数为：1，1，1，但位置不同，不符合题意．
故选：A．
8．（3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的两根，则x1+x2＝（ ）
A．﹣2B．2C．3D．﹣3
【分析】根据两根和与系数的关系，直接可得结论．
【解答】解：根据根与系数的关系，
x1+x2＝﹣＝2．
故选：B．
9．（3分）古希腊的毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，…称为三角形数；把1，4，9，16，…称为数正方形数．“三角形数”和“正方形数”之间存在如下图所示的关系：
即两个相邻的“三角形数”的和为一个“正方形数”，则下列等式符合以上规律的是（ ）
A．6+15＝21B．36+45＝81C．9+16＝25D．30+34＝64
【分析】符合条件的两个三角形数要满足二个条件：两个三角形数之和等于正方形数，两个三角形数之差等于正方形数的平方根．
【解答】解：A、6+15＝21，15﹣6＝9≠，所以A是错误的；
B、36+45＝81，45﹣36＝9＝，所以B是正确的；
C、9+16＝25，16﹣9＝7≠，所以C是错误的；
D、30+34＝64，34﹣30＝4≠，所以D是错误的．
故选：B．
10．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，E为CD上一点，且AE＝AB，M为AE的中点．下列结论：
①DM＝DA；②EB平分∠AEC；③S△ABE＝S△ADE；④BE2＝2AE•EC．其中结论正确的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①由于DM是直角△ADE斜边AE上的中线，欲证DM＝DA，只需证明AD＝AE即可；②在直角△ADE中，由于∠ADE＝90°，AD＝AE，得出∠DEA＝30°，然后分别算出∠AEB与∠CEB的度数即可；③由于S△ABE＝S矩形ABCD，S△ADE＜S矩形ABCD，从而进行判断；④如果设BC＝DA＝a，则可用含a的代数式表示BC、AE、EC的长度，然后在直角△BCE中运用勾股定理算出BE2的值，再算出2AE•EC的值，比较即可．
【解答】解：①∵在直角△ADE中，∠ADE＝90°，M为AE的中点，∴DM＝AE，∵AE＝AB，AB＝2BC＝2DA，∴DM＝DA，正确；
②在直角△ADE中，∠ADE＝90°，AD＝AE，∴∠DEA＝30°．∵CD∥AB，∴∠EAB＝∠DEA＝30°，∠CEB＝∠ABE．在△EAB中，∠EAB＝30°，AE＝AB，∴∠AEB＝∠ABE＝75°，∴∠CEB＝75°，∴EB平分∠AEC，正确；
③∵S△ABE＝S矩形ABCD，S△ADE＜S△ADC＝S矩形ABCD，∴S△ABE＞S△ADE，错误；
④在矩形ABCD中，设BC＝DA＝a，则AE＝AB＝DC＝2BC＝2a，DE＝AD＝a，∴EC＝（2﹣）a．在直角△BCE中，BE2＝BC2+CE2＝a2+[（2﹣）a]2＝（8﹣4）a2，2AE•EC＝2×2a×（2﹣）a＝（8﹣4）a2，正确．
故选：C．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）分解因式：﹣m3+2m2﹣m＝ ﹣m（m﹣1）2 ．
【分析】原式提取﹣m后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：原式＝﹣m（m2﹣2m+1）＝﹣m（m﹣1）2．
故答案为：﹣m（m﹣1）2
12．（3分）已知整数a1，a2，…，an（n为正整数）满足a1＝0，a2＝﹣|a1+1|，a3＝﹣|a2+2|，a4＝﹣|a3+3|，…，以此类推，则a2021＝ ﹣1010 ．
【分析】根据给出的代数式多写出几项找出规律即可．
【解答】解：由题知a1＝0，
a2＝﹣|a1+1|＝﹣1，
a3＝﹣|a2+2|＝﹣1，
a4＝﹣|a3+3|＝﹣2，
a5＝﹣|a4+4|＝﹣2，
a6＝﹣|a5+5|＝﹣3，
…，
所以n是奇数时，an＝﹣，
n是偶数时，an＝﹣，
∴a2021＝﹣1010，
故答案为：﹣1010．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，且AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，线段AB的长度是 ．
【分析】利用tan∠CBD＝，设DC＝3x，BC＝4x，通过勾股定理可推出DC、BC的长，再由勾股定理可算出AB的长．
【解答】解：由题易知：△BCD为直角三角形，AD＝BD＝5，tan∠CBD＝，
