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高考数学一轮复习 第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
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这是一份高考数学一轮复习 第3章 第1节 任意角、弧度制及任意角的三角函数，共15页。
[五年考情]
[重点关注]
1．三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为15分或17分，一般是三道客观题或一道客观题、一道解答题，以中档题为主．
2．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．
3．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．
4．高考命题中，三角函数常与解三角形相结合，既可以考查三角恒等变换，又可以考查正、余弦定理的综合应用，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求．
[导学心语]
1．立足基础，着眼于提高：立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．
2．突出数学思想方法：应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．
3．抓住关键：三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．
4．注意交汇：三角函数与解三角形知识的交汇渗透，这也是高考命题的热点之一．
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
————————————————————————————————
[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①角度与弧度的换算：
a．1°＝eq \f(π,180) rad；b.1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
②弧长公式：l＝r|α|.
③扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r2α.
3．任意角的三角函数
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )
(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α＞1.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(2017·西宁复习检测(一))若cs θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
D [由cs θ>0，sin 2θ＝2sin θ cs θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D.]
3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y))，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(,3),2)B．±eq \f(\r(,3),2)
C.eq \f(\r(,2),2)D．±eq \f(\r(,2),2)
B [由题意知|r|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋y2＝1，所以y＝±eq \f(\r(,3),2).由三角函数定义知sin α＝y＝±eq \f(\r(,3),2).]
4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )
A．10πB．9π
C.eq \f(9,10)πD.eq \f(10,9)π
D [单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×eq \f(π,180)＝eq \f(10,9)π，由弧度数的定义得eq \f(10,9)π＝eq \f(l,r)，所以l＝eq \f(10,9)π.]
5．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.
1．2 [由题意知α＝eq \f(l,r)＝eq \f(144,120)＝1.2 rad.]
(1)若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
(2)已知角α的终边在如图311所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．
图311
(1)C (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z) [(1)∵α是第二象限角，
∴eq \f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴eq \f(π,4)＋kπ＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角．
综上，eq \f(α,2)是第一或第三象限角．
(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，
∴所求角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．]
[规律方法] 1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．
2．由α所在象限，判定eq \f(α,2)所在象限，应先确定eq \f(α,2)的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论．
[变式训练1] (1)设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么( )
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.
【导学号：31222101】
(1)B (2)－675°或－315° [(1)法一：由于M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.
法二：由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
(2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
[解] (1)设圆心角是θ，半径是r，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,θ＝8))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，))
∴扇形的圆心角为eq \f(1,2).5分
(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.7分
又S＝eq \f(1,2)θr2＝eq \f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.9分
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.12分
[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．
2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝eq \f(1,2)lR；(3)S＝eq \f(1,2)αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量．
[变式训练2] 若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.
eq \f(8\r(,3),3)π [设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝eq \f(6,r)，得r＝4eq \r(,3) cm，
∴l＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(,3)＝eq \f(8\r(,3),3)π cm.]
(1)(2014·全国卷Ⅰ)若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0B．cs α＞0
C．sin 2α＞0D．cs 2α＞0
(2)(2016·河南中原名校第三次联考)已知角α的终边经过点A(－eq \r(,3)，a)，若点A在抛物线y＝－eq \f(1,4)x2的准线上，则sin α＝( )
A．－eq \f(\r(,3),2)B.eq \f(\r(,3),2)
C．－eq \f(1,2)D.eq \f(1,2)
(1)C (2)D [(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcs α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cs α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcs α＞0，故选C.
(2)抛物线方程y＝－eq \f(1,4)x2可化为x2＝－4y，
∴抛物线的准线方程为y＝1.
∵点A在抛物线y＝－eq \f(1,4)x2的准线上，
∴A(－eq \r(,3)，1)，由三角函数的定义得sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(1,\r(,－\r(,3)2＋12))＝eq \f(1,2).]
