高考数学一轮复习讲义第12章第4节离散型变量随机分布及其分布列

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1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)离散型随机变量的分布列的性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②eq \i\su(i＝1,n,p)i＝1.
3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布
若随机变量X服从两点分布，即其分布列为
其中p＝P(X＝1)称为成功概率．
(2)超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,M)C\\al(n－k,N－M),C\\al(n,N))，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有下表形式，
则称随机变量X服从超几何分布．
【思考辨析】
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )
(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ )
(3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X服从两点分布．( × )
(4)从4名男演员和3名女演员中选出4名演员，其中女演员的人数X服从超几何分布．( √ )
(5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × )
(6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ )
1．(教材改编)抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，那么X＝4表示的事件是( )
A．一颗是3点，一颗是1点
B．两颗都是2点
C．甲是3点，乙是1点或甲是1点，乙是3点或两颗都是2点
D．以上答案都不对
答案 C
解析 根据抛掷两颗骰子的试验结果可知，C正确．
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
A．0B.eq \f(1,2)C.eq \f(1,3)D.eq \f(2,3)
答案 C
解析 设X的分布列为
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，由p＋2p＝1，得p＝eq \f(1,3)，故选C.
3．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有( )
A．17个B．18个C．19个D．20个
答案 A
解析 X可能取得的值有3,4,5，…，19，共17个．
4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X个红球，则随机变量X的分布列为
答案 0.1 0.6 0.3
解析 ∵X的所有可能取值为0,1,2，
∴P(X＝0)＝eq \f(C\\al(2,2),C\\al(2,5))＝0.1，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(1,2),C\\al(2,5))＝eq \f(6,10)＝0.6，P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,3),C\\al(2,5))＝0.3.
∴X的分布列为
5.(教材改编)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为______．
答案 eq \f(27,220)
解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，
故P(X＝4)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,9),C\\al(3,12))＝eq \f(27,220).
题型一 离散型随机变量的分布列的性质
例1 (1)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1B.eq \f(3,2)±eq \f(\r(33),6)
C.eq \f(3,2)－eq \f(\r(33),6)D.eq \f(3,2)＋eq \f(\r(33),6)
答案 C
解析 ∵eq \f(1,3)＋2－3q＋q2＝1，∴q2－3q＋eq \f(4,3)＝0，解得q＝eq \f(3,2)±eq \f(\r(33),6).又由题意知0(2)设离散型随机变量X的分布列为
求2X＋1的分布列．
解 由分布列的性质知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3.
首先列表为
从而2X＋1的分布列为
引申探究
1．在本例(2)的条件下，求随机变量η＝|X－1|的分布列．
解 由(2)知m＝0.3，列表
∴P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，
P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.
故η＝|X－1|的分布列为
2.若本例(2)中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．
解 依题意知η的值为0,1,4,9,16.
P(η＝0)＝P(X2＝0)＝P(X＝0)＝0.2，
P(η＝1)＝P(X2＝1)＝P(X＝1)＝0.1，
p(η＝4)＝P(X2＝4)＝P(X＝2)＝0.1，
P(η＝9)＝P(X2＝9)＝P(X＝3)＝0.3，
P(η＝16)＝P(X2＝16)＝P(X＝4)＝0.3，
思维升华 (1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
设随机变量X的分布列为P(X＝eq \f(k,5))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求a；
(2)求P(X≥eq \f(3,5))；
(3)求P(eq \f(1,10)解 (1)由分布列的性质，得P(X＝eq \f(1,5))＋P(X＝eq \f(2,5))＋P(X＝eq \f(3,5))＋P(X＝eq \f(4,5))＋P(X＝1)＝a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，所以a＝eq \f(1,15).
(2)P(X≥eq \f(3,5))＝P(X＝eq \f(3,5))＋P(X＝eq \f(4,5))＋P(X＝1)＝3×eq \f(1,15)＋4×eq \f(1,15)＋5×eq \f(1,15)＝eq \f(4,5).
(3)P(eq \f(1,10)题型二 离散型随机变量的分布列的求法
命题点1 与排列组合有关的分布列的求法
例2 (2015·重庆改编)端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
解 (1)令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P(A)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(1,3)C\\al(1,5),C\\al(3,10))＝eq \f(1,4).
(2)X的所有可能值为0,1,2，且
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,2)C\\al(2,8),C\\al(3,10))＝eq \f(7,15)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,8),C\\al(3,10))＝eq \f(1,15).
综上知，X的分布列为
命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法
例3 (2015·安徽改编)已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．
(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．
解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，
P(A)＝eq \f(A\\al(1,2)A\\al(1,3),A\\al(2,5))＝eq \f(3,10).
(2)X的可能取值为200,300,400.
