高考数学一轮复习 第1章 第2节 命题及其关系、充分条件与必要条件

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1．命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．
2．四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系
图1­2­1
(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
3．充分条件与必要条件
(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．
(3)如果pDq，且qDp，则p是q的既不充分也不必要条件．
4．集合与充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，则有：
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件．
(2)若B⊆A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件．
(3)若A＝B，则p是q的充要条件．
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)“x2＋2x－3<0”是命题．( )
(2)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )
(3)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(4)“若p不成立，则q不成立”等价于“若q成立，则p成立”．( )
[解析] (1)错误．该语句不能判断真假，故该说法是错误的．
(2)错误．否命题既否定条件，又否定结论．
(3)正确．q是p的必要条件说明p⇒q，所以p是q的充分条件．
(4)正确．原命题与逆否命题是等价命题．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√
2．(教材改编)命题“若α＝eq \f(π,4)，则tan α＝1”的逆否命题是( )
A．若α≠eq \f(π,4)，则tan α≠1
B．若α＝eq \f(π,4)，则tan α≠1
C．若tan α≠1，则α≠eq \f(π,4)
D．若tan α≠1，则α＝eq \f(π,4)
C [“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则 綈p”，显然綈q：tan α
≠1，綈p：α≠eq \f(π,4)，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠eq \f(π,4)”．]
3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )
【导学号：31222005】
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A [a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.
但A⊆B时，a＝2或3.
∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．]
4．命题“若a＞－3，则a＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [原命题正确，从而其逆否命题也正确；其逆命题为“若a＞－6，则a＞－3”是假命题，从而其否命题也是假命题．
因此4个命题中有2个假命题．]
5．(2016·天津高考)设x＞0，y∈R，则“x＞y”是“x＞|y|”的( )
A．充要条件
B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件
D．既不充分也不必要条件
C [当x＝1，y＝－2时，x＞y，但x＞|y|不成立；
若x＞|y|，因为|y|≥y，所以x＞y.
所以x＞y是x＞|y|的必要而不充分条件．]
(1)命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为
( )
A．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为真命题
B．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为真命题
C．“若x≠4，则x2－3x－4≠0”为假命题
D．“若x＝4，则x2－3x－4＝0”为假命题
(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|＝|z2|”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，假，真 B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
(1)C (2)B [(1)根据逆否命题的定义可以排除A，D，由x2－3x－4＝0，得x＝4或－1，所以原命题为假命题，所以其逆否命题也是假命题．
(2)由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题．
当z1＝1＋2i，z2＝2＋i时，显然|z1|＝|z2|，但z1与z2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题亦为假命题．]
[规律方法] 1.已知原命题写出该命题的其他命题时，先要分清命题的条件与结论．特别注意的是，如果命题不是“若p，则q”形式的命题，需先改写为“若p，则q”的形式．
2．给出一个命题，要判断它是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．
3．由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以有时可以利用这种等价性间接地证明命题的真假．
[变式训练1] 原命题为“若eq \f(an＋an＋1,2)＜an，n∈N*，则{an}为递减数列”，关于其逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真B．假，假，真
C．真，真，假D．假，假，假
A [由eq \f(an＋an＋1,2)＜an，得an＋an＋1＜2an，即an＋1＜an.
所以当eq \f(an＋an＋1,2)＜an时，必有an＋1＜an，
则{an}是递减数列．
反之，若{an}是递减数列，必有an＋1＜an，
从而有eq \f(an＋an＋1,2)＜an.
所以原命题及其逆命题均为真命题，从而其否命题及其逆否命题也均是真命题．]
(1)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则( )
A．p是q的充分必要条件
B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
(2)设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
(1)C (2)A [(1)当f′(x0)＝0时，x＝x0不一定是f(x)的极值点，
比如，y＝x3在x＝0时，f′(0)＝0，但在x＝0的左右两侧f′(x)的符号相同，因而x＝0不是y＝x3的极值点．
由极值的定义知，x＝x0是f(x)的极值点必有f′(x0)＝0.
综上知，p是q的必要条件，但不是充分条件．
(2)|x－2|＜1⇔1＜x＜3.
由于{x|1＜x＜2}是{x|1＜x＜3}的真子集，
所以“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的充分不必要条件．]
[规律方法] 充分条件、必要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母的范围的推断问题．
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．
[变式训练2] (2016·武汉模拟)设集合M＝{1,2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N⊆M”的( ) 【导学号：31222006】
A．必要不充分条件B．充分不必要条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
B [若a＝1，则集合N＝{1}，此时满足N⊆M.若N⊆M，则a2＝1或2，所以a＝±1或a＝±eq \r(2).故“a＝1”是“N⊆M”的充分不必要条件．]
已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0得
－2≤x≤10，
∴P＝{x|－2≤x≤10}.3分
∵x∈P是x∈S的必要条件，
则S⊆P，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≥－2，,1＋m≤10，,1－m≤1＋m，))∴0≤m≤3.8分
综上，可知0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件.12分
[迁移探究1] 本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件．
[解] 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}.2分
若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))8分
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝3，,m＝9，))
这样的m不存在.12分
[迁移探究2] 本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
[解] 由例题知P＝{x|－2≤x≤10}．
∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P是S的充分不必要条件，
∴P⇒S且SDP，4分
∴[－2,10][1－m,1＋m]，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m≤－2，,1＋m＞10))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－m＜－2，,1＋m≥10，))8分
∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞).12分
[规律方法] 充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上．解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
[变式训练3] (1)(2017·长沙模拟)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．
(2)方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．
(1)(0,3) (2)a≤0或a＝1 [(1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0∵p是q的充分不必要条件，∴MN，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>0，,a＋1<4，))解得0(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，
∴原方程有一个负实根x＝－eq \f(1,2).