设DC＝3x，BC＝4x，由勾股定理易得：BD＝5x＝5，
∴x＝1，DC＝3，BC＝4，
在Rt△ACB中，AC＝AD+DC＝5+3＝8，BC＝4，
∴AB＝＝＝4．
故答案为：4．
14．（3分）在平面直角坐标系中，直线y＝kx向右平移2个单位后，刚好经过点（0，4），则不等式2x＞kx+4的解集为 x＞1 ．
【分析】由题意直线y＝kx向右平移2个单位后，刚好经过点（0，4），根据待定系数法求出直线的解析式，然后代入不等式中，从而求出不等式的解集．
【解答】解：∵直线y＝kx向右平移2个单位得：y＝k（x﹣2），又其过点（0，4），
∴4＝﹣2k，
解得：k＝﹣2，
∴不等式2x＞kx+4可化为：2x＞﹣2x+4
解得x＞1．
故答案为：x＞1．
15．（3分）如图，P为正方形ABCD的边BC的中点，BG⊥AP于点G，在AP的延长线上取点E，使AG＝GE，若正方形的边长为2，则CE＝ ．
【分析】过C作CH⊥AE于H，先证得△BGP≌△CHP，得到BG＝CH，∠GBP＝∠PCH，继而证得∠HCE＝∠HEC，得到△CEH是等腰直角三角形，可得CE＝BG，再根据三角形的面积公式求出BG即可．
【解答】解：如图，过C作CH⊥AE于H，
∵AG＝GE，
∴AB＝BE，
∴∠BAE＝BEA，
∵BG⊥AE，
∴∠BGP＝∠CHP＝90°，
∵P为BC的中点，
∴BP＝CP，
在△BGP和△CHP中，
，
∴△BGP≌△CHP（AAS），
∴BG＝CH，∠GBP＝∠PCH，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC，
∴BC＝BE，
∴∠BCE＝∠BEC，
∵∠ABC＝∠ABG+∠GBP＝90°，∠ABG+∠BAG＝90°，
∴∠GBP＝∠BAG，
∴∠PCH＝∠BEP，
∴∠HCE＝∠HEC，
∴CH＝EH，
∵∠CHE＝90°，
∴CE＝CH，即CE＝BG，
在Rt△ABP中，AB＝2，BP＝BC＝1，
∴AP＝＝，
∵S△ABP＝AB•BP＝AP•BG，
∴BG＝＝，
∴CE＝×＝，
故答案为．
三、解答题（本题共7小题，其中第16题11分，第17题7分，第18题6分，第19题7分，第20题7分，第21题8分，第22题9分，共55分）
16．（11分）①计算：+|2﹣tan60°|﹣（﹣π）0+（﹣）﹣2．
②先化简，再求值：÷（﹣x﹣2），其中x＝﹣3．
【分析】①先化简二次根式、代入三角函数值、计算零指数幂和负整数指数幂，再进一步计算即可；
②先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．
【解答】解：①原式＝×+|2﹣|﹣1+4
＝+2﹣+3
＝5；
②原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝
＝，
当x＝﹣3时，
原式＝＝＝．
17．（7分）北关中学为了解本校中考体育情况，随机抽取了部分学生的体育成绩进行统计分析，发现最低分为45分，且成绩为45分的学生占抽查人数的10%，现将抽查结果绘制成了如下不完整的折线统计图，请根据图中信息，回答下列问题：
（1）此次抽查的学生人数为 50 人，抽查的学生体育考试成绩的中位数是 48.5 分，抽查的女生体育考试成绩的平均数是 48 分；
（2）补全折线统计图；
（3）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为50分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为50分的男、女生中各有两名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率．
【分析】（1）根据得分为45分的学生人数与所占的百分比列式计算即可求出被抽查的学生人数为50；根据中位数的定义找出第25、26两个人的得分，然后求平均数即可；先求出的50分的女生人数是5，再根据算术平均数的求法列式计算即可得解；
（2）根据得50分的女生人数为5，补全折线图即可；
（3）列出图表，然后根据概率公式列式计算即可得解．
【解答】解：（1）抽查的学生人数为：（3+2）÷10%＝50人；
由图可知，得分为45分的人数为：3+2＝5，
得分为46分的人数为：2+4＝6，
得分为47分的人数为：4+3＝7，
得分为48分的人数为：3+4＝7，
得分为49分的人数为：9+7＝16，
所以，第25人的得分为48分，第26人的得分为49分，
中位数为＝48.5；
得分50分的女生人数为：50﹣5﹣6﹣7﹣7﹣16﹣4＝50﹣45＝5人．