P(X＝200)＝eq \f(A\\al(2,2),A\\al(2,5))＝eq \f(1,10)，
P(X＝300)＝eq \f(A\\al(3,3)＋C\\al(1,2)C\\al(1,3)A\\al(2,2),A\\al(3,5))＝eq \f(3,10)，
P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)
＝1－eq \f(1,10)－eq \f(3,10)＝eq \f(3,5).
故X的分布列为
命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法
例4 (2016·蚌埠模拟)甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛．假设每局甲获胜的概率为eq \f(2,3)，乙获胜的概率为eq \f(1,3)，各局比赛结果相互独立．
(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；
(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列．
解 用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”．
则P(Ak)＝eq \f(2,3)，P(Bk)＝eq \f(1,3)，k＝1,2,3,4,5.
(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)·P(A3)P(A4)
＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＋eq \f(2,3)×eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)))2＝eq \f(56,81).
(2)X的可能取值为2,3,4,5.
P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)
＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝eq \f(5,9)，
P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)
＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝eq \f(2,9)，
P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)
＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝eq \f(10,81)，
P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝eq \f(8,81).
故X的分布列为
思维升华 求离散型随机变量X的分布列的步骤：
(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；
(2)求X取每个值的概率；
(3)写出X的分布列．
求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．
(2016·湖北部分重点中学第一次联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i次得到的点数为ai，若存在正整数k，使a1＋a2＋…＋ak＝6，则称k为你的幸运数字．
(1)求你的幸运数字为3的概率；
(2)若k＝1，则你的得分为6分；若k＝2，则你的得分为4分；若k＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．
解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A，则它包含事件A1，A2，A3，其中A1：三次恰好均为2；A2：三次中恰好1,2,3各一次；A3：三次中有两次均为1，一次为4.
A1，A2，A3为互斥事件，则
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝Ceq \\al(3,3)(eq \f(1,6))3＋Ceq \\al(1,3)·eq \f(1,6)·Ceq \\al(1,2)·eq \f(1,6)·Ceq \\al(1,1)·eq \f(1,6)＋Ceq \\al(2,3)(eq \f(1,6))2·eq \f(1,6)＝eq \f(5,108).
(2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，
P(ξ＝6)＝eq \f(1,6)，P(ξ＝4)＝(eq \f(1,6))2＋2×Ceq \\al(1,2)×eq \f(1,6)×eq \f(1,6)＝eq \f(5,36)，
P(ξ＝2)＝eq \f(5,108)，P(ξ＝0)＝1－eq \f(1,6)－eq \f(5,36)－eq \f(5,108)＝eq \f(35,54).
故ξ的分布列为
题型三 超几何分布
例5 (2017·济南质检)PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
从某自然保护区2016年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：
(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．
解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A，
则P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40).
(2)依据条件，ξ服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝k)＝eq \f(C\\al(k,3)·C\\al(3－k,7),C\\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．
∴P(ξ＝0)＝eq \f(C\\al(0,3)C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,24)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(2,7),C\\al(3,10))＝eq \f(21,40)，
P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,7),C\\al(3,10))＝eq \f(7,40)，
P(ξ＝3)＝eq \f(C\\al(3,3)C\\al(0,7),C\\al(3,10))＝eq \f(1,120).
故ξ的分布列为
思维升华 (1)超几何分布的两个特点
①超几何分布是不放回抽样问题；
②随机变量为抽到的某类个体的个数．
(2)超几何分布的应用条件
①两类不同的物品(或人、事)；
②已知各类对象的个数；
③从中抽取若干个个体．
某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动．(每位同学被选到的可能性相同)
(1)求选出的3名同学来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
解 (1)设“选出的3名同学来自互不相同的学院”为事件A，
则P(A)＝eq \f(C\\al(1,3)·C\\al(2,7)＋C\\al(0,3)·C\\al(3,7),C\\al(3,10))＝eq \f(49,60).
故选出的3名同学来自互不相同学院的概率为eq \f(49,60).
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.
P(X＝k)＝eq \f(C\\al(k,4)·C\\al(3－k,6),C\\al(3,10))(k＝0,1,2,3)．
∴P(X＝0)＝eq \f(C\\al(0,4)·C\\al(3,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,6)，
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(1,4)·C\\al(2,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,2)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(2,4)·C\\al(1,6),C\\al(3,10))＝eq \f(3,10)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(3,4)·C\\al(0,6),C\\al(3,10))＝eq \f(1,30).
故随机变量X的分布列是
17．离散型随机变量的分布列
典例 某射手有5发子弹，射击一次命中概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．
错解展示
现场纠错
解 P(ξ＝1)＝0.9，
P(ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09，
P(ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009，
P(ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.0009，
P(ξ＝5)＝0.14＝0.0001.
∴ξ的分布列为
纠错心得 (1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．
(2)验证随机变量的概率和是否为1.