[规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况．
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断．
[变式训练3] (1)(2016·山东聊城期中)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cs α＝eq \f(1,5)x，则tan 2α＝( )
A.eq \f(24,7)B．－eq \f(24,7)
C.eq \f(12,7)D．－eq \f(12,7)
(2)函数y＝eq \r(,2cs x－1)的定义域为________．
(1)A (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z) [(1)由三角函数的定义可得cs α＝eq \f(x,\r(,x2＋42)).
∵cs α＝eq \f(1,5)x，∴eq \f(x,\r(,x2＋42))＝eq \f(1,5)x，
又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x＝－3，
∴cs α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \r(,1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)，∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(24,7).故选A.
(2)∵2cs x－1≥0，
∴cs x≥eq \f(1,2).
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．]
[思想与方法]
1．在利用三角函数定义时，点P(x，y)可取终边上任意一点，若点P在单位圆上，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)；若|OP|＝r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
2．三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法．
[易错与防范]
1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
课时分层训练(十七)
任意角、弧度制及任意角的三角函数
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；②eq \f(4π,3)是第三象限角；
③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
C [－eq \f(3π,4)是第三象限角，故①错误.eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]
2．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
【导学号：31222102】
A．2B．sin 2
C.eq \f(2,sin 1)D．2sin 1
C [由题设知，圆弧的半径r＝eq \f(1,sin 1)，
∴圆心角所对的弧长l＝2r＝eq \f(2,sin 1).]
3．(2016·湖南衡阳一中模拟)已知点P(cs α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
B [由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＜0，,tan α＜0，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＞0，,cs α＜0，))所以角α的终边在第二象限，故选B.]
4．(2017·河北石家庄质检)已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.eq \f(5π,6)B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(11π,6)D.eq \f(5π,3)
C [因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(,3),2))＝－eq \f(\r(,3),3)，则θ＝eq \f(11,6)π.]
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cs 2θ＝( )
【导学号：31222103】
A．－eq \f(4,5)B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(3,5)D.eq \f(4,5)
B [取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cs θ＝±eq \f(\r(,5),5)，故cs 2θ＝2cs2θ－1＝－eq \f(3,5).]
二、填空题
6．已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于________.
【导学号：31222104】
eq \f(π,3) [设扇形半径为r，弧长为l，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))]
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(,5),5)，则y＝________.
－8 [因为sin θ＝eq \f(y,\r(,42＋y2))＝－eq \f(2\r(,5),5)，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.]
8．在(0,2π)内，使sin x＞cs x成立的x的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))) [如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cs x的x值，sin eq \f(π,4)＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(,2),2)，sin eq \f(5π,4)＝cs eq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(,2),2).根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))).]
三、解答题
9．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 【导学号：31222105】
[解] 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝2.))4分
∴圆心角α＝eq \f(l,r)＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.8分
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，
∴AB＝2sin 1(cm)．
∴圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm.12分
10．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cs θ.
[解] ∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－eq \f(1,x)，2分
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.4分
当x＝1时，sin θ＝－eq \f(\r(,2),2)，cs θ＝eq \f(\r(,2),2)，
因此sin θ＋cs θ＝0；8分
当x＝－1时，sin θ＝－eq \f(\r(,2),2)，cs θ＝－eq \f(\r(,2),2)，
因此sin θ＋cs θ＝－eq \r(,2).
故sin θ＋cs θ的值为0或－eq \r(,2).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·河北衡水二中模拟)已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为( )
A.eq \f(3,5)B.eq \f(4,5)
C．－eq \f(3,5)D．－eq \f(4,5)
D [由于角φ的终边经过点P(－4,3)，所以cs φ＝－eq \f(4,5).再根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，可得eq \f(2π,ω)＝2×eq \f(π,2)，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ＝－eq \f(4,5).故选D.]