当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根．
∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，
∴eq \f(1,a)＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.
当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，
综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.]
[思想与方法]
1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．
2．充分条件、必要条件的几种判断方法
(1)定义法：直接判断“若p，则q”“若q，则p”的真假．
(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A；B⇒A与綈A⇒綈B；A⇔B与綈B⇔綈A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．
(3)利用集合间的包含关系判断：设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若A⊆B，则p是q的充分条件或q是p的必要条件；若AB，则p是q的充分不必要条件，若A＝B，则p是q的充要条件．
[易错与防范]
1．当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提．
2．判断命题的真假及写四种命题时，一定要明确命题的结构，可以先把命题改写成“若p，则q”的形式．
3．判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向，正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言的含义．
课时分层训练(二)
命题及其关系、充分条件与必要条件
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．(2015·山东高考)设m∈R，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m>0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m>0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
D [根据逆否命题的定义，命题“若m>0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是“若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0”．]
2．(2017·杭州调研)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.则“m∥β”是“α∥β”的( ) 【导学号：31222007】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．]
3．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的( )
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
A [因为x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根，为x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要条件．]
4．给出下列命题：
①“若a2②“全等三角形面积相等”的逆命题；
③“若a>1，则ax2－2ax＋a＋3>0的解集为R”的逆否命题；
④“若eq \r(3)x(x≠0)为有理数，则x为无理数”的逆否命题．
其中正确的命题是( )
A．③④B．①③
C．①②D．②④
A [对于①，否命题为“若a2≥b2，则a≥b”，为假命题；对于②，逆命题为“面积相等的三角形是全等三角形”，是假命题；对于③，当a>1时，Δ＝－12a<0，原命题正确，从而其逆否命题正确，故③正确；对于④，原命题正确，从而其逆否命题正确，故④正确，故命题③④为真命题．]
5．(2017·南昌调研)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋9＝0垂直的( ) 【导学号：31222008】
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A [由直线mx＋(2m－1)y＋1＝0与3x＋my＋9＝0垂直可知3m＋m(2m－1)＝0，∴m＝0或m＝－1，∴m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．]
6．设p：11，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A [由2x>1，得x>0，所以p⇒q，但qp，所以p是q的充分不必要条件．]
7．已知条件p：x2－2ax＋a2－1>0，条件q：x>2，且q是p的充分不必要条件，则a的取值范围是( )
A．a≥1B．a≤1
C．a≥－3D．a≤－3
B [条件p：x>a＋1或x2，
又q是p的充分不必要条件，
故q⇒p，pDq，所以a＋1≤2，即a≤1.]
二、填空题
8．已知a，b，c都是实数，则在命题“若a＞b，则ac2＞bc2”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________.
【导学号：31222009】
2 [由a＞bac2＞bc2，但ac2＞bc2⇒a＞b.
所以原命题是假命题，它的逆命题是真命题．
从而否命题是真命题，逆否命题是假命题．]
9．“m＜eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的________条件．
充分不必要 [x2＋x＋m＝0有实数解等价于Δ＝1－4m≥0，
即m≤eq \f(1,4)，因为m＜eq \f(1,4)⇒m≤eq \f(1,4)，反之不成立．
故“m＜eq \f(1,4)”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的充分不必要条件．]
10．已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．
(4，＋∞) [A＝{x|x＜4}，由题意知AB，所以a＞4.]
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．(2017·西安调研)“sin α＝cs α”是“cs 2α＝0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
A [cs 2α＝0等价于cs2α－sin2α＝0，即cs α＝±sin α.
由cs α＝sin α可得到cs 2α＝0，反之不成立．]
2．(2016·四川高考)设p：实数x，y满足x>1，且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,y>1，))∴x＋y>2，即p⇒q.
而当x＝0，y＝3时，有x＋y＝3>2，但不满足x>1且y>1，即qD⇒/p.故p是q的充分不必要条件．]
3．有下列几个命题：
①“若a＞b，则a2＞b2”的否命题；
②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
③“若x2＜4，则－2＜x＜2”的逆否命题．
其中真命题的序号是________．
②③ [①原命题的否命题为“若a≤b，则a2≤b2”错误．
②原命题的逆命题为：“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”正确．
③原命题的逆否命题为“若x≥2或x≤－2，则x2≥4”正确．]
4．已知不等式|x－m|＜1成立的充分不必要条件是eq \f(1,3)＜x＜eq \f(1,2)，则实数m的取值范围是________. 【导学号：31222010】
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(4,3))) [由|x－m|＜1得－1＋m＜x＜1＋m，
由题意知eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,3)＜x＜\f(1,2))))){x|－1＋m＜x＜1＋m}，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1＋m≤\f(1,3)，,1＋m≥\f(1,2)，))解得－eq \f(1,2)≤m≤eq \f(4,3)，
所以实数m的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(4,3))).]
四种命题的关系及其真假判断
充分条件与必要条件的判断
充分条件、必要条件的应用