所以，女生成绩的平均数为：＝＝48；
故答案为：50，48.5，48；
（2）女生得分50分的有5人，所以补全图形如图；
（3）设得分50分的男生分别为男1、男2、男3、男4，其中男1、男2是体育特长生，
得分50分的女生分别为女1、女2、女3、女4、女5，其中女1、女2是体育特长生，
列表如下：
由表可知，一共有20种等可能情况，其中都不是体育特长生的有6种情况，
所以，P（都不是体育特长生）＝＝．
18．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．过点O作BD的垂线，交BA延长线于点E，交AD于F，交BC于点N，若EF＝OF，∠CBD＝30°，BD＝6．
（1）求证：EF＝EN；
（2）求AF的长．
【分析】（1）由“ASA”可证△AOF≌△CON，可得OF＝ON，即可得结论；
（2）由直角三角形的性质可求BN＝6，通过证明△EAF∽△EBN，可得，即可求解．
【解答】证明：（1）如图所示；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AO＝OC，BO＝OD，
∴∠DAO＝∠BCO，
在△AOF与△CON中，
，
∴△AOF≌△CON（ASA），
∴OF＝ON，
∵EF＝OF，
∴EF＝EN；
（2）∵EF⊥BD，
∴∠BON＝90°，
∵∠OBN＝30°，BO＝BD＝3，
∴BN＝＝6，
∵AF∥BN，
∴△EAF∽△EBN，
∴，
∴，
∴AF＝2．
19．（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A点，与y轴、x轴分别相交于B、C两点，且C（2，0）．当x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时，一次函数值小于反比例函数值．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设函数y2＝的图象与的图象关于y轴对称，在y2＝的图象上取一点P（P点的横坐标大于2），过P作PQ⊥x轴，垂足是Q，若四边形BCQP的面积等于2，求P点的坐标．
【分析】（1）根据x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值得到点A的坐标，利用待定系数法求函数的解析式即可；
（2）求得B点的坐标后设出P点的坐标，利用告诉的四边形的面积得到函数关系式求得点P的坐标即可．
【解答】解：（1）∵x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数值，当x＞﹣1时候，一次函数值小于反比例函数值．
∴A点的横坐标是﹣1，
∴A（﹣1，3），
设一次函数的解析式为y＝kx+b，因直线过A、C，
则，
解之得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+2；
（2）∵y2＝的图象与的图象关于y轴对称，
∴y2＝（x＞0），
∵B点是直线y＝﹣x+2与y轴的交点，
∴B（0，2），
设P（n，）n＞2，
S四边形BCQP＝S四边形OQPB﹣S△OBC＝2，
∴（2+）n﹣×2×2＝2，
n＝，
∴P（，）．
20．（7分）某商家经销一种绿茶，用于装修门面已投资3000元．已知绿茶成本50元/千克，在第一个月的试销时间内发现，销量w（kg）与销售单价x（元/kg）满足关系式：w＝﹣2x+240．
（1）设该绿茶的月销售利润为y（元），求y与x之间的函数关系式（不必写出自变量x的取值范围），并求出x为何值时，y的值最大？（销售利润＝单价×销售量﹣成本﹣投资）
（2）若在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售后，在第二个月里受物价部门干预，销售单价不得高于90元，要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，那么第二个月里应该确定销售单价为多少元？
【分析】（1）根据题意可以得到y与x之间的函数关系式，然后将函数关系式化为顶点式，即可得到y的最大值；
（2）根据第一问可以得到第一个月获得的最大利润，然后根据题意，即可得到相应的方程，从而可以得到第二个月里应该将销售单价定为多少．
【解答】解：（1）由题意可得，
y与x的函数关系式为：y＝（x﹣50）•w﹣3000＝（x﹣50）•（﹣2x+240）﹣3000＝﹣2x2+340x﹣15000；
∵y＝﹣2x2+340x﹣15000＝﹣2（x﹣85）2﹣550，