2．函数y＝eq \r(,sin x)＋eq \r(,\f(1,2)－cs x)的定义域是________．
【导学号：31222106】
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ))(k∈Z) [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0，,\f(1,2)－cs x≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0，,cs x≤\f(1,2)，))
∴x的取值范围为eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.]
3．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上．
由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).3分
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
故eq \f(α,2)终边在第二、四象限.6分
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)＜0，
sin eq \f(α,2)＞0，cs eq \f(α,2)＜0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号；9分
当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)＜0，
sin eq \f(α,2)＜0，cs eq \f(α,2)＞0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)也取正号．
因此，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号.12分
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
任意角和弧度制及任意角的三角函数
全国卷Ⅰ·T2
同角关系、诱导公式
全国卷Ⅰ·T2
三角函数的图象和性质
全国卷Ⅱ·T3
全国卷Ⅲ·T14
全国卷Ⅰ·T8
全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅰ·T7
全国卷Ⅰ·T9
全国卷·T9
全国卷·T16
正弦型函数及应用
全国卷Ⅱ·T16
简单的三角恒等变换
全国卷Ⅰ·T12
全国卷Ⅰ·T13
全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅲ·T6
全国卷Ⅱ·T14
全国卷Ⅰ·T16
全国卷Ⅱ·T6
正弦定理和余弦定理
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅱ·T15
全国卷Ⅲ·T9
全国卷Ⅰ·T17
全国卷Ⅱ·T17
全国卷Ⅰ·T16
全国卷Ⅱ·T17
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅱ·T4
全国卷·T17
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象
限符
号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函
数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
角的有关概念及其集合表示
扇形的弧长、面积公式
三角函数的定义
[五年考情]
[重点关注]
1．三角函数、解三角形是全国卷高考命题的重点，分值为15分或17分，一般是三道客观题或一道客观题、一道解答题，以中档题为主．
2．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．
3．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．
4．高考命题中，三角函数常与解三角形相结合，既可以考查三角恒等变换，又可以考查正、余弦定理的综合应用，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求．
[导学心语]
1．立足基础，着眼于提高：立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．
2．突出数学思想方法：应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．
3．抓住关键：三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．
4．注意交汇：三角函数与解三角形知识的交汇渗透，这也是高考命题的热点之一．
第一节 任意角、弧度制及任意角的三角函数
————————————————————————————————
[考纲传真] 1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
1．角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角.))
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
2．弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：①角度与弧度的换算：
a．1°＝eq \f(π,180) rad；b.1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
②弧长公式：l＝r|α|.
③扇形面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)r2α.
3．任意角的三角函数
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)小于90°的角是锐角．( )
(2)锐角是第一象限角，反之亦然．( )
(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．( )
(4)若α为第一象限角，则sin α＋cs α＞1.( )
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(2017·西宁复习检测(一))若cs θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
D [由cs θ>0，sin 2θ＝2sin θ cs θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D.]
3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，y))，则sin α＝( )
A.eq \f(\r(,3),2)B．±eq \f(\r(,3),2)
C.eq \f(\r(,2),2)D．±eq \f(\r(,2),2)
B [由题意知|r|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＋y2＝1，所以y＝±eq \f(\r(,3),2).由三角函数定义知sin α＝y＝±eq \f(\r(,3),2).]
4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )
A．10πB．9π
C.eq \f(9,10)πD.eq \f(10,9)π
D [单位圆的半径r＝1,200°的弧度数是200×eq \f(π,180)＝eq \f(10,9)π，由弧度数的定义得eq \f(10,9)π＝eq \f(l,r)，所以l＝eq \f(10,9)π.]
5．已知半径为120 mm的圆上，有一条弧长是144 mm，则该弧所对的圆心角的弧度数为________rad.
1．2 [由题意知α＝eq \f(l,r)＝eq \f(144,120)＝1.2 rad.]