1．(2016·太原模拟)某射手射击所得环数X的分布列为
则此射手“射击一次命中环数大于7”的概率为( )
A．0.28B．0.88C．0.79D．0.51
答案 C
解析 根据X的分布列知，所求概率为0.28＋0.29＋0.22＝0.79.
2．(2016·岳阳模拟)设X是一个离散型随机变量，其分布列为
则q等于( )
A．1B．1±eq \f(\r(2),2)C．1－eq \f(\r(2),2)D．1＋eq \f(\r(2),2)
答案 C
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－2q≥0，,\f(1,2)＋1－2q＋q2＝1，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(q≤\f(1,2)，,2q2－4q＋1＝0，))解得q＝1－eq \f(\r(2),2).
3．(2016·郑州模拟)已知随机变量X的分布列为P(X＝i)＝eq \f(i,2a)(i＝1,2,3,4)，则P(2A.eq \f(9,10)B.eq \f(7,10)C.eq \f(3,5)D.eq \f(1,2)
答案 B
解析 由分布列的性质知，
eq \f(1,2a)＋eq \f(2,2a)＋eq \f(3,2a)＋eq \f(4,2a)＝1，
则a＝5，
∴P(24．(2016·湖北孝感汉川期末)设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a(eq \f(1,3))i，i＝1,2,3，则实数a的值为( )
A．1B.eq \f(9,13)C.eq \f(11,13)D.eq \f(27,13)
答案 D
解析 ∵随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a(eq \f(1,3))i，i＝1,2,3，
∴a[eq \f(1,3)＋(eq \f(1,3))2＋(eq \f(1,3))3]＝1，
解得a＝eq \f(27,13).故选D.
5．(2017·武汉调研)从装有3个白球，4个红球的箱子中，随机取出3个球，则恰好是2个白球，1个红球的概率是( )
A.eq \f(4,35)B.eq \f(6,35)C.eq \f(12,35)D.eq \f(36,343)
答案 C
解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P＝eq \f(C\\al(2,3)C\\al(1,4),C\\al(3,7))＝eq \f(12,35).
6．(2017·长沙月考)一只袋内装有m个白球，n－m个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X个白球，下列概率等于eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n))的是( )
A．P(X＝3) B．P(X≥2)
C．P(X≤3) D．P(X＝2)
答案 D
解析 由超几何分布知P(X＝2)＝eq \f(n－mA\\al(2,m),A\\al(3,n)).
7．甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题，比赛规定：对于每一个题，没有抢到题的队伍得0分，抢到题并回答正确的得1分，抢到题但回答错误的扣1分(即得－1分)；若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜)，则X的所有可能取值是________．
答案 －1,0,1,2,3
解析 X＝－1，甲抢到一题但答错了，而乙抢到了两个题目都答错了，
X＝0，甲没抢到题，乙抢到题目答错至少2个题或甲抢到2题，但答时一对一错，而乙答错一个题目，
X＝1，甲抢到1题且答对，乙抢到2题且至少答错1题或甲抢到3题，且1错2对，
X＝2，甲抢到2题均答对，
X＝3，甲抢到3题均答对．
8．随机变量X的分布列如下：
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．
答案 eq \f(2,3) [－eq \f(1,3)，eq \f(1,3)]
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝eq \f(1,3)，
∴P(|X|＝1)＝a＋c＝eq \f(2,3).
又a＝eq \f(1,3)－d，c＝eq \f(1,3)＋d，
根据分布列的性质，得0≤eq \f(1,3)－d≤eq \f(2,3)，0≤eq \f(1,3)＋d≤eq \f(2,3)，
∴－eq \f(1,3)≤d≤eq \f(1,3).
9．设离散型随机变量X的分布列为
若随机变量Y＝|X－2|，则P(Y＝2)＝________.
答案 0.5
解析 由分布列的性质，知
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
由Y＝2，即|X－2|＝2，得X＝4或X＝0，
∴P(Y＝2)＝P(X＝4或X＝0)
＝P(X＝4)＋P(X＝0)
＝0.3＋0.2＝0.5.
10．袋中有4只红球3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P(ξ≤6)＝________.
答案 eq \f(13,35)
解析 P(ξ≤6)＝P(取到3只红球1只黑球)＋P(取到4只红球)＝eq \f(C\\al(3,4)C\\al(1,3),C\\al(4,7))＋eq \f(C\\al(4,4),C\\al(4,7))＝eq \f(13,35).
11．(2015·山东改编)若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如137,359,567等)．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次．得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得－1分；若能被10整除，得1分．
(1)写出所有个位数字是5的“三位递增数”；
(2)若甲参加活动，求甲得分X的分布列．
解 (1)个位数是5的“三位递增数”有125,135,145,235,245,345.