∴当x＝85时，y的值最大为﹣550元．
（2）∵在第一个月里，按使y获得最大值的销售单价进行销售所获利润为﹣550元，
∴第1个月还有550元的投资成本没有收回．
∴要想在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元，即y＝2250才可以，
∴（x﹣50）•（﹣2x+240）＝2250，
解得，x1＝75，x2＝95．
根据题意，x2＝95不合题意应舍去．
答：当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元，即在全部收回投资的基础上使第二个月的利润达到1700元．
21．（8分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+4与x轴交于A点，与y轴交于B点，以AB为直径作圆O1，过B作圆O1的切线交x轴于点C．
（1）求C点的坐标；
（2）设点D为BC延长线上一点，CD＝BC，P为线段BC上的一个动点，（异于B，C）过P点作x轴的平行线交AB于M，交DA的延长线于N，试判断PM+PN的值是否为定值，如果是，则求出这个值；如果不是，请说明理由．
【分析】（1）先判断出BC⊥AB，进而求出直线BC的解析式，即可得出结论；
（2）先求出点A，B坐标，再利用中点坐标公式求出点D坐标，进而求出直线AD的解析式，设出点P坐标，进而表示出M，N的坐标，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵BC是⊙O1的切线，
∴BC⊥AB，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+4，
∴直线BC的解析式为y＝2x+4，
令y＝0，
∴2x+4＝0，
∴x＝﹣2，
∴C（﹣2，0）；
（2）PM+PN的值是定值，定值为20，
理由：针对于直线y＝﹣x+4，
令x＝0，
∴y＝4，
∴B（0，4），
令y＝0，则﹣x+4＝0，
∴x＝8，
∴A（8，0），
由（1）知，C（﹣2，0），
∵CD＝BC，
∴D（﹣4，﹣4），
∵A（8，0），
∴直线AD的解析式为y＝x﹣，
∵点P在线段BC上，
设P（m，2m+4）（﹣2＜m＜0），
∵PM∥x轴，
∴M（﹣4m，2m+4），N（6m+20，2m+4），
∴PM+PN＝﹣4m﹣m+（6m+20﹣m）＝20，
即：PM+PN的值是定值，定值为20．
22．（9分）已知抛物线y＝a（x﹣1）2+3a，其顶点为E，与y轴交于点D（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线l：y＝﹣x+8与抛物线在第一象限交于点B，交y轴于点A，求∠ABD﹣∠DBE的值；
（3）若有两个定点F（1，），A（0，8），请在抛物线上找一点K，使得△KFA的周长最小，请求出周长的最小值．
【分析】（1）将D点（0，4）代入y＝a（x﹣1）2+3a，即可求解；
（2）由中点公式可得：点E′（﹣1，5），则∠HBD＝∠EBD，则∠ABH＝∠ABD﹣∠DBE，进而求解；
（3）设点K（x，y），则KF2＝（x﹣1）2+（y﹣）2＝x2﹣2x+1+y2+﹣y＝y2﹣y+＝（y﹣）2，则KF＝y﹣，而HK＝y﹣，即KF＝HK，进而求解．
【解答】解：（1）将D点（0，4）代入y＝a（x﹣1）2+3a得：4＝a+3a，解得a＝1，
∴y＝x2﹣2x+4；
（2）由点B、D、E坐标知，BE2＝BD2+BE2，故BD⊥ED，
连接DE并延长至点E′，使DE＝DE′，则BD是EE′的中垂线，连接BE′交y轴于点H，
由中点公式可得：点E′（﹣1，5），则∠HBD＝∠EBD，
则∠ABH＝∠ABD﹣∠DBE，
同理可得直线BE′的函数表达式为：y＝x+，故点H（0，），
在△ABH中，AB＝，AH＝，BH＝，
过点H作HK⊥AB与点K，设：KB＝x，则AK＝﹣x，
则HK2＝（）2﹣（）2＝（）2﹣x2，
解得：x＝，则cs∠ABH＝＝，故∠ABH＝45°，
即：∠ABD﹣∠DBE＝45°；
（3）作直线m：y＝，交y轴于点G，过点K作KH⊥直线m交于点H，连接AH，
则点G（0，），设点K（x，y），
则KF2＝（x﹣1）2+（y﹣）2＝x2﹣2x+1+y2+﹣y＝y2﹣y+＝（y﹣）2，
则KF＝y﹣，而HK＝y﹣，即KF＝HK，
而AK+KF＝AK+KH≥AH≥AG（点K位于点D时取等号），
故AK+KF的最小值为AG＝8﹣＝，而AF＝，
故周长的最小值为：．
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