(1)若角α是第二象限角，则eq \f(α,2)是( )
A．第一象限角B．第二象限角
C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角
(2)已知角α的终边在如图311所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．
图311
(1)C (2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z) [(1)∵α是第二象限角，
∴eq \f(π,2)＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，
∴eq \f(π,4)＋kπ＜eq \f(α,2)＜eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z.
当k为偶数时，eq \f(α,2)是第一象限角；
当k为奇数时，eq \f(α,2)是第三象限角．
综上，eq \f(α,2)是第一或第三象限角．
(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，
∴所求角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π))(k∈Z)．]
[规律方法] 1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2kπ＋α(k∈Z)的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．
2．由α所在象限，判定eq \f(α,2)所在象限，应先确定eq \f(α,2)的范围，并对整数k的奇、偶情况进行讨论．
[变式训练1] (1)设集合M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))，N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))，那么( )
A．M＝NB．M⊆N
C．N⊆MD．M∩N＝∅
(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________.
【导学号：31222101】
(1)B (2)－675°或－315° [(1)法一：由于M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,2)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(k,4)·180°＋45°，k∈Z))))＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.
法二：由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
(2)由终边相同的角的关系知β＝k·360°＋45°，k∈Z，
∴取k＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.]
(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角；
(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？
[解] (1)设圆心角是θ，半径是r，则
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2r＋rθ＝10，,\f(1,2)θ·r2＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,θ＝8))(舍去)或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝4，,θ＝\f(1,2)，))
∴扇形的圆心角为eq \f(1,2).5分
(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40.7分
又S＝eq \f(1,2)θr2＝eq \f(1,2)r(40－2r)＝r(20－r)＝－(r－10)2＋100≤100.9分
当且仅当r＝10时，Smax＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r＝10，θ＝2时，扇形的面积最大.12分
[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．
2．利用公式：(1)l＝αR；(2)S＝eq \f(1,2)lR；(3)S＝eq \f(1,2)αR2.其中R是扇形的半径，l是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S是扇形面积，知道两个量，可求其余量．
[变式训练2] 若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l＝________cm.
eq \f(8\r(,3),3)π [设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝eq \f(6,r)，得r＝4eq \r(,3) cm，
∴l＝|α|·r＝eq \f(2π,3)×4eq \r(,3)＝eq \f(8\r(,3),3)π cm.]
(1)(2014·全国卷Ⅰ)若tan α＞0，则( )
A．sin α＞0B．cs α＞0
C．sin 2α＞0D．cs 2α＞0
(2)(2016·河南中原名校第三次联考)已知角α的终边经过点A(－eq \r(,3)，a)，若点A在抛物线y＝－eq \f(1,4)x2的准线上，则sin α＝( )
A．－eq \f(\r(,3),2)B.eq \f(\r(,3),2)
C．－eq \f(1,2)D.eq \f(1,2)
(1)C (2)D [(1)由tan α＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin 2α＝2sin αcs α＞0；当α是第三象限角时，sin α＜0，cs α＜0，仍有sin 2α＝2sin αcs α＞0，故选C.
(2)抛物线方程y＝－eq \f(1,4)x2可化为x2＝－4y，
∴抛物线的准线方程为y＝1.
∵点A在抛物线y＝－eq \f(1,4)x2的准线上，
∴A(－eq \r(,3)，1)，由三角函数的定义得sin α＝eq \f(y,r)＝eq \f(1,\r(,－\r(,3)2＋12))＝eq \f(1,2).]
[规律方法] 1.用定义法求三角函数值的两种情况．
(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；
(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．
2．确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断．
[变式训练3] (1)(2016·山东聊城期中)设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cs α＝eq \f(1,5)x，则tan 2α＝( )
A.eq \f(24,7)B．－eq \f(24,7)
C.eq \f(12,7)D．－eq \f(12,7)
(2)函数y＝eq \r(,2cs x－1)的定义域为________．
(1)A (2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z) [(1)由三角函数的定义可得cs α＝eq \f(x,\r(,x2＋42)).