(2)由题意知，全部“三位递增数”的个数为Ceq \\al(3,9)＝84，
随机变量X的取值为0，－1,1，因此
P(X＝0)＝eq \f(C\\al(3,8),C\\al(3,9))＝eq \f(2,3)，
P(X＝－1)＝eq \f(C\\al(2,4),C\\al(3,9))＝eq \f(1,14)，
P(X＝1)＝1－eq \f(1,14)－eq \f(2,3)＝eq \f(11,42).
所以X的分布列为
12.(2016·遂宁期末)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3，从盒中任取3张卡片．
(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列．(注：若三个数字a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数)
解 (1)由古典概型的概率计算公式得
P＝eq \f(C\\al(3,4)＋C\\al(3,3),C\\al(3,9))＝eq \f(5,84).
(2)由题意知X的所有可能取值为1,2,3，则
P(X＝1)＝eq \f(C\\al(2,4)C\\al(1,5)＋C\\al(3,4),C\\al(3,9))＝eq \f(17,42)，
P(X＝2)＝eq \f(C\\al(1,3)C\\al(1,4)C\\al(1,2)＋C\\al(2,3)C\\al(1,6)＋C\\al(3,3),C\\al(3,9))＝eq \f(43,84)，
P(X＝3)＝eq \f(C\\al(2,2)C\\al(1,7),C\\al(3,9))＝eq \f(1,12).
所以X的分布列为
*13.(2016·长春模拟)某高校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n>8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．
(1)若随机选出的2名校友代表为“最佳组合”的概率不小于eq \f(1,2)，求n的最大值；
(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为ξ，求ξ的分布列．
解 (1)设选出2人为“最佳组合”记为事件A，
则事件A发生的概率P(A)＝eq \f(C\\al(1,n－6)C\\al(1,6),C\\al(2,n))＝eq \f(12n－6,nn－1).
依题意eq \f(12n－6,nn－1)≥eq \f(1,2)，化简得n2－25n＋144≤0，
∴9≤n≤16，故n的最大值为16.
(2)由题意，ξ的可能取值为0,1,2，且ξ服从超几何分布，
则P(ξ＝k)＝eq \f(C\\al(k,6)C\\al(2－k,6),C\\al(2,12))(k＝0,1,2)，
∴P(ξ＝0)＝P(ξ＝2)＝eq \f(C\\al(0,6)C\\al(2,6),C\\al(2,12))＝eq \f(5,22)，
P(ξ＝1)＝eq \f(C\\al(1,6)C\\al(1,6),C\\al(2,12))＝eq \f(6,11).
故ξ的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
X
0
1
P
1－p
p
X
0
1
…
m
P
eq \f(C\\al(0,M)C\\al(n－0,N－M),C\\al(n,N))
eq \f(C\\al(1,M)C\\al(n－1,N－M),C\\al(n,N))
…
eq \f(C\\al(m,M)C\\al(n－m,N－M),C\\al(n,N))
X
0
1
P
p
2p
X
0
1
2
P
X
0
1
2
P
0.1
0.6
0.3
X
－1
0
1
P
eq \f(1,3)
2－3q
q2
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
X
0
1
2
3
4
|X－1|
1
0
1
2
3
η
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
η
0
1
4
9
16
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
X
0
1
2
P
eq \f(7,15)
eq \f(7,15)
eq \f(1,15)
X
200
300
400
P
eq \f(1,10)
eq \f(3,10)
eq \f(3,5)
X
2
3
4
5
P
eq \f(5,9)
eq \f(2,9)
eq \f(10,81)
eq \f(8,81)
ξ
6
4
2
0
P
eq \f(1,6)
eq \f(5,36)
eq \f(5,108)
eq \f(35,54)
PM2.5日均值(微克/立方米)
[25,35]
(35,45]
(45,55]
(55,65]
(65,75]
(75,85]
频数
3
1
1
1
1
3
ξ
0
1
2
3
P
eq \f(7,24)
eq \f(21,40)
eq \f(7,40)
eq \f(1,120)
X
0
1
2
3
P
eq \f(1,6)
eq \f(1,2)
eq \f(3,10)
eq \f(1,30)
ξ
1
2
3
4
5
P
0.9
0.09
0.009
0.0009
0.0001
X
4
5
6
7
8
9
10
P
0.02
0.04
0.06
0.09
0.28
0.29
0.22
X
－1
0
1
P
eq \f(1,2)
1－2q
q2
X
－1
0
1
P
a
b
c
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
X
0
－1
1
P
eq \f(2,3)
eq \f(1,14)
eq \f(11,42)
X
1
2
3
P
eq \f(17,42)
eq \f(43,84)
eq \f(1,12)
ξ
0
1
2
P
eq \f(5,22)
eq \f(6,11)
eq \f(5,22)