∵cs α＝eq \f(1,5)x，∴eq \f(x,\r(,x2＋42))＝eq \f(1,5)x，
又α是第二象限角，∴x＜0，故可解得x＝－3，
∴cs α＝－eq \f(3,5)，sin α＝eq \r(,1－cs2α)＝eq \f(4,5)，
∴tan α＝eq \f(sin α,cs α)＝－eq \f(4,3)，∴tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝eq \f(24,7).故选A.
(2)∵2cs x－1≥0，
∴cs x≥eq \f(1,2).
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．]
[思想与方法]
1．在利用三角函数定义时，点P(x，y)可取终边上任意一点，若点P在单位圆上，则sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)；若|OP|＝r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x).
2．三角函数值在各象限的符号规律：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
3．利用单位圆和三角函数线是解三角不等式的常用方法．
[易错与防范]
1．第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．
2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．
3．已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．
课时分层训练(十七)
任意角、弧度制及任意角的三角函数
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．给出下列四个命题：
①－eq \f(3π,4)是第二象限角；②eq \f(4π,3)是第三象限角；
③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．
其中正确命题的个数有( )
A．1个 B．2个
C．3个D．4个
C [－eq \f(3π,4)是第三象限角，故①错误.eq \f(4π,3)＝π＋eq \f(π,3)，从而eq \f(4π,3)是第三象限角，②正确．－400°＝－360°－40°，从而③正确．－315°＝－360°＋45°，从而④正确．]
2．已知弧度为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )
【导学号：31222102】
A．2B．sin 2
C.eq \f(2,sin 1)D．2sin 1
C [由题设知，圆弧的半径r＝eq \f(1,sin 1)，
∴圆心角所对的弧长l＝2r＝eq \f(2,sin 1).]
3．(2016·湖南衡阳一中模拟)已知点P(cs α，tan α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
B [由题意可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs α＜0，,tan α＜0，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin α＞0，,cs α＜0，))所以角α的终边在第二象限，故选B.]
4．(2017·河北石家庄质检)已知点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)，－\f(1,2)))在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )
A.eq \f(5π,6)B.eq \f(2π,3)
C.eq \f(11π,6)D.eq \f(5π,3)
C [因为点Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(,3),2)，－\f(1,2)))在第四象限，根据三角函数的定义可知tan θ＝eq \f(－\f(1,2),\f(\r(,3),2))＝－eq \f(\r(,3),3)，则θ＝eq \f(11,6)π.]
5．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cs 2θ＝( )
【导学号：31222103】
A．－eq \f(4,5)B．－eq \f(3,5)
C.eq \f(3,5)D.eq \f(4,5)
B [取终边上一点(a,2a)(a≠0)，根据任意角的三角函数定义，可得cs θ＝±eq \f(\r(,5),5)，故cs 2θ＝2cs2θ－1＝－eq \f(3,5).]
二、填空题
6．已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于________.
【导学号：31222104】
eq \f(π,3) [设扇形半径为r，弧长为l，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))]
7．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－eq \f(2\r(,5),5)，则y＝________.
－8 [因为sin θ＝eq \f(y,\r(,42＋y2))＝－eq \f(2\r(,5),5)，
所以y＜0，且y2＝64，所以y＝－8.]
8．在(0,2π)内，使sin x＞cs x成立的x的取值范围为________．
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))) [如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cs x的x值，sin eq \f(π,4)＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(,2),2)，sin eq \f(5π,4)＝cs eq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(,2),2).根据三角函数线的变化规律找出满足题中条件的角x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5π,4))).]
三、解答题
9．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB. 【导学号：31222105】
[解] 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝2.))4分
∴圆心角α＝eq \f(l,r)＝2.
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.8分
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，
∴AB＝2sin 1(cm)．
∴圆心角的弧度数为2，弦长AB为2sin 1 cm.12分
10．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ＋cs θ.
[解] ∵θ的终边过点P(x，－1)(x≠0)，
∴tan θ＝－eq \f(1,x)，2分
又tan θ＝－x，
∴x2＝1，即x＝±1.4分
当x＝1时，sin θ＝－eq \f(\r(,2),2)，cs θ＝eq \f(\r(,2),2)，
因此sin θ＋cs θ＝0；8分
当x＝－1时，sin θ＝－eq \f(\r(,2),2)，cs θ＝－eq \f(\r(,2),2)，
因此sin θ＋cs θ＝－eq \r(,2).
故sin θ＋cs θ的值为0或－eq \r(,2).12分
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2016·河北衡水二中模拟)已知角φ的终边经过点P(－4,3)，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为( )
A.eq \f(3,5)B.eq \f(4,5)
C．－eq \f(3,5)D．－eq \f(4,5)
D [由于角φ的终边经过点P(－4,3)，所以cs φ＝－eq \f(4,5).再根据函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)图象的相邻两条对称轴之间的距离等于eq \f(π,2)，可得eq \f(2π,ω)＝2×eq \f(π,2)，所以ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋φ))＝cs φ＝－eq \f(4,5).故选D.]
2．函数y＝eq \r(,sin x)＋eq \r(,\f(1,2)－cs x)的定义域是________．
【导学号：31222106】
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋2kπ，π＋2kπ))(k∈Z) [由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0，,\f(1,2)－cs x≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x≥0，,cs x≤\f(1,2)，))
∴x的取值范围为eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.]
3．已知sin α＜0，tan α＞0.
(1)求α角的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
[解] (1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上．
由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，
其集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(α\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ＋π＜α＜2kπ＋\f(3π,2)，k∈Z)))).3分
(2)由2kπ＋π＜α＜2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,2)＜eq \f(α,2)＜kπ＋eq \f(3π,4)，k∈Z，
故eq \f(α,2)终边在第二、四象限.6分
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)＜0，
sin eq \f(α,2)＞0，cs eq \f(α,2)＜0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号；9分
当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)＜0，
sin eq \f(α,2)＜0，cs eq \f(α,2)＞0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)也取正号．
因此，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号.12分
考点
2016年
2015年
2014年
2013年
2012年
任意角和弧度制及任意角的三角函数
全国卷Ⅰ·T2
同角关系、诱导公式
全国卷Ⅰ·T2
三角函数的图象和性质
全国卷Ⅱ·T3
全国卷Ⅲ·T14
全国卷Ⅰ·T8
全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅰ·T7
全国卷Ⅰ·T9
全国卷·T9
全国卷·T16
正弦型函数及应用
全国卷Ⅱ·T16
简单的三角恒等变换
全国卷Ⅰ·T12
全国卷Ⅰ·T13
全国卷Ⅱ·T11
全国卷Ⅲ·T6
全国卷Ⅱ·T14
全国卷Ⅰ·T16
全国卷Ⅱ·T6
正弦定理和余弦定理
全国卷Ⅰ·T4
全国卷Ⅱ·T15
全国卷Ⅲ·T9
全国卷Ⅰ·T17
全国卷Ⅱ·T17
全国卷Ⅰ·T16
全国卷Ⅱ·T17
全国卷Ⅰ·T10
全国卷Ⅱ·T4
全国卷·T17
三角函数
正弦
余弦
正切
定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
y叫做α的正弦，记作sin α
x叫做α的余弦，记作cs α
eq \f(y,x)叫做α的正切，记作tan α
各象
限符
号
Ⅰ
＋
＋
＋
Ⅱ
＋
－
－
Ⅲ
－
－
＋
Ⅳ
－
＋
－
三角函
数线
有向线段MP为正弦线
有向线段OM为余弦线
有向线段AT为正切线
角的有关概念及其集合表示
扇形的弧长、面积公式
三角函数的定义
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